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Full text of "Kollektivmasslehre"

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KOLLEKTIYMASSLEHRE 


VON 


GUSTAV  THEODOR  FECHNER 


IM  AUFTRAGE 

DER 

KÖNIGLICH  SÄCHSISCHEN  GESELLSCHAFT  DER  WISSENSCHAHEN 


HERAUSGEGEBEN 


VON 


GOTTL.  FRIEDR.  LIPPS 


LEIPZIG 

VERLAG  VON  WILHELM  ENGELMANN 

1897. 


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!  107095 

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Alle  Hechte,  insbesondere  das  der  Übersetzung,  vorbehalten. 


Yorbemerkimg  des  Herausgebers. 


iias  Mannskript  der  EoUcktivmaßlehre  fand  sich  nur  teilweise 
vollendet  im  Nachlasse  Fechner's  vor.  Es  musste  daher  einesteils  das. 
Vorhandene  geordnet,  anderenteils  das  Fehlende  ergänzt  werden.  Um 
beide  Aufgaben  auszufllhren,  wurde  ein  Plan  für  den  Aufbau  der 
KoUcktivmaßlehre  entworfen,  der  aus  der  gruppenweisen  Zusammen- 
fassung der  Kapitel  in  der  Inhaltsangabc  (S.  IX)  zu  ersehen  ist.  Auf 
Grund  desselben  ergab  sich  die  Anordnung  des  Stoffes,  der  übrigens 
für  die  vier  ersten  Kapitel  in  fest  geordneter  Reihenfolge  vorlag, 
zugleich  mit  der  Feststellung  der  Lücken  in  eindeutiger  Bestimmtheit. 

Bei  Ausfüllung  der  Lücken  war  die  Absicht  maßgebend,  dem 
Werke  im  Sinne  seines  Verfassers  eine  solche  Vollendung  zu  geben, 
dass  es  keine  Fragmente,  sondern  ein  in  sich  geschlossenes  Ganzes 
darstelle.  Darum  wurden  zunächst  die  vorhandenen  Kapitel,  soweit 
sie  lückenhaft  geblieben  waren,  ergänzt.  Da  ferner  einzelne  Kapitel 
vollständig  fehlten,  so  musste,  unter  Beschränkung  auf  die  notwen- 
digsten Ausführungen,  ein  Ersatz  für  dieselben  gegeben  werden.  Jede 
Zuthat  aber,  selbst  wenn  sie  bloß  in  der  Beifügung  von  Zitaten 
bestand,  wurde  in  eckige  Klammem  gesetzt  und  so  kenntlich 
gemacht. 

Damit  hat  nun  allerdings  das  Werk  keineswegs  diejenige  Voll- 
endung erhalten,  die  ihm  sein  Verfasser  gegeben  haben  würde.  Ins- 
besondere hätte  der  zweite  Teil  durcli  die  Ausführungen,  die  in  der 
Absicht  Fechner's  lagen,  wesentlich  gewonnen.  Es  war  jedoch 
nicht  thunlich,  die  ergänzenden  Untersuchungen,  die  sich  auf  neu 
gesammeltes    Untersuchungsmaterial    stutzen    mussten,    noch    weiter 


~  Vorbemerkung  des  Herausgeber«. 

LL*ctftirrTi-  ^^•llte  nicht  die  schon  langre  verzögerte  Drucklegung  des 
'**':rL^  ü'-y-h  weiter  hinausgeschoben  werden.  Vielmehr  war  ich 
••-.•iiIIl  nachdem  die  Manuskripte  Fechner's  im  Frühjahre  1895 
ai:r  ni-^stellt  worden  waren,  die  Bearbeitung  derselben  zu  einem 
'sLOj^Ti  AWhlu??sc  zu  bringen. 

V'.'^jh  müchte  ich  bemerken,  dass  die  Rechnungen,  die  in  großer 
Ai^^irhzjung  teiU  zur  Bewährung,  teils  zur  Begründung  der  Theorie 
tf^^-ea-  durchweg  geprüft  oder  von  neuem  ausgeftLhrt  wurden.  Der 
V  rwurf  etwaiger  Versehen  muss  daher  mich  allein  treflFen. 

>traßburg  i  Klsass.  im  Januar  1897. 

Dr.  G.  F.  Lipps. 


Vorwort 


Vorliegondes  Werk  ist  schon  seit  vielen  Jahren  von  mir  angelegt, 
Material  dazu  gesammelt  und  in  der  Ausarbeitung  desselben  vor- 
gegangen, diese  aber  vielfach  durch  andere  Arbeiten  unterbrochen, 
längere  Zeit  ganz  beiseite  gelegt  und  somit  der  Abschluss  des  Werkes 
bisher  verzögert  worden.  Ihn  länger  zu  verzögern,  möchte  bei  meinem 
Alter  nicht  rätlich  sein,  wenn  das  Werk  überhaupt  erscheinen  soll; 
auch  glaube  ich  wohl,  dass  es  sich  nach  wiederholtem  Zurückkommen 
darauf  endlieh  getrauen  darf,  zu  erscheinen,  zwar  nicht  als  ein  voll- 
kommenes Werk,  aber  als  Unterlage  flir  einen  weiteren  Ausbau  der 
hier  behandelten  Lehre.  Bestimmter  spricht  sich  das  folgende  Ein- 
leitungskapitel über  die  Aufgabe  der  Lehre  aus;  und  so  mögen  hier 
nur  noch  folgende  allgemeine  Bemerkungen  darüber  Tlatz  finden. 

Mit  dem  neuen  Namen,  unter  dem  die  Lehre  hier  auftritt,  gebe 
ich  sie  doch  nicht  als  eine  ganz  neue  Lehre;  nur  dass  der  bisherige 
Stand  ihrer  Ent>vicklung  das  Bedürfnis  noch  nicht  nahe  legte,  sie 
überhaupt    unter    einem   besonderen   Namen    für    sich    aufzustellen. 
Überall  spezialisiert  sich  ja  die  Wissenschaft  im  Wege  ihrer  wachsen- 
den Entwicklung  und  verlangt  demgemäß  trennende  Bezeichnungen 
ihrer  verschiedenen  Gebiete.     Nun   dürfte   das  Allgemeinste,   Inter- 
essanteste, Verdienstlichste,  was  von  unserer  Lehre  bisher  vorlag,  in 
Qi'Etelet's    »Lettres   sur   la   theoric   des   probabilitest    (1846)   und 
seiner  »Physique  sociale«  (1869)  zu  finden  sein,  und  wenn  man  will, 
kann  man  in  ihm  ebenso  den  Vater  der  Kollektivmaßlehre,  wie  in 
^  H.  Weber  den   der  Psychophysik   sehen;    doch   wird   man   sich 
ans  dem  Verfolg  dieses  Werkes  Ubcracugeu  können,  wieviel  Anlas« 


V I  Vorwort. 

(Iticli  wjii',  uirlii  nur  wrKciitlirli  erweitornd,  »ondcm  auch  berichtigend 
Ulirr  ihn  hiHuiiH/u;4:('li(*ii. 

Iii  di(*Hrr  UivJrliiin^  iiiaohc  ich  von  einer  Seite  als  Hauptfrncht, 
Villi  iiiidiTor  iiIk  llaiiptwiirzol  der  p:aiizen  folgenden  Untersuchung 
dio  Hioh  ^'pMiHi'tts  koiitrolliorcnde  mathematische  Begründung  und 
oiiipiriHoho  liowUhrmig  einer  Verallgemeinerung  des  GAUSS'Schen 
<ioHeir.oH  AutliUiger  Ahwoiehunpon  geltend,  wodurch  die  Beschrän- 
kung dosselbou  auf  svmmetrisoho  Wahrscheinlichkeit  und  verhältniö- 
iiiHUigt'  Kleinheit  der  heiderseitigiMi  Abweichungen  vom  arithmetischen 
Miltol  gt^holuMi  wird,  und  bisher  unbekannte  gesetzliche  Beziehungen 
aurtrtiow»  deren  >\iehtigsle  man  §  55  zusjimmengestellt  findet.  In 
der  Thal  ist  in  dii^er  Yer;dlü>Mneiueruiur  der  sülsremeinste  Regulator 
aller  \«  der  KolloktiMuaBlehre  /.ur  Spniehe  kommenden  Verhältnisse 
oWwsi*  a^^^^lvn.  al*  im  einfache«  li. vi  ss**i*hen  Gx^etze  der  Regulator 
üllor  j*h\  sikaUs^'heu  und  asinnionüsche«  Genauigkoitsbestimmungen, 
,i\^i  ,5r.rrte  su*h  selbsi  noch  frai;^n\.  ob  nicht  {trinzipiell  auch  hier 
jiuf  o.ÄS  sllix^v.u^iv.on*  v%cscu   s\\  rokurrienru  warf,  worüber  man  die 

»  •  »  «■ 

lv.>».*:Vr/.    »v.i*   K.*V.o^u^v.":^S*o^rx*   auf  ciuer  VorMnduni:   von  Be- 

.■\3i:>,Txv,i    iv;.  5i;*;hv.v,'.vj:   iv.    ix*^^',*,so;iicx^r  IVsiohuiiC  honiht    darf 

xr;  v.'.!   ix  .l;v  ;\.VK:;r.  ',  v  ?.:\*::  n.\hv.e:*      l^^.s'  Ixr.rfn.  die  auf  eine 

N.i'.iv    >;M ,'■',■  rri.V:^    Vv.vv •':!;'>.   'r.Ätvv-     '.as?s;*v.    aV:    tSfrhacpt  einen 
'S*.'!.:  ii\'>»:).'.c;  ;•;:;  vrA.',  ,'.. T  >\*>..--?.s*::  i'rr.-  K;>i':Tj.:s'  5*     Obenan 
>r^:J':'i  V:«:i.ii.  V     Vv—.  .  ... .:;.    r'^x'Sv    ^v.,'  c''"*>s:     w*.:   ««!*;  wegen 

i';»*  S.i  ^  •;r';^s..-.  ■. :.    ■■■>,■•:}■;  ;.  ,'   \  .v.  \  VkAr-v  XV'.:  ^Jlr■3*':il;:ä:  ihrer 

Vit.  v,.i..v;    Mi!.*.. •.•!-.   ■'.■  ^  xi  ■  •,'^'v.-.  ...•    .■,VM.-*    I.-'.   .«•;  jr'^civ^Jien 

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Vorwort.  VII 

In  betrcflF  der  Fonn  und  Weite  so  mancher  Ausführungen  wird 
zu  berücksichtigen  sein,  dass  das  Werk  nicht  sowohl  für  Fach- 
mathematiker bestimmt  ist,  denen  die  hier  in  Rücksicht  kommenden 
fundamentalen  Punkte  schon  geläufig  sind,  als  für  solche,  denen  es 
um  Kenntnisnahme  und  Anwendung  der  Lehre  zu  thun  ist,  ohne 
dass  sie  schon  im  Besitz  solcher  Vorkenntnisse  sind. 

Hiemächst  möchte  ich  zur  Forderung  unserer  Lehre  noch  einen 
Wunsch  an  Rechner  vom  Fach  richten.  In  den  bekannten  Tabellen, 
welche  das  GAUSs'sche  Wahrscheinlichkeitsintegral  der  zufälligen 
Abweichungen  vom  Mittel  (Beobachtungsfehler)  gewöhnlich  als 


F^/ 


e-"dt 


V 


ausgedrückt  darstellen,  ist  das  Argument  t  bloß  bis  auf  zwei  Dezi- 
malen ausgeführt,  was  für  den  beschränkten  Gebrauch,  den  Physiker 
und  Astronomen  davon  zu  machen  haben,  unter  Zuziehung  einer 
Interpolation  mit  ersten  und  zweiten  Differenzen  ausreicht;  aber  für 
den  weit  ausgedehnteren  Gebrauch,  der  in  der  Kollektivmaßlchre 
davon  zu  machen  ist,  auf  dasselbe  herauskommt,  als  w^enn  man  für 
die  vielen  Rechnungen,  die  mittelst  Logarithmen  zu  führen  sind,  das 
Zahlenargument,  wozu  die  Logarithmen  gehören,  bloß  auf  zwei  oder 
drei  Ziffern  reduzieren  und  Zwischenbestimmungen  nur  der  Inter- 
polation anheimgeben  wollte.  Also  wäre  erwünscht,  wenn  im  Inter- 
esse unserer  Lehre,  was  übrigens  von  der  psycliophysisclien  Methode 
der  richtigen  und  falschen  Fälle  geteilt  wird,  Tabellen  vorlägen, 
worin  t  mindestens  auf  vier  Dezimalen  ausgeführt  ist'),  um  Inter- 
polationen teils  zu  ersparen,  teils  zu  erleichtern,  und  jedenfalls  habe 
ich  selbst  solche  Tabellen  bei  Ausführung  dieser  Arbeit  schmerz- 
lich vermisst.    Natürlich  würde  die  Ausdehnung  der  Tabellen  damit 


I)  [Eine  Ausführung  dieser  Tabelle  auf  drei  Dezimalen  von  /,  mit  Be- 
schränkung des  Intcgralwertes  auf  vier  resp.  fünf  Dezimalen,  findet  man  im 
Anliang  §  183.1 


•  rr:  Virv-.n 


dAEßit  z«  w^tss^^,     l.'n*:  «•.Ihr  e»  de&s  keü  ijtr>ii«>m]äclie8   oder 
t^rfite*fD   haL   ila.^   M*:h  ilrr  .SarlM:  AUiäiuttc'     Ateh  ließe  $ieb  wohl 


Inhaltsangabe. 


Erster  Teil. 

Vorläufige  DarlegtLngen. 

äoitu 

I.    Einleitung.     §  i,  2 3—    6 

II.    Vorläufige  Übereicht  der  wescutlichst^n  Punkte,  welche  bei   der 
Untersuchung  eines  Kollektivgegenstandes   in  Hctraclit  kommen, 

und  darauf  bezügliche  Bezeichnungen.     §  3 — 11 7 —  26 

III.  Vorläufige  Übersicht  des  Untersuchungsmatcrials  und  allgemeinere 
Bemerkungen  dazu.    §  12 27—  30 

IV.  liequisiten;  Abnormitäten.     §  13—23 31 —  54 

V.    Qauss'sches  Gesetz  der  zufälligen  Abweiclnuigen    Beobaclitungs- 

fehler   und  dessen  Verallgemeinerungen.     §  24 — 37 55 —  83 

VI.    (/harakteristik  der  Kollektiv  gegenstände  durcli  ihre  Bestimmungs- 

stQckc  oder  sog.  Elemente.    §38—46 84—  98 


Die  rechnerische  Behandlung  der  Kollektivgegenstände. 

VII.    Primäre  Verteilungstafclu.    §  47 — 52 99-110 

VIII.    Reduzierte  Verteilungstafeln.     §  53 — 67 in— 140 

IX.    Bestimmung  von  la,  l^a,,  Sa\  m, ,  m\  If-J,,  Ih'.    §  68—75   •  141— '59 
X.    Zusammenstellung    und    Zusammenhang    der   Hauptcigenschnften 

der  drei  Hauptwerte  A,  C,  D\  fenier  R,  T,  F.    §  76—86    .    .   160-  181 
XI.    Der  dichteste  Wert  D.    §  87—92 1 82- 194 


Die  Asymmetrie  der  Kollektiygegenstände. 

XII.  Gründe  dafür,  dass  wesentliche  Asymmetrie  der  Abweichungen 
bezüglich  des  arithmetischen  Mittels  und  Gültigkeit  des  asym- 
metrischen Verteilungsgesetzes  bezüglich  des  dichtesten  Wertes  JJ 
im   Sinne    des    verallgemeinerten    Gauss'schen    Gesetzes     Kap.  V. 

der  allgemeine  Fall  sei.     tj  93 — 95 195  —  202 

XIll.    Mathematische  Verhältnisse  der  Verbindung  von  wesentlicher  und 

unwesentlicher  Asramctrie.     §  96      203—  205 


X  luhaltsaugabe. 

Sdt« 
XIV.   Formeln   für  den   mittleren  und  wahrscheinlichen  Wert  des 

Yon  rein  zufälliger  Asymmetrie  abhängigen  Unterschiedes  u . 

§  97 — loi 206 — 214 

XV.   Wahrscheinlichkeitsbestimmungen  für  den  von  rein  zuf&Uiger 

Asymmetrie   abhängigen  Unterschied  u  beim  Ausgange  vom 

wahren  Mittel.    §  102 — iii .  215 — 247 

XVI.   Wahrscheinlichkeitsbestimmungen  für  den  yon  rein  zufälliger 

Asymmetrie  abhängigen  Unterschied   v   beim   Ausgange   yom 

falschen  Mittel.    §  112 — 117 248 — 270 

Die  Verteilungsgesetse  der  Kollektivgegenstände  naoh 

arithmetisohem  Prinzip. 

XVII.   Das  einfache  und  das  zweiseitige  Gauss Whc  Gesetz.    §  118 

bis  122 271-282 

XVIII.    Das   Siunmengcsetz   und    das   Supplementaryerfahren.     §  123 

bis  128 283 — 293 

XIX.   Die  Asymmetriegesetzc.    §  129 — 136 294 — 320 

XX.   Die  Extremgesctzc.    §  137 — 142 321 — 338 

Das  logarithmiBohe  Vertellungsgesets. 

XXI.   Die  logarithmische  Behandlung  der  KoUektiygegenstaudc.  §  143 

bis  146 339—35» 

XXII.    KoUcktiyc  Behandlung  yon  Verhältnissen  zwischen  Dimensionen. 

Mittlere  Verhältnisse.    §147—151 352—364 

Anhangskapitel. 

XXIII.   Abhängigkeitsverhältnisse.     §  152—155 365—375 


Zweiter  Teil. 

Speoielle  UnterBuchungen. 

XXIV.    über  den  räumlichen  und  zeitlichen  Zusammenhang  der  Varia- 
tionen der  Rekrutengröße.    §  156 — 163 379—402 

XXV.    Gliederung  und  Asymmetrie  des  Roggens.    §  164 — 169    .    .    .  403 — 417 

XXVI.    Die  Dimensionen  der  Gallcricgemälde.    §  170—175 418—435 

XXVII.    Kollcktivgcgenstände    aus     dem    Gebiete    der    Meteorologie. 

§  176—179 436—455 

XXVIII.    Die  Aß\Tnmctric  der  Fehlcrreihen.    §  180 — 182 456 — 466 

Anhang.     Die  ^-Tabelle.    §183 467—476 

Register 477—481 

Verzeichnis  der  Tabellen 482 — 483 


Erster  Teil. 


Allgemeine  XJntersucli'angen. 


KoHakÜTiiiaQIehre.  1 

\ 


I.  Einleitung. 

§  I.  Unter  einem  Kollektivgegenstande  (kurz  K.-G.)  verstehe  ich 
einen  Gegenstand,  der  aus  unbestimmt  vielen,  nach  Zufall  variierenden, 
Exemplaren  besteht,  die  durch  einen  Art-  oder  Gattungsbegriff  zu- 
sammengehalten werden. 

So  bildet  der  Mensch  einen  Kollektivgegenstand  im  weiteren  Sinne, 
der  Measch  von  bestimmtem  Geschlechte,  bestimmtem  Alter  und  be- 
stimmter Rasse  einen  solchen  im  engeren  Sinne,  wie  überhaupt  das, 
was  man  den  Umfang  eines  K.-G.  nennen  kann,  sich  nach  der  Aus- 
delmung  des  Gattungs-  oder  Artbegriffs,   unter  den  er  tritt,  ändert. 

Die  Exemplare  eines  K.-G.  können  räumlich  oder  zeitlich  ver- 
schieden sein  und  hiemach  einen  räumlichen  oder  zeitlichen  K.-G. 
1)ilden.  So  können  die  Rekruten  eines  Landes  oder  Ähren  eines 
Kornfeldes  als  Exemplare  eines  räumlichen  K.-G.  gelten.  So  giebt 
die  (mittlere)  Temperatur  des  i.  Januar,  an  einem  gegebenen  Orte 
durch  eine  Anzahl  von  Jahren  verfolgt,  ebenso  viele  Exemplare  eines 
zeitlichen  K.-G.  Statt  des  i.  Januar  kann  man  jeden  anderen  Jahres- 
tag, statt  eines  bestimmten  Tages  einen  bestimmten  Monat,  statt  der 
Temperatur  den  Barometerstand  setzen  u.  s.  w.  und  wird  damit 
Exemplare  eben  so  vieler  zeitlicher  K.-G.  erhalten. 

Anthropologie,  Zoologie,  Botanik  haben  es  überhaupt 
wesentlich  mit  K.-G.  zu  thun,  da  es  sich  darin  nicht  um  eine  Charak- 
teristik einzelner  Exemplare,  sondern  nur  um  das  handeln  kann,  was 
einer  Gesamtheit  derselben  zukommt,  die  aus  dem  oder  jenem  Ge- 
sichtspunkte als  Gattung  oder  Art  in  größerer  oder  geringerer  Weite 
zusammengefasst  wird.  Die  Meteorologie  bietet  nach  eben  ange- 
führten Beispielen  in  ihren  nicht  periodischen  WitterungsiDhänomenen 

1* 


zalihvifhe  Beispiele  davon  dar;  und  selbst  in  der  Artistik  lü,sst  sich 
von  solchen  sprechen,  sofern  Bücher,  Visitenkarten  darunter  gehören. 

Die  Exemplare  eines  K.-G.  nun  sind  einerseits  qualitativ,  anderer- 
seits quantitativ,  d.  i.  nach  Maß  und  Zahl,  bestimmt,  und  nur  um 
letztere  Bestimmtlieit  handelt  es  sich  in  der  KoUektivmaßlehre.  Ein 
K.-G.  macht  in  der  That  hinsichtlich  seiner  quantitativen  Bestimmt- 
heit dieselben  Ansprüche  als  ein  einzelner  Gegenstand;  nur  dass  in 
gewisser  (freilich  nur  gewisser)  Hinsicht  die  Teile  des  einzelnen  Gegen- 
standes dui'cli  die  Exemplare  des  K.-G.  vertreten  werden.  Gelte  es 
2.  B.  Reki-ut*n  eines  gegebenen  Landes,  so  fragt  es  sich:  wie  groß 
sind  die  Rekruten  im  Mittel,  wie  stark  schwanken  die  einzelnen  Maße 
um  ihr  Mittel,  wie  groß  sind  die  größten  und  kleinsten,  wie  ver- 
halten sich  die  Rekrutenmaße  nach  diesen  Bestinunungea  in  den 
einzelnen  Jahrgängen,  wie  in  verschiedenen  Ländern  unter  einajider. 
Solche  und  damit  zusammenhängende,  später  zu  betrachtende  Fragen 
lassen  sich  bei  jedem  K.-G.  aufwerfen;  und  sofern  ein  räumlicher 
Gegenständ  verschiedene  zu  unterscheidende  Teile  und  Dimensionen 
hat,  lassen  sie  sich  auf  Jeden  dieser  Teile  und  Dimensionen  Ite- 
sonders  aufwerfen,  und  diese  sich  insofern  als  besondere  K.-G.  be^ 
handeln,  so  Schädel,  Gehirn.  Hände,  Füße  eines  Menschen,  Höhe, 
Gewiclit,  Volumen  des  ganzen  Menschen  oder  gegeliener  Teile  des 
Menschen;  aber  auch  quantitative  Verhältnisse  werden  in  Frage 
kommen,  wie  denn  bei  Vergleicbuug  der  Menschen  verschiedener 
Rassen  die  Verhältnisse  der  mittleren  Höhe,  Breite,  Länge  des 
Schädels  ein  besonderes  Interesse  in  Anspruch  nehmen. 

§  2.  über  alle  diese  Ejnzelfrjigen  aber  erhebt  sich  eine  allge- 
meinere, die  wichtigste,  uro  die  es  sich  überhaupt  in  dieser  Lehre 
handeln  kann  und  demgemäß  im  Folgenden  handeln  wu-d,  die  Frage 
nach  dem  Gesetze,  wie  sich  die  Exemplare  eines  K.-G.  nach  Maß 
und  Zald  verteilen.  Unter  dem  Ausdrucke  Vorteilung  aber  ist  die 
Bestimmung  zu  verstehen,  wie  sich  die  Zalil  der  Exemplare  eines 
gegebenen  K.-G.  mit  ihrer  Größe  ändert.  Bei  jedem,  in  einer  größeren 
Zahl  von  Exenq)laren  vorhandenen  K.-G.  kommen  die  kleinsten  und 
größten  Exemplare,  fcui:;  Extreme,  am  seltensten  vor.  am  häutigsten 
solche  von  einer  gewissen  mittleren  Größe.     Aber  giebt  es  nicht  ein 


^^^H  Einleituiif;.  g 

^^V  Allgfiueiuf !s,  auf  alle  uder  weiiigsUris  dio  meisten  K.-ti.  iiiiwfndiiari's 

I  Gesetz    der  Abhängigkeit  der  Zald   von   der  Größe  der  Exemplare? 

In  der  Tliat  wird  sieh  ein  solches  aufstellen  lassen,  und  eine  Haupte 

»aufgäbe  lIpm  Folgende»  auf  seine  FesLstelUmg  gehen. 
Von  vornherein  freilich  kann  man  bezweifeln,  dasa  bei  der  außer- 
ordentlichen Verschiedenheit  der  K.-G.  gesetzliche  Verteilungsver- 
baltnisse  in  einer  gewissen  Allgemeinheit  dafür  überhaupt  zu  tiudeu 
sind.  Inzwischen,  da  nach  dem  Begriffe  der  K.-G.  ein  solcher  aus 
nach  Zufall  variierenden  Exemplaren  besteht,  finden  jedenfalls 
anch  die  allgemeinen  Wahrscheinhchkeitsgesetze  des  Zufalk  -—  und 
jeder  Mathematiker  weiß,  dass  es  solche  giebt  —  darauf  Anwendung. 
In  der  That  werden  die  Verteilungsverhältnis.se  der  K.-G.  allgemein 
von  solchen  beherrscht,  indes  dieselben  Wahrscheinlichkeitsgesetze 
bei  physikalischen  und  astronomischen  MaBbestimmungen  nur  neben- 
Nächlich  für  die  Sicherheitsbestiinniung  der  erlangten  Mittehnaße  in 
Betracht  kommen,  hiermit  hier  eine  ganz  andere  und  viel  unwesent- 

I liebere  Rolle  spielen  als  in  der  MaBlehre  der  K.-G.  Insofern  aber  der 
Zufall  unter  bestimmten,  für  die  vei-schiedenen  K.-G.  verschiedenen, 
iLuBeren  und  inneren  Bedingungen  spielt,  lassen  sich,  durch  alle  Zufällig- 
keiten durch,  die  verschiedenen  K.-G.  diu-ch  charaktenstische,  aus  ihren 
"Verteilungsverhältniasen  ableitbare  Konstanten  unterscheiden.  Diese 
sind  es,  worin  die  Bestimmtheit  derselben  gegen  einander  iniht;  und 
diese  gilt  es  mit  Berücksichtigung  der  allgemeinen  Wabr.'^cheinlich- 
keitsgesetze  aufzusuchen.  Nun  hat  man  schon  von  jeher  in  dieser 
"Hinsicht  den  arithmetischen  Mittelwert  der  Exemplare  ins  Auge  ge- 
fasst  und  Fleiß  auf  seine  Bestimmung  bei  den  verschiedenen  K.-G. 
gewandt,  daneben  auch  wohl  noch  die  Exti-eme,  seltener  die  mittlere 
Abweichung  vom  Mittel  berücksichtigt.  Aber  so  wichtig  diese  Be- 
StinuuungHstucke  sind  und  immer  bleiben  werden,  sind  sie  doch  bisher 
zu  eJneeitig  bei-ücksicbtigt  wonlen,  indes  andere,  prinzipiell  nicht 
minder  wichtige,  dabei  außer  Acht  fallen. 

Insofern  nun  die  Behandlung  der  K.-G.  nach  der  Gesamtlieit 
der  vorigen  Beziehungen  überhaupt  anderen  Gesichtspunkten  unter- 
liegt und  andere  Bestimmungsweisen  mitfuhrt,  als  bei  physikahschen 
und   astronouüschen  Maßnahmen    in  Bücksicht   kommen,    kann    ilie 


0  EinldtuDfi. 

Maßlelu-e  der  K.-(t.,  oder  sagen  wir  kiu'z  KolIcktiviiuiÜlelire, 
als  eine  Lelire  ihrer  Art  besonders  aufgestellt  iind  behandelt  werden, 
und  wird  dies  folgcnds  zur  Aufgal».'  gemüdit  werden. 

Da  in  unseren  Begiiff  der  K.-G.  der  Begriff  einer  zufälligen 
Variation  iler  Exemplare  eingeht,  kann  maji  vorweg  eine  Definition 
des  Zufalls  und  Erklärung  über  sein  Wesen  wünschen.  Der  Versuch, 
eine  solche  aus  pliilosopbischein  Gesichtspunkte  ku  geben,  wurde  aber 
für  die  folgende  Untersuchung  wenig  fruchten.  Es  niuss  hier  genügen, 
den,  fiir  das  Folgende  zu  Grunde  gelegten,  faktischen  Gesichts- 
punkt von  mehr  negativem  als  positivem  Charakter  dafür  anzugeben. 
Unter  einer  zufälligen  Variation  der  Exemplare  verstehe  ich  eine 
solche,  welche  ebenso  unabhängig  von  einer  auf  die  Größenbestim- 
mung gehenden  Willkür,  als  von  einer  die  Größenverhiiltnisse 
dazwischen  regelnden  Naturgesotzlichkeit  ist.  Mag  die  eine  oder 
andere  an  den  Bestimniiingen  der  Gegenstände  Anteil  haben,  so  sind 
doch  zufällig  nur  (be  davon  unabliangigen  Veränderungen.  Daher 
kann  durch  kein  Zufallsgesetz  bestimmt  werden,  wie  groß  dieses  oder 
jenes  einzelne  Exemplar  ist,  obwohl,  in  welchen  Größengrenzen 
sich  eine  gegebene  Zahl  derselben  mit  diesem  oder  jenem  Grade  der 
Wahrscheinlichkeit  halten  wird. 

Damit  wird  nicht  geleugnet,  dass  es  aus  allgemeinstem  Ge- 
sichtspunkte keinen  Zufall  giebt,  indem  durch  die  bestehenden  Natur- 
gesetze unter  den  bestehenden  Bedingungen  (be  Größe  jedes  einzelnen 
Exemplares  mit  Notwendigkeit  als  bestimmt  angesehen  werden  kann. 
Aber  ivir  sprechen  so  lange  von  ZufaU,  als  idr  zu  einer  Ableitung 
der  Einzelbestimaiungen  aus  solchen  allgemeinen  Gesetzlichkeiten 
weder  aufzusteigen,  noch  aiis  den  vorbegenden  Thatsachen  dai-auf  zu 
schließen  im  stände  sind.  Insoweit  es  der  Fall  ist,  hört  der  Zufall 
auf,  und  hört  die  Anwendbarkeit  der  hier  vorzuführenden  Gesetze 
auf  oder  wird  dadurch  gestört. 


n.    Vorläufige  Übersicht  der  wesentlichsten  Punkte, 

welche  bei  der  Untersuchung  eines  K.-G.  in  Betracht 

kommen,  und  darauf  bezügliche  Bezeichnungen. 


§  3.  Die  folgende  Zusanmienst^'ilung  wird  (üfnen  können,  die 
Ausdehnung  und  den  Cliarakter  der  Untersuclmngen ,  init  denen  wir 
uns  fulgends  zu  bescliäftigen  haben,  liestimniter  übersehen  zu  lasnen, 
und  sieh  über  die  meisten  der  zu  brauchenden  Bezeii;hnungen  voi-weg 
im  Zusaninienliange  zu  orientieren;  eine  eingehendere  Besprechung 
dieser  Punkt«  aber  bleibt  den  folgenden  Kapiteln  vorbehalten. 

Bei  der  zufälligen  Ordnung,  in  welcher  sich  die  Exemjilare  eines 
K.-G.  darzubieten  pHegen,  wiii-de  sich  weder  eine  Übersicht  über  die 
Verhältnisse  derselben  nach  Maß  und  Zahl  gewinnen  lassen,  noch 
eine  methodische  Bearbeitung  derselben  möglich  sein,  wenn  man  ihre, 
allgemein  mit  a  zu  bezeichnenden  MaUe  in  derselben  zutdlligen  Ord- 
nung, in  der  man  sie  erhalten  und  in  einer  sog.  Urliste  verzeichnet 
bat,  belassen  wollt«;  also  sind  sie  vor  allem  ilu-er  Größe  nach  ku 
urdnen  und  so  geordnet  in  einer  Tabelle,  sog,  Verteilungstatel, 
aufzufülu'en.  Hat  man  nun  keine  große  Zahl  von  Exemplaren  eines 
Giegenstandes  vorhegen,  so  wird  jedes  a  oder  werden  doch  die  meisten 
a  nur  einmal  in  der  Tafel  erscheinen,  und  werden  die  Größen- 
distanzen zwisclien  den  aufeinanderfolgenden  n  sehr  unregelmäßig 
wechseln ;  bei  rielzaldigen  Gegenständen  aber,  d.  h.  von  welchen  viele 
Exemplare  vorhegen,  wie  sie  für  das  Folgende  hauptsächlich  voraus- 
zusetzen sind,  werden,  wenn  nicht  alle  doch  viele  oder  die  meisten  a, 
welche  der  Maßstab  und  the  Schätzung  hergiebt,  mehr  oder  weniger 
tift  wiederhiilt  vcirkommen,  und  dann  richtet  man  die  Verteilungatafel 
so  ein,  ilass  man  in  einer  Kolumne   der  «  jedes  a  zwaj'  nui"  einmal 


VorlSuGge  Übeiaieht  der  weaentlichiten  Funkte;  Becüohnunften. 

auffülirt,  aller  in  einer  beigegt'bi'neii  Kolumne  der  x  die  Zalil  a.  angiebtfl 
wie  oft  es  vorkonunt.     Die  Gesamtzahl  der  a,   welche   in 
teilungstafel  eingehe»,  stimmt  natürlich  mit  der  Summe  ^x,   welche 
man   durch  Zusammenzälilen   aller  x  der  Tafel  entliiilt,  überein    und 
wird  von  mir  mit  m  bezeiehnet. 

Die  Aufstellung  einer  solchen  Tafel  ist  so  zu  sa^^en  der  erste 
Schritt,  den  man  bei  Bearbeitung  eines  vielzaliligen  K,-G.  von  der 
Urliste  aus  zu  thun  liat. 

Ein  zweiter  Schiitt  ist  dieser:  dass  man  den,  mit  A  zu  bezeich- 
nenden, ai-ithmeti  sehen  Mittelwert  der  Ein/elniaBe  und  die  positiven 
und  negativen  Abweichungen  davon  bestimmt,  deren  Zahl  x  natüilich 
mit  der  der  abweichenden  a  übereinstimmt. 

Hierzu  aber  können  als  Ausgangspimkt  der  Abweichungen  statt 
A  auch  manche  andere  Werte,  welche  mit  mathematisclier  Bestimmt- 
heit aus  der  Verteilungstafel  ableitbar  sind,  dienen;  und  durch  jede 
andere  Wahl  in  dieser  Hinsicht  kommen  neue  Beziehungen  zum  Vor- 
schein, von  denen  später  zu  siireehen  sein  wird.  Allgemein  nun 
nenne  ich  Werte,  die  zur  Entwickelung  solcher  Beziehungen  als 
AusgangBwert«  der  Abweichungen  gebraucht  werden,  Hauptwerte 
und  bezeichne  sie  mit  77,  wovon  also  A  nur  ein  besonderer  Fall  ist, 
auf  dessen  Berücksichtigung  man  sich  bisher  in  der  Behandlung  von 
K.-G.  allein  beschränkt  hat,  was  aber  eine  willkürliche  Einschränkui 
der  KoUektivmaßiehre  mitführt,  wie  leicht  aus  später  folgenden  1 
merfcungen  hervorgehen  wn'rd.  Allgemein  nenne  ich  Ahweichungei 
von  welchem  Hauptwerte  sie  auch  abhängig  gemacht  werden  mögt 
Kollektivabweichungen. 

§  4.  Leicht  nun  überzeugt  man  sich  von  folgendem  Umstand« 
Ein  je  gi'öBeres  m  in  die  Verteilungstafel  eines  K.-G.  eingeht, 
80  regelmäßiger  wird  der  Gang  der  zu  ilen  a  zugehörigen  x,  und  i 
so  bestimmter  stellen  sich  die  Gesetzlichkeiten  heraus,  von  denen  1 
zu  sprechen  haben  werden.  Der  ideale  Fall  wäre  der,  dass  man  ( 
unendliches  fn  hatte,  wo  man  einen  ganz  regelmäßigen  Gfang  dsl 
X  und  eine  ganz  genaue  Erfüllung  der  betreffenden  Gesetzlichkeita 
zu  erwM^en  haben  würde,  wonach  man  auch  ideale  Verhältcisse  1 
Gesetxhchkeiten,    wie   sie    eine    ideale    Tafel    hergeben   würde, 


■  Vorttnfige  Übersicht  der  wcscntBchrten  Punkte;  Beicichnunpcn.  Jl 

tjmpiriscUe,  welche  in  mehr  oder  weniger  großen  Anniilieruiigeii  ilai'aii 
bestetten,  zu  unterscheiden  hat. 

Alle  Wahrscheinlichkcitsgi^si'tze  dva  Zufalls  iilicrliiuijit,  und  die 
Verteilungsgesetze  der  K.-G.  sind  solche,  haben  das  gemein,  daas 
ihre  Befolgung  um  so  sicherer  zu  erwarten  ist,  auf  eine  je  größere 
Zahl  von  Fällen  sie  sich  beziehen,  eine  sozasagen  ideale  Gültigkeit 
aber  nur  für  den  Fall  einer  unendlichen  Zahl  von  Fällen  besitzen, 
was  nicht  auaschlielit,  das»  schon  bei  einer  empirisch  wohl  zu  hti- 
schftffenden  Zahl  von  Fallen  die  Bestätigung  der  beti-effenden  Gesetze 
in  großer  AnnKlierung  stattfindet.  Insofern  man  nun  jedenfalls  in 
Wirklichkeit  nur  mit  K.-G.  aus  einer  endlichen  Zahl  von  Exem- 
pliu-en  zu  thun  hat,  welche  ebenso  viele  Fälle  repräsentieren,  bezeichne 
ich  die  Abweichungen,  welche  wegen  Endlichkeit  der  Zahl  der  Exem- 
plare von  den  ideal  gesetzlichen  Beatimmungen  stattfinden,  als  un- 
wesentliche, und,  insofern  sie  gleichgiltig  nach  der  einen  und 
linderen  Seite  gehen,  als  durch  unausgeglichene  Zufälligkeiten 
henorgenifen,  indes  ich  die,  für  die  Voraussetzung  emer  unendhcheu 
Zahl  von  Fällen,  unseren  Falles  von  Etemplaien,  geltenden  Bestim- 
mungen als  wesentliche  oder  normale  bezeitline  Das  allgemeine 
Herkmal  der  Unwesentlichkeit  einer  Bestmimung  besteht  darin,  dasa 
sie  um  so  mehr  verschwindet,  je  mehr  man  die  Zahl  der  Fälle,  resp. 
Exemplare,  unter  Einltaltung  der  Bedingungen,  welche  den  Begriff 
des  K.-G.  bestimmen,  vergrößert,  so  dass  man  voraussetzen  kann, 
sie  würde  bei  unendlicher  Zahl  der  Fälle  ganz  wegfaUen;  wonach 
für  Untersuchung  der  Gesetze  in  unserem  Falle  überhaupt  nur  viel- 
zaklige  Gegenstände  geeignet  sind. 

Selbst  bei  kleinem  m  aber  beweist  sieh  die  ünwesentlichkeit 
einer  Bestimmung  dadurch,  dass  bei  Wiederholung  der  Bestimnumg 
mit  demselben  kleijien  ni  aus  immer  neuen  Exemplaren  des.selben 
Gegenstandes  Größe  und  Richtung  der  Bestimmung  unbestimmt 
wechselt,  wogegen  bei  Wesentlichkeit  derselben  sich  im  Mittel  einer 
Mehrheit  von  Wiederholungen  ein  bestimmtes  Größenresultat  und 
eine  bestimmte  Bichtung  desselben  um  so  fester  herausstellt,  je  größer 

^^    die  Zahl  d^  Wiederholungen  und  das  m  jeder  einzelnen  ist. 

^^  Wir  sprechen  von  einer  symmetrischen  Verteilung  der  Wert* 


10 


VorlSnfige  Überucbt  der  wegen tlichelen  Funkte;  Beteiehniiugen. 


bezüglich  eines  gegebenen  Hauptwertes  H,  wenn  jeder  Abweichung 
eines  a  ins  Positive  von  H  die  gleicb  große  negative  Abweichung 
eines  anderen  a  von  H  entspricht,  so  dass  gleich  stark  nach  beiden 
Seiten  von  H  abweichenden  a  gleicb  große  x  zugehören.  Bei  einem 
K.-(t.  aus  einer  endlichen  Zald  von  Exemplaren  kann  man  wegen 
der  nicht  ausgeglichenen  Zufälligkeiten  überhaupt  nicht  erwarten, 
bezüglich  irgend  eines  Hauptwertes  eine  vollständig  symmetrische 
Vei-teilung  zu  finden,  und  selbstverständbch  kann  eine  sj-mmetrische 
Verteilung  nicht  bezüglich  mehrerer  Hanptwerte  zugleich  bestehen; 
es  ist  aber  ein  wichtiger  Gegenstajid  der  Untersuchung,  oh  sich  nicht 
ein  Hauptwert  finden  läßt,  bezüglich  dessen  sich  die  Verteilung  um 
Bo  mehi'  der  symmetrischen  nähert,  je  mehr  man  das  m  des  K.-G. 
vergrößert,  in  der  Art,  dass  man  bei  unendlichem  rn  eine  wirklich 
eyinmetrische  Verteilung  als  en-eicht  voraussetzen  könnte,  in  welchem 
Falle  man,  da  ein  unendliches  m  nicht  zu  haben  ist,  doch  von  einer 
symmetrischen  Wahrscheinlichkeit  der  Abweichungen  spi-echen 
kann. 

§  5.  Aber  nw^h  aus  einem  anderen  als  dem  vorigen  Gesichts- 
punkte kann  man  eine  ideale  Verteilungstafel  von  einer  empirischen 
und  davon  ahhäugige  ideale  und  empirische  Resultate  unterscheiden. 
Bei  den  Messungen  der  Exemplare  kann  man  nicht  Über  gewisse 
Grenzen  der  Genauigkeit  liinausgehen,  wie  sie  die  Einteilung  des 
Maßstabes  und  die  ächiitzung  dazwischen  hergiebt.  Man  kann  z.  B. 
noch  AEIIimeter,  noch  Zehnte hnillimeter,  noch  Hnndei-telmillimeter 
aber  nicht  darüber  hinaus  unterscheiden.  Für  den,  der  nur  Milli- 
meter unterscheidet,  fließen  alle  Einzelmaße,  die  sich  in  den  Gi-enzen 
eines  Millimeters  halten,  ununterscheidbar  zusammen,  und  so  bezieht 
er  die  ganzen  x  Exemplai-e.  die  eigentlich  auf  ein  ganzes  Inten-all 
von  I  mm  verteilt  sind,  auf  einen  einzigen  Wert  a,  welcher  die  Mitte 
dieses  Intenalls  bildet.  Sei  allgemein  i  der  noch  erkennbare  Uutr'r- 
schied  der  Maße,  so  gehört  das  z  jedes  a  der  empirischen  Tafel 
eigentlich  dem  ganzen  Intervall  von  der  Größe  *  zwischen  a  ~  {f 
und  a  +  ^i  an,  wogegen  es  sich  nach  der  empirischen  Tafel  so  aus- 
ninmit  und  bei  Vei-wertung  derselben  zumeist  so  gefaßt  wird,  als 
wenn  das  darein  fallende  MaB  a  selbst  x.  mal  vorkäme.    Bei  idealer. 


Vorläufige  Cberatoht  der  wcBcntlicIiBlcn  Funkte;  Bciciohnimgen. 

d.  h,  bis  zur  Orenze  der  Geiiauigkfit  gehender  Messung  und  Schätzung 
aber  würde  t  auf  einen  unendlich  kleinen  Wert  herabkommen'),  die 
onterschiedenen  a  der  Tafel  sich  hiermit  vermehren,  ihre  ~  aber  sich 
ent^rechend  verkleinern;  hiermit  die  ideale  Tafel  von  der  empirischen 
abweichen. 

Wo  nun  das  empirische  i  sehr  klein  ist,  unterscheiden  sich  die 
Resultate  der  empirischen  Tafel,  soweit  sie  (he  Größe  und  Verhält^ 
niase  der  daraus  ableitbaren  Hauptwerte  und  Hauptabweiclmngs- 
wei-te  betreffen,  nicht  erheblich  von  denen  der  idealen;  doi:h  bleibt 
der  Unterschied  allgemein  gesprochen  zu  berücksichtigen  und  wird 
später  diese  Berücksichtigung  da  linden,  wo  er  in  erheblichen  Be- 
tracht kommt.  Empirische  Bestimmungen  und  Verhältnisse,  in  denen 
er  nicht  erforderlich  berücksichtigt  ist,  sondern  es  so  angesehen  vrinl, 
üls  wenn  wirklich  das  x  jedes  n  diesem  a  ganz  zukäme,  nenne  ich 
rohe,  solche,  wo  er  thunlichst  berücksichtigt  ist,  scharfe. 

§  6.  In  jedem  Falle  nun  muss  man  von  den  Resultaten  der 
empirischen  Tafel  üu  den  idealen  der  idealen  Tafel,  lüermit  von  un- 
wesentlichen 7.Ü  wesentlichen,  von  rohen  zu  scharfen  aufzusteigen 
suchen,  wozu  eine  demgemäße  Bearbeitung  der  Verteilungstafeln 
gehört. 

In  dieser  Hinsicht  ist  ein    Unterschied   zwischen  piimären  und 

redozierten  Tafeln  zu  machen.    Unter  primären  Tafehi  vei-stehe  ich 

solche,  wie  sie  unmittelbar  durch  Ordnung  der  Maße  aus  der  Urliste 

erhalten   werden    und   hiermit   dieselben    Erfabrungsdata    wie  diese, 

nur  eben  geordnet,  darbieten.    Reduzierte  Tafeln  heiße  ich  stdche, 

I  in  denen  die  x  für  giößere  MaBintervalle,  als  in  den  primären  Tafeln 

I  unterschieden  sind,  und  zwar  für  gleich  große  durch  die  ganze  Tafel 

'  zusammengefasst  werden,  die  «  dieser  größeren  Intervalle  aber  den 

Mitten  derselben,  als  reduzierten  a,  beigescbrieben  werden,  mit  dem 

Vorteile,  dadurch  einen  rogelmäßigeren  Gang  der  x  in  der  Tafel  und 


tj  Em  UDcndlJch  kleiner  Wert,  hier  im  Sinne  der  liitinitcsimBlrcchDiitift  ver- 
«laadeii,  iit  doch  nicht  mit  Null  xu  vcrwechiicia,  BUiideru,  obnohl  unter  jede 
utfQhrbare  Größe  herabgehend  uud  Heiner  abaoluten  Größe  nauli  unbcBtiminbiir. 
docli  rcchuunf[B weise  noch  nach  seinen  Verhältnissen  i\t  undcrcn  mieudlich  klciiicii 
Werten  bctitimmbar. 


12  Vorläufige  übersioht  der  TresentUehslen  Punkte;  Bexetehnungen. 

eine  geeignetere  Unterlage  für  Rechnungen  zu  erhalten,  wenn  HchnT 
nicht  ohne  Konflikt  mit  einem  Nachteile  wegen  Vergrößening  des  i, 
worauf  später  zumckzukommen.  Eingehender  ist  überhaupt  von  der 
Auf stellungs weise  und  den  Verbültnissen  der  primären  und  reduzierten 
Tafeln  in  den  Kapiteln  Vü  und  VTTT  gehandelt,  wobei  die  Mög- 
lichkeit verschiedener  Reduktionsstuten  und  Reduktionslagen  nur 
Sprache  kommt. 

§  7.    In   jeder  nicht    nu    unregelmäßigen    priniüren    oder    durch 
Reduktion  regelmäßig  gemachten  Tafel  flndet  man  Folgendes. 

Die  kleinsten  x  finden  sieh  nacli  den  beiden  Grenzen  der  Tafel 
zu,  wonach,  wie  schon  früher  berührt,  die  kleinsten  und  größten  o 
am  seltensten  vorkommen,  die  größten  x  aber  im  allgemeinen  in 
einem  mittleren  Teile  der  Tafel.  Das  MaximaW  fällt  auf  ein  ge- 
wisses a  in  diesem  mittleren  Teile,  von  wo  nach  beiden  Seiten  die  z 
nach  den  Extremen  hin  kontinuierlich,  wenn  auch  bei  ungenügender 
Reduktion  hier  und  da  nocJi  durch  Unregelmäßigkeiten  unterbrochen, 
abnehmen.  Den  Wert  a  einer  nicht  zu  umegelmäßigen  primären  oder 
reduzierten  Verteil ungstafel,  auf  den  das  Maximal-j  fällt,  nenne  ich 
den  dichtesten  Wert  der  Tafel  oder  auch  empirisch  dichtesten 
Wert  des  Gegenstandes,  welcher  sich  freilich  nur  als  Ännähening 
an  den  ideal  dichtesten  Wert  betrachten  läsat,  den  man  bei  unend- 
lich großem  m  und  unendlich  kleinem  /  erhalten  würdi 
nicht  minder  vom  A  der  Tafel  gilt,  doch  schon  als  solche  Anna 
rung  besondere  Beachtung  verdient  und  die  Unterlage  zu  einer  ge- 
naueren Annäherung  durch  Rechnung  in  später  zu  betrachtender 
Weise  bietet.  Sei  er  empirisch  oder  ideal,  in  dieser  oder  jener  An- 
näherung gefasst,  bezeichne  ich  ilm  allgemein  mit  D. 

Man  könnt*  glauben,  dass  der  dichteste  Wert  wesentlich, 
aus  sehr  großem,  streng  genommen  unendlichem  m  und  bei  sehr 
kleinem,  streng  genommen  unendlich  kleinem  i,  bestimmt,  mit  dem 
arithmetischen  Mittel  zusammenfallen  würde,  und  in  der  That  weichen 
bei  der  Mehrzalil  der  K.-G.  beide  nacli  Bestimmung  aus  großem  m 
und  kleinem  i  wenig  genug  von  einander  ab,  dass  man  geneigt  sem 
kann  und  bisher  in  der  That  ilafür  gehalten  hat,  dass  die  noch  ilhrig^ 
Abweichung  bloß   eine  Sache  unausgeghchener  Zufälligkeit  sei. 


end-  ^^^ 
ttder 


1 


TorlAufige  OlierMcht  der  wescntlichBteii  Punkte;  Beieirhnungeu.  13 

I  wird  aber  eins  der  wiclitigsten  Resultate  der  fulgenden  Untersuchung 
I  sein,  dass  eint-  wesentliche  ÄLweiclmng  zwischen  arithmetischem  Mittel 
I  -und  dicktastem  Werte  vielmehr  der  allgemeine  Fall  ist,  der  Art,  ilass 
I  UrÖBe  und  Richtung  dieser  Abweichung  selbst  charakteristisch  für 
I  verschiedene  K.-G.  sind.  Insofern  nuu  auch  die  Abweichungen  be- 
lüglicb  beider  Werte  verschieJone  Verhältnisse  einhalten,  ist  der 
t  empirisch  dichteste  Werth  D  als  ein  vom  arithmetischen  Mittel  Ä 
derselben  Tafel  zu  unterscheidender,  wichtiger  Hauptwert  d.  i.  Aus- 
I  gangswert  von  Kollektivabweichungen  anzuerkennen. 

Zu  beiden   vorigen  Hauptwerten  Ä,   D  aber  tritt  noch   ein    von 
beiden  vorigen  zu   unterscheidender,    dritter,   den  ich   als  Zentral- 
wert  oder  "Wertraitte  mit  C  bezeichnen  werde,  d.  i.  der  Wert  von 
,  der  eben  so  viele  größere  a  über  sich  als  kleinere  unter  sich  hat 
nnd  in  dieser  Hinsicht  die  Reihe  der  a  mitten  durchteilt.     Auf  das- 
I  selbe  kommt  es  heraus,   wenn  man  sagt,  es  sei   der  Wert,   hczüglicli 
I  dessen    die  Zahl    der  positiven  Abweichungen    gleich    der  Zahl    der 
[■  negativen  ist.    Vom  aritlmietiaclien  Mittel  unteit^cheidet  er  sich  durch 
l-die  beiden  Bestimmungen,  dass,   während  bezüglich   A   die   Summe 
I  der  beiderseitigen  Abweichungen  gleich  ist,  hingegen  bezüglich  C  die 
|.  Ztthl  der  beiderseitigen  Abweichungen  gleich  ist,  und  dass,  wälirend 
\  bez.  A  die  Summe  der  Quadrate  der  Abweichungen  ein  Minimum, 
d.  i.  kleiner  als  bez.  irgend  eines  anderen  Ausgangswertes  ist,    hier- 
gegen bez.  C  (he  Summe  der  einfachen  Abweichungen  (die  negativen 
dabei  nach  absolutem  Werte  gerechnet)  in  demselben  Sinne   ein  Mi- 
inm   ist').     Mit  dem  Zutritte  dieses   tlritten  Hauptwertes   zu  den 
beiden  vorigen  eröffnen  sich  nun  abei-mals  neue  charakteristische  Be- 
ziehungen für  die  K.-Gr.,  von  welchen  zu  sprechen  sein  wird. 

Außer  den  genannten  drei  Hauptwerten  köimen  noch  andere, 
:  der  Verteilungstafel  mathematisch  ableitbare  als  Ausgongswerte 
I  von  Abweichungen  und  hiermit  als  Hauptwerte  dienen  und  teils 
|r  unabhängig    von    den    vorigen    betrachtet,    teils    mit    denselben    in 


1)  Diese,  frflher  nicht  bemerkte,  Eigcnscbaft  dea  ZentralwerteB  lialic  ich  in 
einer  besonderen  Ahhondlung  über  denselben  nachgewiesen  [Über  den  Ausgangs- 
wert  der  kleinsten  Abweifhiiugasuinme ;  Abhaudl.  der  math.-phys.  Kbiaae  der 
Köuigl.  Sachs.  Oesellschaft  der  Wisscuachafteu;  ii.  Band,   1878J. 


14  Vorlluflge  Öbergicht  fler  weseDÜiclieten  Punkte;  Beteichnungen.  ^M 

Beziehung  gesetzt  wwden;  (loch  sind  jedenfalls  dip  vorigen  die  wiijhüg^ 
aten,  und  ich  bleibe  zunächst  dabei  stehen.  In  einem  späteren  Ka^ 
pitel  [Kap.  X)  jedoch  werde  ich  nebensächlich  noch  drei  andere 
Haaptwerte  als  Scheidewert  R,  schwersten  Wert  T  und  Ab- 
weichungsBchwerwert  F  berücksichtigen,  welche  jedenfalls  ein 
mathematisches  Interesse  darbieten. 

§  8.  Ein  Tier  ist  seinem  inneren  Baue  nach  charakterisiert  durch 
(Jehirn,  Herz,  Magen,  Leber  u.  s.  w.,  die  Größe  und  La^  dieser 
Organe  gegen  einander,  die  zuführenden  und  abführenden  Wege 
dazu.  So  ist  ein  K.-G-.  seiner  inneren  quantitativen  Bestimmtheit 
nach  charakterisiert  durch  arithmetisches  Mittel,  Zentralwert,  dich- 
testen Wert  und  sonst  etwa  zuzuziehende  Haiiptwerte,  die  Größe  und 
Lage  dieser  Hauptwerte  gegen  einander  und  die  Abweichungen  da- 
von; und  diese  Werte  stehen  niebt  minder  in  mathematischem  als 
jene  Organe  in  oi'ganiscbeni  Zusammenhange.  Ein  K.-G.  bildet  so 
zu  sagen  einen  matliematischen  Organismus,  welcher  einer  Zergliede- 
rung fähig  ist,  auf  die  im  Folgenden  einzugehen  sein  wird.  Und 
wenn  damit  nicht  gesagt  ist,  dass  jeder  Gegenstand  auf  die  Durch- 
fUlirung  einer  solchen  Zergliederung  Anspruch  zu  machen  hat,  so 
hat  sicli  jedenfalls  eine  allgemeine  Kollektionsmaßlehre  mit  den  all- 
gemeinen Gesichtspunkten  derselben  zu  beschäftigen. 

Zum  Voraus  läsat  sich  dabei  bemerken,  dass  allerdings  unter 
einer  gewissen  VoraussetKung  die  beiden  Hauptwerte  D  und  C 
mit  A  und  mithin  alle  di-ei  unter  einander  zusammenfallen  würden, 
unter  der  Voraussetzung  nänihch,  dass  die  beiderseitigen  Abweichun- 
gen bez.  A  eine  symmetrische  Wahrscheinlichkeit  besäßen,  also 
mit  wachsendem  /«  sich  in  der  Art  einer  symmetrischen  Ver- 
teilung (in  obigem  Sinne)  näherten,  dass  man  bei  unendlichem  »* 
eine  solche  als  en-eicht  ansehen  könnte.  Aber  es  wird  sich  zeigen, 
dass  man  für  K.-G.  vielmehr  eine  asymmetrische  Wahrscheinlich- 
keit der  Abweichungen  bez.  A  vorauszusetzen  hat,  welcher  gemäß 
man  bei  wachsendem  m  sich  nicht  einer  synnnetrischen  Verteilung, 
sondern  einer  auf  ein  gewisses  Gesetz  zu  bringenden,  wesenthch 
L  asjnnmetrischen  Verteilung  nähert,  Ja  es  läsat  sich  abgesehen  von 
täem   nur  als  Ätui  iden  wesentlichen  Zusammenfallen 


VorUuGgc  ÜberaioTit  der  weaenttichsten  PunVte;  Beieictimmgen.  |S 

D  und  C  mit  A  überhaupt  kein  Wert  füi'  K.-G.  finden,  bez. 
5sen  eine  sjnmietrische  Wahrscbeinliobkeit  der  Abweichungen  nach 
eiden  Seiten  statt  fände. 

Wenn  man  nun   bisher  bei  Behandlung  der  K,-G.  bloß   auf  Ä, 

B  Abweichungen  davon  und  etw,a  die  Extreme  Rücksicht  genommen, 

sieht    man    nicht  nur   schon    aus   Vorigem,    dass   ganz   wichtige 

teristische  Verhältnisse  und  Unterschiede  der  Gegenstände  da- 

i  auBei'  Acht  fallen ,   sondern  es  wird  sich  anch  zeigen,   dass  ein 

^meines  Verteilungsgesetz   der  Exemplare   von  K,-G.   gar    nicht 

1  diese  beschränkte  Behandlungsweise  zu  gewinnen  ist, 

Sie  hat  aber  unstreitig  darin  ihren  Grund,  dass  man  die  leiten- 

i  Gesichtspunkte  der  physikalischen  und  astronomischen  Maßlehre 

die   KoUektivmaBlehre   übertragen   hat,    ohne    zwei    wesentliche 

bterschiede,   die  zwischen  beiden  bestehen,  zu  berücksichtigen,  wo- 

I  jene  beschränkte  BehantUungs weise   für  erstere  Lehre  eben  so 

tiviert,   als  für  letztere  verwehrt  ist.     Pllr  erstere   hat  der  arith- 

letiache  Mittelwert  Ä  der  Beobachtungswerte  des  seinem  Maße  nach 

[  bestimmenden  einzelnen  Gegenstandes  mit  den  Abweichungen  von 

,  d-  i.  Beobachtungsfeblem,  cbe  dominierende,  ja  im  Grunde  allein 

blende,   Bedeutung,   da  man  nach  Gründen,  die  den  Fach-Mathe- 

isatikem  und  Physikern  bekannt  sind,  in  dem  Werte,  bonüglich  dossen 

die  Summe  der  Quadrate  der  Abweichungen,  d.  i.  Fehler,  die  kleinste 

möghche  ist,   dem  aritlimetischen  Mittel,   zugleich   den   Wert  sieht, 

(nicber  dem  wahren  Weiie,  um  dessen  Bestimmung  es  zu  thun  ist, 
ist  überwiegender  Wahrscheinlicldteit  am  nächsten  kommt,  in  den 
Abweichungen  davon  aber  ein  Mittel  findet,  die  Grüße  zu  bestimmen, 
imi  welche  der  wahre  Wert  doch  noch  mit  gegebener  Wahrschein- 
lichkeit nach  einer  oder  der  anderen  Seite  verfehlt  wird.  Warum 
i  also  in  dieser  Lehre  noch  um  andere  Hauptwerte  kümmern,  die 
l  deren  Abweichungen  zur  Erfüllung  der  Aufgabe  dieser  Lehre 
Ichts  helfen!  Also  ist  auch  weder  von  einem  dichtesten  Werte,  noch 
mtralwerte  in  der  astronomischen  und  physikalischen  MaQlebre  die 
_  ungeachtet    die    verschiedenen   Beohachtungs werte    eines   und 

wssalben  Gegenstandes  in  ilir,  als  r  gefasst,  an  sicli  ebenso  gut  zur 
Älikitimg  eines  D  und  C  Anlass  geben  könnten,  als  die  verseltiedenen 


16  Vorl&ufi^  Über  lieht  der  vescntliohiten  Punkte;  Bezeichnungen. 

Exomplarü  eines  K.-Gr.  Aber  es  wäre  müßig,  eine  Sonderbetraclitung 
derselben  zuzuzieben,  und  gt'scbieht  jedenfalls  nicbt. 

Für  die  KoUektiiTnaBlelire  aber  liiit  der  Gesicbtspunkt,  welcher 
in  der  physikalischen  und  astronomischen  Maßleljre  den  arithmetischen 
Mittelwert  mit  den  Almeichungen  davon  prinzipiell  bevorzugen  lässt, 
gaj'  keine  Bedeutung.  Alle  Exemplare  eines  K,-G.,  mögen  sie  noch 
80  weit  vom  aritlimetischen  Mittelwerte  oder  irgend  einem  anderen 
Hauptwerte  abweichen,  sind  gleich  wirklicli  und  walir,  und  eine  vor- 
zugsweise Berücksichtigung  des  einen  vor  dem  anderen  aus  einem 
für  alle  gleich  nichtigen  Gesichtspunkte  hat  natürhch  keinen  Sinn. 
Hiergegen  hat  jeder  andere  Hauptwert  nach  anderer  Beziehung  seine 
charakteristische  und  zum  Teil  selbst  praktische  Bedeutung  für  einen 
K.-G.,  wodurch  er  zur  Unterscheidung  desselben  von  anderen  Gregeu- 
ständen  beiträgt. 

Zweitens  aber  unterscheiden  sich  nach  der  in  der  physikalischen 
und  astrononiisclien  MaBlehre  freilich  vielmehr  postulierten  oder  vor- 
ausgesetzten als  zweifelsfrei  erwiesenen,  syninietrisclien  Walirscbein- 
lichkeit  der  Beobachtungsfehler  bez.  des  arithmetisclien  Beobaclitungs- 
mittels  bei  guter  Beobachtung  die  drei  Hauptwerte  nicht  wesentlich, 
sondern  nur  durch  unau-sgegliehene  Zufälhgkeiten  von  einander,  so 
dass  man  in  dem  wegen  des  angegebenen  Uuistandes  vorzuziehenden 
arithmetischen  Mittel  der  Beobachtungswerte  zugleich  die  wahrschein- 
lichsten Werte  der  anderen  Hauptwerte  mittrifft,  wogegen  für  die 
K.-G,  bemerktermaBen  eine  asymmetrische  Wahrscheinlichkeit  der  Ab- 
weichungen bez.  des  arithmetischen  Mittels  als  der  allgemeine  Fall 
anzusehen  ist,  wonach  auch  die  verschiedenen  Hauptwerte  wesentlich 
auseinanderfaUen. 

übrigens  kann  es  sogar  noch  traglich  erscheinen,  ob  man  mit 
jenem  Postulat  bei  den  Beobachtungsfehlem  wirklich  ganz  im  Rechte 
ist,  eine  Frage,  die  uns  zwar  hier  nicht  wesentlich  angeht,  doch  später 
in  einem  besonderen  Kapitel')  berücksichtigt  werden  wird.  Kehren 
wir  aber  jetzt  zu  den  für  die  KoUektirmaßlehre  wesentlichen  Verhält^ 
Bissen  zurück. 


zweiten  Teile.  Kap.  XXVIII,  die 


tj  [Mit  Rücksicht  auf  diese  Fra^e  wird  ii 
Atymmetrie  von  Fehlerreihen  untersucht.] 


Voriiufige  OberArht  Her  wesentKehBten  Piinlite;  B«eieImiii>j;eB.  17 

§  g.  Unter  Elementen  oiU-r  Bestiuimungsstücken  eines 
,  K.-G.  werde  ich  bei  der  Änalyae  eines  solchen  überhaupt  fitigenile 
Werte  unter  folgenden,  zum  Teil  schon  früher  gebrauchten,  Bczeich- 
nuiigen  verstehen. 

I)  Die  allgemein  mit  w  hezeicluiete  Ciesamtzahl  der  Exem- 
plare «  einer  in  Betraciit  gezogenen  Verteilungstafel. 

21  Die  allgemein  mit  ff  bezeichneten  Hauptwerte  oder  Aus- 
gangswerte von  Abweichungen,  wovon  benierktermaßen  der  nritli- 
metische  Mittelwert  A,  der  Zentralwert  C  und  dichteste 
Wert  D  die  wichtigsten  sind.  Da  der  Zentralwert  allgemein  üwischen 
A  und  D  zn  suchen  ist,  wie  später  zu  zeigen,  so  werden  die  vorigen 
drei  Hauptwerte  künftig  allgemein  in  der  Ordnung  A,  C,  D  von 
mir  aufgeführt  werden.  Hiei-zu  noch  einige,  nebensJüMcb  zu  berück- 
sichtigende Hauptwerte,  welche  im  X.  Kapitel  besprochen  werden. 

Der  arithmetische  Mittelwert  wird,  aus  den  a  einer  priiuäi'en 
Tafel  bestimmt,  mit  A,,  aus  denen  einer  reduzierten  bestiiuint,  mit 
A,  hejieichnet  werden;  entsprechend  mit  C.  Bei  D  ist  kein  solcher 
Unterscliied  gemacht,  weil  er  wegen  der  Unregelmäßigkeiten  der  zu 
Gebote  stehenden  primären  Tafeln  überall  bloß  aus  re<Uizierten  Tafeln 
hat  abgeleitet  werden  können,  hiennit  überall  mit  D,  zu  bezeichnen 
wäre.  Hiergegen  ist  nach  der  Herleitungsweise  ein  Unterschied  da- 
,  Kwisciien  zu  machen.  Nach  dem  von  mir  so  genannten  Proportions- 
Terfahren,  welchem  ich  das  meiste  Zutrauen  schenke,  abgeleitet, 
Jiezeidine  ich  ihn  mit  D^,  nach  dem  weniger  sicheren  Interpolations- 
TerfaJiren  abgeleitet,  mit  D(.  Von  dem  Unteracliiede  beider  Ver- 
falirungsweLsen  wird  weiterhin  die  Bede  sein. 

Alle  Werte,  welche  auf  die  positive  Seite  des  Hauptwertes,  zu 
dem  sie  in  Beziehung  stehen,  fallen,  bezeichne  ich  mit  einem  Striehel- 
clien  oben,  alle,  welche  auf  die  negative  Seite  fallen,  mit  einem 
Strichelchen  unten,  indes  ich  bei  solchen,  welche  sich  unterschiedslos 
auf  beide  Seiten  beziehen,  die  Stiicbelchen  ganz  weglasse,  wonach  a' 
en  Wert  o  bezeichnet,  welcher  //  übersteigt,  a,  einen  solchen, 
[  velcher  von  H  überstiegen  wird. 

Unter  0  verstehe  ich  allgemein  Abweichungen  von  irgend  einem 
Hauptwerte  H;  unter  &'  ^  «'  —  //  also  eine  positive,  unt<'r  0,  ^  o,  —  H 


4 


f8 


VoilSufige  Übersicht  der  weientlichBten  Funkte;  Bezeichnungen. 


eine  iiogativp,  wenn  der  negative  Oiarjikter  von  0,  heihehalteii 
soll;  da  aber  allgemein  die  negativen  Abvreichungen  nach  ihrem 
ahHoluten  Worte,  wie  poaitire,  zu  verrechnen  sein  werden,  ist  riel- 
mehr  zu  setzen  Q,  =  H  —  a,.  Hiemach  ist  mit  2&  ^  2(a  —  H) 
die  Summe  der  positiven  Abweichungen,  mit  ^0,  ^  2{H  —  a,]  die  der 
negativen  Abweichungen  nach  absolutem  Werte,  mit  ^&  ^=  —  Q' ~{- ^&, 
die  Qflsamtsumme  der  Abweichungen  bcK.  E  bezeichnet. 

3)  Die  Hauptabweichungszahlen  d.i.  die  Zahl  der  Ab- 
weidmugen  0  von  gegebenen  Hauptwerten  H,  welche  natürlich  mit 
der  Zahl  der  abweichenden  Weile  a  zusammen fiilit,  also  der  Ge- 
samtzahl nach  unahliängig  von  der  Natur  der  Hiiuptwerte  gleich  in 
ist,  wogegen  die  Zahl  der  positiven  und  negativen  0  insbesondere 
sich  mit  der  Natur  der  Hauptwerto  ändert  und  als  positive  allgemein 
mit  in',  als  negative  mit  w«,  bezeichnet  werden.  Von  »«'  und  m,  sind 
dann  die  Unteraehiede  ±  («*'  —  m,)  und  die  Verhältnisse  m' :  m,  und 
VI, :  m'  abhängig,  welche  statt  /"'  und  m,  angeführt  werden  können, 
sofern  aus  ihnen  unter  Zuziehung  von  m  die  ^Verte  von  nt'  und  in, 
folgen  [a.  unten). 

4]  Die  Hauptabweichungsfiumnien  und  daraus  folgenden 
mittleren  Abweichungen,  d.  i.  Summen  der  Abweichungen, 
dividiert  durch  die  Zahl  derselben.  Die  Totalsimime  der  Abweichun- 
gen nach  beiden  Seiten  zusammen,  nach  absolutem  Werte,  wie  wir 
sie  immer  fassen,  drückt  sich  durch  IQ  aus,  nach  beiden  Seiten 
eiozehi,  insbesondere  durch  .^^©'und  JS0,,  so  dass  ^©^=.20'-}-^©,. 
Davon  abhängig  sind  dann  die  einfachen  mittleren  Abweichungen 
oder  mittleren  Abweichungen  schlechthin'): 

~  2Q      ,_:s&       _ -0. 


Die  Totalsummen  der  Abwoirhnngen  J?0  bleiben  sich  nicht  wie  die 

I)  lu  der  phygikali sehen  \ind  astroiiomiBchou  Fehlcrrechiuiun  pflegt  Tielmehr 
bIs  mittlere  Abweichung  schlechthin  die  Wunel  uus  dem  mittIcrcD  Fehlcrquadr&te 
^  yi'ff:m,  bei.  A  lu  gelten,  welche  ich,  wo  etwa  darauf  Ueriig  lu  nelunen, 
imoh  der  Angabe  imtcr  folgender  Ntimmer  S'  "'s  quadrutische  mittlere  Ab- 
weichung \oii  der  wie  oben  beKtimmtcii  eiirfachcii  iiutcrscheidcu  und  mit  q  he- 
zeiehucn  werde. 


^ 


Vorl&ufige  Übersicht  der  weflentlichsten  Punkte;  Bezeidmungen.  19 

Totalzahlen  m  je  nach  den  Hauptwerten  gleich,  sondern  ändern  sich 
nicht  minder  als  die  einseitigen  Summen  je  nach  dem  Hauptwerte. 
Bezüglich  des  arithmetischen  Mittels  A  insbesondere  sind  die 
l)eiderseitigen  Abweichungssuuimen  30'  und  ^Q,  notwendig  gleich, 
weil  dies  im  Begriffe  dieses  Mittels  selbst  liegt,  indes  die  beiderseitigen 
Al)weichungszahlen  m\  m,  bez.  dieses  Mittels  im  allgemeinen  ungleich 
sind,  was  mitführt,  dass  auch  die  eins(»itigen  mittleren  Abweichungen 
e'  =  ^&:m\  €,  =  2&,:m,  bez.  A  im  allgemeinen  ungleich  sind. 
Das  für  beide  Seiten  gemeinsam  geltende  £  =  30:w  ist  aber  nicht 
als  einfaches  Mittel  zwischen  t'  und  e,  =  l(e' -\- e,)  zu  finden  oder 
zu  bestimmen,  wie  ich  fälschlich  in  einer  amerikanischen  Abhandlung 
über  RekrutenmaBe  (von  Elliott  ^))  angegeben  finde,  da  man  dadurch 
nicht  auf 

m  IN 

zurückkommt;  sondern  dies  ist  nur  der  Fall,  wenn  man  bei  der 
Mittelziehung  aus  t'  und  e,  die  Gewichte  berücksichtigt,  welche  ihnen 
vermöge  des  /;/'  und  ;w,,  woraus  sie  erhalten  sind,  zukommen,  hier- 
nach setzt: 


j  ^f 


me  +  w,e, 

m  +  m, 

was  nach  folgender  einfachen  Betrachtung  auf  e  =  2G:m  zurück- 
führt. Da  das  Produkt  eines  Mittels  aus  Abweichung(?n  in  die  Zahl 
derselben  gleich  der  Summe  der  Abweichung  ist,  so  ist  nie'  =  3 0' 
und  m,e,  =  I(fj,,  also  m'fc'H- /w,«,  =  J0'-|-2f0,  =  ^0,  anderer- 
seits ///-f-  /;/,  =  /;/. 

Je  größer  die  mittlere  Abweichung  t  bezüglich  eines  Hauptwortes 
ist,  in  desto  weiteren  Grenzen  weichen  durchschnittlich  die  ein- 
zelnen AVerte  a  von  demselben  ab,  oder  desto  stärktT  schwanken 
sie  durchschnittlich  um  denselben.  Außer  der  absoluten  Größe 
von  fc  kommt  aber  auch  sein  Verhältnis  zu  dem  H,  worauf  sich  e 
bezieht,   also  b:H  in   Betracht,    was   ich    die    verhältnismäßige 


li  [E.  B.  Elliott,  On  the  military  statistics  of  the  United  States  of  America; 
Berlin  1863.     International  Statistical  congress  at  Berlin.] 

2* 


20  VorUuSg«  Cberriüht  der  wesei^eliRt««  Punkte;  BnrioTiiniiigeD. 

Stiliwaiikung  nonnc.  Die  (liirclisclmittliclie  wie  verliältniBmäBige 
mittlere  Schwankung  bei  gegebenem  m  gehen  sich  zwar  nicht  pro- 
portional für  die  voracliiedenen  Hauptwerte;  tlocli  nelimen  sie,  allge- 
mein gesprochen,  in  so  weit  mit  einander  zu  und  ab,  dass  ein  bezüglich 
eines  gewissen  Hauptwertes  stark  oder  schwach  schwankender  Gegen- 
stand auch  beziighch  der  anderen  Hauptwei-te  als  stark  oder  schwacli 
schwankend  angenommen  werden  kann,  und  man  also  ohne  Rücksicht 
auf  Beizieliung  eines  bestimmten  Hauptwertes  von  stark  und  schwach 
im  Mittel  oder  verhältnismäßig  schwankenden  Gegenständen  sprechen 
kann. 

Hiemach  noch  folgende  Bemerkung.  Die  Größe  der  einfachen 
Summe  —0  und  des  einfachen  Mittelfehlers  e  ^  2Q  :m  beziighch 
des  arithmetischen  Mittels  Ä  ist  nicht  ganz  unabhängig  von  der  Zahl 
m  der  Werte  a,  aus  denen  das  betreffende  A  abgeleitet  ist,  sondern 
nimmt  durchschnittlich  mit  wachsendem  m  etwas  zu;  man  kann  aber 
die  bei  irgend  einem  endlichen  m  «■haltenen  Werte  —0  und  e  bez. 
A  durch  Multiplikation  mit  Vm:{m  —  i)  auf  den  Nomialfall  zurticlc- 
(ülu-en,  dass  sie  bez.  eines  A  aus  einer  unendlichen  Zahl  von  a  er- 
halten worden,  was  ich  die  Korrektion  wegen  des  endlichen  m  nenne '). 
Während  nun  .20  und  e  ^  ^0  :  «i  die  unkorrigiei-ten  Werte  sind, 
90  bezeichne  ich  mit  ^&c  und  Cj  die  korrigierten  Werte: 


^v^. 


und 


•y„= 


Niir  bei  sehr  kleinem  ;n  unterscheiden  sich  jedoch  die  korrigiei1«n 
Werte  erhebhch  von  den  unkorri gierten,  und  da  wir  im  allgemeinen 
mit  großem  m,   wogegen  i    merklich   verschwindet,   zu  thun  haben, 


i)  Bckauutlich  hat  OAL'sa  vorl&ngst  ichon  f3.r  die  Suuunc  der  Fehlerquadrate 
£&»  bei.  A  und  den  daraus  abiiileiteudcK,  von  mir  sog.  quadratiseheti  Mittelfuhlcr 
^=yi'&':in  die  Korrektion  wegen  de»  endlichen  m  bestimmt;  wonach  die 
erstcre  durch  Multiplikation  mit  m:{m  —  i,,  die  letr.tiTC  flberein stimmend  mit 
unserer  Korrektion  des  einfachen  Mi tlelf eh Icrs  diirch  Vm:i;iN^i;  geschieht.  Die 
Ihcorctisehe  Ableitung  und  empirische  Bewahrung  unserer  Korrektion  von  £H 
und  c  aber  ist  von  mir  in  den  Berichten  der  Kgl.  Sächsischen  Geaellachaft,  Math.- 
Phys.  Klasse,  Bd.  XIII,  i86i,  S.  S7f-  geschehen,  und  da  die  Bcinlhruug  mit  ent- 
lehiedeiicm  Erfolge  an  KoUektiviib weich nnßen  gelahrt  i«t,  kann  sie  als  zweifelsfrei 
für  solche  gelten. 


Vorlfiufifte  Dberrieht  der  wcucntlidiitea  Pinikte;  Becciehiinn^en.  Ü 

iH-i^iüge  ich  niicb  in  Auffühi'un^  der  Elenientti  allgeiiieiii  mit  Aug-abc 
(liT  getneioen,  d.  i.  imkomgierten  Werte  ^©,  e,  woraus  sich  uiit 
Zuzieliuiig  des  stets  bekanuteii  m  die  kuirigierti'H  AVerte  leicht  finden 
lassen,  wenn  es  darum  zu  tliun  ist.  Eine  entsprechende  Bemerkung 
wird  unstreitig  für  die  Abweichungssuinmen  und  mittleren  Abwei- 
chungen bez,  anderer  Haujitwerte  als  A  gelten,  wenn  schon  die 
direkte  Untersuchung  in  dieser  Hinsicht  sich  bisher  bloß  nuf  die 
Abweiebungen  von  Ä  erstreckt  bat.  Es  ist  aher  um  so  weniger  An- 
biHS  bei  Aufiihrung  und  Verwertung  der  bei  einem  gegebenen  cnd- 
licben  m  erhaltenen  Elemente  die  komgierten  Werte  zu  bevorzugen. 
als  nicht  nur  die  Abweichungssuimnen  und  mittleren  Abweichungen 
bez.  der  verschiedenen  Hauptwerte,  sondern  auch  die  Al>wei<'hungeu 
der  Haujitwerte  selbst  von  einander  unter  dem  Einflüsse  dessellwu 
endlichen  in  stehen,  die  Verliiiltnisae  derselben  sich  also  lu'cht 
dturb  die  gemeinsame  KoiTektion  ändern  würden.  Bei  Unteraucliung 
d«r  V erteil ungsgeaetze  aber  Iiat  es  uns  vielmehr  auf  diese  Verbäll- 
oiiuH.'  als  auf  absolute  Werte  anzukommen.  Wo  man  aber  doch  auf 
■olche  gehen  will,  liut  beziiglich  Korrektion  der  einseitigen  Werte 
1&',  ^&,  und  *',  (,  die  Anmerkung  statt  zu  finden,  dass  sie  nicht 
i-espektive  duixh  itii'ilrn' — i)  »ind  \m,:liH, —  i),  sondern  wie  ihe 
von  .26  und  s  durch  Kw':('» — i)  zu  geschehen  hat,  weil  man  sonst 
durch  Addition  der  korrigierten  Werte  26',  —&,  die  korrigierte 
Summe  i"Ö  niclit  wiederfinden  würde.  Auch  liegt  dabei  der  nitionelle 
tiesicbtspunkt  unter,  dass  die  Abweichungssummen  jeder  Seite  als 
Glieder  der  totalen  Abwciclmngasumme  von  der  Größe  ihres  m  ge- 
lueiusam  intluiert  werden  müssen. 

5)  Die  wahrscheinliche  Abweichung  H'  und  quadratische 
mittlere  Abweichung  q.  Unter  wahrscheinlicher  Abweichung  w 
b«s.  eines  Hauptwertes  ist  diejenige  Abweichung  zu  vei-stehen,  welche 
eben  so  viel  gritßei-e  .Abweichungen  nach  absolutem  Werte  über  sich, 
ata  kleinere   unter  sich  hat,   also  bez.  der  Abweicliungen  0  dieselbe 

I Bedeutung  hat,  als  der  Zentralwert  C  hez.  der  o.  Unter  quadratischem 
Mittelfehler  q  verstehe  ich  kurz  die  Wurzel  aus  dem  mittleren  Ah- 
weichungsquadiftte ,  d.  i.  den  Wert,  den  man  erhält,  nenn  man  die 
geaamten  Abweichungen    von    einem  Hauptwerte   H  besondeis   aum 


Voiljhifige  Überüeht  der  vesentliohiteii  Punkte;  Betdahimngen. 

Quadrate  erhebt,  die  SuuiDie  dieiäer  Quadrate,  d,  i.  —  &'  (wohl  zu  untcr- 
sciieiden  von  dem  Quadrate  der  Summe,  d.  i.  von  {i'©)'),  mit  der 
CJesajutaalil  m  dividiert  und  aus  dem  Quotient  die  Wurzel  zieht, 
kui-z  q  =  V^Ö' ;  m.  Statt  für  beide  Seiten  gemeinsdiaftÜch,  künuL-ii 
diese  Werte  eben  so  wie  die  einfache  mittlere  Abweichung  e  für 
beide  Seiten  besonders  bestimmt  und  wegen  des  endlichen  m  korrigiert 
werden,  worauf  icli  hier  nicht  eingehe,  indem  ich  das,  was  darüber 
zu  sagen,  noch  auf  das  Nachti-agakapitel  über  das  GrAuss'sche  Gesetz 
(EJip.  XVII)  vei-spai-e,  nach  welchem  diese  Werte  bostinimte  Bu- 
ziebungeti  unter  einander  haben,  welche  eine  Ableitung  dei-aelben 
aus  einander  gestatten,  was  ersparen  wird,  sie  nach  Aufführung  von 
«  unter  den  Elementen  noch  besondei's  aufzuführen, 

6)  Die  extremen  Werte  a  der  Tafel,  d.  i.  das  kleinste  und 
größte  a  der  Tafel,  ei-steres  als  E',  letzteres  als  E,  zu  bezeichnen. 
Nach  der  liergebrachten  Kinrichtung  der  Tafel  aber  steht  das  dem 
Werte  nach  höhere  Extrem  zu  unterst,  das  niederere  ku  oberst. 

§  10,  Wenn  zwei  Werte  et,  ff  in  folgender  Weise  durch  iiinde 
Klanmiem  verbunden  sind,  wie  a{^),  so  ist  dieser  Ausdruck  gleich- 
geltend mit  aji,  d.  i.  Produkt  von  n  und  fi,  wenn  sie  aber  durch 
eckige  Klammem  in  folgendei'  Weise  verbunden  sind:  ii[ß],  so  be- 
deutet dies  nicht,  dass  a  mit  /<  multipliziert  werden  soll,  sondern  das« 
a  Funktion  von  li  ist;  also  z.  B.  Q[A]  bezeichnet  eine  Abweichung 
von  A,  &[C]  eine  solche  von  C  u.  s,  w.,  m[A]  die  Gesamtzahl  der 
Abweichungen  bez.  A;  m[C]  die  damit  gleiche  bez.  C  u.  s.  f. 

Da  aber  bei  dem  vorzugsweise  häufigen  Gebrauche  der  Haupt- 
werte A  und  D  die  darauf  bezüglichen  Ausdi-ückc  und  Formeln 
durch  solche  Zufügung  unbequem  und  unbebilflich  werden  würden, 
ziehe  ich  es  im  allgemeinen  vor,  für  Ö,  m,  e  je  nach  ilirer  Ab- 
hängigkeit von  A  oder  D  gleich  verschiedene  einfache  Bezeichnungen 
zu  setzen,  und  zwar  wird  dies  durch  folgende,  unter  den  betreffenden 
Hauptwerten  stehende  Bezeichnungen  geschehen,  welche  ohne  Strichel- 
chen sich  unterschiedslos  auf  die  beiderseitigen  Abweichungen  be- 
ziehen, je  nachdem  sie  aber  der  positiven  oder  negativen  Seite  be- 
sonders angehören,  noch  mit  einem  Strichelcben  oben  oder  unten 
au  veiuehen  sind: 


Vorlftufige  Übersicht  der  vcscutlichstcu  Punkte;  Bczcichniiugcii.  23 


A  D 


e 

J 

d 

m 

/* 

^fP 

£ 

1 

C 

Also  bedeutet  z.  B.  J  eine  Abweichung  von  J,  d  eine  solche 
von  D.  Da  die  Gesamtzahl  der  Abweiclmngen  unalihängig  von  der 
AVahl  des  Hauptwertes  ist,  so  ist  allgemein  m  =  fi  =f/^,  wogegen 
^jJ  nicht  gleicli  ^d,  und  ry  nicht  gleich  c  ist. 

Der  Untei-schied  /i'  —  /i,  (bez.  A  giltig)  wird  kui'z  mit  u,  der 
Üntei*schied  tn'  —  tn,  (bez.  D]  mit  u  bezeichnet.  Aus  ?/  folgt  n'  und 
1/,,  aus  «#  folgt  ffp'  und  ^i,  nach  folgenden  Gleichungen: 


2 


U     =  ,      li, 


."  — 

u 

2 

> 

fn- 

m 

-«# 

2  ;: 

Für  die  mehrfach  in  Betracht  zu  ziehenden  Abweichungen  des 
oberen  und  unteren  Extremes  vom  arithmetischen  Mittel  nach  abso- 
lut^jm  AVerte  dienen  die  Bezeichnungen: 

?7'  =  7?'  -  A  und  U,  =  A  -  E,. 

Anstatt  die  Gesamtzahl  der  Abweichungen,  sei  es  nach  beiden 
Seiten  oder  nach  jeder  Seite  insbesondere,  in  Betracht  zu  ziehen, 
werden  wir  aucliAnlass  finden,  sie  vom  Hauptwerte  aus  nur  l)is  zu 
gewissen  Grenzen  oder  zwischen  gegebenen  Grenzen,  sei 
es  ihrem  absolut(»n  AV^'rti^  oder  ihrem  Verhältnisse  zu  m ,  ///  oder  ///, 
nach,  in  Betracht  zu  ziehen,  was  unter  Gebrauch  der  Zeichen  (/>  und 
ff  später  (im  V.  Kap.)  besonders  besprochen  wird. 

In  gewohnter  Weise  ist  in  den  Tafeln  von  den  kleinen  Maßen 
a  nach  den  größeren,  also  nach  der  natürlichen  Tjage  des  Blattes 
vor  den  Augen  von  dem  oberen  nach  dem  unteren  Teile  der  Tafel 
fortgeschritten,  was  freilich  in  Konflikt  damit  kommt,  dass  nuin 
kleinere  Werte  als  niedere,  untere;  größere  als  höluu'e,  obere  Werte 
fasst    Man  muss  also  nach  dem  Zusammenhange  oder  ausdrücklicher 


24 


VorUußge  Ubendeht  der  wnentUdutan  Fiiakts;  Beienho 


Angabe  imtsclieiden,  ob  die  Äusdiücke  >böbfi'e»,  »nifdrigem«,  •obui 
»untere  Wert*?'    aui  die  Lage   der  Tafel  oder   das  GrößenverhältniB 
der  Werte    bezogen    sind.     Zar  Vermeidung    dieses    etwas    lästigen 
fonnellen  Konfliktes  wüi-de  es  künftig  besser  sein,   die  Veileilungs- 
tafeln  niit  dem  größten  Werte  o  anfangen  zu  lassen;   aber  nachdem  i 
ich   durch  den  früheren  größeren  Teil  meiner   Untei-suchiingen   der  I 
üblichen   AiifstellungsweLse    gefolgt  war,    konnte  icli   es   nicht  melir  \ 
ändeiTi,  ohne  meine  Tafeln  umzubauen  und  Gefalir  zu  laufen,  mich 
selbst  zu  vemirren.    Die  Strichelchen  oben  und  unten  an  den  Werten 
beziehen   aicli  jedenfalls  auf  das  GröBenverhältnis   der  Werte,  nicht 
ihr  Lagenverhältnis  in  der  Tafel. 

Hiernach  ist  nocli  die  Bedetitung  und  Bezeichnungsweise  folgen 
der  AusdiTicke  zu  besprechen,    welche   in    unseren   Untersuchungen  -i 
eine  wesentliche  Rolle  spielen. 

Unter  Vorzahl,  Vorsumme  verstehe  ich  respektive  die  Zahl  ' 
Sz  und  Summe  Zo  der  a,  welche  einem  gegebenen  Werte  a  der  | 
Tafel  in  Größe  vorangehen,  unter  Nachzahl,  Nachaumme  ilie,  , 
welche  einem  gegebenen  Werte  a  der  Tafel  in  Größe  folgen.  Na^  ] 
türlich  ändern  sich  diese  Zalilen  und  Summen  mit  den  Werten  aj 
der  Tafel,  denen  sie  vorangehen  und  folgen,  und  zur  Verhütung  voi 
Weitläufigkeiten  fühi-e  ich  auch  liier  für  die  Fälle,  welche  es  in  denJ 
Anwendungen  vorzugsweise  zu  berücksichtigen  gilt,  besondere  B&-J 
Zeichnungen  ein.  Allgemein  mögen  mit  r,  V,  n,  N  die  Voi-zidü,,] 
Voi-sumrac,  Kaclizahl,  Nachsumme  bezügUch  irgend  eines  in  Betracht  I 
kommenden  Anfangs-o  und  Schluss-a  einer  gegebenen  Tafel  Verteilung  j 
bezeiclmet  werden,  unter  v,  3?,  «,  §Z  die  betreffenden  Wei-te  bezüg»j; 
lieh  des  a,  dem  dos  größte  x  zukommt,  d.  i.  des  empirisch  dicht»-.'! 
sten  Wertes  D,  unter  vi,  ^;,  »(,  SC,  bezüglich  eines  a,  dessen  Cio?-] 
kreisintervall  zui-  scharfen  Bestimmung  der  Elemente  in  später  aar  ■] 
zugebender  Weise  zu  intetpolieren  ist,  der  übrigens  in  den  meisten  J 
Fällen  mit  dem  vorigen,  dem  dichtesten  Werte  zusaumienfäUt, 
dann  auch  die  Bezeicbnimg  durch  den  Index  wegfallen  kann. 

§11.  Endlich  noch  folgende  Bemerkung.  Es  wii-d  Anlass  sein,  I 
eine  arithmetische  und  eine  logarithmische  Behandlung  derj 
K.-G-  zu  untei'scheiden,  von  welchen  cnstcrc  für  solche  Gegenstände  | 


^^^V  VorRnS;^  Obereicbt  der  weBmIlieliflten  Fitnkte;  BezriehtiunReii.  ^5 

^^^PBi  Anwendung  koniuit,  dtren  mittlere  Abweichungen  bezUglicIi  ilii-er 
^V  Hauptwerte  nur  klein  sind,  die  andei-e  für  solche,  wo  sie  verliältnis- 
^M  mäßig  dazu  groß  sind.  Ersteres  ist  nicht  nm-  der!  bei  weitem  hüutigere 
^K'Ond  daher  in  größerer  Atisdelmung  ttls  der  zwi'ite  zu  bcriicki^iclitigeude, 
^^■sondent  auch  einfacher  zu  behandelnde  Fall,  und  ülle  Bestimmungen 
^^V  und  Bezeichnungen  dieses  Kapitels  sind  zunächst  >iuf  diesen  Fall  zu 
^^F  b^ziehüD;  doch  wtii'de  ohne  Mitbcriicksichtiguiif;  des  zweiten  Falles 
Hb    der  ganzen  Untersuchung  die  erforderliche  Allgemeinheit  febleii. 

Dei-  wesentiicbe  Unterscliied  beider  Bebandlungsweisen  ist  dieser: 
Bei  der  arithuietischen  Behandlung  werden  die  Abweichungen 
der  einzelnen  a  von  ihren  Hauptwerten  im  gewühnlichen  Sinne  als 
arithmetische,  d.  i.  als  positive  und  negative  Unterschiede  von 
ihren  Hauptwerten  gefasst,  und  die  Hauptwerte  selbst  direkt  nach 
angegebenen  Regeln  aus  den  a  der  Verteilungstafel  hestimiiit.  Bei 
der  logaritbmischen  Behandlung  werden  die  Abweichungen,  mit 
denen  man  operiert,  als  logarithmische  gefusst,  d.  b.  als  Unter- 
schiecle  der  Logaritlimen  der  o  von  sog.  logaritlimischen  Haupt- 
wei-t«n,  d.  i.  Hauptwerten,  die  nach  ganz  denselben  Hegeln  aus  den 
log  a,  als  die  arithmetischen  Hauptwerte  aus  den  einfachen  a  ab- 
geleitet wenlen.  Der  Uebergang  von  der  aritlimetischen  zur  logarith- 
mischen Behandlung  bringt  manche,  neuen  Gesichtspunkte,  Bestimniun- 
gen  und  Bezeichnungen  mit,  auf  die  jedoch  erst  spUttT  einzugehen, 
nachdem  sich  Atdass  dargeboten  haben  wird,  darauf  Bezug  zu  nehmen 
(s.  insbesondere  Kap.  V  (§  36)  und  XXI]. 

Unter  Tt  viiifl  in  gewohnter  Weise  die  LüDOLF'sche  Kahl  ^ 
3,1415987,  unter  e  die  Grundzald  der  natürlichen  Logaritlimen  = 
2,7182818,  unter  Mod.  =  log.  comm.  e  der  sog.  Modulus  des  ge- 
meinen logaritlimischen  Systemes  =  0,4342945  verstanden;  wovon  es, 
wegen  des  liäuög  davon  zu  machenden  Gebrauches,  nützlich  sein  kann, 
die  gemeinen  Logarithmen  anzuführen.  Man  hat: 
log  71  =  0,497  1499;  log  ß  =  0-434  294 5;  log  Mod.  =0,6377843  —  i. 
Unter  l,  t',  t,  reaiwkÜv  werden  respektiv  die  Werte: 
^H  e  &       _&,_ 

^■^  eyle'   eVTt' 


35      '   Vorlfinfige  Obeniebt  der  wneutUobBten  PunkU;  BeiäabnuDgeii, 

Tcrstanilen.  Unter  /-Tabelle  eine  ini  Anhang,  §  183,  folgendfl^ 
Tabelle,  welche  die  zu  (  in  Bezug  stehenden,  im  V.  Kapitel  zu  be- 
sprechenden Werte  ffl  im  Sinne  des  GrAuss'Bchen  Geaetzes  zufälliger 
Abweichungen  angiebt.  Da  der  Wert  exp[ — /"]i)  von  häufiger  An- 
wenilung  und  etwas  komplizierter  Bereclmiing  ist,  so  mag  hier  die 
Berechnung  seines  Logarithmus  angegeben  werden,  woraus  er  seU)st 
unmittelbar  ableitbar  ist. 

Um  log  exp[ — f]  =^  log  i  :  exp[f]  zu  finden,  addiere  2  log  /  zu 
0,63778  —  1  [d,  i.  zu  log  Mod.),  suche  dazu  in  den  Logarithmen- 
tafeln die  Zalil  und  nimm  sie  negativ,  so  hast  du  darin  den  ver- 
langten Logarithmus*),  aber  in  einer  von  der  gehräuchlidien  ab- 
weichenden und  für  die  Anwendung  der  TiOgarithmentaieln  zui- 
Ableitung  von  exp  [—  (')  selbst  daraus  ungeeigneten  Fonii.  Um  ihn 
in  der  dazu  brauchbaren  Form  zu  erhalten,  ziehe  seinen  absoluten 
Wert  von  der  um  i  höhei-en  ganzen  Zahl  ab  und  füge  diese  der 
Differenz  hinten  mit  demZeichen —  zu.  So,  wenn  log  exp [ — '']  =  —0,25 
oder  —  1,25  oder  —  2,25  gefunden  wäi-e,  würde  man  dafür  zu  setzen 
haben  resp.  0,75  —  1;  oder  0,75  —  2  oder  0,75  ~  3  u.  s.  f. 

Unter  S  wird  die  Maßeinheit  verstanden,   in  welcher  die  Exent- 
plargrößen  a,  die  Hauptwei-te  H  und  AbweicImngsgrÖBen  davon  ai 
gedrückt  sind. 

Statt  Wahrscheinlichkeit  wird  meist  W.;  statt  Kollck- 
tivgegenstand,  wie  schon  bemerkt,  K.-(J-  und  statt  G-iuss'sches 
Gesetz  nach  künftiger  Bemerkung  G.  G.  gesetzt. 


ij  [Der  £iiifBcliheit  wegen  wird  hier  und  im  Folgenden  die  Kx]ioneutial- 
fiinktiüD  e^  durch  exp  [x]  bezeichnet,  wonach  obcu  exp  [—  {■']  statt  e  -''  gCBetzt  ist.' 

2]  lii  der  That,  der  LogarithmuB  von  exp  jC]  ist  i;1cich  t'  log  «,  mithin  dci 
Log.  von   I  :  exp  \l']  gleich  dem  negativ  genommenen  LogHiithmus  von  exp  [t'j. 


III.  Vorläufige  Übersicht  des  TJntersuchungsmateriales 
und  allgemeinere  Bemerkungen  dazu. 

§  12.  Eine  wichtige  Schwierigkeit  für  eine  Untersucliung  wie 
die  vorliegende  liegt  in  der  Beschaffung  des  dazu  nötigen  Materiales. 
Ein  solches  kann  nämlich  nur  in  einer  Mehrzahl  von  K.-G.  aus 
verschiedenen  Gebieten  gesucht  werden,  deren  jeder  in  einer  so 
großen  Zahl  von  Exemplaren  vorliegt,  dass  Zufälligkeiten  der 
Verteilung  nacli  Maß  und  Zahl  nahehin  —  denn  absolut  ist  es  nicht 
möglich  —  nach  dem  Gesetze  großer  Zahlen  als  ausgeglichen  gelten 
können,  und  bei  deren  jedem  die  im  folgenden  Kapitel  geltend  zu 
machenden,  anderweiten  Requisiten  nicht  minder  als  nahehin  erfüllt 
angesehen  werden  können.  Endlich  müssen  die  Angaben  darüber 
alle  zur  Bearbeitung  nötigen  Daüi  enthalten. 

Aber  über  manche  Ai'ten  von  K.-G. ,  die  nicht  übergangen 
werden  durften,  um  der  Untersuchung  die  erforderliche  Allgemein- 
heit zu  geben,  lag  überhaupt  bisher  nichts  vor,  und  w^enn  es  für 
andere  nicht  an  Angaben  mangelt,  ja  für  manche,  wie  die  Rekruten 
maße,  ein  euibarras  de  richesse  voriiegt,  ist  doch  mit  denselben  in 
ihrer  bisherigen  Fassung  nicht  allen  für  die  Zwecke  der  Untersuchung 
an  sie  zu  stellenden  Forderungen  genügt.  Zu  eigenen  Messungen 
aber  stehen  nur  wenige  Gegenstände  zu  Gebote,  und  da  es  bei  jedem 
sehr  viele  Exemplai-e  zu  messen  und  in  Verteilungstafeln  zu  bringen 
gilt,  finden  Zeit  und  Geduld  bei  diesem,  gleich  langmüliigen  und 
langwierigen,  Geschäfte  leicht  ilue  Grenze. 

Indes  ii^t  es  mir  doch  gelungen,  auf  zum  Teil  mühsamem  und 
umständlichem  Wege  das  folgends  verzeichnete  Material  für  unsere 
Untersuchung   zusammen   zu   bringen,    wovon   freilich  manches   den 


S8  Übersicht  de«  UntenuchnngnnaleriBlcE. 

geltend  zu  milchenden  Requisiten  nui'  unvollständig  entspricht,  djin 
aber  mich  Gelegenheit  giebt,  den  Erfolg  ihivon  erkennen  zu  lu^sen. 

I.    Anthropologisches. 

A.  ßekruteniniiBe    schlechthin,    d.    s.    Lüngeumuße    gleich- 
iilterigtT  Rekntten  von  bestimmter  Herkunft,  haniitsächlich  säclisificher,  J 
von   denen  ich  mir  Abschrift«n   der  Urlisten   zu  vei-Hchaffen  wusHteyl 
um  VerteilungHtafeln   in    einer   zur  Tlntti-suehnng   geeigneten   Form] 
daraus  zu  gewinnen.     Am  wiclitigst«n  für  unsere   allgemeine  üntep- j 
sucliung   im   ei-sten  Teile    sind   20   Jalu'gänge   Leipziger    Studenten-  I 
i-ekrutenniaße  mit  einem  Gesanit-w*  ^  2047;  demnächst  17  Jahi-gänge 
sog.    Leipziger    Stadtmaße,    d.    i.    bezüglich    Et'kruten    der   übiigcn 
Leipziger    Bevölkorung ,    mit    einem    Gesamt-/«  =  8402;   außerdem 
Rt'kiutenmaBe  von  3  Jahrgängen,  resp.   der  Boiiia'schen  und  Anntf  | 
boj-ger  Auitshauptmannsebaft  mit  ni  =  2642  und  3067.    Dazu  werden'" 
im    zweiten    Teile  Rekmtenmaßtafeln    bez.    anderer  Länder,    sofern 
solche  vorlagen  und  schon  friShei-  von  Qubtblet  behandelt  sind,   als 
namentlich  belgische,  französische,  italienische  und  amenkanische,  eine 
teihi  ki-itiscbe  Besprechung,  teils  von  der  QüETBLKi-'schen  abweichende 
Behandlung  erfahren,  und  Maße  von  Köqiergewicht  uud  Brustumfang 
der  BekiTiteu  mit  berlicksiclitigt  werden. 

B.  Schädelmaße,   die  mir  von  Prof.  Wblckbh  in  Halle  zui.9 
Bisposition  gestellt  sind,  a)  des  Vertikalumfanges,  b)  des  Horizontal- 
umfanges  von  je  450  em-opäischen  Männerschädeln. 

0.    Gewicht    der    inneren    Organe    des    menschlichen 
Körpers,  nach  Bovn's  Angaben'). 

II.    Bütauisches. 

Von   mir   selbst  gemessene  Roggenähren  (Seeale  cei-eale]  voi 
demselben  Standorte  und  Jahrgange,  2 1 7  aechsgliedrige  (abgesehen  vtnC'l 
der  Fruchtähre)  und  138  fünfgliedi-ige ;  jedes  der  ülit^er  besonders  1 


1)  [Dr.  BOYD'g  TablcB  of  thc  wcighta  of  tbe  human  bodv  atid  internal  o 
yhiloaophioid  TrtuitaDtioDa  of  thc  Royal  Society  of  Loudon;  iS6i,j 


Öbenricht  Ace  ÜntersuchungBraateriateg.  29 

f  gemessen   und  teils  als  besonderer  K.-G.  behandelt,  teils  nncli  Meinet- 
Beziehung  äh  don  übrigen  Glit'deni  in  Betracht  genommon. 

III.    MeteorologiBches. 

a]  Tbermiscliü  und  barometrische  Tages-  und  Monats- 
fwei'te  oder  Abweithungen  in  dem  miter  §  ig  und  20  näher  xn 
[  Iwsprechenden  Sinne.  Damnter  gehöi-en  die  von  Qubtblbt  in  seine» 
I  lAittres  sur  la  prob,  verzeichneten,  folgends  unter  §  21  zu  besprechen- 
I  den,   lojährigen  sog.  ivariations  diumes*  mit  einem  m  von  282  bis 

o;  hierzu  eigene  Zusammenstellungen  thermischer  und  barometrischer 
I  Tageswerte  gach  Beobachtungen  auf  dem  Peissenberge  durch  eine 
I  längere  Reihe  von  Jahren,  und  von  thermischen  Monatsabweichungen 
j  nach  DovK'schen  Abhandlungen. 

b)  Tägliche  Höhen  gefallenen  Wassers  für  Genf  durch  viele 
I  Jahre,  aus  der  Bihhotlieque  universelle  de  G«n&ve  (Arcbives  des 
[  Bciences  pliysifpiea  et  naturelles]  von  uiii-  zusanmiengestellt. 


IV.    Artistisches. 

a)  Visitenkarten  und  Adresskarten  von  Kaufleuten  und  Fabrikan- 
I  ten,  von  mir  selbst  nach  Länge  und  Breite  besonders  gemessen. 

h}  Dimensionen,  Höhe  h  und  Breite  b,  von  Galleriegemälden 
I  (im  Lichten  des  Rahmens}  aus  den  Katalogen  der  Sammlungen  unter 
I  Beduktion  auf  dieselbe  Maßeinheit  für  Genrebilder,  Landschaften, 
f  Stillleben  von  mir  besonders  bestimmt;  dabei  der  Fall  unterschieden, 
i  >  A  und  wo  h  >  b. 

Dies  nur  zur  voiläufigen  Übersicht;  spezieller  wird  auf  vor- 
Isbehendes  IVEaterial  unter  besonderen  Kapiteln  des  zweiten  Teiles 
Einzugehen,  wo  die  hier  noch  zu  vermissenden  näheren  Angaben 
I  darüber  zu  finden,  sowie  darauf  zu  verweisen,  sein,  wenn  schon  im 
I  Yorliegenden  ersten  Teile  auf  dies  Material  Bezug  zu  nehmen  ist. 

Man  kann  l)emerken,  dasa  unter  vorigen  Gegenständen  solche 
t  vorkommen,  mit  denen  sich  zu  bescliäftigen  kein  oder  nur  ein  ge- 
I  ringes  sachliches  Interesse  vorhanden  ist.  Aber  der  Gesichtspunkt 
I  eines  sachlielicn  Interesses  daran  ist  überhaupt  hier  nicht  maßgebend 


30  Übersieht  den  rrntenraBBiingsmateriales. 

für  iiire  Wahl  und  Beliandlimg  gei^*esen;  sondern  pben  nur  ihi-e  Be-^ 
nutzbarkeit  als  Unterlage  füi*  unsere  Untersuchung,  in  welcher  Hin- 
sicht manche  unbedeutend  scheinende  Gegenstände,  als  wie  die  Dimen- 
sionen  der  Galleriegemälde    und    die   täglichen  Eegenhöhen   wichtig 
geworden  sind. 

Insoweit  aber  ein  saclüiches  Interesse  an  den  Gegenständen 
vorlag,  darf  man  aus  demselben  Grunde  nicht  erwarten,  die  Behand- 
lung derselben  in  diesem  Interesse  hier  erachöpft  zu  finden,  wenn 
Bclion  so  manche  Resultate,  die  in  dasselbe  hineinti-eten ,  von  selbst 
als  Nebenprodukte  der  Behandlung  abfallen  werden.  Jeder  der  ge- 
nannten Gegenstände  könnte  zu  einer  monographischen  Behandlung 
Änlass  geben;  aber  ein  wie  großes  Werk  würden  nur  che  Rekruten- 
maße erfordern,  sollte  eine  verglei eilende  Darstellung  und  Diskussion 
derselben  für  die  verachiedeuen  Länder  und  in  denselben  Landern 
für  die  verschiedenen  Jahrgänge  oder  eine  solche  für  die  ydiädel- 
diniensionen  der  verschiedenen  Rassen  oder  für  die  Gliedenuigs- 
verhältnisse  der  verschiedenen  Gramineen  durchgeführt  werden!  An 
Durchführungen  dieser  Art  ist  hier  nicht  zu  denken.  Dagegen  macht 
daSj  was  hier  an  Beispielen  aus  verschiedenen  Gebieten  erläutert 
und  bewiesen  wii-d,  allerdings  Anspruch,  bei  jeder  ausgedelmteren 
Behandlung  derselben  Gebiete  Anwendung  und  Berückaiclitigung  zu 
finden.  ■]  ■ 


t)  [Aimicrliuiig:  Den  Aiigabeti  dieses  Kapitels  ist  hiuznzTifOgcii ,  dass  eine 
teUwcige  Ncubesciiaffutig  des  L'ntcrauchungsmateriulcs  uötig  war,  du  außer  Bruch- 
teilen der  R<?kniteamal3c  iiiid  der  MaCc  der  Ilog^eiihalme  ron  keüiem  der  be- 
leiehnetcu  K.-O.  Urügteti  oder  primäre  Verteil iiiigBtafclii  sich  vorfandeit.  Z^rai 
wurde,  soncit  es  thiinlich  war,  diM  Uutersuchuuggm&tcrial  aus  den  angegebeacD 
QucUeD  ergöQ^tt;  insbesondere  unirdco  Maße  fQr  Oallcricgpinälde  deu  Katalogen 
der  atteu  Pinnkothek  xu  München  imd  der  Gemälde gallcrie  m  Oarmstadt,  für  die 
tfiglichen  Regenhöhen  von  Genf  den  Archires  des  sciences  physiqnes  et  naturelles 
der  Bihliotheque  iiniverBelle  entuommen  ,«.  Kap,  XXI,  BOivie  XXVI  und  XXVH'. 
Aber  an  Stelle  der  Beobachtungen  thermischer  und  barometrischer  Tageawcite  auf 
dem  Feissenbei^  dienten  cntspreoheude  Werte,  die  für  Utrecht  im  Niederliudi- 
schen  Jahrbuche  für  Meteorologie  piibliiiert  sind  (a.  Kap.  XXIII  und  XXVlIl 
Deu  Kruatz  für  ^e  Sehüdehnaße  schließlich  is.  Kap.  Sil  und  XXII;  verdanke  ich 
Herrn  Prof.  Welcker,  der  die  Güte  hatte,  mir  die  Maße  vou  rund  500  enro- 
pfiiHcheii  Miiuicrschädeln  zu  übermittcl».] 


A 


IV.  Requisiten;  Abnonnitäten. 

§  13.  Soll  ein  K.-G.  eine  erfolgreiche  Untersuchung  zulassen, 
so  muss  er  gewisse  Bedingungen  ei-füUen,  die  zum  Teil  in  seinem 
Begriffe  liegen,  zum  Teil  sich  allgemeineren  Gesichtspunkten  unter- 
ordnen. 

Nach  der  einleitend  vorausgescliickten  Erklärung  soll  ein  K.-G. 
ein  unter  einen  bestimmten  Begriff  fassbarer,  in  seinen  quantitativen 
Bestimmungen  nach  Zufall  schwankender  Gegenstand  aus  unbestimmt 
vielen  Exemplaren  sein.  Nun  lassen  sich  unendlich  viele  Exemplare 
von  ihm  nicht  haben,  doch  muss  man  besprochenennaßen  mciglichst 
viele  von  ihm  zu  erhalten  suchen,  so  viele,  dass  die  strenggenommenen 
nur  für  eine  unendliche  Zahl  in  Anspruch  zu  nehmenden,  idealen 
Gesetze  des  Zufalls  noch  mit  einer  für  den  angestrebten  Grad  der 
Genauigkeit  hinreichenden  Annäherung  bestätigt  werden  können. 
Aber  sei  diese  Bedingung  hinreichend  erfüllt,  so  muss  ein  K.-G.  noch 
aus  anderen  Gesichtspunkten  normal  oder  fehlerlos  sein,  wie  wir 
uns  kurz  ausdrücken  mögen,  um  sich  den  gesetzlichen  Bestimmiuigen 
zu  fügen,  die  sich  als  die  allgemeinsten  für  K.-G.  aufstellen  lassen, 
welche  diesen  Fehlem  nicht  unterliegen. 

Hierzu  gehört  vor  allem,  dass  die  Exemplare  aus  keinem  an- 
deren Gesichtspunkte  zu  einem  K.-G.  zusammengenommen,  noch 
solche  davon  ausgeschlossen  werden,  als  im  Begriffe  des  Gegenstandes 
begründet  liegt,  dass  also  der  Gegenstand  nicht  nur  aus  vorigem 
Gesichtspunkte  vielzahlig,  sondern  auch  insofern  vollzählig  sei, 
als  alle  von  ihm  in  den  Grenzen  seines  Begi'iffs  sich  darbietenden 
Exemplare  auch  wirklich  mit  gezählt  werden,  nicht  etwa  aus  dieser 
oder  jener  Neben rücksicht  der  eine  oder  andere  Teil  der 
Maßskala  in  Wegfall  komme,  hiennit  der  Gegenstand  so  zu  sagen 


32  nequimten;  AbnonDitUeti. 

Terstiimmelt  werde,  wie  es  z.  B.  der  Fall  sein  würde,  wenn  in 
Rekrutenniaßtafeln  die  sog.  tintermäßigen  ausgeschlosaen  werden  soll- 
ton, indes  gegenseits  der  Gegenstand  auch  möglichst  rein  und  un- 
gemischt erhalten  werden  mnss,  d,  h.  Exemplare,  (he  nach  irgend 
einer  Seite  aus  seinem  Begriffe  heiaustreten,  von  ihm  ausgeschlossen 
werden  müssen,  also  z.  B. ,  wo  der  Kollektiv  begriff  auf  gesunde 
Individuen  geht,  Exemplare  mit  krankhaft  veränderten  Dimensionen 
in  Wegfall  kommen  müssen;  daher  in  die  von  mii'  zu  behandelnden 
WKLCKKE'schen  Schädelmaße  weder  f^sförmig  aufgetriebene  Hydrtv- 
ce|»hale  noch  entadiieden  raikrocepliale  iScliädel  mit  eingelien.  Daran 
aber  knü)>fen  sich  Bemerkungen  von  allgemeiner  Tragweite. 

§  14.  Gewiss  ist,  dttss  die  Grenze  zwischen  gesunden  und  krank- 
haft veränderten  Schädeln  nicht  sicher  zu  l)68timmen  ist,  und  eine 
entsprechende  Unsicherheit  über  (be  Abgi-enzung  des  Gegenstandes 
Jcehii  in  sehr  vielen  anderen  Fällen  wieder;  wenn  aber  nur  die  IJn- 
siciierheit  sich  in  so  engen  Zahlengrenzen  hält,  dass  die  Git'nzen  der 
Unsicherheit,  die  man  sich  wegen  unausgeglichener  Zufalhgkeiten  ge- 
fallen lassen  nmss,  dadurch  nicht  überschritten  werden,  kann  kein 
erheblicher  Nachteil  im  ganzen  daraus  erwachsen,  und  wird  man 
sich  durch  den  Erfolg  seihst  befriedigt  finden  können,  wenn  der, 
nach  bestem  Ermessen  abgegrenzt«  Gegenstand  sieh  den  nornmlen 
Verteilungsgesetzen  fügt,  oder  winl  man  sti  viele  Exemplare  abschneiden 
können,  dass  es  der  Fall  ist. 

Jedoch  erhebt  sich  hierbei  folgende  sehr  wichtige  Frage:  Es  ist 
freihcli  logisch  selbstverBtändhch,  dass,  wenn  gesunde  Individuen  oder 
Teile  von  solchen,  wie  Schädel,  hinsiclitlich  der  Verteil ungs Verhält- 
nisse ihrer  Exemplare  untei-sucht  werden  sollen,  nicht  solche,  welche 
als  krank  erkannt  oder  dafür  angenommen  sind,  mit  eingemischt 
wenlen  dürfen,  und  nicht  minder  selbstvcrständhch ,  dass  die  Fest- 
stellung der  Verhältnisse  für  gesunde  Exemplare  ein  größeres  Inter- 
esse hat,  als  für  eine  Mischung  von  gesunden  und  kranken;  nur 
scheint  es  wider  die  Allgemeinheit  der  Aufgabe  der  Kollektivmafllehie 
zu  laufen,  zur  Feststellung  der  allgemeinsten  Verteilungsgesetze  den 
K.-G.  aus  bloß  gesunden  Exemplai-en  dem  Gegenstände  aus  einer 
Mischung  von  gesunden  mit  kranken  vorzuziehen. 


Reqninten;  Abnoroifttten. 


33 


In  der  That,  wenn  die  kiMnkhaft  veränderten  Scliüdal  aus  dem 
I  Begriffe  der  gesunden  herausti-eten,  so  fallen  sie  doch  noch  unter 
t  den  Begriff  der  Scliäilel  überliaupt,  und  was  bei-echtigt  uns,  bei  Auf- 
I  suchung  der  allgemeiasteu  Gewetze  für  K.-G.  die  kranken  Schädel 
[auszuscheiden,  da  wir  vielmehr  hierzu  nur  den  weiteren  Begriff,  der 
I  Rlle  Schädel  einschließt,  statt  des  engeren  der  gesunden  anzuwenden 
I  hätten;  und  es  giebt  unzählige  andere  Fälle,  wo  eine  gleiche  Mög- 
I  lichkeit  der  engeren  und  weitei-en  Fassung  besteht;  ja  streng  ge- 
[  nonunen  besteht  eine  solche  überall,  da  zuletzt  alle  K.-G.  sich  unter 
I  dem  Begriffe  eines  existierenden  Wesens  vereinigen  lassen,  der  nur 
'  nach  verschiedensten  Richtungen  verengert  werden  kann.  Doch  würden 
mit  dem  Versuche,  unsere  für  allgemein  ausgegebenen  Gesetze 
an  sehr  weiten  Fassungen  der  K,-G.  zu  bewähren,  schlecht  fahren, 
indem  sie  sich  nicht  oder  nur  unvoUkoniniL-n  daran  bewähren  würden, 
I  indes  sie  doch  bei  hinreichend  engen  Fassungen  für  die  allervcr- 
t  scfaiedenaten  K.-G.  dieselben  bleiben  und  insofern  ihre  Allgcniein- 
I  glÜtigkeit  bewähren.  Nun  fragt  sich,  welcher  Gesichtspunkt  niaß- 
I  gebend  für  die  einzuhaltende  Beschränkung  der  Weite  ist. 

Diese  scheinbar  schwierige  Frage  ist  nüt  Rücksicht  auf  folgende 
I  thatsächlichen  Verhältnisse  zu  beantworten. 

Wenn  wir  Gegenstände,  die  hei  hinreichend  enger  Fassung  für 
I  sich  den  für  die  verschiedensten  Gegenstände  gemeinsamen  Verteilungs- 
l  gesetzen  entsprechen,  vennischen,  so  muss  folgende  Bedingung  er- 
füllt sein,  wenn  auch  die  Mischung  denselben  Gesetzen  noch  ent- 
sprecheji  soll:  Die  Konstanten  oder  wesentlichen  Elemente,  diircli 
welche  die  Verteilungs Verhältnisse  bestimmt  werden,  also  mindestens 
arithmetischer  Mittelwert  und  mittlere  Abweichung  davon,  womit  die 
anderen  Elemente  mehr  oder  weniger  zusammenhängen,  dürfen  für 
die  komponierenden  Gegenstände  niclit  weiter  von  einander  abweichen, 
als  durch  unausgeglichene  Zuß.lligkeiten  erklärhch  ist,  wonach  wir 
einstimmige  und  disparate  Gegenstände  als  solche  unterscheiden 
können,  welche  diese  Bedingung  erfüllen,  und  welche  sie  nicht  er- 
fttllen,  andererseits  einheitliche  und  zwiespältige  als  solche, 
weiche  aas  einstimmigen ,  und  welche  aus  disparaten  Gegen- 
ständen   zusammengesetd;     sind.      Jede    Erweiterung     d&s    Begriffs 


84 


Itet]m(!teB;  Almonnitilteii. 


no  Znsnmmonsotziing  do^solben   mit  oinei 
mögücherweise    diNparaten    Gegen stündei 


eines  K.-G.  aber  führt  e 
oder  mehi-eren  aiiflereii, 
mit  sicL. 

Aus  diesem  Gesichtspunkte  nun  ist  hei  fielen  Gegenständen  1 
mittelbar  einleuchtend,   dass  sie  nicht  vermischt  werden  düi-fen. 
der  That  wird  es  niemand  einfallen,  Männer  und  Frauen  oder  Kindat 
und  Erwachsene  in   denselben  K.-G.   zu   vereinigen,   wenn  die  Vei 
teilung   ihrer  Exemplai-e   hinsichthch    der  Körperlänge    in   Betracld 
gezogen  werden  soll,   ungeachtet  sie  gemeinsam   unter  den  weitere^  I 
Begriff   menschlicher  Wesen    fallen;    aber    man   weiß    vorweg,    daw'J 
•wesentlich   verschiedene   Mittelwerte  daftlr  bestehen ,   wodurch  sie  im  J 
disparaten   Gegenständen   werden.     Und  so   muss  auch  eine  Zusam 
mensetzung  gesunder  Schädel   mit   krankhaft  veränderten  Schädebd 
zu   einem  K,-G.   unstatthaft  gefunden   werden,    insofern   beide 
dis])arat  gegen  einander  verhalten. 

§  15.  Alls  diesem  Gesichtspunkte  scheinen  mir  aehr  instruktiw 
die  Ergebnisse  aus  Untei-suchungen  über  die  Rekrutenmafle ,  die,)! 
nach<leni  ihi-er  oben  [Kap.  TII  unter  lA)  flüchtig  ei-wähnt  ist, 
zweiten  Teile  dieses  Werkes  (Kap.  XXTV]  eingehender  injtgeteilt  1 
werden  sollen. 

Eekrutenmaße  können  überhaupt  für  die  verschiedensten  Länder,  | 
Zeiten,  Altersstufen  unter  dem  weitesten  Begriffe   solcher  Maße  zu-4 
sammengefasst,   aber  auch  sehr  spezialisiert  werden;   und  von  1 
herein  wird  man  z.  B.    18  jährige  Rekruten   eines  Landes  nicht  nufil 
20  jährigen  eines  anderen  Landes  gemischt  behandeln  wollen,  da  beidsll 
sich  durch  verschiedene  Mittelmaße  unterscheiden;  aber  auch  gleic 
alterige  Rekruten  desselben  Landes  lassen  Spezialisierungen   in  ver*^ 
schiedenem  Sinne  zu.    So  habe  ich  die  Rekrutenmaße  von  (sojährigen)"" 
Leipziger  Studenten  einerseits  und  die  der  übrigen  Leipziger  Bevölke- 
rung,   sog,   Leipziger  StadtmaBe,    andererseits   besonders  behandelt. 
Pur  die  ersten  hat  sich  eine  sehr  befriedigende,  für  die  anderen  eine 
nach  gewisser  Beziehung  unvollkommene  Bestätigung   der  aufzustel-^ 
lenden  allgemeinen  Verteilungsgesetze,    welche   ich  fundamentall 
nenne,  ergeben;  indem  sich  hei  Vergleich  zwischen  Rechnung  und;! 
Beobachtung    gezeigt    hat,     dass    hei    letzteren    die    kleinen    Maße  j 


Requisiten;  A^oninUlten. 


35 


l 


vetliältnisinäBig  häiißger  vorkümmen ,  als  es  naeli  Berecliiiung  auf 
Gnmi]  der  fundamentalei)  Gesetze  der  Fall  sein  sollte,  ohne  dass 
unausgeglichene  Zufälligkeiten  hinreichten,  es  zu  erklären.  Dasselbe 
ei^b  sich  für  dii'  Rekniteninaße  der  gemischten  Bevölkerung  ver- 
schiedener größerer  Distrikte  Sachsens.  Was  ist  der  Unterschied 
de«  ersten  von  den  anderen  Füllen?  Die  Rekrutenniaße  der  Studenten 
beziehen  sich  auf  den  beschränkten  Umfang  aus  verhältnismäßig 
wohlhabenden,  einem  normalen  Wachstume  der  Individuen  die  Mittel 
nicht  versagenden  Ständen;  die  an<leren  auf  Individuen  aus  einer 
Miscbung  solcher  Stände  mit  Ständen,  in  welchen  es  von  der  Zeugung 
and  Geburt  an  mehi'  oder  weniger  an  »eichen  Mitteln  mangelt,  und 
abnorm  verhüttete  Individuen  nicht  selten  vorkommen,  deren  Maße 
in  die  Rekrutenmaßhste  mit  aufgenommen  sind,  wenn  schon  die 
Individuen  selbst  in  den  Dienst  nicht  mit  eingestellt  werden.  In 
dieser  Hinsicht  dürften  folgende  Data  interessieren. 

In  den  mir  zu  Gebote  stehenden  20  Jahrgängen  von  Leipziger 
StudentenrekrutenmaBen  mit  einem  Gesamt-n«  =  2047  fällt  nur 
ein  einziges  Individuum  (mit  60  Zoll)  unter  das  Maß  64  Zoll');  in 
1 7  Jahrgängen  von  Maßen  der  -übrigen  Leipinger  Bevölkerung  (kurz 
Leiiwiger  Stadtmaße;  mit  einem  Gcsamt-m  =  8402  fallen  197  In- 
dividuen unter  L4  Zoll  (das  kleinste  mit  48  Zottj;  und  reduzieren 
wir  IQ7  nach  Verhältnis  des  Gesamt-/»,  so  fallen  gegen  i  Indi- 
viduum der  Leipziger  StudentenmaBe  noch  48  der  Leipziger  Stadt- 
maße  unter  64  Zoll.  Die  Leipziger  gemischte  Bevölkerung  enthalt 
aber,  wie  die  jeder  großen  Stadt,  einen  großen  Prozentsatz  elendes 
Proletariat.  Doch  weiter:  3  Jaltrgänge  Reki-utenumße  der  Boma- 
schen  Amtshauptmannschaft  außer  Leipzig  (vorzugsweise  kleine  Städte 
und  ackerbauende  Dörfer  einschließend)  mit  m  =^  2642  gaben  absolut 
50  oder,  wie  vorhin  reduziert,  39  Maße  unter  64  Zoll  [mit  dem  Mini- 
malmaße 5 1  Zoll),  und  3  Jahrgänge  Ilekrutcn  der  Annahorger  Aiuts- 
hauptmannschaft  (viel  Gebirgs-  und  arme  Fabrikhevölkening  ein- 
schHeßend)  mit  m  =  30Ö7  absolut  62,  reduziert  41  Maße  unter 
64  Zoll   (mit  dem  Minimalmaße   49  Zoll).      Also  nach   Proportion 


j  [t  Bächaiaeher  Zoll  =^  zj,6  mm.] 


36  Reqnititen;  AbnonäitBten. 

des  w;  haben  wir  überhaupt  beziehentlich  für  die 
teilungeD : 

I  48  39  4 

Maße  unter  64 '},  und  gehen  wir  zu  den  arithmetischen  Mitteln  (nach  1 
den  primären  Tafehij  über,  so  finden  sich  folgende  Werte  in  sächsi- 
schen Zollen: 

Stud,         Lpzg.  St.  M.         Borna  Annjiberg 

71,76  6g,6i  69i34  69,00. 

Also  ist  das  arithmetische  Mittel  der  Leipziger  Studenten   um   mehr  ] 
als  2  Zoll   größer    als   das  der  gemischten  sächsischen  Bevölkerung, 
und  dasselbe  gilt  ftir  Zentralwert  und  dichtesten  Wert.    Ajidererseit»  J 
ist  die  mittlere  Abweichung  bezüghch  des  arithmetischen  Mittels  nach  1 
einer  für  alle  Abteilungen  gleichföniiigen  Bestiinmungaweise  in  säch- 
sischen Zollen  für: 

Stud.         Lpzg.  St.  M.         Borna  Ännaberg 

2, Ol  a,26  J,I4  2i33- 

Und  natürlich  würde  der  Unterschied  nach  beiden  Beziehungen  noch 
mehi'  betragen,  wenn  die  gemischte  Bevölkerung  der  drei  letzten  Ab* 
teilungen  in  solche  mit  normalem  und  solche  mit  abnormem  Wachs- 
tiune  zerlegt  und  beide  einander  gegenüber  gestellt  werden  könnteiL 
Dabei  ist  nicht  zu  behaupten,  dass,  wenn  wir  die  Rekniten  des 
Proletariats  wirkhch  ebenso  für  sich  vor  uns  hätten  als  die  der 
wohlhabenden  Klassen  in  den  Studenten,  sich  unsere  fundamentalen 
Verteilungsgesetze  ebenso  gut  bei  jenen  als  bei  diesen  bestätigen 
würden,  weil  das  Proletariat  selbst  noch  ein  weiter  Begriff  ist,  welcher 
der  Spezialisierung  nach  verschiedenen  Riehtungen  fähig  ist,  und 
nicht  a  priori  zu  versichern  ist,   dass  seine   Speziahtäten  im   obigea 

I)  Weniger  aufffillig  als  beiüglich  der  kleinsten  Maße  ist  der  Unterschied 

iwischeti  den  Studeutcumaßeu  tiud  Maßen  der  anderen  drei  Abteilungen  beiüglicb 
der  ^oGteui  und  Btinunt  auch  die  Vcrtcitungsrechuuug  bei  IctüCercn  mich  oben 
besser  als  nach  unten;  docb  fcblt  ein  Untcrecbied  be^ügücb  der  )^oßten  Maße 
nicht  gani.  Die  Btudeuteumaße  scbloaseD  nach  oben  mit  den  drei  Maßen 
80.75;  Si.s;  die  Leipiiger  Stjidtniiißc  mit  79,5  ^nml  und  79,75;  die  Borua'schen 
mit  77,15;  77,75;  78,15;  die  Aunabcrg'Bcbeu  mit  76,75;  77,25;  78,5, 


I 
1 


BeipiiiiteB;  AbmniüUteii. 


37 


KSinut'  einstimmig  sind.  Ja  von  vomlieifin  wüidf  ihisselhe  etn-iisu 
I  Trenig  von  den  durch  die  Studenten  vertretenen  wohlliabenden  Kliussi-n 
behaupten   sein;   aber  da   die  Erfahrunft  selbst    lehrt,    dass    die 

■  Spezialitiiening  in  den  HtudenteniimBen  weit  genug  getrieben  ist,  um 
I  Eine  Bestätifjung  der  bt'tn?f!enden  Gesetze  zu  gestatten ,  so  weit  es 
r  Bberhanpt  wcjTtTi  unausgeglichener  Zufälligkeiten  müglich  ist,  so  dürfen 

■wir  ans  auch  Jabei  beruhigen,  wogegen  wir  hier  wie  dcirt  die  Speziu- 
lisiening  noch  weiter  zu  treiben  hätten,  wenn  sie  nicht  genügte. 

Auch  kann  recht  wohl  zugestanden  werden,  dass,  wenn  wir  nur 
Idas  m  der  Studentenrekrut^ninaße  recht  vergrößerten  und  dann  nach 
I  Terscliiedenen  Gesichtsiiunkten,  z.  B.  je  nach  der  Herkunft  aus  Dörfern 
I  oder  Städten  oder  aus  verschiedenen  Jahrgängen  oder  verschiedenen 
I Ständen    in   Abteilungen    sonderten,    die   nocli   ein   him-eichendes  n/ 

■  hätten,  um  feine  Unterschiede  der  wesenthc.hen  Elemente  mit  Siel ler- 
I  heit  entdecken  zu  können,  ea  au  solchen  nicht  fehlen  würde,  welche 
I  einer  voUkonimenen  Einstimmigkeit  zuwiderlaufen ;  und  es  hindert 
I  nichts,  eine  Aufgabe  der  Untersuchung  daraus  zu  machen. 

Aber  wenn  diese  Unterschiede  nur  klein  sind,  und  die  mancherlei 
I Abteilungen,    die    man    nach    den    verschiedensten    Gesichtspunkten 
Imachen    kann,    hiermit    die    Unterschiede    zwischen    den    Elementen 
'selbst,   mit  dem  Charakter  der  Zufälligkeit  variieren,   so  lässt  sich 
nicht  nur  vernünftigerweise  voraussetzen,  sonilem  lehrt  die  That^ache 
seihst,  dass  die  betreffenden  Unterschiede  der  Elemente  in  den  un- 
vermeidlichen  unau.'^gegli ebenen  Zufalhgkeiten    uuunterscheidbar  mit 
aufgehen  und  der  Bewähmng  der  fundamentalen  Gesetze  kein  wesent- 
liches Hindernis  entgegensetzen. 

§  i6.  Um  so  weniger  aber  darf  man  in  den  Abweichungen, 
welche  die  Vert^ilungsverhUltnisse  zu  weit  gefasstor  und  dadurch  zwie- 
spältiger K,-G.  von  den  fundamentalen  Gesetzen  zeigenj  einen  Wider- 
spruch gegen  diese  Gesetze  sehen,  als  es  prinzipiell  hinreicht,  die 
Mischungsverhältnisse  und  wesentlichen  Elemente  der  komponierenden 
Gegenstande  eines  zwiespältigen  Gegenstandes  zu  kennen ,  um  nach 
den  fundamentalen  Gesetzen  selbst  die  VerteÜungsverhältuisse  des 
zusammengesetzten  Gegenstandes  zu  berechnen,  so  dass  sie  also  auch 
in  dieser  Hinsiclit  Uiro  allgemeine  Gültigkeit  behaupten. 


Reqwiten;  AboonniUlten. 

Ailgi'iiit'iii  fulgt  aus  Voi'stciiemli'm,  diiss  wir  uns  hui  Ffststeliung' 
und  Prüfung  der  fundamentalsten  Verteilungsgesetze  nicht  nui'  hiit«n 
müssen,  die  nach  verscliiedensten  Riclitungen  auseinander  weichendeii 
V erteil ungsresul täte  zu  weit  gefEisster,  untriftig  gemischter  Gegen- 
stände gegen  die  Allgemeingültigkeit  der  für  liinreiLliend  eng  gefaaste, 
einhdtUclie  Gegenstände  in  Ansprach  genommenen  Gesetze  geltend 
zu  machen,  sondern  auch  hei  der  Wahl  zwischen  den  Resultaten 
einer  weiteren  und  engeren  Fassung,  unter  sonst  gleichen  Umständen, 
die  der  engeren  für  die  Konstatierung  der  fundajiientalen  Gesetze 
vorzuziehen  haben.  Den  vorigen  Betrachtungen  ordnen  sich  wesent- 
lich die  folgenden  unter. 

Die  Herkunft  der  Exemjilai-e  eines  K.-G.  aus  verschiedenen 
Räumen  oder  Zeiten  oder  beiden  zugteicli  fuhrt  leicht  nicht  nur 
qualitiiUve,  sondern  auch  quantitative  Verschiedenheiten  derselben  mit 
eich,  was  eine  besondere  Beachtung  insofern  verdient,  als  man,  um 
ein  hinreicliend  großes  m  für  eine  erfolgreiche  Untersuchung  zu  er- 
langen, sich  meist  veranlasst  oder  genötigt  findet,  den  K.-G.  aus 
Exemplaren  zusammenzusetzen ,  welche  verschiedenen  Räumen  oder 
Zeiten  angehören ,  ja  ganz  demselben  Räume  und  derselben  Zeit 
können  sie  überhaupt  nicht  angehören.  In  dieser  Beziehung  findet 
nun  ein  Konflikt  statt.  Die  Exemplare  aus  sehr  von  einander  ent- 
legenen oder  sehi'  weiten  Räumen  und  Zeiten  zusammenzunelmieo^, 
setzt  in  (üefahr,  disparate  Gegenstände  zu  vereinigen  und  hieimit 
fundamentalen  Verteilungsverhältnisse  zu  verfehlen;  die  Exempli 
aus  zu  engen  Raum-  und  Zeitgrenzen  zusammenzunehmen,  giebt  dsKJ 
unausgeglichenen  Zufälligkeiten  zu  gi'oßen  Spielraum,  um  wesentliche' 
Bestimmungen  überhaupt  mit  irgend  welcher  Sicherheit  abzuleiten. 
Die  einzuhaltenden  Grenzen  in  dieser  Hinsieht  aber  lassen  sich  nicht 
a  priori  ziehen,  und  schheBlich  rauss  der  Erfolg  selbst  entscheiden, 
ob  man  mit  der  angenommenen  zeitheben  oder  räumlichen  Weite 
des  Gegenstandes  zu  einer  befiiedigenden  Erfüllung  der  fundamen- 
talen Verteilimgsgesetze  gelangt;  wo  nicht,  die  Verengerung  weiter 
treiben,  und  wenn  man  damit  in  zu  kleine  Werte  von  m  hinein 
kommt,  um  Resultate  von  genügender  Sicherheit  zu  erlangen,  die 
Untersuchung     bis     zur    Erlangung    einer     größeren     Anzalil     von 


;nt- 


ReqnintcB;  AbnonntUten. 

EsL-iuptart-ii    imfgL'bLii.     Im  tUlgcmt'iiK'U    dm-fti'    diva  judi-iifiilln    duh 
PraktiacliHte  sein. 

§  17.    Eine  besondere  Aufmerksamkeit  verdienen  bei  der  Frage, 

oll  eiD  (Gegenstand  aus  disparat^n  Komponenten  zusammengesetzt  ist, 

folgende  zimi  Teil  üchon  beiülirtt'  Verhältnisse  der  Verteilungstufelii. 

In  imseii^n  Fundamentalgcsetzen  liegt  begründet,  dass  die  i  kon- 

tinuierlifli  mit  den  «  bis  zu  eintir  gewissen  Größe  des  a   aufsteigen, 

bei  weiter  waclisendem  a   aber  ebenso   kontinuierlich    absteigen,   so 

diiss  es  ein  Maximum  der  z  in  einem  mittleren  Teile  der  Verteilungs- 

tsifel  (beim  sog.  dichtesten  Werte)   und  zwei  Minima  respektive   beim 

Anfange  und  Ende  der  Tafel  (bei  den  exti-emen  a)  gieht.     Wenn 

man  die  a  eis  Abscissen,  diu  i  als  die  Ordinalen  nimmt,  kann  man 

dadurch   in    bekannter   Weise    die    gcsetuHchc!   Verteilung    graphisch 

darstellen  und  erhült  damit  eine  Kuive,  welche  bei  klein  genommenen 

'  glatt  bis  zu   einem  Gipfel   ansteigt  und   von   da  wieder  absteigt. 

Aber  bei  den  von  mir  sogenannten  primären,   d.  h.  unmittelbar  aus 

den  Urlisten  der  Maße  abgeleiteten  Tafeln  wird  man  insgemein  vom 

Anfange  herein  durch  die  ganze  Tafel  ein  unregelmäßiges  Auf-  und 

I  Absteigen  der  x   bei  kontinuierlichem  Wachsen   der  «,   hienuit  eine 

L  höckerige  Beschaffenheit  der  Verteilungskui-ve  finden;   wozu  die  pri- 

I  mären    Verteilungstafeln    des    VTI.   Kapitels    hinreichende    Beispiele 

I  gewähren.     Die   allgemeinste,   ja   nie   fehlende   Ursache   solcher   Un- 

I  regehuüßigkeiten   nun   liegt  jedenfaUs    in   unausgeglichenen  Zufiillig- 

I  keiten,   und   die    liiervon  abliiingigcn   Höcker   der  Kurve  schwinden 

f  durch   eine   hinreichend    weit  getriebene   Reduktion  der  Tafel,   d.  h. 

k  nach    frliher   [%  6j   angegebener   Erklärung,   JCusanunennahme   der   1 

I  für  gleich  gehaltene  Inten*alle  der  o  durch   die  ganze  Tafel   wie  in 

I  Kapitel  \TI1  auszuführen  und  dui-ch  Beispiele  reduzierter  Tafeln  xn 

belegen.     Aber  zum  Teil  kann  die  UrRachc   auch  darin  liegen,   dass. 

K.-G.  von  dispar'ater  Beschaffenheit  ihrer  Hauptwertc  sicli  gemiscbt 

I  haben. 

In  der  Tlrnt  liisst  sich  schon  aus  allgemeinem  Gesichtspunkte 
lifibersehon,  das»,  wenn  wii-  z.  B.  die  Maße  von  gleich  viel  Männern 
uUld  Frauen,  die  im  arithmetischen  Mittelwert  wie  dichtesten  Wert 
ftaebr  vou  einander  abweichen,  veraiischen  wollten,  diidurcb  weseutlich. 


40 

<1.  i.  ahgoselien  vou  unausgpgliclitnen  Zufälligkeiten , 
Entstehung  zweier  Maximal-;;  mitbin  zweier  dicliteaten  Weiie  ent- 
stehen würde,  ja  es  könnten  durch  Vemiischung  von  noeh  mehr  dis- 
paraten  Gegenständen  Verteilungstafeln  mit  wesentlich  noch  mehr 
Maximal-.-,  entstehen.  Jedenfalls  nun  eignen  sich  zur  Prüfung  der 
Fundamentalgesetze  der  Verti'ilung  nur  Vertcilungstafeb  mit  einem 
Maximal-i  im  Haupthestande  der  Tafel,  wogegen  kleine  Unregel- 
mäßigkeiten nach  den  Enden  der  Tafel  zu  ohne  erhebhche  Stöiimg 
sind.  Jjiegen  dsüier  Verteilungstafeln  vor,  welche  dieser  Bedingung 
nicht  entsprechen,  so  sind  sie  zur  Prüfung  der  Gesetze  nur  nach 
solcher  Keduktion  brauchbar,  dass  sie  durch  hinreichende  Ausgleichung 
der  Zufälhgkeiten  dersell>en  entsprechen,  wonach  sich  che  betreffenden 
Gesetze  an  der  reduzierten  Tafel  noch  sehr  wohl  bestätigen  küuni 
wenn  die  Melirlieit  der  Maximal-.?:  im  Haupthestande  der  Tafel  i 
lieh  nur  von  unausgeglichenen  Zufälhgkeiten  ahhing. 

Jedoch  ist  nicht  auHer  Acht  zu  lassen,  dass,  da  durch  die 
duktion  einer  Verteilungstafel  deren  Intenalle  vergrößert  werden, 
mit  den  unausgegb dienen  Zufälligkeiten  zugleich  die,  von  disparater 
Beschaffenheit  der  Komponenten  der  Tafel  abhängige,  Mehrheit  der 
Masimal-£  schwinden  kann,  wenn  diese  nämltch  auf  einander  nahe 
a  fallen,  welche  gemeinsam  in  das  durch  die  Beduktion  vergrößerte 
Intei-vall  treten,  hiermit  ununterscheidbar  werden,  ja  man  braucht 
nur  mit  der  Reduktion  und  hiermit  Vergrößerung  der  Intervalle  be- 
liebig weit  zu  gehen,  um  dies  sicher  zn  erreichen.  Also  wird  zwar 
die  Kegel,  die  hinsichtlicli  der  Verteilung  zu  prüfende  Tafel  durch 
Beduktion  auf  bloß  ein  Ma.\inml-A  und  einen  von  da  nach  beiden 
Seiten  absteigenden  Gang  der  x  zu  reduzieren,  beizubehalten  sein, 
doch  eine  etwaige  Abweicliimg  von  den  Fundaraentalgesetzen  dann 
immer  noch  möghcherweise  von  einer  disjiaraten  BeschaSenheit  der 
Komponenten  der  Tafel,  die  sich  durch  die  Reduktion  verwischt  hat, 
abhängen  können;  niitliin  auch  in  dieser  Beziehung  nur  die  Unter- 
suchung der  Verteilung  selbst  entscheidend  sein  können. 

§  i8.   Jedoch  wir  sind  mit  unseren  Requisiten  noch   nicht   zu 
Ende,     Gegenstande,   welche   von  Menschen   n 
Zwecke  oder  Ideen  gestaltet  sind,  kiu'z  nennen 


ung 
ideo^^H 


:  auf  gewisse  —   y 


Reqnintm;  AbnontdUUra. 


41 


'■niiUTlii-i^i-n  Irutz  der  Absicht,  die  Iji'i  üirer  Eutstfliung  obgewaltet 
.bat,  doch  hinsichtlich  der  Größenbestimuiungen ,  welche  dem  Zufall 
Doch  freien  Kaum  lassen,  den  KoUektivinaBgesetzen;  wenn  aber  Nelien- 
,  rückachtcn  oder  Nebenzwecke  tlie  Freilieit  des  Zufalls  durcli  Be- 
LTorztigiing  oder  AuHHchlieBung  einzelner  Dimensionen  wesentlich  be- 
f  cchränken,  so  kann  den  Gesetzen  auch  wesenthch  Abbruch  geschehen, 
f  was  sich  durch  folgende  Beispiele  erläuti'rt. 

Visitenkai-ten ,   sowie  die  sog.  Adresskarten  von  Kaufleuten  und 

I  Fabrikanten  sieht  man  auf  das  Mannigfaltigste  nach  Längp  wie  Breite 

!  ■  rarüert,  und  ich  glaubte  anfangs,  ein  voraügliches  Objekt  zur  Prüfung 

[flUiserer  Gesetze  darin  zu  haben,   du  sie  sich  in  großer  Anzahl,   sei 

I  aus  dem  täglichen  Verkehr,   sei  es  aiis  den  Musterblicheni  ihrer 

''erfertiger,   worin  sich  Probeexemplare  eingeklebt  finden    (deren  ich 

riele  Ton  verschiedenen  Verfertigera  zu  Messungen  benutat  habe),  er- 

[  lialtea    lassen    und    dabei  den  Vorteil   gewähren,   dass  man  die  Ge- 

L'Hanigkeit   der  Messung  und  Schätzung  mehr  als   bei   vielen  anderen 

I.Gegenständen  in  der  Hand  hat.     Alier  obwohl  sie  sich,   sei  es  nach 

sei  es   nach   Breite  geraessen,    unseren  Gesetzen  keineswegs 

|,'!gaiiz  entziehen,   bieten   sie   doch   nur  eine   sehr  unvollkommene   Be- 

[  vähning  derselben  dar.   wovon   mnn   den  Grunil   in   folgenden  Um- 

[g  »fänden  suchen  kann. 

Bei  aller  Variation  Ütrvr  Dimensionen  wird  dodi  die  Fi'eilieit  des 
Zufalls  dadurch  eingescliränkt ,  dass  die  Verfertiger  insgemein  solche 
Dimensiooeu  vorziehen,  welche  gestatten,  die  Kartonhogen,  aus  denen 
bflie  Karten  geschnitten  werden,  möglichst  auszunutzen,  d.  h.  so  voll- 
indig  als  möglich  zu   verbrauchen,   dabei  auch   wohl  gewisse,   be- 
rsonders  beliebte  Verhältnisse  zwischen  Breite  und  Länge,  insbesondere 
:  3  oder  3  :  5  (Annähenmgen  an  den  gohlenen  Schnitt)  einzuhalten; 
Lmid  in  der  That  habt'  ich   mich   bei  den  Messungen  solcher  Karten, 
l^e  ich   in   din  Miisteihlichem   einer  Mehrheit  von  Fabrikanten  vor- 
kommen, überzeugt,  dass  bei  jedem  derselben  gewisse  Dimensionen 
Infter  vorkommen,  als  dass  man  es  als  zufällig  ansehen  könnte.     Die 
|. Dimensionen    der   Galleriegenmlde    im    Lichten    des    Bahmens    aber 
laterliegen  nicht  demselben  Nachteil  und  werden,   nachdem  ich  eine 
große  Menge  MixQv  dei-selhen  aus  den  Katalogen  der  verschiedensten 


4S 


Aequiüten;  Abnonnitlteo. 


tJ;UliTii.'ii    KU  hiuiiiiu'iiKi'liraclit   (viTgl.   Kap.  XXVI),   du   vor/ügliclios 
Miib'j'i)il  Kur  Bcniiliruiig  Aer  lugaiitlunischen  MaQgesetze  liefern. 

ifi  19.  }tfi  ili-n  Naturgegenatünden  anderorseits  gehciil  zu  den 
iliircli  den  Begriff  seiltat  bedingten  Eequisiten,  daas  die  Exemplare 
nicht  in  einer  naturgeaetzlichen  AhliUngigkeit  voii  einander  stellen, 
welche  au»  den  Zufallsgesetzen  lierimstritt,  Dieaer  Puntt  kommt 
tianK'iidieli  bei  meteorolügisclit'n  K.-G.  in  Rücksicht.  Thermonieter- 
und  BarouiüterNtündo,  sowie  andere  meteorologische  Wci-te  zeigen 
au  jedem  ürte  ein  awai-  Im  einzelnen  duich  Zufälligkeiten  gestörtes, 
aber  in  Mittelwerten  sieh  entschieden  herausstellendes,  gesetzliches 
Auf-  und  A  bsteigen  schon  beim  Verfolge  duix'b  die  Stunden  eines 
Ta^eH,  nicht  niinder  duirh  die  Tage  oder  Monate  eines  Jahres.  Diese 
sog.  periodischi-n  meteorologischen  Werte  fallen  nicht  unter  den 
Begiiff  eines  K,-0.,  sondern  nur  die  nicht  periodischen,  insofern 
sie  als  zufilUig  wechselnd  angesehen  wenlen  können.  In  dieser  Be- 
ziehung können  wir  in  KUrze  nieteorologisehe  Tageswerte,  Monats- 
werte und  -lahreswerte,  insofern  sie  Yon  ihren  neljährigen  Mitteln 
hhweiolien.  und  diese  Abweichungen  selbst  als  Tagesabweichun- 
gc»,  Monatsabweichuugen  tuid  Jahresabweichungen  unter- 
Bclieiden,  worauf  hier  etwas  liestimmter  einzugehen  sein  wird,  da 
vielfach  Anlass  sein  wird,  auf  solche  zurückzukommen.  Knüpfen 
wir  die  KrUtuti-ruiig  an  die  tJienuischen  Werte  und  Abweichungen, 
wovon  sich  die  l.  hertrugung  auf  andere  Arten  meteorologischer  Werte 
und  Aliweichungen  von  sellist  ei^eht. 

Thermische  Tageswerte  kann  jeder  nach  seinem  Jahresdatum 
IwMtimmte  Tag  iusltesondere  gelten,  sagen  «ir  z.  B.  der  1.  Januar. 
NehuaeQ  wir  als  Teui{>oratur  dieses  Tages  aii  eioem  gegebenen  Orte 
ia  vinern  gegehemii  Jahn?,  kur«  als  ihermischen  Tageswert  des 
I.  Januar  sei  es  di-»  «us  sein««  24  ätund«n  bestimmten  Mitt^wert 
oder  ^  Teiu)MTatur  eiuer,  dam  konseqaeat  beizubt-lutlteodvn .  U^ 
alimmkm  Tag««stui»le  oder  «idi  «Us  SGttrI  aus  der  Maximal-  and 
MiniwatlwHw.'rUur  dvs  Tagrs.  Dieser  Tageswcrt  des  1.  Jaawu-  sei 
danA  «■■«  Rctbe  ruo  .rahren  hinter  «oancler  beolMditet.  Die  laA 
d«u  Jithnn  niBiUig  wedeelndni  T^igcswerte  rvp^bentictea  fie  ITii« 
fiare  m  omb  Kttlkhem K.-G.    Man  tiehe  dvus  ikn  iillfciniliiliiH 


Reqiüüteti;  Abnonnititm. 


43 


r  Millflwei'l,  iiidfui  niiin  die  äutiiiiie  der  TageswertL-  mit  der  ZiiliI  dci- 
I  selben  dividiert,  welche  mit  der  Zahl  der  Jalu*.  duich  welche  maii 
I  beobachtet  hat,  zusauuiienfallt.  Diesen  Mittel  liuiße  das  allgemeine 
I  thermische  Tagesiuittel  des  i.  .lanuar,  luid  die  Äbweicliungen 
\  der  in  deD  verschiedenen  Jahren  erhaltenen  Tageswerte  (t  vim  flem 
[gemeinen  Tagesniittel  Ä  bilden  dann  die  einzelnen  Tagesabweiehun- 
'.gen,  wclclie  nadi  der  angegelienen  Bezeielmungsweise  mit  J  xa  bi-- 
l  zeichnen  Bind.  Entsprechende  Bestimmungen  künneu  für  den  2.  Ja- 
I  niiar  und  jeden  an<lei'en  Jahiestag  an  jedem  Beobafhtungwortc  ins- 
besondere erhalten  wertkn. 

Arnttatt    für   jeden  Tag   des  Jahres   aller  kiiimen  solcJie  Bestim- 
'laungen  auch  für  jede  bestimmte  Woche  des  Jahres,  fiii'  jeden  Munal 
'  dea  Jalires    und    für  das    ganze  Jahr  selbst  aus    mehrjähiigen   Be- 
obachtungen erhalten  werden,   die  dann  als  Wochenwerte,   Wocheii- 
I  Abweichungen,  Monatswerte,  Monataabweichungen,  Jalireswertp,  Jalu-ßs- 
[  ahweichungen  ku  bezeiciinen  sind.    Hiervon  verdienen  die  theniiisi;lien 
LMonat«verte    und    Monatsabweichungen    besondere   Beachtung ,    weil 
besonders  zaiilreiche  Bestimmungen  an  vielen  Orten  dafUi-  vorhegen. 
I  Die  themiischen  Monatswerte   als  a  erhält  man   also  z.  B.    flii'  den 
r  JuQuar  (und   entsprechend   filr  jeden   anderen  Monati   in   den  durch 
'  eine  Reihe  von  Jahren   besdnmiten  Mitteltemperaturen   des  Januar, 
f  welche  aus  den  31  Tagen  desselben  zu.  gewinnen  sind,  die  thennischen 
I  Monatsahweichungen  des  Januar  als  J  in   den  Abweichungen  dieser 
I  a  von  dem  allgemeinen  Mittel  der  a.     Anstatt  arithmetischer  Mittel 
und  Abweichungen  davon,  lassen  sich  aber  auch  andere  Hauptwerte 
und  Abweichungen  davon  aus  solchen  Werten  ableiten, 

Mete oi-o logische  K.-G.  dieser  Art  sind  für  die  Untersucliung 
ihrer  allgemeinen  Gesetze  überhaupt  aus  mehreren  Gesichtspunkten 
1  gcbÄtzbar;  eimoal  wegen  des  reichlichen  Materiales,  was  dafür  in  den 
l  Quellen  der  Meteorologie  vorliegt  oder  daraus  zusammengestellt  wer- 
l  den  kann,  zweitens  wegen  der  Genauigkeit  der  Bestimmungen,  die 
\  mit  den  meteoi'ologisehen  Beohachtuugsmitteln  und  Methoden  er- 
reichbar ist.  drittens  weil  diese  Gegenstände  bisher  das  einzige  Material 
L  liefern,  wonach  zu  beitrteilen,  ob  zeitbche  K.-G,  denselben  Gesetzen 
I  unterliegen   als  räumliche.     Nur   leiden   sie   au  dem   seiu'    wichtigen 


« 


Bequidten;  Abnonmtiten. 


Niiclitfil,  il«ss,  da  iliis  vi  derselben  mit  der  Zahl  der  Jalire,  durch 
ivelebe  die  Beoliachtungeii  reichen,  zusammenfallt,  nicht  leicht  ein 
großes  m  dei-sellieu,  ja  nirgends  bisher  ein  solches  vorhegt,  wie  es 
für  die  Sicherheit  der  daraus  zu  ziehenden  Resultate  erwünscht  wäre.') 

§  so.  Nun  kann  man  allerdings  ein  viel  größeres  m  aus  einer 
gegebeneu  Anzahl  von  Jahren,  als  die  Zahl  der  Jahre  betriigt,  auf 
folgendem  We^o  erhalten,  der  bei  wichtigen  Bedenklichkeiten  doch 
nicht  schlechtbin  zu  verwerfen  ist. 

Um  von  den  bestimmten  Vorstellungen  eines  QuETBLET'schen 
Beispiels  (s.  Quetelkt's  Lettres,  letzte  Vertikalspalt-e  der  Tabelle 
p.  78)  auszugehen,  nehmeu  wir  an,  die  Temperatur  aller  Januartage 
als  Mittel  zwischen  Minimum-  und  Masimura-Temperatur  jedes  Tages 
an  einem  bestimmten  Orte  [Brüssel)  sei  durch  10  Jahre  beobachtet 
worden,  so  werden  »ir  nach  angegebener  Bestimmungsweise,  welche 
als  korrekt  anzusehen  ist,  für  jeden  der  31  Januartage  als  K.-G., 
den  ersten,  zweiten,  ib-itten  u.  s.  w.  ein  )h  =  10  erhalten,  was  «el 
zu  wenig  ist,  um  die  Verteilungsgesetze  daran  zu  studiei-en;  hiergegen 
werden  wir  ein  »' =  310  für  den  ganzen  Januarmonat  als  K.-G. 
erhalten,  wenn  wir  nach  Quittblbt's  Vorgange  bei  dem  betreffenden 
Beispiele  so  verfahren,  dass  wir  die  3 1  Tagestemperaturen  des  Januar 
als  Exemplare  der  Januar-Tagestemperatur  für  die  10  Jahre  zusam- 
mennehmen, giebt  310  Exemplare,  hieraus  das  arithmetische  Mittel 
durch  DiWsion  mit  310  ziehen,  liienon  die  310  Abweichungen  /J 
nehmen  und,  weim  wir  wollen,  auch  die  anderen  Hauptwerte  mit  den 
Abweichungen  davon  daraus  liestimmen. 

Nun  leuejjtet  freilich  von  vornherein  ein,  dass,  da  abgesehen  von 
den  zufalligen  Änderungen  die  Temperatur  des  Januar  vom  i.  bis 
Tum  31.  Tage  gesetzlich  wächst,  wir  hiermit  eine  Komplikation  des 
zufälligen  Ganges  mit  einem  naturgesetzlichen  Gange  der  Tageswerte 
erhalten,  indes  streng  genommen  der  natui-gesetzbche  Gang  bei 
Untersuchung  der  wcsenthchen  Verteilungsgesetze  ausgeschlossen  sein 


11  Unter  den  70  OrWn,  fUr  nelehe  Dove  in  einer  seiner  Abhandlungen  die 
thenniiehen  MomiUnbn-cic)iiiii(cen  vcneiehiiet.  iat  ca  bloQ  Berlin,  tro  loo  all  »1 
ObersrhriUeii  wird,  indem  der  Verfolg  dirrch  13S  Jahre  geschehen  ist,  nud  bloß 
Prag  und  London  teigen  ein  m  Ober  90,  respektive  94  und  91. 


G 

1 


r  Ttequuiten;  AbnormlUten.  45 

[  Bgll.  Indes  lässt  sich  woLI  zugeben,  (iasw  die  Änderungen  der 
I  Tagestemjieratur,  welche  durch  den  gesetzlichen  Fortschritt  derselben 
1  während  eines  Kfonates  bedingt  sind,  gegenüber  der  durchschnittlichen 
GtöBc  der  zufälligen  Änderungen  der  einzelnen  Tagestemperaturen 
ZTi  wenig  in  Betracht  kommen,  um  die  Zufallsgesetze  erheblich  zu 
stören;  jedenfalls  dieselben  nicht  aufbeben,  sondern  eben  nur  stören 
I  können.  Aber  ein  wichtigeres  Bedenken  erhebt  sich  daraus,  dass 
I  ganz  abgesehen  von  dem  gesetzUchen  Fortschritte  durch  einen  Monat 
die  meteorologischen  Zustände  der  unmittelbar  auf  einander  folgenden 
Tage  überall  eine  gewisse  Abhängigkeit  von  einander  verraten,  welclie 
in  den  Gesetzen  des  Zufalls  nicht  vorgesehen  ist.  Im  allgemeinen 
folgen  sich  mehrere  warme,  d.  i.  über  der  Wertniitte  der  Temperatur 
des  Januar  stehende,  und  mehrere  kalte,  d.  i.  unter  dieselbe  fallende 
Tage  hinter  einander,  und  vollzieht  sich  der  Übergang  von  den  einen 
zu  den  anderen  nicht  sprungweise,  sondern  durch  successives  Auf- 
steigen bis  zu  einer  gewissen  Höhe  über  die  Wertmitte  und,  da  das 
Steigen  doch  nicht  ins  Unbestimmte  gehen  kann,  Wiedersinken  bis 
zu  einer  geringeren  Höhe  oder  bis  unter  die  Wertmitte,  nur  dass 
keine  regelmäßige  Periodizität  in  diesem  Wechsel  zwischen  Auf- 
steigen und  Absteigen  sichtbar  ist.  Ahnlich  mit  allen  sog.  unregel- 
mäßigen periodischen  Veränderungen, 

Hierzu  scheint  mir  nützlich,  die  Bemerkung  zu  machen,  dass  es 
ein   sehr  einfaches  Mittel  giebt,   sich  eben  so  von  den  Poi-derungen 

»des  reinen  Zufalls  füi-  derlei  Fälle  als  der  Nichtbefriedigung  durch 
diese  Fälle  zu  überzeugen.  Ich  habe  mir  aus  einer  Reihe  von  Jahren 
die  Ziehungslisten  sächsischer  Lotterien  verschafft,  in  welchen  die 
Gewinnnummem  nach  der  Reihenfolge,  wie  sie  herausgekommen,  ver- 
,  zeichnet  sind.     Wenn  ii-gendwo,    spielt  hier    der  Zufall   seine  reine 

I Rolle.  Bezeichnen  wir  nun  die  geradzahligen  Nummern  mit  einem 
+,  die  ungeradzahligen  mit  einem  — -,  und  verfolgen  die  Reihe  der 
Zeichen  durch  eine  große  Anzahl  von  nacheinander  folgenden  Ge- 
winnuummem,  so  finden  wir,  abgesehen  von  einem  kleinen  Unter- 
schiede wegen  unausgegücliener  Zufälligkeiten,  eben  so  viel  Folgen 
gleicher  Zeichen  als  Wechsel  der  ungleichen.  Thun  wir  aber  ebenso 
mit  den  +  Fällen   über  und  —  Fällen   unter  der   aus   der  Gesamt- 


46 


Hequiiitcn;  A^nonrnUteä. 


lidt  der  Fülle  bestiiumten  Wertmitt-P  hei  inel 
tabellen,  so  übei-wiegt  entschieden  die  ÄjizaJJ  der  Polgen  Über  die 
der  Wechsel,  Beweis  einer  aus  den  Zufailsgpsetxen  heraustretenden 
Äbliängigkeit  der  aufeinnnder  folgenden  raetetirnlotj^isülien  TaResw^erte. 
Weiter  aliur,  wenn  wii-  statt  voriger  Bezeichnung  der  aufeinander 
folgenden  Lotterienununern  jedes  Übei-steigen  einer  Nummer  durch 
die  folgende  mit  +,  jedes  Herabsinken  der  folgenden  unter  die 
vorige  mit  —  bezeielinen ,  so  finden  wir  beim  Verfolg  durch  eine 
große  Zahl  Nummern  (abgesehen  von  unausgeglichenen  Zufälligkeiten) 
die  Zahl  dt>r  Wechsel  doppelt  so  groß  als  die  der  Folgen;  thun 
wir  aber  eben  so  mit  einer  entsprechenden  Bezeichnung  der  auf- 
einander folgenden  meteonilogischen  Tageswei'te,  so  bleibt  die  Zahl 
der  Wechsel  weit  hinter  der  doppelten  Zahl  der  Folgen  zurück, 
zweiter  Beweis,  daas  das  Steigen  und  Fallen  der  meteorologischen 
Werte  von  Tag  zu  Tag  nicht  den  reinen  Zufallsgesetzen  gehorcht. 
Man  vervollständigt  und  verachäi'ft  diese  Untersuchung,  die  ich  für 
jetzt  Dui'  andeute,  um  in  einem  späteren  Kapitel  darauf  zurückzu- 
kommen, dadurch,  dass  man,  um  auch  die  Abweichungen  von  jenen 
Gesetzen  des  reinen  Zufalls,  welche  streng  nur  für  unendliches  m 
gelten,  durch  unausgeglichene  Zufälligkeiten  zu  berücksichtigen,  auch 
die  von  der  Endlichkeit  des  m  abhängigen  wahrscheinlichen  und 
mittleren  Abweichungen  von  der  Aussage  der  Glesetze  bestimmt,  wo- 
für sich  in  der  That  Formeln  aufstellen  lassen. 

Aus  einer  eingehenden  Untei-suchung  hat  sich  mir  nun  eigebim '), 
dass,  wähnend  die  meteorologischen  Werte  aufeinander  folgender  Tage 
desselben  Monates  die  angegebenen  Merkmale  der  Abhängigkeit  in 
eminentem  Grade  zeigen,  selbst  die  Monatsabweichungen  aufeinander 
.  folgender  Jahre  dei-selben  nicht  ganz  entzogen  sind ,  wenn  schon  sie 
80  schwach  und  wenig  entscliieden  zeigen ,  um  bei  Benutzung  dor- 
selhen  keine  erhebhche  Störung  der  Zufallsgesetze  besolden  zu  dürfen; 
und  es  verdient  aber  dieser  GegenaUmd  unstreitig  eine  noch  ein- 
gehendere und  ausgedehntere  Untersuchung  seitens  Fachmeteorologen 
mit  Hilfe  jener  Kriterien  im  Interesse  der  Meteorologie  selbst,  als  ich 


1  [Hier 


1  XXni.  Knp.  Belege  gegeben 


^ 


REqniaiten;  AbnonmUten. 

'  ihm  hier  liahe  zu  Teil  werden  lassen,  wo  es  nur  in  dem  Intort-sse 
geschah,  zu  erniittpln,  welcherlei  K.-G.  sich  Überhaupt  nur  Prüfung 
und  Anwendung  der  reinen  Zufallsgesetze  eignen. 

Inzwischen  ist  wichtig  zu  bemerken,  dass  die  nach  Vorigem  aus- 
geschlossen scheinende  Möglichkeit,  (Üe  ZufallBgesetne  auf  meteoro- 
logische Werte,  welche  eine  Äbhüngigkeit  der  genannten  Art  von 
einander  zeigen,  anzuwenden,  sich  für  den  Fall  wieder  herstellen 
könnte,  dass  bei  sehr  großem  m  die  Ahhängigkeiteveihältnisse  selbst 
zufällig  wechseln. 

Steilen  wir  uns  zur  Erläuterung  hiervon  eine  Urne  mit  unend- 
lich viel  weißen  und  schwarzen  Kugeln  vor,  welche  mit  Nummern 
bezeichnet  sind,  die  den  Abweichungsgrößen  von  einem  gegebenen 
Hauptwerto  entsprechen,  und  zwar  so,  dass  die  Zahl  des  Vorkommens 
von  jeder  dieser  Art  Kugeln  der  Zalil  des  Vorkommens  der  ent- 
sprechenden Abweichungswerte,  wie  sie  für  reine  Zufallsgesetze  be- 
stehen, entspricht.  Also  im  Falle  symmetrischer  Wahrscheinlichkeit 
sei  das  GAuss'sche  Gesetz  bezüghch  Abweichungen  vom  arithmetischen 
Mittel,  im  Falle  asymmetrischer  Wahrscheinhchkeit  unser  später  zu 
besprechendes  allgemeineres  Gesetz  auf  diese  Weise  repräsentiert;  wo- 
bei durch  weiße  Kugeln  positive,  durch  schwarze  Kugeln  negative 
Abweichungen  vorgestellt  werden.  Geschehen  nun  recht  viele  Züge 
nach  Zufall  aus  dieser  Urne,  so  werden  die  gezogenen  Kugeln  in 
ihren  Verhältnissen  das  betreffende  Gesetz,  abgesehen  von  den,  wegen 
der  immer  nur  endlichen  Zahl  der  Ztlge  noch  übrig  bleibenden ,  un- 
ausgeghchenen  Zufälligkeiten,  richtig  repräsentieren.  Aber  dasselbe 
wird  auch  noch  der  Fall  sein,  wenn  zwei,  drei  oder  mehr  Kugeln, 
welche  einander  in  ihren  Werten  nahestehen,  sei  es  nach  einer  he- 
' stimmten  Regel  oder  ohne  solche,  zusammengeklebt  sind,  so  dato 
man  sie  nur  zusammen  herausziehen  kann;  niu'  wird  eine  größere 
Zahl  der  Züge ,  ein  größeres  m ,  <lazu  gehören ,  um  eine  gleich  gute 
Befriedigung  der  betreffenden  (iesetze  zu  erlangen ,  als  es  bei  losen 
Kugeln  der  Fall  ist. 

kNatiirhch  kann  die  Frjige,  ob  es  sich  mit  den  meteorologischen 
Tageswerten  nach  Analogie  hiervon  verhält,  nicht  nach  dieser  Ana^ 
logie  als   abgemacht  angesehen   werden,   welche  bloß   zeigt,    ilass  es 


I 


48 


Reqäfsiten ;  'AbnoninlSteo. 


sich  inüglicIieiTi'eise  so  vorlüiUen  könnti'.  Doch  fügt  sicli  nicht  nur 
das  QoBTBLBT'sche  Beispiel  (Lettres  p.  78)  mit  in  =  310  (in  Wirk- 
lichkeit vielmehr  wegen  Fehlfiis  eines  Beobachtungstagea  309)  bei 
näherer  Untersuchung  durch  die  Vurteilungsweise  seiner  x  ganz  gut 
einer  solchen  Voraussetzung,  sondem  auch  thermische  und  baro- 
metrische Beispiele  mit  weit  gröBensm  m,  die  ich  selbst  in  Unter- 
suchung gezogen  (vergl.  Kap.  XXVII),  sprechen  fiu-  dieselbe,  so  dass 
sie  mindestens  mit  größter  Walu'seheinlichkeit  als  gültig  angesehen 
werden  kann,  was  nicht  mir  für  unsere  Lehre,  sondern  auch  für  die 
Meteorologie  von  Interesse  sein  dürfte,  Qoetblbt  selbst  ist  auf  die 
Frage  nicht  eingegangen. 

8  21.  Übrigens  ist  sehr  erwUnscht,  dass  doch  ein  meteorologisches 
Beispiel  zu  Gebote  stehe,  in  welchem  sich  das  Vorkommen  zahlreicher 
Einzelfalle  mit  fehlender  Abliängigkeit  der  successiven  Fälle  von 
einander  verbindet.  In  der  BibliothSque  universelle  de  Genfeve 
(Archives  des  sciences  physiques  et  naturelles)  findet  sich  in  jedem 
Monatshefte  eine  meteorologische  Tabelle  für  Genf),  worin  unter 
anderen  Kolumnen,  welche  für  Thei-mometer,  Barometer  u.  a.  w. 
gelten,  auch  eine  Kolunuie  mit  der  ifberschrift:  -Eau  tomb^e  dans 
les  24  heures<  gegeben  ist,  welche  für  jeden  stattgehabten  Regentag 
des  betreffenden  Monates  im  betreffenden  Jahre  die  Höhe  des  ge- 
fallenen Wassers  in  Milhmetem  angiebt.  Nun  folgen  allerdings  ge- 
meinhin mehrere  na.sse  wie  trockene  Tage  hinter  einander,  aber  — r 
und  das  ist  es,  worauf  es  uns  ankommt,  und  wovon  das  Analoge 
nicht  bei  den  aufeinander  folgenden  thermischen  oder  barometrischen 
Tageswerten  der  Fall  ist,  —  die  üu  Regenmesser  aufgefangenen 
Regenhöhen  auf  einander  folgender  Tage  veiraten  keine  Größen- 
abhüngigkeit  von  einander.  In  der  Tbat  sieht  man  schon  beim  ober- 
flächUchsten- Blick  die 'Regenhöhen  der  betreffenden  Kolumne  auf  das 
Um-egelmäßigste  weclisein  und  nicht  seU4?n  auf  die  gewaltige  Regen- 
höhe eines  Tages  eine  ganz  niedrige  des  nächsten  Tages  oder  um- 
gekehrt folgen,  Entscheidend  aber  in  betreffender  Hinsicht  sind 
unsere  obigen  zwei  Kriterien;  und  es  ist  bemerkenswert,  welch  andere 

ij  Eine  andere,  gaux  entsprechend  tüigerichtete  Tnliellc  l'Qr  die  meteorolo- 
gische Station  BuF  dem  St,  Beruhard. 


Reqniäten;  Abnomhlten. 


49 


» 


BeHuitate  sie  in  Bezug  auf  die   in  vorigtini  Sinne   verstandenen   täg- 
ichen  Bfgenliohen  als  auf  die  tbennisclien  und  barometrisclien  Tages- 
l-wertt"  geben,  wozu  man  sjüitet-  (Kap.  XX!!!;  Belege  finden  wird. 

Ich  habe  midi  demgemüB  die  Mühe  nicht  vei-drießen  lassen,  die 
der  Genfer  Zeitschrift  enthaltenen  Data  für  die  Genfer  Regen- 
ihen  aus  sämtlichen  Jahi-gängen ,  durch  welche  sie  reichen,  aua- 
iiziehen,  und  habe  nach  den  12  Monaten  12  Abteilungen  daraus 
ibildet,  deren  jede  einen  besondere  zu  behandelnden  K.-ö.  darstellt. 
Darin  sind  z.  B.  als  Exemplare  a  des  Januar  nicht  nur  alle  ßegen- 
höhen  (unstj-eitig  meist  aus  geschmolzenem  Schnee),  welche  in  einem 
Januarmonat  vorgekommen  sind,  sondern  welche  in  den  Jamiai-- 
monaten  aller  Jahre,  durch  welche  <lie  Regenböhen  verfolgt  sind, 
stattgefunden  haben,  zusammengenommen,  und  hierdurch  wird  für 
jeden  Monat  ein  sehr  betiüchtlicbes  r«  erlialten.  Nun  ließ  sieb  freibch 
besorgen,  dass  diese  Mühe  für  unseren  Zweck  vergeblich  wai,  weil 
sicli  ja  gar  nicht  a  priori  beliaupten  ließ,  dass  die  H^genliöben  über- 
haupt sich  denselben  Verteilmigsgesetzen  fügen  wie  Reknttenmaße, 
SchÜdclmaße  u.  dgl. ;  aber  ün  Gegenteil  bat  sie  sich  datlurcb  gelohnt, 
daß  die  Regenböhen  mit  den  Dimensionen  der  Gallcriegemälde  bisher 
das  einzige  Material  liefern,  woran  sich  unser  logarithmisches  Ver- 
teilungsgesetz  dui'chscb tagend  bewähren  ließ,  indem  sie  mit  einer 
ungeheueren  Asymmetrie,  welche  die  Hauptwerte  weit  auseinander 
fallen  macht,  zugleich  im  Verbältuisse  zu  deu  Hauptwerten  sehr  staike 
mittlere  Abweichungen  bieten,  wodurch  sie  sich  der  Anwendbarkeit 
der  arithmetischen  Behandlungsweise  entziehen  (s.  Kap.  XXI,  sowie 
XXVI  und  XXVII).  Und  unstreitig  hat  es  sein  besonderes  Inter- 
esse, diisa  so  versohiedene  Dinge  wie  Gemäldedimensionen  und  Regen- 
höhen sich  so  bestimmten  und  eigentümlichen  Verteilungsgesetzen, 
als  wir  aufzusteUen  haben  werden,  gemeinsam  unterordnen. 

Sehr  möglich  übrigens  giebt  es  noch  einen  anderen  Fall  meteoro- 
logischer Tages wei-te  von  entsprechender  Successionsunabhängigkeit, 
am  diesen  kurzen  Ausdruck  zu  gebrauchen,  als  die  täglichen  Regen- 
hohen  zeigen,  auf  den  um  so  mehr  nötig  ist,  etwas  näher  einzugehen, 
ah  er  unt«r  die  empirischen  Unterlageu  unserer  Untersuchung  mit- 
fällt   und   von   Quktelbt    selbst    zu    den    seinigen  in    einer    meines 


50 


R«<|iilMten;  A^nonniUten. 


Erjiclitens  freilich  niclit  triftigen  Weise  augozogen  ist,  in  welcher 
Beziehung  mehrfach  von  mir  darauf  zurückzukommen  sein  wird.  Das 
sind  die  sog.  Variation^  diumes  von  Quetelkt,  wovon  Qübtklbt  in 
seinen  Letti-es  p.  174  fg.,  mit  Tabellen  p.  408  bis  411  handelt,  indes 
ich  seihst  in  dem  Kap.  XX VH  näher  darauf  zu  sprechen  komme; 
hier  aber  bloß  die  Natur  dei-selben  vorläufig  feststelle  und  mit  Bezug 
auf  die  fraghche  Unabhängigkeit  ins  Auge  fasse. 

Es  ist  oben  gesagt  worden,  daas  Qdbtblet  die  Temperatur 
Tage  jedes  Monates  als  Mittel  zwisclien  ^Maximum-  und  Minimum- 
temperatur jedes  Tages  (für  Brüssel)  festgestellt  und  dies  durch 
10  Jfilire  fortgeführt  hat.  Die  Abweichung  zwischen  beiden  Tem- 
peraturen, als  deren  Mittel  die  Tagestemperatur  gilt,  ist  nun,  das, 
was  QcETBLBT  >variation  diume«  (tägliche  Variation)  nennt  Dabei 
muss  man  sich  wohl  vergegenwärtigen,  dass  diese  Abweichung  der 
beiden  Tagesextreme  von  einander  gi-oB  oder  klein  bei  derselben 
Mitteltemperatur  dazwischen,  also  derselben  Tagestemperatur,  sein 
kann,  dass  mithin  die  Successionsabhängigkeit,  welche  die  Tage^tempe- 
raturen  zeigen,  sich  gar  nicht  notwendig  auf  die  Variations  diumes 
zu  erstrecken  braucht.  In  der  Tliat  kann  dieselbe  Tagestemperatur, 
z.  B.  von  10°,  als  Mittel  aus  15,5°  und  10,5°,  aus  8°  und  12°,  aus  5° 
und  15°  hervorgehen,  was  Vaiiationen  resp.  von  1°,  4",  10°  giebt; 
ja,  wenn  an  einem  Tage  die  Temperatur  ganz  konstant  bliehe,  so 
könnte  sie  noch  so  hoch  oder  niedrig  sein,  und  die  Variation  würde 
doch  null  sein.  Wie  nun  Qüktelet  die  Temperatur  der  Tage  jedes 
Monates  durch  10  .Tnlu^  verfolgt  hat,  die  man  als  Exuniplai-e  eines 
K.-O.  behajideln  kann,  so  die  zugehörigen  Variations  diiirnes,  worin 
man  Exemplai-e  eines  anderen  K.-G.  sehen  kann.  Zwar  hat  Qoeteltct 
die  Variations  diumes  nicht  für  alle  Ta^e  jedes  Monates  spezialisiert, 
was  Tabellen  von  gewaltiger  Ausdelmung  erfordert  haben  würde, 
ohne  die  Möglichkeit  der  Übersichtlichen  Zusanuueofassung  zu  ge- 
währen, aber  er  hat  p.  410,  41 1  Tabellen  gegeben,  worin  für  jeden 
Monat  angegeben  ist,  wie  oft  wahrend  10  Jahren  die  Variation  diume 
zwischen  0°  und  1°,  zwischen  i"  und  2",  zwischen  2"  und  3°  u-  s.  w. 
betragen  bat,  kui-z  reduzierte  Inte  nall  tu  fein  im  Sinne  unseres  späteren 

I.)  Kapitels. 


allol^^ 


J 


Bei]iiüdteii:  AbnonüUUn- 


51 


Wenn  nun,  wie  oben  bemerkt,  die  Variations  diumos  ilii-er  Grüße 

lach  wesentlicli  imabliängig  TOn  der  Große  der  zwischen  ihnen   lie- 

Vgenden  Tages tenipe rat uren  erscheinen,  mithin  die  SuccessionaabhUngig- 

eit  derselben  niclit  notwendig  zu   teilen  brauchen,   so   scheint  auch 

B^ner  solchen  Abhängigkeit  zu  mdersprechen,   dass  die  Tabellen  der 

Bonatlichen  Yariations  diumes  bei  einem  m,   was   für  die  einzelnen 

kfonate  zwischen  282  [Februai']  und  50g  bis  310  (Januar  und  August) 

ibwsnkt,   einen  so  i-egelraäßigen  Gang   und   eine   so   gute   Üherein- 

K  Stimmung  mit  den  sonst  gültigen  Gesetzen  asymmetrischer  Verteilung 
2bigeu,  als  man  bei  vorhandener  Successionsabhängigkeit  kaum  er- 
warten   möchte;    indessen    zeigt   die    von  Qubtklet  p.  78   gegebene 

L Tabelle  der  Tagestemperaturen  des  Juli,  verghcben  mit  der  zuge- 
börigen  Tabelle  der  Variations  diurnes  p.  411,  dass  der  Gang  der  x 

■jn  beiden  Tabellen  ähnlich  und  gleich  regelmäßig  ist,  so  dass  man 
auch  ohne  Annahme  der  betreffenden  Unabhängigkeit  schon  nach 
dem  erst  besprochenen  Prinzip  diese  Tabelle  würde  als  brauclibar  in 

I  dem  Sinne  ansehen  können,  wie  es  von  uns  geschehen  wii-d. 
§  22.  Hiemach  noch  folgende  allgemeine  Bemerkungen: 
Im  allgemeinen  werde   ich  Punkte,   wodurch   sieh   K.-G.,   selbst 

'  bei  hinreichend  großem  m,  also  abgesehen  von  unausgeghchenen  Zu- 
Siligkeiten,  der  Bewährung  unserer  Gesetze  entziehen  können,  als 
ITngehörigkeiten  oder  Abnormitäten,  Gegenstände  aber,  welche 
davon  frei  sind,  als  einwurfsfreie  bezeichnen.  Die  Abnormitäten 
»nd,  wie  man  sieht,  verscliiedener  Art  und  können  die  Gültigkeit  der 

I  Gesetze  in  sehr  verschiedener  Hinsicht  und  sehr  verschiedenem  Grade 

'  beeinträchtigen,  Es  kann  zu  den  allgemeinen  Aufgaben  der  KoUektiv- 
maßlefare  gerechnet  wi-nlen,  den  Einfluss  dieser  Abnormitäten  test- 
sustellen,  was  teils  theoretisch  mit  Rücksicht  auf  die  an  den  fehler- 
freien Gegenständen  erkannten  Verteilungsgesetze,  teils  empirisch 
geschehen  kann,  und  zwar  letzteres  auf  einem  doppelten  Wege. 
Einmal  kann  man  den  Erfolg  der  Abnormitäten  an  den  abnormen 
Beispielen. selbst,  welche  die  Wirklichkeit  bietet,  verfolgen;  zweitens, 
und  dies  scheint  mir  der  zugleich  fruchtbarere  und  zur  Kontrolle  des 
ersten  Weges  selbst  mit  zuzuziehende  Weg,  man  kann  künstlich  Ver- 
tfiltuigstafdo    mit   gegebenen    Elementen    konstmieren ,    welche    den 


52 


Reqüiriten;'  AbnwnnUtei). 


^m  Vau 


fehlerlosen  VeiteihinRÄgeactuüti  genau  fiitspi-echen,  dann  rliese  oder 
jene  Abnormität  daran  anbringen  und  den  Erfolg  auf  die  Werte 
der  Elemente  und  deren  Verhältnisse  darsius  entnehmen. 

Hier  liegt  nodi  ein  Feld  der  Unteraucbung  für  andere  vor,  da 
ich  da»Relbe  über  der  schon  so  weitschichtigen  Aufgabe,  die  Vei-hält- 
nisse  der  K.-G.  unter  der  Voraussetzung  der  Fehlerlosigkeit  fest- 
zustellen, keineswegs  hinreichend  erledigt  habe. 

In  jeder  Hinsicht  vollkommen  fehlerfreie  Gegenstände  mit  großem 
m  sind  bei  der  Mannigfaltigkeit  niöghcher  Fehler  wohl  kaum  ku 
beschaffen,  und  es  sind  dalier  bei  den  Gegenständen,  welche  empi- 
riHcherseits  zur  Feststellung  oder  Bewälirung  der  fiindamentjilen  Ge- 
setze der  K.-G.  dienen  sollen,  außer  den  Abweichungen  von  den 
idealen  gesetzliehen  Verteilungsverhältnissen  wegen  Endlichkeit  des  m 
und  Größe  des  i  noch  Abweichungen  wegen  mangelnder  Erfülhmg 
der  Requisiten  oder  kurz  wegen  Fehlerhaftigkeit  insoweit  zuzulassen, 
als  sie  sich  in  Iiinreichcnd  engen  Grenzen  halten,  um  nicht  gegen 
die  Gültigkeit  der  aufgestellten  Fundamentalgesetze  selbst  Bedenken 
zu  erwecken,  worüber  freilich  dem  subjektiven  Ermessen  immer  ein 
gewisser  Spielraum  bleibt.  Bestimmungen  und  Verhältnisse,  die  so- 
wohl den  Abweichungen  wegen  der  Endlicldceit  des  m,  als  wegen 
Größe  des  /,  als  wegen  mangelnder  Erfüllung  der  Requisiten  ent- 
zogen sind,  nenne  ich  hiemach,  außer  dem  schon  gebrauchten  Aus- 
drucke fundamentale,  auch  normale  o3er  ideale,  sofern  sie  in 
der  Wirklichkeit  nur  in  Annäherungen  vorkommen. 

Übrigens  ersieht  man  aus  Vorigem,  worin  für  die  KollektivmaB- 
lehre,  trotzdem  dass  sie  sich  aus  den  im  Vorworte  angegebenen  Ge- 
sichtspunkten zu  den  exakten  Lebren  recluien  kann,  die  Schwierig- 
keit liegt,  es  in  ihren  Anwendungen  zu  ganz  sichei-eu  Resultaten  zu 
bringen.  Es  sind  andere  Punkte,  als  für  die  Physiologie  und  Psy- 
chopbysik  in  dieser  Hinsicht  bestehen;  aber  sie  haben  einen  ähnlichen 
Erfolg.  Immerhin  bleibt  es  ein  Vorzug  aller  dieser  Lehren  als 
exakter,  einmal  die  Sicherheit  im  einzelnen  docli  so  weit  als  möghch 
zweitens  zu  allgemeinen  Gesetzhcbkeiten  zu  führen. 
23,  Die  bisherigen  Bemerkungen  betrafen  Requisiten,  welche 
Untersuchung  zu  nehmenden  K.-G.   selbst  zu  erfüllen  haben; 


^ 


Requisiten;  Abuormitaten.  53 

aber  es  giebt  auch  Kequisiten,  welche  die  Untersuchung  zu  erfüllen 
hat.  Die  Verteilungstafeln  können  in  mehr  oder  weniger  zweckmäßiger 
oder  brauchbarer  Form  aufgestellt  werden,  worüber  in  Kap.  VII  und 
Vlil  Näheres  gesagt  ist.  Die  unausbleibUchen  Fehler,  welche  bei 
Messung  der  Exemplare  begangen  werden,  müssen  unerheblich  genug 
sein,  um  nicht  störend  in  die  Bewährung  der  Gesetze  einzugreifen, 
und  die  Messungsgenauigkeit  wird  daher  im  allgemeinen  so  weit 
zu  treiben  sein,  dass  die  Messungsfehler  gegen  die  Kollektivabwei- 
chungen vernachlässigt  werden  können.  Bei  den  Messungen  pflegen 
die  auf  dem  Maßstabe  angegebenen  Abteilungen  noch  durch  Schätzung 
untergeteilt  zu  werden;  und  hierbei  ist  sehr  gewöhnhch,  dass  die 
ganzen  und  halben  Abteilungen  bevorzugt  werden,  was  ich  den 
Fehler  der  ungleichförmigen  Schätzung  nenne,  und  wovon  ich  Bei- 
spiele bez.  der  Bekrütenmaße  und  Schädelmaße  in  Kap.  VII  anführe. 
Solche  Fehler  können  für  die  genaue  Bestimmung  der  Elemente 
nachteihg  sein,  und  es  gilt  daher  dagegen  auf  der  Hut  zu  sein  und, 
wo  solche  vorliegen,  sie  durch  eine  angemessene  Reduktion  möglichst 
unschädlich  zu  machen,  worüber  künftig  das  Nähere.  Bei  der  Menge 
der  zu  nehmenden  Maße  sind  Versehen  in  der  Maßnahme  selbst  oder 
deren  Aufzeichnung  nur  zu  leicht  möglich,  und  es  giebt  vielleicht  kein 
anderes  Mittel,  sie  sicher  zu  vermeiden,  als  die  Messungen  zweimal 
imabhängig  von  einander  vor^nehmen  und  dadurch  zu  kontrollieren, 
wie  von  mir  bei  Messung  der  Roggenähren  geschehen;  da  aber  die 
mühselige  Arbeit  dadurch  verdoppelt  wird,  wird  man  sich  schwerlich 
überall  dazu  verstehen.  Noch  schwerer  ist  es,  Rechenversehen  bei 
Verwertung  einer  großen  Menge  von  Maßen  für  Bestimmung  der 
Elemente  und  Bewähnmg  der  Gesetze  zu  vermeiden ;  und  mindestens 
bezüglich  jedes  auffälUgen  oder  wichtigen  Resultates  ist  eine  Kontrolle 
durch  Wiederholung  der  Rechnung  nicht  zu  ersi)aren. 

Im  allgemeinen  giebt  es  zur  Bestiimnung  der  Elemente  sichere 
und  unsichere  Wege,  und  natürlich  sind  die  ersten  an  sich  vorzu- 
ziehen; da  aber  überhaupt  nur  Approximationen  an  die  idealen 
Werte  der  Elemente  erreichbar  sind,  so  kann  es  sein,  dass  ein 
kleiner  Vorteil  in  dieser  Hinsicht  nicht  gegen  die  Erleichterung  in 
Betracht  kommt,   welche  ein  etwas    minder   sicherer  Weg  gewährt, 


54  Requisiten;  Abnonnitäten. 

und  80  kann  aus  praktischem  Gesichtspunkte  ein  solcher  doch  vor- 
zuziehen sein,  wenn  er  genügt,  ein  Resultat,  was  man  im  Auge  hat, 
noch  mit  zufriedenstellender  Sicherheit  zu  konstatieren.  Astrono- 
mische Genauigkeit  und  Sicherheit  lässt  sich  nun  einmal  in  diesem 
Falle  nicht  erzielen,  und  es  kann  sein,  dass  durch  den  vergebhchen 
Anspruch,  eine  solche  doch  erzielen  zu  wollen,  eine  Untersuchung 
überhaupt  undurchführbar  wird. 


T.    Gauss'sches   Gesetz  der  zufälligen  Abweichungen 
(Beobachtungsfehler)  und  dessen  Verallgemeinerungen. 

§  24,  Nachdem  Gauss')  das  Giimdgesetz  der  sog.  Beobachtungs- 
tehler,  d.  i.  der  zufälligen  Abweichungen  von  Beobachtungsmitteln,  nicht 
nur  theoretisch  aufgestellt  hat,  sondern  auch  dasselbe  von  Bbssbl^] 
an  astronomischen  Datt'n  empirisch  bewährt  worden  ist,  litss  sich 
vermuten,  dass  es  bloß  gelte,  .dies  Gesetz  auf  die  zufälligen  Ab- 
weichungen der  Exemplare  a  eines  K.-G.  von  ihrem  arithmetischen 
Mittel  A,  also  auf  die  0  bezüghch  dazu,  zu  übertragen,  um  dafür 
das  Entsprechende  wie  für  die  Beobachtungsfehler  zu  haben,  d.  h. 
damit  ein  Gesetz  zu  haben,  welches  gestattet,  nach  empirischer  Fest- 
stellung des  arithmetischen  Mittels  und  eines  Hauptabweichungs- 
wertes bezliglich  dazu,  als  wie  der  mittleren  Abweichung  1  =  SQ:  m, 
die  ganze  Verteilung  eines  K.-G.  nach  Maß  und  Zahl  zu  bestimmen, 
d.  i.  zu  bestimmen,  in  welchem  Verhältnisse  zur  Gesamtzahl  m  (vor- 
ausgesetzt, dass  diese  nicht  zu  klein  ist]  Exemplare  in  irgend  welchen 
GröBengrenzen  der  Abweichung  vom  Mittel  vorkommen. 

Da  wir  nun  hei  der  Aufgabe,  ein  allgemeines  Verteilungsgesetz 
für  K.-G.  zu  finden,  jedenfalls  von  dem  GAcss'schen  Gesetze  (kui-z 
G.  G.)  werden  auszugehen,  wiederholt  darauf  zurück  zu  kommen 
haben,  und  es  in  der  That  in  gevrisser  Beschränkung  für  K.-G.  an- 
nähernd zulänglich  finden,  nur  schließlich  einem  allgemeineren  Ge- 
setze sich  unterordnen  werden  sehen,   so  wird  hier  Einiges  Über  dies 


^^B      reg.  Seil 

L 


[Theorin  raotus  corponim  coelestium,  1809.  Lib.  II,  Sect  in.  —  Theoiia 
cambinationiB  obBerTntioiiuiii  crroribiiB  minimi«  obnoxiae;  Commentatioiies  BocieL 
reg.  Soient  Getting.  rcc.  Vol.  V.  1823.) 

Il   [Fundaineut«  aBtronomiae,   1818;  Seol.  11. J 


üesetz  vorauszuschicken  sein.  Fach-Astronomen  und  Phjsiktrn  ist 
es  itwar  längst  bekannt  und  geläufig,  indem  sie  auf  Grund  desselben 
den  bei  Bestinmiung  eines  Beobaclitimgsmittels  gemachten  waluw 
scheinhchen  Felder  berechnen;  aber  ich  habe  hier  auch  andere  Kreise 
der  Leser  und  andere  Verwendungsweisen  des  Gesetzes  vorauüza- 
setzen  und  gehe  deshalb  zunächst,  anstatt  von  dem  unpopulären  Int»- 
graläusdrucke  des  Gesetzes,  von  dem  leicht  verständheben  tabellari*^ 
sehen  Ausdrucke  aus,  in  den  sich  dasselbe  übersetzen  lässt  und  füi-  die ' 
praktische  Verwertung  ohnehin  überall  übersetzt  werden  muss.  Später 
iKap.  XVH)  wird  auf  dasselbe  im  Ausgange  von  seinem  Integralau»- 
drucke  zurückgekommen  werden ;  für  jetzt  wird  das  Folgende  genügen. 

Was  darin  vom  Gesetze  ausgesagt  wird,  sind  nur  wesentüehe 
Bestimmungen  desselben  in  dem,  §  4,  besprochenen  Sinne;  denen  man 
aber,  insoweit  überhaupt  das  Gesetz  besteht,  um  so  nälier  zu  kommen 
erwarten  darf,  je  mehr  sich  die  Zahl  der  Werte  und  mithin  Ab--: 
weicbnngen,  worauf  es  bezogen  wird,  vervielfältigt.  Besprechen  wir^ 
nun  dasselbe  gleich  in  seiner  Anwendung  auf  Kollektivabweichungen. 
Nach  der  Konvention,  §  10,  käun  der  allgemeine  Ausdruck  ö 
Bezug  auf  Ä  mit  ^,  und  e  mit  1;  vertauscht  werden;  doch  bleiben 
wir  hier  bei  den  allgemeinen  Ausdrucken  stehen. 

§  25.    Der  allgemeine  Sinn  des  Giüss'schen  Gesetzes  ist  nack^ 
schon   oben  gemachter  Andeutung    der,    unter  Voraussetzimg   eint 
sjTnmetrischen  Wahrscheinlichkeit  der  Abweichungen  bez.  des  arith^] 
metisehen  Mittels  A  und  eines  großen,  streng  genommen  unendlich« 
m,  was  der  Ableitung  des  A  zu  Grunde  liegt,   die  relative  oder  ab;, 
solute  Zahl   der  Abweichungen    Q   und   hiermit  abweichenden  a 
bestimmen,  welche  zwischen  gegelwnen  Ab«-eichungsgrenzen  entkilten 
ist,   mit  Rücksicht,   dass  diese  Bestimmung  empu-isch  durch   unaus- 
geghchene  Zufälh'gkeiten  um  so  mehr  alteriert  werden  kann,  je  kleiner 
das  der  Ableitung  des  A  zu  Grunde  liegende  m  und  hiermit  das 
dieser  Abweichungen  selbst  ist. ')    Kurz  das  G.  G.  ist  ein  VerteÜun| 


1^  Er  kann  Kueb  der  Fall  vorkommen,  dass  du  A  aus  etncni 
geleitet  ist,  aber  die  Verteilunggrerhaltnisae  nur  für  eine  kleine  Zahl 
drangen   untermicht   werden,    doch   ahitrahiere  ich   hier    von   diesem 
interessierenden,  luBammengeseuteu  Fall. 


in 
•en  ^^^ 

.eöH 


OAUSS^Bches  Gesetz  und  dessen  Verallgemeinerungen.  57 

gesetz  der  Abweichungen  und  hiennit  abweichenden  a  unter  obigen 
Voraussetzungen. 

Man  habe  also  einen  vielzajiligen  K.-G.  vor  sich,  welcher  den 
im  vorigen  Kapitel  angegebenen  Requisiten  genügt,  habe  aus  den, 
bemerktermaBen  mit  a  zu  bezeichnenden,  Exemplaren  das  arithmetische 
Mittel  Ä  =  2a:m  gezogen,  habe  die  positiven  und  negativen  Ab- 
weichungen dz  0  aller  einzelnen  a  von  A  genommen  und  aus  der 
Gesamtheit  der  0  ohne  Rücksicht  auf  ihr  Vorzeichen,  d.  i.  aus  ilu^en 
absoluten  Werten,  das  Mittel  €  =  2"  0  ;  ?w  gezogen,  so  hat  man  darin 
nach  schon  früher  gegebenen  Erklärungen  die  sog.  einfache  mittlere 
Abweichung  bez.  -4,  die  hier  als  mittlere  Abweichung  schlecht- 
hin gilt 

§  26.  Um  nun  die  Anwendung  des  Gesetzes  zuerst  an  seiner 
Aussage  für  einen  bestimmten  Fall  zu  erläutern,  so  soll  die  Zahl 
der  Abweichungen  gefunden  werden,  welche  von  -4  an,  d.  i.  von 
0  =  o  bis  zu  einer  Abweichungsgrenze  0  =  0,25  e  reicht,  oder,  was 
sachlich  dasselbe  ist,  welche  von  0 :  e  =  o  bis  0  :  «  =  0,25  reicht, 
so  findet  sich  diese  Zahl  nach  einer  Tabelle,  in  welche  sich  das  G. 
G.  übersetzen  lässt,  gleich  15,81  p.  C.  der  Gesamtzahl  m  oder 
=  0,158  iw,  wobei  vorausgesetzt  ist,  dass  die  Zahl  nach  beiden 
Seiten  von  Ä  bis  zur  selben  Grenze  verfolgt  und  für  beide  Seiten 
zusammengezählt  wird.  Für  jede  andere  Abweichungsgrenze  als 
&:  €  =  0,25  giebt  dieselbe  Tabelle  eine  andere  relative  Abweichungs- 
zahl;  aber  erläutern  vdr  zunächst  die  vorige  Bestimmung  an  einem 
konkreten  Beispiel. 

Nehmen  wir  an,  wir  hätten  10000  Rekruten,  hätten  deren  A 
und  e  bestimmt,  ersteres  =  71,7  Zoll,  letzteres  =  2,0  Zoll  gefunden 
(wie  es  nahehin  für  die  Leipziger  Studentenrekrutenmaße  gilt),  so 
würden  unter  Voraussetzung,  dass  das  G.  G.  dafür  gelte,  1581  Re- 
kruten zwischen  ^1  +  0,25  e  einerseits  und  A  —  0,25  e  andererseits, 
d.  i.  zwischen  71,2  und  72,2  Zoll  fallen.  Sei  in  demselben  Sinne 
die  Grenzabweichung  0,  bis  zu  der  man  von  0  =  o  an  zählt,  gleich 
0,56  genommen,  mithin  0:£  =  o,5,  so  wird  nach  der  Tabelle  des 
Gesetzes  die  Zahl  der  von  0  =  o  bis  dahin  nach  beiden  Seiten  zu- 
gleich reichenden  Abweichungen  und   mithin  abweichenden  Weiie  a, 


58 


GAUSB'aeheB  Gesetz  und  desacn  Verallgeiiiemerungeii. 


d.  i.  die  ZaW  zwischen  70,7  und  72,7  Zoll,  31,01  p.  C.  der  Gesamt- 1 
zalil  öder  0,3101  m  betragen.  Und  so  wird  es  nach  dem  Gtesetze 
eine  entsprechende  BeBtimmung  für.  jeden  beliebigen  Wert  0:e 
als  Grenzwert,  bis  zu  dem  man  von  0 :  e  =^  o  an  zählt,  geben.  In- 
sofern sich  aber  doch  nicht  alle  möglichen  Werte  0 :  e  mit  den  zu- 
gehörigen Prozent-  oder  Verhältniazahlen  in  die  Tabelle  des  Gesetzes 
eintragen  lassen,  Ündet  man  in  einer  hinreichend  ausgefilhrtan  Tabelle 
jene  äquidtstant  und  einander  so  nalie  genommen,  dass  sich  da- 
zwischen interpolieren  lässt.  Die  folgende  Tabelle  nun  giebt  sie 
freiheb  nicht  in  einer  zur  genauen  Interpolation  hinreichenden  Nähe, 
wozu  man  sicli  an  eine  vollständigere  Tabelle  halten  muss,  aber  doch 
für  das  Vei-ständnis  und  die  hier  anzuknüpfenden  Erörterungen  ge- 
nügend. Dabei  bemerke  ich,  dass  ich  die  Zahlen  wie  0,1581  und 
0,3101  kurz  Verhältniszahlen  nennen  und  mit  ffl  bezeichnen 
werdp,  und  zwar  mit  ©[0:*],  wenn  sie,  wie  in  folgender  Tabelle, 
als  Funktionen  von  0 :  t  ausgedrückt  sind.  Durch  Multiplikation 
der  Verbältniszahl  C  mit  der  Totalzahl  m,  kurz  durch  mO,  erhält 
man  die  absolute  Zahl  von  0  :  e  ^  o  bis  zu  gegebener  Grenze  0 :  f. 
Umgekehrt  erhält  man,  wenn  die  absolute  Zahl  zwischen  diesen 
Grenzen  bekannt  ist,  die  Verbältniszahl  ffl  durch  Di\i8ion  der  ab- 
soluten mit  in. 

§  27.    ©  [0  :  6]-Tabelle  oder  kurz  e -Tabelle  des  Gadss- 
schen  Gesetzes. 


eiE 

»[«,.] 

0,00 

0.0000 

0,25 

1581 

o,SO 

3101 

0.75 

4504 

1,00 

5751 

1.25 

6814 

',50 

7686 

",75 

8374 

s,oo 

8895 

't'i 

9274 

2.5« 

9539 

©:£ 

»1«:.] 

Z.7S 

0,9718 

3,00 

9S33 

3,25 

9905 

3.5° 

9948 

3,75 

9972 

4,00 

9986 

4,25 

9993 

4,50 

9997 

4.75 

9998 

5,00 

9999 

5.25 

1,0000 

A 


OACss'gchea  Gesetz  iiud  desHen  Verollgeinciceningeti. 


59 


In  dieser  Tabelle  sind  angegebeiiermaßeu  die  Verhältniszahleii 
<D  stets  für  den  Ausgang  von  0 :  f  :=  o  bis  zu  einem  gegebenen 
Grenzwerte  0 :  e  beBtimmt.  Um  aber  VerliältniBzablcn  für  Intei-valle 
zwischen  zwei  verschiedenen  0 :  £  im  Laufe  der  Abweicbungpn  von 
A  zu  erhalte«,  sagen  wir  zwischen  0 :  *  =  «  und  &'.  e  =  [t,  braucht 
man  bloß  die  Differenz  der  dazugehörigen  (P-Werte,  also  <P[/i]  —  ®[f] 
zu  nehmen,  welche  allgemein  ip  heißen  möge,  wonach  z.B.  laut 
voriger  Tabelle  zum  Intervall  zwischen  &:  e  =  0,25  und  0  :  f  =  i,co 
die  mit  <p[j,oo  —  0,25]  zu  bezeichnende  Verbältniszahl  0,5751  —  0,1581 
=10,4170  gehört.  Folgende  Tabelle  enthält  die  r/j -Werte  für  gleich 
große,  sich  unmittelbar  aneinander  anscldießende  Intervalle  zwischen 
den  aufeinanderfolgenden  6:£  der  vorigen  e-Tabelle  vom  Anfange 
herein. 

y-Tabelle  des  GAuas'schen  Gesetzes. 


S««eMm  gleiche 

»:« 

0,00-0,25 

0,1581 

0,25-0,50 

1520 

0,50-0,75 

1403 

0,75-1,00 

1247 

1,00-1,25 

1063 

1,25-1,50 

0872 

">5o-i,75 

0686 

I,75-ä,oo 

0521 

2,00-2,25 

0375 

2,25-2,50 

0265 

3,50-2,75 

0179 

Succesnive  gleiche 

Interr&lle  twischcn 

9:t 

9 

a.7  5—3.00 

0,0115 

3,00-3,25 

ooya 

3,25—3,50 
3,50-3,75 
3,75-4,00 

0043 
0024 
0014 

4,00-4,25 

0007 

4.25—4,50 

0004 

4.50—4,75 
4,75-5,00 

0001 
0001 

5.00-5,25 

0001 

Auch  diese  Zahlen  tp  sind  mit  der  Gesamtzahl  in  zu  multiph- 
zieren,  um  die  absoluten  Zahlen  für  die  betrefEenden  Intervalle  zu 
erbalten. 

Bezeichnet  man  die  0:e  der  (P-Tabclle,  welche  immer  von 
©:fs=o  als  erster  Grenze  ausgehen,  kurz  als  lim.,  so  sieht  man, 
dafis  innerhalb  kleiner  Werte  von  lim.  die  verhältnismäStgen  Zahlen 
<C  den   liiu.    fast  propoiüonal  gehen;   ja  geht  man   nach  einer   voll- 


00 


GArss'gcheR  Gesetz  iiiiä  dcMcii  VerallgemciiieniDgcn. 


stUmligL-ren  ©-Tabelle,  als  hier  mitgeteilt  ist,  mit  den  lim.  bis  imter 
0,25  herab,  so  findet  eine  noch  gröBeio  Annülicmng  an  die  Propoi^  ; 
tionalität  statt,   die   innerhalb   unencUicIi  kleiner  Werte  von  lim.  als   ' 
genau  angesehen  werden  kann;   wogegen   bei  Aufsteigen  zu  großen 
Werten   Uni.   die  betreffende  Proportionahtät  gänzhch   fehl   schlägt; 
und  eine  Folge  davon  ist,    dass  in  der  (/-Tabelle  die  Verhältnis- 
iuililtii  if,  welche  den  ersten  der  aufeinander  folgenden  gleichen  Inter-  1 
valle  zwischen  den  lim.  zugehören,  fast  gleich  sind;  hiergegen  in  uia  \ 
so  atäi"kerem  Verhältnisse,  kurz  um  ao  rascher    abnehmen,  je  weiter  1 
man   vorgebt;   wie   denn   fili-  die   gleich    gTOflen   Intervalle    der  &:e   ' 
von  o  bis  0,25;  0,75  bis  1,0;  3,0  bis  3,25  u.  s.  w.  die  Werte  ip  resp. 
0,1581;  0,1247;  0,0072  u.  8.  w.  betragen. 

§  28,  Zur  Beurteilung  der  Gültigkeit  und  Anwi-ndburkeit  dea 
G.  G.  auf  die  Empirie  ist  darauf  zurück  zu  kommen,  duss  demselben 
die  Voraussetzung  einer  symmetiischen  W.  der  beiderseitigen  Al>- 
weichungen  0  bez.  Ä  zu  Grunde  liegt,  der  Art,  dass  unter  Voraus-  ( 
Setzung'  eines  großen ,  streng  genommen  unendlichen  m  für  jedes  9  \ 
auf  positiver  Seite  ein  gleich  großes  0  auf  negativer  Seite  zu 
wai-ten  ist;  und  die  Verhältniszahlen  Ö>  und  71  sind  »Is  Ausdruck  \ 
fitr  (he  W.  des  Vorkommens  der  Exemplare  bis  zu  gegebenen  Grenzen 
ihrer  Abweichung  von  A  oder  in  gegebenen  Intervallen  dieser  Ab- 
weichung anzusehen. 

Dies  scbliesst  nun  schon  bemerktermaßen  nicht  aus,   dass  ti-otz 
der  prinzipiellen  Gültigkeit  des  Gesetzes  unter  den  von  ihT«i    voraus- 
gesetzten   Bedingungen    mehr    oder    weniger    große  empirische   Ab- 
weichungen von  seinen  Forderungen  vorkommen,  weil  die  Bedingung 
eines  unendlichen  in  empirisch  nicht  zu  erfüllen  ist;   und   es  können   , 
also  Abweichungen  von  seinen  Forderungen  nui-  insofern  gegen  das- 
selbe  geltend  gemacht  werden,   als  die  Vergi'ößerung   des  m  nichts 
hilft,  diese  Abweichungen  dem  Verschwinden  näher  zu  bringen,  kura 
nur  insofern,  üIm  sie  nicht  auf  unausgeglichene  ZufäUigkeiten  wegen 
Endlichkeit  des  im  geschoben  werden  können,  woiüber  es  nicht  an  An-   \ 
halts}mnkten  fehlt,  die  an  ilirem  Orte  zu  besprechen  sind.    Aber  geben   ' 
wir  ;!unächBt  den  Folgeningen  des  Gesetzes  unter  Voraussetzung  seiner 
prinzipiellen  Gültigkeit  mich. 


GAom'wAie*  Oeieti  »nd  dMien  VerBllgeroeinenin^ea. 


61 


Im  Vorigen  ist  angegebfii,  wie  die  VerliältnisKalil  *  und  absoluti' 
Zahl  m  Q>  für  beide  Seiten  zu^anunen  von  dem  Werte  ±  Q:e  ab- 
liängt,  biw  zu  dem  man  sie  nach  beiden  Seiten  verfolgt.  Gescliieht 
dies  bloß  nach  einer  Seito,  so  wird  nach  der  vorausgesetzten  sym- 
metrischen W.  die  absolute  J5ahl  bis  zu  ge,gebenen  tirenzen  jederseits 
halb  so  groll  anzunehmen  sein ,  als  wenn  sie  für  beide  Seiten  bis  zu 
derselben  Abweichungsgrenze  verfolgt  wäre.  Indem  aber  aucli  die 
Totaktalil  beider  Seiten  zusammen  bei  großem,  streng  genommen  un- 
endlichem m  sich  nach  derselben  sjTnmetrischen  W.  auf  j  m  reduziert, 
bleiben  die,  nach  dem  G.  G.  zu  berechnenden,  Verhültniszahlen  jeder 
Seite,  resp.  0'  und  0,,  gleich  mit  der  totalen  Verhältniazahl  0,  wo- 
gegen die  einseitigen  absoluten  Zahlen  lm0'  und  ^m0,  nach  dem 
G.  G.  für  halb  so  groß  anzunelmien  sind  als  die  beidei-seitige  Zahl 
ni  0  bis  zur  selben  Grenze  ±  0. 

Empirisch  freihch  trifft  die  Gleichheit  der  beiderseitigen  absoluten 
Zahlen  bis  zur  selben  Grenze  wegen  unausgeghchener  Zufälligkeiten 
nicht  zu;  aber  das  G.  G.  abstrahiert  eben  von  diesen  Zufälligkeiten 
und  setzt  den  Fall  voraus,  dass  der  Unterschied  m'  —  m,=^ii  gegen 
m  verschwindet.  Es  würde  also  auch  uni-echt  sein,  wenn  man  e  für 
die  Berechnung  von  0'  gleich  ^  (•)'  :  ni'  und  fUr  (he  von  Q»,  gleich 
—  &,:m,  nähme,  sondern  tüi"  ff''  und  0,  mu-ss  ebenso  als  für  Ö»  der 
aus  der  Totalität  zu  berechnende  Wert  t  =  2Q:m  dienen,  da  man 
sonst  der  Voraussetzung  symmetrischer  W.,  welche  dem  G.  G.  zn 
Grunde  liegt,  widersprechend  auf  beiden  Seiten  bis  zu  denselben  Ab- 
weichnngsgrenzen  verschiedene  Äbweichungszahlen  erhalten  würde. 
Auch  hat  QuBTELBT  bei  seinen  Vergleichstabellen  zwichen  Rechnung 
nach  dein  G.  G,  und  Beobachtung  dies  nicht  anders  gefasst.  Andei-s 
freilieb,  wo  euie  asymmetrische  W.  der  Abweichungen  bez.  A  be- 
steht, wie  es  thatsiiohlich  bei  Kollektivabweichungen  der  Fall  ist,  wo 
das  G,  G.  überhaupt  nur  mit  einer  weiterhin  zu  besprechenden  Mo- 
difikation anwendbar  ist;  aber  vor  allem  gilt  es  doch,  vom  i-ein  ge- 
gefassten  G.  G.  selbst  auszugeben,  und  so  verfolgen  wir  dessen  Kon- 
sequenzen noch  weiter. 

Aus  der  voraussetzlichen  symmetrischen  W.  der  Ö  bez.  Ä  folgt 
nun  weiter  unmittelbar,    dass    der  Zentralwert  C,    bez.    dessen    die 


4 


62 


QAraB'tefaH  Oeieta  und  i 


1  VerallKemdnemogen. 


Zahl  iler  bei dei-seitigen  AI j weich ungon  gleich  ist,  wesentlich  mit  dem  I 
arithmetischen  Mittel  A,   bez.  dessen   die  Summe  der  beiderseitigen  I 
Abweichungen  gleich  ist,   zusammenfallt,  d.  h.  däa&  beide  nur  dui'ch  ( 
unuusgeghcbene  Zufälligkeiten  von  einander  abweichen  können.    Denn  ! 
wenn    nach    symmetrischer   W.    für   jedes    positive    0    einerseits   ein  ■  I 
gleich  großes  9  andererseits  zu   erwarten  ist,  so  rauss   mit  gleicher  J 
Smnme  auch  gleiche  Zald  der  Abweichungen   nach  beiden  Seiten  za  j 
ei-warten  sein.    Es  ist  aber  die  Forderung,  dass  vennöge  symmetrischer  , 
W.  der  Unterschied  «  =  ±  [ni  —  m,]  zwischen  der  Zahl   der  pi 
tiven   und  negativen    Abweichungen    mit    wachsendem  m  mehr   und 
mehr  verschwinde,  nicht  auf  die  absolute  Größe  von  u,  sondern  sein 
Verhältnis   zur   Totalzahl  m,  d,  i.  u:m  zu    beziehen,  weil  u  selbst 
nach   bekannten  Gesetzen   des  Zufalles  bei  vergrößertem  m  im  Ver-  j 
hältnisse  von  1  m  wächst,  dieser  Wert  aber  gegen  m  um  so  mein- ver-  I 
schwindet,  je  größer  m  ist,  und  bei  unendlichem  m  ganz  verschwindet.   I 
Auch  bleibt  bei  dem  absoluten  Wachstimie  von  u  im  Verhältnisse  von  | 
Vm  die  Kichtung  des  Untersciuedes  an  sich  unbestimmt. 

Dass  unter  Voraussetzung  der  Gültigkeit  des   G.  G,   auch   der 
dichteste  Wert  D  wesentlich  mit  Ä  zusammenfällt,   folgt  nach   dem  | 
Anblicke  der  </>-Tabelle  daraus,  dass  die  Zahl  der  Abweichungen  und  j 
mitliin  abweichenden  Werte  a  nach  beiden  Seiten   füi-  gleiche  Inter- 
valle um  so  größer  ist,  je  naher  die  Intervalle  dem  A  kommen,   am 
größten  also  in    den    an  A  selbst  grenzenden  und  dasselbe  zwischen  j 
sich  fassenden  Intenallen,  wie  klein  man  diese  auch  nelime. 

§  zg.  Hiemach  noch  die  Bemerkung,  dass  die  Tabelle  des  G.  G. 
nicht  daran  gebunden  ist,  die  Grenzen,  zwischen  denen  cf)  zu  be- 
stimmen, als  Funktionen  des  einfachen  Mittelfehlers  auszudrücken. 
In  den  gebräucldiclien  Tabellen  ist  aus  formellen  Giiinden  statt 
0:e  vielmelir  0 :  t  V;r  oder  0:«;')  gewählt,  was  andere  Tabellen 
giebt  als  die  obige,  von  mir  kurz  als  t -Tabelle  bezeichnete,  und  auch 
wii-  wertlen  uns  aus  gleich  anzugebenden  Gründen  in  den  künftig  zu 
machenden  Anwendungen  vielmehr  an   eine   Tabelle  mit   Bezug  auf  I 


i)  [Eine  Eolohc,  ntif  den  wahrBchciiiUchcn  Fehler  w  betogcnc  Tabelle  findet, , 
täeh    am   SehluHSC    des   Berliucr  ABtninoni,  Jahrbuches    für   1834    .hcraiisge^.   1 
Ekckb)  als  Tafel  II;  auazugsweise  wird  ue  in  g  laS  mitgeteilt] 


Oicas'Mbe*  flneti  und  deuen  VenllgendnenisKen. 


63 


Ö:eV/r  als  die  obige  bez.  &:e  balten;  und  da  man  Q'-eVtc  ge- 
wöhnlich mit  (  bezeichnet,  so  werde  ich  eine  solche,  auf  t  bezogene 
Tabelle  kurz  die  /-Tabelle  nennen  und  eine  ausgefühi-te  f-Tabeile 
im  Anhang  §  183  mitteilen.  Vom  Anfange  herein  gestaltet  sie  sich 
für  einen  Auszug  daraus  so: 


( 

f[l] 

0,00 

0,0000 

0.25 

0,2763 

0,50 

0,5205 

0,75 

0,7112 

TJbrigens  ist  eine  solche  Tabelle  ganz  entsprechend  als  die  t- 
Tabelle  zu  benutzefi ,  wie  am  obigen  Beispiel  zu  erläutern ,  wo 
,  ^^71,7,  f  =  2,o  Zoll  angenommen  ist.  Vor  allem  hat  msin  i  mit 
Vit,  d.  i.  1,77245  zu  multiplizieren,  giebt  3,5449  und  wird  nun  nach 
der  /-Tabelle  z.B.  die  Zahl  der  ö  und  mitbin  a,  (he  zwischen 
I  A-\-o,2^  ■  3,5449  und  A  —  0,25  ■  3,5449,  d.  i.  zwischen  71,7  -f-  0,25  ■ 
3,5449  und  71,7  —  0,25  -3,5449,  kurz  z^vischen  72,5862  und  70,8138 
I  enthalten  ist,  ^  0,2763  m  finden. 

Der  Grund,  uns  künftig  nicht  an  die  *- Tabelle  zu  halten,  was 
[  doch  am  einfachsten  sclüene,  ist  der,  dass  eine  «-Tabelle  in  ent- 
I  sprechender  Ausführung  als  die  (-Tabelle  bisher  noch  gar  nicht  voi-- 
I  liegt,  und  daher  nur  einfachster  Erläuterang  halber  von  der  e-Tabelle 
I  der  Ausgang  genommen  wurde,  welche  übrigens,  wenn  sie  ausgeführt 
läge,  nur  den  Vorteil  böte,  die  Multiphkation  von  f  mit  Vrt  über- 
[  all  zu  ersparen. 

Eine  ausgefUlirte  /-Tabelle  aber  findet  sich  an  vei-schiedenen 
[  Orten,  z.  B.  am  Schlüsse  des  Berliner  Astronom.  Jahrbuches  für  1834 
und  in  Quetblet'b  Lettre.^  sui-  la  tht'orie  des  probab.  p.  389  flg., 
beidesfalls  bloß  bis  /  =  2,00  ausgeführt  Eine,  mir  zu  Gebote  stehende, 
lithographierte  Tabelle,  die  aber  nicht  mehr  im  Buclihandel  ist,  giebt 
die  Ausfühining  bis  t^  3,00  mit  7  Dezimalen  für  Ö").     Die   obige 

1)   [Eine  euUpreohcude   Tabelle   Ton    gleicher   Auadehuuiig   findet   sich   bei 
I  A.  Meyek,  VorleBiiugcü  über  WahrecheiiilicIikelUrechuimg  .deiitsDli  bearbeitet  vou 


64 


OÄVm'aebtm  OeHrIx  und  denen  TnsQfcaneiBainigen. 


e-Tabelle  aber  ist  von  mir  durcli  Inter[Milatioii  mit  zweiten  Diffen 
aus  der  ^-Tabelle,  so  ^veit  diese  reicbt,  erhalten  und  für  noch  höhl 
Werte  dii-ekt  berechnet  worden. 

§  30.    Uiemach  komme. ich  zu  den  Gründen,  welche  Änlass 
bei   KoUektivab weich ungen   über  das  einfaclie  Gr.  G-,   wie  es  bisl 
erläutert  worden  ist,  liimiuszugehen. 

Von  Gauss  selbst  ist  das  Gesetz  nicht  für  KoUektivabweiclmngen, 
als  Abweichungen  der  einzelnen  Exeniplargrößen  a  von  ihrem  arith- 
metischen Mittel,  sondern  bemerkter-  und  bekanntennaßen  für  Be- 
obuchtungsfehler,  als  Abweichungen  der  einzelnen  Beobachtungs werte 
eines  Gegenstandes  von  ihrem  aritlimetischen  Mittel  aufgestellt;  und 
an  sich  ist  nichts  weniger  als  selbstverständlich,  dass  eine  Ubertrag- 
barkeit  des  Gesetzes  von  letzteren  aaf  erstere  stattfinde.  In  der 
That  ist  es  doch  von  vornherein  etwas  sehr  Anderes,  Abweichungen 
vor  sich  zu  haben,  die  wegen  mangelnder  Schärfe  der  Messinstnimente 
oder  Sinne  und  zufälliger  äußeren  Stönmgen  bei  wiederholter  Messung 
eines  einzelnen  Gegenstandes  vom  arithmetischen  Mittel  der  Maße 
erbalten  werden,  und  Abweichungen,  welche  die  vielen  Exemplare 
eines  K.-G.  von  Uirem  arithmetischen  Mittel  aus  Gninden  darbieten, 
welche  in  der  Natur  der  Gegenstände  selbst  und  der  sie  beeinflussen- 
den äußeren  Umstände  gelegen  sind.  Es  ließ  sich  also  autli  durch- 
aus nicht  a  priori  voraussagen,  dass  die  Natur  in  diesen  Abweichungen 
vom  Mittel  das  Gesetz  der  Beobachtungs  fehler  befolgt,  sondern  galt 
erst,  eine  direkte  Prüfung  desselben  an  K.-G.  selbst  vorzunehmen. 

Inzwischen,   da  man   von  vornherein  leicht  wahrnahm 


-m 


Cziueb;,  Lcipiig  1879,  S.  545— S49,  wo  l  durch  y  ersetit  ist.  Auf  Grund  der- 
■elbeu  fast  Kämpfe  die  im  Anhanf;  t;  183  mitgeteilte,  in  den  P!iilo«ophiRchcD 
Studien  [herausgeg.  von  Wv-niiT',  Band  IX,  S.  147—150,  tuetat  publiijerto  Tabelle 
berechnet,  in  weli^her  die  FuiikliotiB werte  0  auf  4  Deiimalcu  abgekürzt,  die  Ar- 
gumente t  resp.  ;■  jedoch  /.wiechcn  den  Greaicn  o  und  i,si  auf  3  Deiimalstellen 
erweitert  sind.  Kine  Tabelle  vou  entsprechender  AusdehuuDg  mit  füafdtelligeu 
Funktioosnerteu  findet  mau  gleichfalls  im  Auhaug.  —  Die  erste  Tabelle  dieser 
Art.  auf  welche  ffohl  die  geuaunteii  Tabellen  als  Quelle  «urflckiuführen  sind,  hat 
Kbamp  berechnet,  der  die  Integrale  über  eip'— f  dt  von  endlichen  Werten  t  bis 
(  ^  OD  uud  die  I.ogarithmeu  dieser  Integrale  giebt.  Siehe:  »Analyse  des  rifrac- 
tioni  astrononiiques  et  lerreatrcsi;  par  le  ciMVcn  Kbamp,  Strasbourg,  l'an  VH, 
p.  195  —  206.] 


O&rss'iohes  Oeiets  und  desten  VernUgemeineningeii. 


65 


großem  m  ebenso  bei  Kollektivabweichungen  bez.  A  als  Beobach- 
tan^fehleni  die  Zahl  der  Abweiclnmgen  x.  für  einen  Wert  in  einem 
mittluren  Teile  der  Verteilungstafel  ein  Maximum  ist,  von  da  an  aber 
DAüh  den  Extremen  zu  mu  so  regelmäßiger  abnimmt,  je  grfißer  rn 
ist,  außerdem  kein  anderes  CresetÄ  als  das  GAuss'sche  vorlag,  :in  das 
man  bei  Aufsucbung  eines  Verteilungsgesetzes  fUr  K.-G.  denken 
iktnnte,  war  es  natürlich,  dass  man  vor  allem  dieses  der  Prüfung 
jinterzog.  Und  zwar  sind  Rekrutenmaße  der  erst«  Gegenstand  ge- 
wesen und  (mit  Einschluss  von  Brustumfang  und  IjungenkapazitUt 
der  B^kiTiten,  bisher  seitens  anderer  der  einzige  geblieben,  an  denen 
das  Gesetz  versucht  worden  ist. 

Diese  mehrseitig  (von  Quetelbt,  Bodio,  Gould,  Elliott  und 
vielleicht  noch  anderen)')  vorgenommene  Prüfung  an  Rekrutenmaßen 
Terschiedener  Länder  schien  nun  zunächst  überall  eine  Bestätigung 
des  Gesetzes  zu  ergeben,  indem  die  Abweichungen  von  den  Forde- 
rungen des  Gesetzes  klein  genug  erschienen,  um  nur  als  unwesentlich 
im  angegebenen  Sinne  zu  gelten;  und  eine  angenäherte  Gültigkeit  besitzt 
das  G.  G.  jedenfalls  für  Rekrutenmaße ,  nm-  keine  so  weitgehende, 
als  man  l>isber  geglaubt  hat,  annehmen  zu  können,  wie  ich  mich  teils 
durch  kritische  Rerison  der  bisher  darüber  geführten  Untersuchungen, 
teils  durch  eigene  Untersuchung  selbstbeschaffter  vielzahliger  Rekruten- 
ntaBtafeln  übei'zeugt  habe,  wogegen  es  andere  K.-G.  giebt,  bei  denen 
das  einfache  G.  G.  gänzlich  feldschlägt,  indes  sie  doch  einer  Verall- 
gemeinerung dieses  Gesetzes  geniigen. 

In  der  That  aber  lassen  sich  nach  meinen  erweiterten  Erfah- 
rungen folgeufle  zwei  Gesichtspunkte  angeben,  welche  es  überhaupt 
v<Hi  vornherein  unmöghuh  erscheinen  lassen,  dem  einfachen  Gr.  G.  eine 
Allgemeine  Gültigkeit  für  K.-G.  zuzugestehen.  Der  erste  ist  dieser-j: 
§31.  Sollte  das  G.  G.  auf  Kollektivabweichungen  allgemein 
Utwendhar  sein,   so  müssten  sich  die  Folgerungen,   die  aus   der  bei 


i,  Bouui,  La  laute  dea  recrues  en  Ilaüe;  .\uu.  de  dimographie  mtera.  Paris 
1878.  Goui.i),  iDveBtigations  nn  tbe  military  aud  antliropolagical  statiaticB  of 
Amerioan  soldiers;  Uniltd  State«  Sanituir  Comiaaiou  memnira.  New-York  1869. 
Eluott,  On  the  lailitarj'  atatistioa  of  ihe  fiiited  States  iif  America.    Berlin  1863.) 

1.  [Deu  »weiten  a.  S  34  und  35,] 

Fwiuu,  KoUelitiTiuBlgbr«.  5 


Mm 


Jemst'lbpn  vorausgesetzten  sj-nimetrisciien  W.  der  Abweifliungen  lioz. 
A  hervorgehen,  iiUgeinein  bestätigen,  was  nicht  der  Fall  ist,  und  wenn 
bei  Rekrntenmftßen  und  niclit  wenigen  anderen  Gegenständen  man 
bei  oberflächliclier  Untersuchung  unsicher  bleiben  könnte,  ob  niclit 
unausgeglichene  Zufälligkeiten  oder  mangelnde  Erfüllung  der  Requi- 
siten Schuld  daran  sei,  entziehen  sich  doeli  andere  Gegenstände  dieser 
Vermutung  zu  entschieden,  als  dass  man  wesentliche  Symmetrie  der 
Abweichungen  bezüglich  A  als  allgemeinen  Charakter  der  K.-G. 
anseilen  könnte.  In  der  That  hat  schon  Qifbtblbt  in  seinen  »Lettres 
sur  la  th^rie  des  prohabilit^s«  p.  166  bemerkt,  dass  bei  manchen  K.-G. 
der  Unterschied  der  extremen  Abweichungen  f"',  U,  beider  Seiten  bez. 
A  konstanter  und  gesetzlicher  positiv,  bei  anderen  negativ  ist,  als 
mit  s^Tnmetinscher  Wahrscheinlichkeit  vertriiglich  ist;  und  ich  selbst 
habe  noch  vor  Kenntnis  seiner  llntei-suchungen  hierüber  in  betreff 
einer  anderen  Fordei-ung  der  sjTnmetrischen  W.  konstatiert,  dass  bei 
manchen  K.-G.  die  Abweichungszahlen  bez.  .4,  d.  i.  m'  und  m,,  nicht 
nur  konstanter  und  gesetzlicher,  sondern  auch  weiter,  als  durch  un- 
ausgeglichene Zufälligkeiten  erklärlich  ist,  von  einander  abweichen. 
Dabei  hat  sich  sowohl  nach  Qubtelbt's  als  meiner  Erfahrung  gezeigt, 
dass  je  nach  Art  der  K.-G,  die  Abweichung  zwischen  U'  und  P, 
oder  die  Abweichung  zwischen  in'  und  m,  diese  oder  Jene  Richtung 
einhält;  ako  während  sie  der  Größe  nach  den  Wert  übersteigt,  der 
wegen  unausgeglichener  Zufälligkeiten  erwartet  werden  könnte,  zu- 
gleich der  Richtung  nach  charakteristisch  für  die  eine  oder  andere  Art 
von  K.-G.  ist, 

Nun  bezeichne  ich  es  als  Asymmetrie  überhaupt,  wenn  eine  Ab- 
weichung zwischen  V  und  U,  oder  m'  und  m,  besteht;  aber  da  eine 
solche  wegen  unausgeghchener  Zufälligkeiten  nicht  leicht  felden  wird, 
so  ist  wesentliche  Asymmetrie  als  solche,  welche  nicht  von  unaus- 
geglichenen Zufälligkeiten  abhängig  gemacht  werden  kann,  von 
unwesentlicher  oder  zufälliger  Aayimuetrie  als  solcher,  welche 
davon  abhängig  gemacht  werden  kann,  zu  unterscheiden. 

Empirisch  mischt  sich  die  wesentliche  Asymmetrie,  auch  wo  solche 

besteht,  immer  mit  zufälliger,  weil  man  doch  immer  mit  endlichem 

<  Bolche  abilängt,  zu  thun  hat,  aber  da  der,  von  wesentlicher 


GAüBS^gehes  Gesetz  und  dessen  Verallgemdnenmgen.  67 

Asymmetrie  abhängige  Unterschied  im  Verhältnisse  von  w,  der  von 
zufalliger  abhängige  bloß  im  Verhältnisse  von  Vm  wächst,  so  ver- 
schwindet letzterer  Wert  gegen  ersteren  um  so  mehr,  je  mehr  m 
wächst,  und  treten  die  von  wesentlicher  Asymmetrie  abhängigen  Be- 
stimmungen um  so  reiner  hervor,  je  größer  m  ist,  und  kann  es  selbst 
als  Merkmal  wesentlicher  Asymmetrie  angesehen  werden,  wenn  der 
bei  großem  m  gefundene  Unterschied  zwischen  V  und  V,  oder  m 
und  m,  bei  weiterer  Vergrößerung  dieselbe  Richtung  behält.  Auf 
andere  Merkmale  aber  werden  wir  später^)  kommen,  welche  es  un- 
zweifelhaft erscheinen  lassen,  dass  man  im  Gebiete  der  K.-G.  nicht 
überall  mit  der  Annahme  bloß  zufälliger  Asymmetrie  auskommt. 

§  32.    Nun  tritt  zunächst  folgende  Alternative  auf. 

i)  Es  ließe  sich  denken,  dass  in  der  Asymmetrie,  auch  wo  sie  als 
wesentlich  anzuerkennen,  nur  eine  Störung  des  G.  G.  je  nach  der 
Art  der  K.-G.  im  einen  oder  anderen  Sinne  zu  sehen  sei,  die  sich 
selbst  keinem  bestimmten,  mathematisch  formulierbaren  Gesetze  füge. 

2)  Es  ließe  sich  denken,  dass  die  wesentliche  Gültigkeit  des  G.  G. 
für  Kollektivabweichungen  vom  arithmetischen  Mittel  doch  die  Regel 
bleibe,  die  Fälle  aber,  wo  es  nicht  anwendbar  sei,  als  Ausnahmen 
anzusehen,  welche  entweder  unter  den  Fall  1 )  treten  oder  einem  zwar 
angebbaren,  aber  nur  ausnahmsweise  gültigen,  anderen  Gesetze  als 
dem  GAüss'schen  unterliegen. 

3)  Da  die  Abweichung  zwischen  V  und  J7,,  sowie  zwischen  rn 
und  m,  bei  gegebenem  m,  insoweit  sie  von  wesentlicher  Asymmetrie 
abhängt,  je  nach  Art  der  K.-G.  vei-schiedene  Größe  und  hieiinit  die 
wesentliche  Asymmetrie  verschiedene  Grade  annehmen  kann,  so  lässt 
sich  die  wesentliche  Symmetrie,  wo  eine  solche  vorkommt,  als  der 
besondere  Fall  des  alle  möglichen  Grade  umfassenden  allgemeinen 
Falles  der  Asymmetrie  ansehen,  wo  der  Grad  derselben  auf  Null 
herabkommt,  und  ließe  sich  denken,  dass  im  Gebiete  der  K.-G.  die 
wesentliche  Asymmetrie  den  allgemeinen  Fall  in  seinen  verschiedenen 
Graden  vorstelle,  die  wesentliche  Symmetrie  aber  eben  nur  einen 
besonderen  Fall,  der,  wenn  er  überhaupt  in  aller  Strenge  vorkommt, 


i)  [Verg^  insbesondere  Kap.  Xu  »Gründe  fOr  wesentliche  Asymmetriec.] 

5* 


«8 


jBÄOw'Mitrai  Geieti  und  deuen  VeraUgeni«neningen, 


nur  als  Ananalimefall  zu  ItetracIiteD  ist,  sofern  unter  den  unemHitti 
verseil iedenen  möglichen  Graden  der  Asymmetrie  das  völlige  Ver- 
schwinden eine  unendhch  gelinge  W.  hat,  was  nicht  ausschließt,  dass 
die  schwächeren  Grade  der  Asymmetrie,  welche  enipii-isch  leicht  mit 
einer  nur  durch  unausgeglichene  Zufälligkeiten  gestörten,  wesentlichen 
Symmetrie  verwechselt  werden  können,  häufiger  sind  aia  die  stärkeren, 
welche  sich  der  Möglichkeit  einer  solchen  Verwechslung  ent/ielien. 
In  Beziehung  zu  dieser  Auffassung  aber  ließe  sich  denken,  dass  es 
auch  ein  für  den  allgemeinen  Fall  gültiges  allgemeines  Gesetz  gehe^ 
welches  dun  Ö.  G.  nur  als  den  besonderen  Fall  unter  sich  fasst,  < 
die  asymmetrisclie  W.  in  symmetrische  Übergeht. 

Welche  von  diesen  drei  Möglichkeit*^n,  und  nanientlicli  ob  eine 
von  den  beiden  ereten,  die  nur  Modifikationen  von  einander  sind, 
oder  die  dritte  die  richtigere  sei,  ließ  sich  nun  nicht  ohne  weiteres 
entscheiden,  sondern  es  gehörte  dazu  einmal  die  Entscheidung  der 
Frage,  oh  eine  Verallgemeinerung  des  G.  G.  für  den  Fall  wesent- 
licher Asymmetrie  nach  denselben  Prinziiiien,  nach  denen  es  für  den 
besonderen  Fall  der  wesentlichen  S)inmetrie  abgeleitet  ist,  wirklicli 
möglich  sei,  zweitens  ob  die  zur  empirischen  Prüfung  geeigneten 
K.-6.,  wofür  die  Requisiten  im  vorhergehenden  Kapital  besonder» 
angegeben  sind,  sich  dem  so  ableitbaren  Gesetze  wirklich  fügend  Ich 
bähe  die  Untersudiung  nach  beiden  Seit«n  angestellt,  und  beide 
Fragen  lial)en  sich  in  guter  Zusammenstinunung  zu  Gunsten  des 
dritten  Falles  der  Alternative  hejalien  lassen.  Aber  dazu  gehört 
fi-eilich  eine  Ausführung  theon^tischer  und  empirischer  Untersuchungen, 
die  sich  nicht  auf  einmal  und  in  kurzem  geben  lässt,  sondern  fol- 
genden Kapiteln  vorbehalten  hieibt,  und  nur  vorgreif  lieh  bemerke 
ich,  dass  das  Fundamentalste  der  theoretischen  Untei'suchungen  im 
XIX.  Kapitel,  die  dui'ch  die  Empii-ie  gebotenen  Gründe,  dass  das 
Vorhandensei»  wesenthcher  Asymmetrie  wirklich  als  der  allgemeine 
Fall  im  Gebiete  der  K.-6.  anzusehen  sei,  im  XU.  Kapital  enthalten 
sind.  Zunächst  »her  dürft«  es  ein  Interesse  haben,  wenn  ich  die 
wesentlichsten  Bestümuungen  der  Verallgemeinerung  des  G.  G.  von 
symmetrischer  auf  asj-mmetrische  W. ,  hiermit  von  sj-m  nie  tri  scher 
auf  asjTuuietrische  Verteilung  bei  großem  m ,   zu   welchen  mich   die 


OAUss'sches  Gesetz  und  dessen  Verallgemeinerungen.  Q\\ 

Verbindung  von  Theorie  und  Empirie  geführt  hat,  hier  vorläufig  bc- 
weislos  zusammenstelle,  und  zwar  führe  ich  diese  Bestimmungen 
wegen  mehrfach  darauf  zu  nehmenden  Rückbezuges  als  Spezialgesetze 
der  asymmetrischen  W.  oder  Verteilung  unter  besonderen  Bezeich- 
nungen, wie  folgt,  auf,  Gesetze,  bei  denen  man  sich  begnügen  kann, 
solange  nicht  eine  beträchtliche  verhältnismäßige  Schwankung  der 
K.-G.  in  dem  (§  9  S.  19)  besprochenen  Sinne  Anlass  giebt,  eine 
weitere  Verallgemeinerimg  in  Rücksicht  zu  ziehen,  von  welcher  nachher 
die  Rede  sein  wird,  die  aber  nicht  zu  einer  Verwerfung,  sondern 
nur  Verschärfung  der  folgenden  Gesetze  führt. 

§  33-  Von  diesen  Spezialgesetzen  sind  die  wichtigsten  die  ersten 
drei,  welche  zwar  hier  besonders  aufgestellt  werden,  aber  aus  den 
mathematischen  Grundvoraussetzungen  der  kollektiven  Asymmetrie  in 
solidarischem  Zusammenhange  folgen,  wie  im  XIX.  Kapitel  zu  zeigen. 
Die  übrigen  sind  teils  unmittelbar  einleuchtende  Korollare  derselben, 
teils  mathematisch  aus  denselben  zu  folgern,  wie  ebenfalls  später 
darzuthun. 

Spezialgesetze  wesentlich  asymmetrischer  Verteilung 
für  K.-G.  bei  nicht  zu  starker  verhältnismäßiger 

Schwankung  derselben. 

i)  Ausgangsgesetz.  Die  Abweichungen  sind  statt  vom  arith- 
metischen Mittel  A  von  dem  im  Falle  wesentUcher  Asymmetrie  auch 
wesentlich  von  A  abweichenden  dichtesten  Werte  D  zu  rechnen,  um 
überhaupt  zu  einer  unter  eine  einfache  Regel  fassbaren  und  der  Er- 
fahrung entsprechenden  Verteilung  zu  gelangen,  eine  Regel,  die  für 
den  Fall,  dass  die  wesentliche  Asynmietrie  verschwindet,  wo  D  wesent- 
Uch  mit  A  zusammenfällt,  auf  die  Regel  des  G.  G.  zurückführt. 

2)  Zweispaltiges  GAuss^sches  Gesetz.  Die  Verteilung 
der  Abweichungen  bez.  D  befolgt,  kui*z  gesagt,  nach  jeder  beider 
Seiten  insbesondere  dieselbe  Regel,  als  bei  svTiimetrischer  W.  bez.  A 
für  beide  Seiten  gemeinschaftlich  befolgt  wird.  Es  tritt  nur  dabei 
an  die  Stelle  von  m,  0,  e  =  2&:m  bez.  A  positiverseits  m',  0', 
€,  =  2  0':7/i',  negativerseits  m,,  0„  6,  =  J0,  :w,  bez.  I)\  mit  dieser 


70  OAim'ichei  GcRett  und  deueo  VcrallgemciDcningeu, 

HUckMiuht  Hill«!  noch  (licsclbcn  TaU^llen,  die  e-Tabelk  und  (-Tuhdl^J 

für  die  Verteil  ungsreclinung  nach  jeder  Seite  insbesondere  brauchbar, 

alH   für  Berechnung   nuch   dem  G.  G.   bei   sj-mmetrischer  W.  bez.  A 

gemeinsam   für  beide   Seiten   anzuwenden  wären.     Ersetzen  wir  nun 

im  Sinne  der  §  lo  getroffenen  Konvention   die  allgemeinen  Bezeifli- 

nungen   m',   m,,   —0',  — ©,,   e,   t,,    die  bez.   beliebiger   Hauptwerte 

gelten,  durch  w',  «»,,  S5\  ^^,,  •*'[  t^u  soEem  es  sich  um  Beziehung 

zu  D  liandclt,  so  gehen  damit  auch  die  positiven  und  negativen  ver- 

liilltuiitriiiiQigen  Abweieliiiugi^zählen  (P'  und  O,,  sowie  absoluten  Zahlen 

0'm'  und  CP,m,,  desgleichen  <p'   und  i/>,,   ip'm'  und  if,m,  jederseits 

in  Funktionen  diusor  Bezeichnungen  über. 

3)  Proportioniägesetz.     Uie  beiderseitigen  Abweichungszalden 

«r,  «(,  hez,  des  dichtesten  Wertes  verlialten  sieh   wie  die  einfachen 

mittleren  Abweiclmngen  c',  c,,  d.i.  wie  23':  m'  und  ld,:in,  hez,  1 

D,  mithin 

m  :  nt,^  t:  :  c,  =  —-,  :        , 
«(       «(, 

wovon  folgendes  Kondlare  sind. 

a]  Die  Quadrate  der  beiderseitigen  Abweichungszalden,  d. : 
*#f,'  verhalten    wirb    wie   die  beiderseitigen  Abweiehungssummen  29. 
S$,,  (dso: 

m"':fH,'=Zc'':S3,. 

b)  Der  dichteste  Wert  7)  kann  aelKst  als  der  Wert  bestim 
werden,  <leitsi>n  beiderseitigen  Abweichungszahlen  und  mittleren  Ab- 
weichungen dem  Pruportionsgesetxe  genügen.  Ja  ich  halte  die«,  all- 
gemein  gesjjrochen,  für  seine  zwar  nicht  bequemste,  aber  genaueste 
Bestimmungsweise  und  gebe  spät^T  (Kapit^d  XI)  an,  wie  sie  auszii- 
fühix'n  i»t.  Küi-ze  halber  msig  sie  die  proportionale  heissen  und 
tks  80  bestimmte  T),  wenn  es  gilt,  auf  diese  Bestimmungsweise  aus- 
drücklich hinxHweisen,  mit  />,  iM-zeichnet  wenlen.  Dies  D^  kann  man 
dann  mit  dem  empii'isch  direkt  bestimmten  /*,  d.  i.  dem  Werte,  auf 
den  das  Maximum  der  Zahl  x  in  einer  Verteüungstafel  fällt,  ver- 
gleichen, und  daraus,  dass  es  doch  nur  in  deji  Grenzen  der  zuzu- 
gestehenden Unsicliei'heit  davon  abweicht,  einen  der  Beweise  fttr  i 
Triftigkeit  unsei-er  nsynunelrisclien  Gesetzlichkeit  finden. 


GAUSs'sches  Gesetz  und  dessen  Verallgemeinerungen.  71 

4)  Die  Abstandsgesetze.  Die  Abstände  zwischen  den  drei 
Hauptwerten  bestimmen  sich  so.  Sei  W  die  Gesamtzahl,  ^ff'  die 
Gresamtsnmme,  c"  =  23^' :  W  das  Mittel  der  mit  C  oder  A  (je  nach- 
dem man  den  Abstand  des  C  oder -4  von  D  sucht)  gleichseitigen 
Abweichungen  bez.  D,  d.  h.  welche  nach  derselben  Seite  von  D  ab- 
gehen, nach  welcher  C  oder  A  davon  abUegt,  mag  dies  die  positive 
oder  negative  Seite  sein,  indes  der  Index  von  zwei  Strichelchen  unten 
die  entsprechende  Bedeutung  für  die  ungleichseitigen  Werte  haben 
mag,  so  findet  sich  nach  §131: 

C  — 2)  =  re"V^, 
worin  f  den  Wert  von  t  bedeutet,  der  in  der  Tabelle  der  t  zu 


2W"         ' 


kurz  zu  <Z>"  gehört.    Femer: 

A^D  =  — ^^ 

m 

ein  Wert,    der   nach    dem  Proportionalgesetze  mit  2  (D"e"   überein- 
kommt, wie  in  §  131  zu  zeigen,  wonach  man  auch  setzen  kann: 

Hiemach  ist  A —  C  als  Differenz  der  beiden  vorigen  Abstände: 

^-  (7=(4  — D)-(C-D)=  [2(tf'  —  fVn)c\ 

worin  Qf'  und  f  in  angegebener  Weise  bestimmt  sind. 

5)  Die  /r-Gesetze.  Für  den  in  der  Regel  stattfindenden  Fall, 
dass  der  Abstand  des  C  von  D  ein  kleines  (streng  genommen  un- 
endlich kleines)  Verhältnis  zur  mittleren  Abweichung  c'  oder  c,  der 
Seite,  nach  welcher  C  von  T)  abliegt,  kurz  zu  e"  hat,  hat  man 
merklich: 

-^ZTD'  kurz  P  =  ^  =  o»785  40  (log  =  0,895 09  —  0 
2^^  =  ^-7^  =  0,21460  (log  =  0,33163—1) 

;;j^-^  =  73-;^  =  3,65979  (log  =  0,563  46        ) 


UArsB'iohM  UeieU  u 


Olgem 


Aljgesclii'ii   von   »HiiusgegUrlioiieii   Zufälligkeiten    und   A hmjjTiii  tüten J 
dcivii  in  Kftp.  rV  gedaclit  ist,   wodurch  diese  Vt^rliUltnisse,  wie  all« 
hier  aufgestellton  Gesetze  altJ-'riert  wenlen  können,  würden  diese  V» 
hältnisse  streng  gelten,   wenn  {C — Dyiiire"'  gegen   i   völlig  ^ 
nachlässigt  wei-den  könnte,  überhaupt  also  C  —  D  klein  gegen  e" 
Insofern  aber  dies  Verschwinden  doch  nie  vollständig  stattfindet,  a 
den   obigen   ;f-Funktionen   von   D,    C,   A   rcsp,    eigentlich    zu    s 
stituioren : 


worin    ^   ein    positiver  Wert  ist,    welcher   i  in  kleinem  VerliUltni 
übersteigt. 

Die  theoretisch  ableitbare  Bedingung,  dass  unter  Voraussetzui 
Terhältnismäßiger  Kleinheit  von  C  —  D  gegen  c"  der  Wert 
C-D 

approximativ  =  ^n:  5=0,78540  sein  muss,  gehört  bei  der  Allgemein- 
heit, in  der  er  sicli  empirisch  wiederfindet,  zu  den  scldagendsten  Be- 
wahrungen unserer  asyninietrisclien  Verteilungsgesetze,  und  der  Wert 
p  wild  daher  künftig  in  den  Tafeln  der  Elemente  der  von  mir  be- 
handelten Gegenstände  besonders  angegeben  werden,  um  sich  von 
der  Approximation  desselben  an  J.t  zu  überzeugen.  Eine  genaue 
Übereinstinunung  damit  ist  prinzipiell  nicht  zu  fordern,  der  Theorie 
nach  sollt*'  er,  wie  oben  Iwmerkt,  um  eine  Kleinigkeit  größer  als 
jrr  ans  den  Versuchen  hen'orgehen,  aber  dies  kleine  theoretisclie 
Ülwi-gewicht  kann  leicht  durch  unausgeghchene  Zufälligkeiten  über- 
boten werden,  und  so  hat  er  sich  (nach  möghchst  genauer  propor- 
tionaler Bestiuimung  von  D  als  Df]  in  den  aus  den  verschiedensten 
Geliieten  entnonmienen  K.-G.,  die  sieh  in  Bezug  auf  die  Gültigkeit 
vorstehender  Gesetze  untersuchen  ließen  (Schadelmaßen,  Rekruten- 
maßen,  botam'schen,  meteor<dogisehen  Maßenj.  bei  den  vei-schiedensten 
Reduktionsstufen  und  Reduktionslagen  der  Verteilungstafeln  zwisclu 
0,6  und  0,9  gefundeu. 

Statt  sich  an  ^  zu  halten,  könnte  man  sich  auch  an  die  beidi 
anderen  .'(-Funktionen  halten,  nur  dass  wegen  des  kleineren  Verhält^ 


GAUSs^sches  Gesetz  und  dessen  Verallgemeinerungen.  73 

nisses ,  was  4  —  C  gegen  C  —  D  und  vollends  gegen  Ä  —  D  hat, 
diese  anderen  Funktionen  in  stärkerem  Verhältnisse  von  unaus- 
geglichenen ZufäUigkeiten  affiziert  werden  können. 

Aus  der  dritten  tt- Gleichung,  wonach 

lässt  sich  ein  sehr  einfacher  Weg  ableiten,  D  approximativ  noch  auf 
einem  anderen  Wege  als  direkt  empirisch  oder  proportional  zu  be- 
stimmen, welcher  darin  besteht,  dass,  nachdem  man  A  und  C  be- 
stimmt hat,  man  den  Abstand  des  gesuchten  D  von  C  3,66  mal  so 
groß  nimmt,  als  der  Abstand  des  A  von  C  gefunden  ist.  In  Kürze 
mögen  wir  den  so  bestimmten  2) -Wert  als  D,^  bezeichnen.  —  In- 
zwischen ist  diese  Bestimmung  zu  unsicher,  um  ihr  überhaupt  Wert 
beizulegen;  zumal  außer  der  mühsamen  Bestimmung  des  D  als  D^, 
noch  ein  anderer  verhältnismäßig  einfacher  Weg  sehr  approximativer 
Bestinunung  als  sog.  Di  zu  Gebote  steht,  wovon  in  Kap.  XI.  die 
Rede  sein  wird. 

Um  statt  bloß  approximativer,  genaue  Bestimmungen  der  drei 
Abstandsverhältnisse  zu  erhalten,  hat  man  auf  die  genauen  Werte 
der  drei  Abstände  selbst  zurückzugehen,  welche  unter  den  Abstands- 
gesetzen angeführt  sind,  wonach: 


C-D        iH."t" Vn       t"  V7C 

HM        II                                                                                                                                                —                                                                                       • 

A      D        tn"      m„        2  0'   ' 

C      D              t"  Vit 

A-C       20"      t" Vn  ' 

A       C       20"      rViT 
AD               2  0"              ' 

t"  Vjc 

2  0" 

Diese  Verhältnisse  haben  zwei  Grenzwei*te,  zwischen  welchen  sie  sich 
halten,  wovon  der  erste  dem  Falle  m"  =  in„,  d.  i.  dem  Falle  ver- 
schwindender Asymmetrie,  wo  ^  =  i ,  entspricht ;  der  zweite  dem  Falle, 
wo  fft,f  gegen  ttt"  verschwindend  klein,  mithin  =  o  gesetzt  werden 
kann.     Dies  giebt  für 


OACU'ioliei  OoKts  und  deMen  Verallgeineiiieningeii. 


.  tireiize: 

0,78540 


.  GrenK«; 
0,84535 

0,15465 


3>65979         5.46609- 


C  —  D 
A—i) 
A—C 
A~D 
C  —  D 
A  —  C 

Der   Wert  p   kann    also    normiilor  Wdst'    ülieräiaupt    iiiclit    untepj 
0,78540  (allen  imtl  nicht  über  0,84535  steigen. 

6)  Lagengesetz.     Der  Zentralwert   C  und    das    aritlunetisol: 
Mittel  A  liegen   nach   derselben  Seite   vom   dichtesten  Wert«  D  ab^^ 
und  zwar  so,  dass  C  z\*ischen  A  und  D  fällt  (s.  §  :34). 

7)  ümkehrgesetz.  Die  Asj-nuHetrie  der  Abweichungen  bez. 
D  hat  das  entgegengesetzte  Vorzeichen  als  die  der  Abweichungen 
bez.  A,  iL  i.,  wenn  m' — m,  bez.  A  (d.  i.  /i'  —  fi,]  positiv  ist,  so  ist 
wt'  —  m,  bez.  D  {d.  i,  m'  —  tn,)  negativ,  und  umgekelirt  (s.  §  134). 
Femer  liat  der  Unterschied  zwischen  den  exb'emen  Abweichungi 
bez.  A,  d.  i.  ü'  —  I',,  das  entgegengesetzte  Vorzeiclien  als  der  Unte 
schied  zwischen  den  Abweichungszahlen,  d,  i.  u^ft'  —  /i,  [s.  §  t4^)\ 

ß)  Die  Extremgesetze.     [Ist  die  Anzahl   der  oberhalb  i 
unterhalb  D  hegenden  Abweichungen  gleich  m'  resp. 
die  Wahi-sclieinlichkeit : 

dafür,  dass: 

den  extremen  Wert  der  oberen  Abweichungen  dartselie.    Entspi'echenC 
ist  die  W.  dafür,  dass: 

das  Extrem  der  iiuteren  Abweichungen  sei,  gleich: 


0[/,]" 


'  exp[~t,']dt,. 


Hiemach  ist  der  walu'scheinUche  Wert  dei'  oberen  resp.  unl* 
tremen  Abweichung  gleich: 


GAi'ss'achcB  Gesetz  und  dcaacn  Veralli^emeiiierungeii. 

6"  ==  W  \7i  resp.   ü.  =  t,c,y7c, 
wenn  /'  imd  /,  mittelst  der  (-TabeDc  aus: 

*[C]  =yr  resp.    a)[f,]  =  V'i" 
Iicstniirut  werden.    iVergl.  Kap.  XX.)]'} 

Abgesehen  von  den  a^-Gesetzen  6)  und  Extreingesetzen  8},  welcl 
ich  erst  der  Theorie  venlanke,  nacldior  aber  auph  empirisch  hewälul; 
fand,  sind  die  vorigen  Gesetze  von  mir  zuerst  rein  empirisch  gefunden 
worden,  wonach  diese  Gesetze  auch  eine  empirische  GUltiglceit  Hick- 
sichtfllos  auf  alle  Theorie  in  Anspnicii  nelimen  können  und  gegenseits 
für  eine  damit  zusammentreffende  Theorie  Zutrauen  erwecken  können. 
Vergeblich  freiHch  Äiirde  mau  durch  rohe  Bestiramong  aus  primären, 
mit  großen  Unregehnäßigkeiten  dui'chaetzten  Tafeln  eine  genaue  Be- 
stiioniung  des  D  und  der  damit  in  Beziehung  stellenden  Werte  zu 
erlangen  tind  hiermit  eine  Kontrolle  der  vorigen  Gesetze  zu  gewinnen 
suchen;  es  wird  also  noch  zu  besprechen  sein,  wie  man  durch  ange- 
messene Reduktion  und  Interpolation  der  Verteilungstafeln  zum  Zwecke 
kommt. 

§  34.  Ausdriicklich  ist  erwähnt  worden,  dass  die  vorigen  Gesetze 
für  den  Fall  nicht  zu  starker  verhältnismäßiger  Schwankung  der  K.-G. 
(im  Sinne  von  §  9  8.  19)  als  genügend  angesehen  werden  können, 
bei  starker  verhältnismäßiger  Schwankung  aber  eine  weitere  Verall- 
gemeinerung des  G.  G.  fordern.  Nun  ist  noch  anzugeben,  was  fiierzu 
3  geben  kann,  und  wie  diese  Vei'allgemeinerung  zu  fassen. 

Da.s  G.  G.  kann  seiner  Natur  nach  selbst  bei  unendlichem  wi 
nur  ein  Ännäheningsgeaetz  sein  und  ist  von  Gauss  selbst  nur  dafür 
erklärt  worden');  denn  es  setzt  der  Größe  der  Abweichungen  von  A 
nach  beiden  Seiten  keine  Grenze,  sondern  lässt  nur  die  W.  der  Ab- 
weichungen mit  wiicbsender  Größe  derselben  immer  mehi"  ahnelunen. 


t;  [Durcli  die  eckigen  Klamtncm  werden,  wie  in  deii  >VorbemerkuiigeD< 
bereit«  erwKhut  wurde,  die  Er^'iuziiQgen  und  Zugätze  dei  Herausgebers  keuiiüich 
gemRcht.j 

3)  Theoria  motiiB  corporum  coelcBtiHin;  Lib.  II.  Sect.  III.  arüc.  17S.  Theori« 
eomlüiuitioiiiB  observ,  error,  minim.  obnoxiae:  Pars  prior,  art.  17;  Commcnt.  iociet. 
GöMing.  rec.  Vol.  V, 


76 


OACRs'ichcB  Geiptx  und  dcBien  Vemllgcmeineningcn, 


Eb  k'uchtot  abei'  eiu,  dasa,  wenn  die  Abweichungen  von  Ä  ins  Ni 
gative  größer  als  A  selbst  werden  sollten,  die  abweichenden  Werte 
kleiner  als  Null  werden,  was  unmöglich  ist.  Also  kann  das  G.  Ghi 
von  vomhei-ein  keine  unbeschiunkte  Gültigkeit  in  Anspruch  nelmien, 
wenn  schon  mit  gi-oßtcr  Approximation  für  Falle  gültig  bleiben,  wo 
die  Abweichungen  vom  aritlunetischen  Mittel,  mindestens  die  an  Zahl 
weit  übei-wiegenden ,  in  dessen  Nähe  und  durehschnitthcli  sehr  kli 
bleiben.  Dasselbe  aber,  was  in  dieser  Hinsiclit  betreffs  der  negativi 
Abweichungen  von  A  nach  dem  reinen  G.  G.  gilt,  gilt  niclit  minder 
von  den  negativen  Abweichungen  bez.  D  und  der  vorigen  Verall- 
gemeinerung und  liierniit  Modifikation  des  G.  G.,  und  es  giebt  K.-G., 
bei  denen  die  verhältnismäßige  Schwankung  um  D  so  groß  ist,  dass 
man  mit  dem  vorigen  Prinzip  der  Verallgemeinenmg  nicht  mehr 
ausmcht 

Hiernach  ist  eine  Verallgemeinerung  des  G.  G.  zur  Änwendbi 
keit  auf  K.-G.   nach  zwei  Richtungen   oder  in   doppeltem  Sinne 
unteraclieiden :    i)  sofeni  Kollektivabweichungen   nicht    die    den 
obachtnngsfehlem    zugeschriebene    symmetrische   W,    bezüglich 
arithmetischen  Mittels  zeigen,  der  Fall  der  Asymmetrie  aber  als  der 
allgenieincri'  angesehen  werden  kann,  welcher  den  der  Symmetrie  nur 
als  besonderen  Fall  unter  sich  begreift;  2]  sofern  Kollektivabweichun- 
gen,  wenn   auch   bei   der  Mehrzahl  der  K.-G.,  doch   nicht  bei  alli 
die   den  Bcohacbtuugs  fehl  ein   zukommende  geringe   verhältnismäBi 
Schwankung  um  die  Hauptwerte  zeigen. 

Da  nun  die  K,-G.,  bei  welchen  man  mit  einer  Verallgemeinerung 
des  Gr.  G.  in  erster  Richtung  auskommt,  nicht  nur  bei  weitem  zahl- 
reicher, sondern  auch  viel  einfacher  zu  beliandeln  sind  als  die,  bei 
welchen  es  nötig  ist,  die  noch  weitere  Verallgemeinerung  in  zweiter 
Richtung  PlatK  greifen  zu  lassen,  und  da  durch  Vorwegnahme  der 
Verallgemeinerung  in  erster  Hinsicht  sich  die  Darstellung  des  Prin- 
zips der  Verallgemeinerung  in  zweiter  Hinsicht  erleichtert,  so  ist 
diese  Torwegnahme  hier  geschehen,  nun  aber  doch,  um  unserer  Un1 
suchung  überhaupt  die  erforderhche  AUgemeinlieit  zu  geben,  auf 
VerallgemeineiTing  in  zweiter  Hinsicht  einzugehen,  und  zwar  begegnen 
sich    von    vornherein    zwei    Gesichtspunkte,    dem    Gedanken 


ahl    ^^ 

leiife^^H 
ve^^H 


lehr 
bar^H 

1 


ist  ^^^ 


Oaübs'mIim  Oc«|i  nnd  deuen  VenUgemÜBenrngen'. 


77 


L  Richtung    zu   gel)eii,    wie    diese    Verallgemeiuemug   zu    fassen    sein 
I  möchte. 

§  35.    Bisher    luihcn   wir   immer    bloß   arithmetische   Ahwei- 
l'Changeii  bezüglich  iigeml  welcher  Hauptwerte  iiu  Auge  geliiiht,  il,  Ii., 
i  welche   als  [Kisitive  und  negative  llnterechiede  dayon  gefasst  werden 
LJiönnen,    und  gewöhnlich   werden  solche,    wie  auch   hier  femer  ge- 
I  Belieben  wird,   unter  Ahweiohungen   schlechthin  verstanden.     Ich  be- 
I  zeichne   sie   angegehenermaßen  allgemein  mit  Ö.     Aber  mim  kann 
I  auch  von  Verliältnisabweichu  ngen  bezüglich  gegebener  Haupt- 
I  werte  sprechen,  d.  h.  Verhältnissen,  in  welchen  ein  gegebener  Hauptr 
I  wert  H  überstiegen  oder  unterstiegen  wird,   die  wii-  allgemein  mit  ip 
I  bezeichnen  wollen.     Wenn   also  (•)  ^=  a  —  H  eine   arithmetiache  Ab- 
weichung ist,  ist  tp  =  a:  H  eine  VerhÜltnisabweichung,   und  wählend 
wir   ö'   und    ft,  als  positive   und  negative  arithmetische   Abwei- 
chungen unters  cl  leiden,  je  naclidem  a^  H  oder  <  H,  unterscheiden 
aus  demselben  Gesichtspunkte  ip'  und  if;  als  obere  und  untere 
Verhältnisabweichungen. 

Während  nun  starke  arithmetische  Abweichungen  vüii_  einem 
I  Hauptwerte  ins  Negative  bis  unter  die  Grüße  des  Hauptwertes  hin!il>- 
t  fiihrvn  nnd  hiermit  unmöglicli  werden,  gilt  dies  nicht  von  starken 
t  unteren  Verhältniaahweichungen,  die  vielmehr,  so  weit  sie  nach  unten 
k  gehen  mögen,  nur  bis  zu  immer  kleineren  Bruchwerteu  des  Haupt- 
wertes fiihi-en,  welche  aber  eben  ao  positiv  als  der  Hauptwert  selbst 
1  bleiben,  auf  den  sie  sich  beziehen;  denn  negative  VerhUltnisabwei- 
I  chungen  giebt  es  überhaupt  nicht,  sondern  nur  positive,  welche  1 
1  übersteigen,  und  solche,  welche  [als  echte  Bi-üche^  1  nicht  erreichen. 
I  Wonadi  sich  dai'an  denken  lieas,  dass  das  Verteilungsgesetz,  um  auf 
I  verbältnimnäBig  atai-k  sdiwankende  K.-G.  nach  unten  noch  eben  so 
I  anwendhai-  zu  bleiben  als  auf  schwach  schwankende ,  prinzipiell 
I  überhaupt  stjitt  auf  ariÜmietische  Abweichungen  auf  Verhältnisab- 
I  veichungen  beziehbar  sein  möcht«. 

Mit  diesem  mathematischen  Gesichtspunkte  aber  trifft   folgender 
j- empirischer  in  derselben  Richtung  zusammen. 

Beobachtungs fehler  sind,  allgemein  gesiirocheii,  wenigstens  bezüg- 
I  jich  der  Messung  von  Raumlängen,   wesentlich   unabhängig   von   di-r 


78 


OAtm^ttM  0«MtR  und  änKD  Temllgenidnenni^. 


sendpii  GcgPtiHtandpf 


nicht  mit  des 


UriiBc  diu  MiiQinittel  Hi(^li  Ünderii,  sicli  /.uRammensetzen,  komplizieren ; 
denn  froüidi  din  BcobftflitwngHMdpr  bei  Messung  einer  Meile  werden 
KrOBer  nein  nh  bei  Me«mnig  t-iner  Fußlängp,  abtr  nur,  weil  mehr 
nnd  zUHftnnneiiyeHetüti^'i'e  (Jiiorfttiunen  zur  Messung  der  ersteren  ge- 
hfln'li;  indcK  die  HeobiU'btungHfi'lder  bei  Messung  eines  hoben  Tlieniio- 
m«ter-  niler  Biironit'terstJindi's  Allgemein  gesjiroelien  nicht  größer  sind 
als*  hei  MewMung  vinoa  niedrigen. 

Hiergegen  vainieren  K.-Q.  im  allgemeinen  in  wesentlicbei'  Ab- 
hUngigkeit  von  ihrer  Orilße,  wenn  dies  im  Sinne  folgender  Beispiele 
vcrsttinden  wird.  Ein  Floh  ist  durchMchnittlich  ein  kleines  Wesen, 
und  HO  sind  iiuch  die  Abweichungen  der  einzelnen  Flohexemplare 
vom  mittleren  Floh  dui-chscbnittlich  nur  klein,  nur  Bruchteile  von 
dessen  mittlerer  Griiße,  nnd  der  ganze  t'iitt'rscliied  zwisehen  dem 
grüDten  um!  kleinsten  Floh  bleibt  nur  klein.  I5ie  Alans  i.st  durch- 
»cbnittlich  viel  gnlBer  «Is  der  Floh,  diis  Pferd  wieder  viel  größer  als 
die  Mium,  ein  Btuim  viel  griiBer  als  ein  Kraut  iL  s,  w,,  nnd  überall 
kehrt  rine  entJiprechende  Bemerkung  wieder.  Die  Abweichungen  der 
einzelnen  Münseexeinplare  von  der  mittleren  Ataus  sind  durcbschnitt- 
lieh  grüBer  als  die  der  einzelnen  Flohexemplare  vom  mittleren  Floh  u.  s.  f. 
Auch  lässt  sich  diese  Abhängigkeit  der  durclischnittlicben  Größe  der 
Varintioiien  von  der  durrhschnittlieheii  Größe  des  Gegenstandes 
daraus  verstt'hen,  das.*  die  inneren  und  ituBeren  ändernden  Ursachen 
nuf  gmSe  tiegeiistünde  mehr  AngriRspunkte  tiuden  als  auf  kleine. 
KwHr  niicli  die  Qualität  der  Gi^genstütide  hat  dureb  die  größere  oder 
l^'riitgi-ru  Leichtigkeit,  mit  der  sie  den  ändernden  Einäfissen  nach- 
J[iebl,  Rinflu)»;  femer  k«un  die  Zugüuglichkeit  für  äußere  Uudemde 
EiiiHllsse  niieh  rmstündeu  »Tersclue<len  sein,  AJso  ist  eine  getmue 
Pmpt^rttttiMlitiit  der  mittleren  Größe  der  Abweichungen  mit  der  mitt- 
leren Größe  der  Geg»'nstänile  von  vornherein  nicht  zu  erwarten.  Aber 
)e<)enfalls  bleibt  die  GröBe  dn-  Gegen>itSnde  ein  Haaptfaktor  för 
die  GröBe  ihrer  Änderungen,  uud  weuii  schon  deren  durcbschnittUcbe 
Gr<>6e  bei  verschiedenen  K.-0.  nicbl  dtT  MittelgröSe  der  Gegen- 
«t&ade  rein  pn^piirtKnial  ist,  UeArt  dodi  s«hr  d««Ui«r.  dus  f  5r  jeden 
iusbeoundere  bei  der  fOr  ?ha  ygebeiw  Lrichtigfceit,  dm  ändAnden 


OArss'getieB  Oeietz  und  deaaen  VerallgenieineningeQ.  79 

Einflüssen  zu  folgen,  und  Zugängliclikeit  zu  densellien  das  einfachst 
mögliche  Verteilungsgesetz  der  Abweichungen  sich  vielmehr  auf  Vfi"- 
hHltnisabweicliungen  als  arithmetische  Abweichungen  hezielie. 

§  36.  Zunächst  freilich  tritt  diesem  Gedanken  die  sclieinbare 
Schwierigkeit  entgegen,  dass  das  G.  G.  seiner  Natui-  nach  nnr  auf 
Abweiclumgen  beziehbar  ist,  welche  als  positive  und  negative  Unter- 
schiede von  ihrem  Ausgangswerte  fassbar  sind,  liiemach  nicht  als 
besonderer  Fall  unter  ein  Gesetz  treten  kann,  welches  sich  auf  Ver- 
liältnisabweichungen  bezieht,  und  doch  suchen  vnr  ein  Gesetz,  welches 
fUr  den  Fall  verschwindender  Asymmetrie  und  schwacher  verhältnis- 
nmßiger  Schwankung  in  das  G.  (4.  übergeht  oder  dessen  Verteilungs- 
weise wiedergieht.  Aber  übersetzen  wir  die  Verhältnisabweichungen 
1/»  =  fl  :  /?  in  ihre  Logarithmen,  log  »/>  =^  log  n  —  log  H,  die  wir  kurz 
als  logarithmiache  Abweichungen  mit  l  bezeichnen  mögen,  und  be- 
merken dazu: 

i)   dass    die   logarithinischen   Abweichungen   Ä  =  log  «  —  log // 

den   Cliarakter    der  aritliraetiachen   ft   teilen,    sich    als   positive  und 

negative  Unterschiede  von  einem  gegebenen  Ausgangswerte  fassen  zu 

■  lassen,   nur  dass  dieser  seihst  ein  logaritlmiischer,    nicht  melir   H, 

sondern  log  H  ist; 

2]  dass,  solange  die  aritlimetischen  Abweichungen  verhültnis- 
milBig  klein  gegen  ihren  Hauptwert  sind,  also  eine  verhältnismüQig 
geringe  Schwankung  um  denselben  stattfindet,  wie  es  beim  G.  G. 
vorausgesetzt  ist,  die  Verhältnisse  der  ai'itimietischen  Abweichungen 
mit  denen  der  zugehörigen  logaritlimi sehen  merklich  übereinstimmen, 
was  nicht  nur  mathematisch  beweisbar,  sundern  auch  empirisch  an 
den  Logarithmentafeln  nachweisbar  ist,  indem  mau  die  Differem^en 
der  Logarithmen  mit  denen  der  zugehörigen  Zahlen  vergleicht. 

Also  würden  wir  auch  bei  verhältnismäßig  scbwaclier  Schwankung 
von  dem  logarithniischen  Prinzip,  als  dem  allgemeinst  zulänglichen, 
mit  Vorteil  Gehrauch  machen  können,  nui-  dass  dieser  Vorteil  bei 
Terhältnismiißig  schwacher  Schwankung  zu  gering  ist,  um  die  ver- 
mehrte Mühe  zu  lohnen,  welche  die  logarithmische  Behandlung  mit- 
I  bringt,  indes  er  bei  verhültnismäßig  starker  Schwankung  entschieden 
I  hervortritt,  wozu  die  empii-ischen  Belege  folgen  werden ;  denn  freilich 


m 


OArm'ielics  Gnetc  imd  d«B«ti  Verellgemriilefutigeti. 


ohne  empirische  Belege  könnte  die  vorige  Auffassung  überhaupt  nur 
als  eine  in  die  Luft  geliaut«  Hyiwthese  erscheinen.  Die  Anwendung 
der  logarithmiachen  Belumdlung  auf  die  Empirie  alier  ist  diese. 

Man  reduziere  die  gegebenen  EinzelmaBe  a  des  K.-G.  auf  ilu-e 
Logarithmen  a  =^  ioga,  suche  in  derselben  Weise,  als  es  bei  Auf- 
suchung des  dichtesten  Wortes  D  aus  den  a  geschieht,  worauf  später 
bestimmter  einzugehen,  den  dichtesten  Wert  dieser  a,  welcher  S* 
heiße,  und  der,  wie  später  bestimmter  zu  erläutern,  nicht  mit  log  D 
zu  verwechseln  ist,  nehme  von  diesem  Werte  3)  die  logarithmischen 
Abweichungen  i.  =  a  —  3>  ;=  log  a  *— S' ,  welche  teils  positiv,  teils 
negativ  sein  werden,  suche  von  den  /  nach  jeder  Seite  insbesondere, 
d.  i.  Ä'  und  i.,,  die  einfachen  ai'ithnietischen  Mittel  oder  sog.  mittleren 
logaritlmiischen  Abweichungen  c',  c,  respektive: 


wobei  m'  und  tn,  die  Zahl  der  positiven  und  negativen  Abweichungen, 
nicht  wie  früher  der  u  von  D,  sondern  der  a  von  ö>  bedeuten,  und 
best! im» e  dann  die  Verteilung  der  logarithmischen  Abweichungen 
/',  /,  auf  jeder  Seite  insbesondere  ebenso  in  Bezug  auf  <i',  e,,  «*',  «», 
nach  zwiespältigem  G.  G.,  wie  es  oben  (§  33)  unter  j)  angegeben  ist,  nur 
dass  c\  c,,  m',  -m.  hier  in  angegebener  Weise  logarithmisch,  stjvtt 
wie  friiher  arithmetisch  beatinunt  sind. 

Aus  diesen  für  die  lugarithmi sehen  Abweichungen  geltenden 
Bestimmungen  folgen  dann  durch  Übersetzung  derselben  in  die  nach 
den  Tjogarithmentafeln  zugeliörenden  Zahlen  Bestimmungen  für  die 
Verhältnisabweichungen  imd  deren  Hauptwerte,  worauf  aliei-  für  jetzt 
nicht  einzugehen,  indem  die  erforderlichen  Ausführungen  darüber 
einem  späteren  Kapitel  vorbehalten  bleiben,  welches  überhaupt  auf 
die  logarithmische  Behandlung  der  K.-G.  näher  eingeht  (Kap.  XXL- 

Außer  dem  logarithmisch  dichtesten  Werte  3>  kann  man  dann 
auch  das  higaritbuiische  Millrl  y'  :iK  i\i  :  m,  d.  h.  als  arithmetisches 
Mittel  der  Logarithmen  \on  ",  uml  ddi  logiuitlunischen  Zentral  wert 
(?,   als  den  Wert  va"  -^-dc  a  Ubi-'r  sich  und  unter  si< 

i;.t,   Itestiu'™ 


sic^i^H 


i'Bche«  GeieU  und  deisen  VerallgemeiiieniDgen. 


81 


Von  den  lofrarithniischen  Werten  kann  man  femer  zu  (!en  Zali)- 

f  werten,  die  ihnen  nach  den  Logarithmentafeln  zugehören,  übergehen, 

I  und    besondere    Bezeichnungen    dafür    festsetzen,    was    nicht   müßig 

liist,  da  diese  Werte  ihre  beachtenswerte  Bedeutung  haben.     So  ^sat 

l'sich  der  zu  3>  gehörige  Zahlwert  mit  i^ als  dichtester  Verhältniswert 

I  bezeichnen,  indem  er  die  Bedeutung  bat,  dass  in  gleichem  Verhäitais- 

I  abstände  von  ihm  nach  jeder  Seite  mehr  Werte  a  und  mitliin  et  vereinigt 

I  sind  als  in  demselben  Verhältnisabstande  von  irgend  einem  anderen  a. 

Der  zu   dem  logarithmischen  Zentralwerte  (3  gehörige  Zahlwert 

I  stimmt  mit  dem  arithmetisch  bestimmten  C  überein;   denn   wenn  ein 

Wert  von  n,  d.  i.   C,  gleichviel  a  über  sich  und   unter  sich   hat,   so 

hat  auch  der  Logarithmus  von  C,  d.  i.  (?,  gleichviel  Logarithmen  der 

n,  d.  i.  gleichviel  a,  über  sieb  und  unter  sich. 

Der  mit  G  zu  bezeichnende,  welcher  als  Zahlwert  zu  S  gehört, 
[  stellt  das  geometrische  Mittel  der  n  dar. 

§  37.    Wir  haben   also  folgende    drei    allgemeine  Gesetze    oder 
Prinzipe  zu  unterscheiden,   von   denen   jedes  folgende   als  eine  Ver- 
allgemeinerung und  zugleich   Verschärfung    des   vorhergehenden  be- 
'  trachtet  werden  kann,    und   deren  wesentliche  Unterschiede  hierbei 
l-knrz  resümiert  werden  sollen. 

ij  Das  reine,  einfache,  ursprüngliche  ÖAüss'sche  Ge- 
setz oder  Prinzip,  fUr  die  Voraussetzung  symmeti'ischer  Wahi^ 
Fwheinlichkeit  der  beiderseitigen  arithmetischen  Abweichungen  Ö',  ^, 
I  Tom  arithmetischen  Mittel.  Hierbei  wird  der  Ausgang  vom  aritli- 
[■  metischen  Mittel  A  genommen,  die  beiderseitigen  Abweichungen  davon 
[  als  arithmetische  bestimmt,  die  mittlere  Abweichung  e  ^  2(^  .tu  für 
f  beide  Seiten  gemeinsam  als  Quotient  der  Summe  der  beiderseitigen 
■■Abweichungen  nach  absolutem  Worte  durch  die  Gesamtzahl  derselben 
I- direkt  (oder  nach  einer  bekannten  Formel  aus  der  Summe  der  Ali- 
l »eichmigsiiuadrate  als  e  ^  qV2  :  ;t]  berechnet  und  nach  der  ^Tabelle 
^äe  Verteilung  bestimmt.  Zur  ausdriicklicbon  Unterscheidung  der 
iziehung  der  Abweichungen  auf  Ä  ersetze  ich  die  allgemeinen  Be- 
eJohmmgen  tri,  &,  £  durch  /i,  J,  ij. 

)  Die  arithmetische  Verallgemeinerung  des  G.  G.,  für 
ä  Voraussetzung  asjTnmetrischer  W.  der  Abweichungen  ©',  0,  vom 


81 


Oxoss'aehes  Oeseti  und  dcRien  Veral^^emeinenrngen. 


arithmetischen  Mittel,  allgemeiD  gültig  fib-  die  verschiedensten  Grada^ 
der  Afijinnietrie,  doch  nur  zureichend  für  verlmltnisiiiäBig  schwache 
Schwankung  um  die  Hauptwerte,  wie  sie  den  meisten  K.-Gr.  zukoimot. 
Hier  wird  der  Ausgang  von  dem  arithmetisch  dichtesten  Werte  I) 
genommen,  der  aus  den  MaBwerten  a  in  später  zu  betrachtender 
Weise')  erhalten  wird,  ohne  sie  vorlier  in  Logarithmen  übersetzt  zu 
hahen.  Die  beiderseitigen  Abweicliungen  &',  0,  werden  als  arith- 
metiscbo  nach  beiden  Seiten  von  D  besonders  genominen,  ilire  mittleren 
Werte  e'  =  iö' :  m'  und  i,  =  ^0, :  m,  bestimmt,  und  nun  fik  jede 
Seite  insbesondere  die  Verteilung  nach  dem  zweispaltigen  G.  G.  (§  33) 
unter  Setzung  von  t'=  0':e'K;r  füi-  positive  Seite  und  von  t,^  Q,:t,V7r 
für  negative  Seite  naeh  der  t-Tahelle  bestimmt.  Zur  ausdrücklichen 
Unterscheidung  der  Beziehung  der  Abweichungen  auf  D  ersetze  ich 
die  allgemeinen  Bezeichnungen  m,  0,  c  durch  «1,  5,  c. 

3)  Die  logarithmische  Verallgemeinerung  des  vorigen 
Gesetzes  oder  Prinzips,  gültig  für  beliebig  große  Asymmetrie 
und  behebig  große  verhältnismiiBige  Schwankung.  Hiemach  sind 
von  allen  einzelnen  MaBwerten  n  die  Logarithmen  a  =  log  a  zu 
nehmen,  hieraus  der  dichteste  Wert  3>  zu  bestimmen,  die  logarith- 
mischen Abweichungen  X,  X,  nach  beiden  Seiten  zu  nehmen,  hieraus 
die  Mittel  derselben  e',  c,  zu  nehmen  und  auf  a,  3>,  X',  ).,,  c\  e,  ganz 
entsprechende  Bestimmungen  anzuwenden  als  nach  der  vorigen,  der 
arithmetischen  Verallgemeinerung  auf  n,  D,  $',  S,,  a\  c,.  Von  den 
logarithmisclien  Werten  lässt  sich  dann  auf  die  Verhältniswerte  als 
nach  den  Logarithmentafeln  zugehörige  Zahlen  kommen. 

Als  prinzipiell  streng  sehe  ich  nun  eigentlich  hloB  die  logarith- 
mische Vei'allgemeinerung  des  G.  G,,  d,  i.  3)  an;  aber  sie  ist  in  ihrer 
Anwendung  sehr  umstjindhch,  und  bei  verhältnismäBig  schwacher 
Schwankung  kann  man  sehr  wohl  nach  der  arithmetischen  Verallge- 
meinerung 2)  verfahren,  wie  sich  erfahrungsraäßig  beweisen  wird. 
Am  wenigsten  genügt  überall  das  einfache  G,  G,  1),  indes  es  am 
einfachsten  anwendbar  ist,  weil  der  arithmetische  Mittelwert  A  als 
AusgangHwert  der  Abweichungen   leichter  als   die  dichtesten  Werte 


QAUSS^sches  Gesetz  und  dessen  Verallgemeinerungen.  83 

D  und  d>  mit  verhältnismäßiger  Genauigkeit  zu  bestimmen  ist;  bei 
schwacher  Asymmetrie  aber  weichen  die  Resultate  von  i),  2)  und  3) 
wenig  von  einander  ab. 

Je  nachdem  ich  nun  folgends  die  Behandlung  eines  Gegenstandes 
unter  Voraussetzung  symmetrischer  W.  der  Abweichungen  bez.  -4, 
also  nach  erstem  Prinzip,  oder  unter  Voraussetzung  asymmetrischer 
W.  bez.  A^  also  nach  zweitem  oder  drittem  Prinzip  im  Auge  habe, 
werde  ich  kurz  von  Behandlung  nach  symmetrischem  oder  asym- 
metrischem Prinzip  sprechen;  und  je  nachdem  ich  die  Behand- 
lung mit  Anwendung  arithmetischer  Abweichungen,  also  nach  erstem 
oder  zweitem  Prinzip,  oder  mit  Anwendung  logarithmischer  Abwei- 
chungen, also  nach  drittem  Prinzip,  im  Auge  habe,  werde  ich  von 
arithmetischer  oder  logarithmischer  Behandlung  sprechen. 

Im  allgemeinen  findet  man  für  das  Folgende  die  Behandlung 
der  Gregenstände  und  Aufstellung  der  Sätze  nach  arithmetischem 
Prinzip  geführt;  der  Übergang  zum  logarithmischen  Prinzip  und'  die 
Behandlung  der  eine  solche  wesentlich  fordernden  Gegenstände  wird 
aber  dem  £[apitel  XXI  besonders  vorbehalten. 


6* 


VI,  Charakteristik  der  KoUektivgegenstände  durch  ihre 
BestimmuDgsstücke  oder  sog.  Elemente. 

§  38.  Gehen  wir  auf  tlie  schon  früher  {Kap.  II)  bezüglich  der 
Charakteristik  der  K.-G.  gemachten  aUgetneinen  Bemerkungen  jetrt.1 
etwas  bestimmter  ein. 

Sollte  ein  K.-Cir.  vollständig  nacli  Maß  und  Zahl  bestimmt  sein; 
so  würde  es  überhaupt  gelten,  nicht  nur  alle  gegenwärtigen,  sondeni 
auch  gewesenen  und  künftigen  Exemplare  desselben  zu  zählen  und 
von  jedem  das  Maß  nach  den  Hinsicliten  zu  nehmen,  die  einer  quan- 
tit-ativen  Bestimmung  Ramu  geben,  nls  wie  Größe  nach  den  drei 
Hauptdimensionen,  Gewicht,  Dichtigkeit,  Dauer,  Dies  ist  im  all- 
gemeinen unmöglich.  Die  Menge  der  Exemplare  eines  gegebenen 
Gegenstandes  ist  überhaupt  meist  unbestimmbar  groß,  und  von  dieser 
unbestimmbar  großen  Menge  steht  meist  nur  eine  sehr  besciminkte 
Anzahl  für  Maßnahmen  daran  zu  Gebote.  Dazu  erhellt,  dass,  wenn 
z,  B.  das  Gellimgewicht  des  Europäer  und  Negers  verghchen  werden 
soll,  dies  nicht  dadurch  geschehen  kann,  dass  man  die  Gewichte  von 
tausend  europäischen  Gehirnen  den  Gewichten  von  tausend  Neger- 
gehimen  gegenüberstellt.  Es  gilt  ein  einheitliches  Resultat.  Also 
wii'd  es  zwar  nach  schon  hüher  gemachten  Bemerkungen  gelten,  so 
viele  Exemjilare  der  zu  untei-suchenden  und  zu  vergleichenden  Gegen- 
stände als  möghch  ohne  willkürlichen  Ausschluss  gewisser  Größen  zu 
messen,  worin  man  nicht  zu  viel  thun  kann,  um  unausgeglichenen 
ZufälligkeJt-en  nicht  zu  \ic\  Kaum  zu  geben,  die  erhaltenen  Maße  in 
angegebener  Weise  nach  Zahl   und   Große    in   Verteilungstafeln    zu 

len,    und,    da  dies   aber   doch   ei-st  dazu   fühlt,    den   Gang    der 


I 


Charakteristik  der  K.-O.  durch  ihre  Elemente. 


85 


Wtrte  im  allgemeinen  übei-sehen  zu  lassen,  aus  diesen  Vprteüungs- 
tafeüi  gewisse  Werte,  die  sog,  BeBtimmungsstiicke  oder  Elemente 
des  K,-Gr.  abzuleiten,  welche  eine  Charakteiistik  des  Gegenstandes 
und  Möglichkeit  seines  Vergleiches  mit  anderen  Gegenständen  nach 
quantitativer  Beziehung  gewäliren.  In  der  That  hat  man  hierin  die 
Frucht  der  vielen  einzelnen  MaQbestimmungen  zu  sehen  ujid  zu  bieten. 

Begnügt  man  sich  nun,  wie  es  häufig  der  Fall  ist,  mit  der  An- 
gabe des  arithmetischen  Mittels  eiuea  K.-G.,  so  liat  man  darin  aller- 
dings einen  wichtigen  und  in  keinem  Falle  zu  veraachlässigenden 
Bestimmungswert  und  Vergleichs  wert  mit  anderen  Gegenständen; 
aber  es  können  zwei  K.-G.  ganz  oder  nahe  darin  übereinstimmen 
und  doch  nach  anderen  Beziehungen  sehr  auseinander  weichen.  Nun 
konnte  es  früher  genug  erscheinen,  auch  die  mittlere  Schwankungs- 
gröBe  und  ganze  Schwankungsweite  eines  K.-G.  durch  Angabe  der 
mittleren  Abweichung  vom  arithmetischen  Mittel  und  der  Extreme 
2U  berücksichtigen,  um  die  wesentliche  Charakteristik  damit  erschöjift 
zu  haben,  und  in  der  That  ist  dies  mitunter  geschehen.  Aber  mit 
der  Erkenntnis  der  den  K.-G.  in  so  großer  Allgemeinheit  und  in  si> 
verschiedenem  Grade  nach  einer  oder  der  anderen  Richtung  zu- 
kommenden Eigenschaft  der  Asymmetrie  ist  das  bisher  nicht  ge- 
fühlte Bedürfnis  eingetreten,  die  K.-G. ,  die  man  überhaupt  einer 
eingehenden  Untersuchung  und  Vergleichung  wert  hält,  auch  nach 
dieser  Richtung  zu  charakterisieren,  d.  i.  die  verschiedenen  Haupt- 
werte, deri'n  Unterscheidbarkeit  durch  die  Asymmetrie  bedingt  ist, 
und  die  Abweichungswerte  bezüghch  derselben  ins  Auge  zu  fassen, 
womit  nicht  gesagt  ist,  dass  jeder  Gregenstand  an  sich  Interesse  genug 
hat,  um  sich  auf  eine  solche  Erweiterung  seiner  Charakteristik  ein- 
zulassen, indes  jedenfalls  in  einer  allgemeinen  KoUektivmaB lehre  darauf 
eingegangen  werden  muss. 

§  39-  Wenn  nun  schon  die  allgemeine  Kollekti\'maBlehi'e  nicht 
bei  der  frülier  gewohnten,  beschränkten  Berücksichtigung  von  A  und 
der  dazu  in  Beziehung  stehenden  Abweichungen  stehen  bleiben  kann, 
und  doch,  wie  schon  oben  zugegeben,  nicht  jeder  K.-G.  auf  eine 
Berücksichtigung  aller  möglichen  Bestiminungastücke,  die  im  H.  Ka- 
pitel angegeben   sind,    Anspruch   machen   kann,    so  wird  überhaupt 


S6  Charakteristik  der  £.-G.  durch  ihre  Elemente. 

nicht  leicht  Anlass  sein,  auf  eine  allseitige  Berücksichtigung  derselben 
einzugehen,  es  sei  denn  bei  einem  K.-G.,  dem  man  eine  ganz  be- 
sondere Wichtigkeit  beilegt,  und  der  als  Beispiel  für  die  Durchführ- 
barkeit der  allseitigen  Berücksichtigung  selbst  dienen  soll.  Also  kann 
man  leitende  Gresichtspunkte  für  eine  zu  treffende  Auswahl  wünschen. 

Alles  zusammengenommen  nun  glaube  ich,  dass,  wo  man  mit 
Bestimmungen  sparen  will,  und  es  eine  Konvention  gilt,  an  welchen 
Hauptwert  man  sich  vorzugsweise  zur  charakteristischen  Unterscheidung 
gegebener  K.-G.  halten  soll,  dem  arithmetischen  Mittel  mit  seinen 
Abweichungen  immer  der  ihm  bisher  gewahrte  Vorzug  bleiben  wird, 
nur  dass  man  mit  Übergebung  der  übrigen  Bestimmungsstücke  zu- 
gleich an  Einsicht  in  die  quantitative  Konstitution  der  K.-G.  verliert 
und  Charaktere  derselben  außer  Acht  lässt,  die  an  sich  nicht  minder 
bedeutsam  sind,  als  die  sich  an  das  arithmetische  Mittel  knüpfen, 
und  auf  die  Aufstellung  eines  allgemeinen  Verteilungsgesetzes  empor- 
heben. Zur  Klarstellung  hiervon  wird  auf  die  schon  oben  (Kap.  ü) 
angegebenen  Eigenschaften  der  verschiedenen  Hauptwerte  mit  er- 
weiternder und  erläuternder  Betrachtung  zurückzukommen  sein. 

[Dies  wird  ausführUch  im  X.  Kap.  geschehen.  Während  aber 
dort  die  Eigenschaften  jedes  einzelnen  Hauptwertes  für  sich  vorge- 
führt werden,  handelt  es  sich  hier  um  eine  vergleichende  Beurteilung 
der  Hauptwerte  selbst  rücksichtlich  ihrer  Leistungen  zur  Charakteristik 
der  K.-G.  Aus  diesem  Grunde  kommen  bloß  der  arithmetische 
Mittelwert  A,  der  Zentralwert  C  und  der  dichteste  Wert  D  in  Be- 
tracht; denn  der  Scheidewert  i2,  sowie  der  schwerste  Wert  T  xxnd  der 
Abweichungsschwerwert  F  sind  von  vornherein  wegen  ihrer  geringeren 
Bedeutung  bei  einer  zu  treffenden  Auswahl  bei  Seite  zu  lassen.  Da- 
bei ist  jedoch  ein  Unterschied  dazwischen  zu  machen,  ob  jene  drei 
Hauptwerte  mit  Rücksicht  auf  ein  als  gültig  vorausgesetztes  Ver- 
teilungsgesetz oder  ohne  Rücksicht  auf  ein  solches  betrachtet  werden 
sollen,  da  je  nachdem  eine  ganz  verschiedene  Wertschätzung  der- 
selben Platz  greift.] 

§  40.  [Lässt  man  nämhch  die  Voraussetzung  fallen,  dass  ein 
Verteilungsgesetz  den  Gang  der  ;t -Werte  einer  Verteilungstafel  regelt, 
so  ist  die  letztere  prinzipiell  nur  als  eine  regellose  Ansammlung  von 


Charakteristik  der  £.-G.  durch  ihre  Elemente.  87 

Werten  aufzufassen,  und  es  kann  darum  den  Hauptwerten  nur  die 
Bedeutung  zukommen,  als  Mittelwerte  jenen  regellosen  Komplex  in 
mehr  oder  minder  zutreffender  Weise  zusammenzufassen  und  zu  ver- 
treten. Dann  ist  aber  keinem  Zweifel  unterworfen,  dass  die  Be- 
stimmung des  A  wertvoller  ist  als  diejenige  des  C  oder  des  D,  Denn 
A  stellt  als  arithmetisches  Mittel  den  Durchschnittswert  dar,  der 
thatsächlich  an  Stelle  jedes  einzelnen  Wertes  gesetzt  werden  kann, 
wenn  dieselben  zu  einer  Summe  zusammengefasst  werden  sollen.  C 
dagegen  giebt  bloß  die  Wertmitte  an,  die  eben  so  oft  überschritten 
als  unterschritten  wird,  und  repräsentiert  somit  die  Tafelwerte  mit 
geringerer  Zuverlässigkeit,  weil  es  nicht  wie  A  von  der  Siunme,  son- 
dern nur  von  der  Anzahl  der  beiderseitigen  Abweichungen  abhängt. 
D  schließlich  kann  gar  nicht  als  stellvertretender  Mittelwert  zuge- 
ktssen  werden,  da  es  nur  den  empirisch  dichtesten  Wert  in  seiner 
durch  kein  Gesetz  geregelten  Zufälligkeit  bezeichnet  und  seiner  Lage 
nach  nicht  rechnerisch  bestimmt,  sondern  bloß  durch  den  Anblick 
der  Tafel  gefunden  werden  kann.  Überhaupt  ist  sein  thatsächliches 
Vorhandensein  in  einer  regellos  verlaufenden  Tafel  nur  als  ein  glück- 
licher Zufall  anzusehen,  dem  keine  Wichtigkeit  beizumessen  ist.] 

[Anders  ist  es,  wenn  das  Bestehen  eines  Verteilungsgesetzes  an- 
genommen wird.  Dann  behält  zwar  A  die  Bedeutung  als  Durch- 
schnittswert, die  es  auch  in  der  regellosen  Tafel  hat,  ohne  direkt 
etwas  zu  gewinnen.  Die  Bedeutung  von  C  dagegen  wird  größer,  da 
es,  mit  Rücksicht  auf  die  nunmehr  in  Ki'aft  tretenden  Wahrschein- 
lichkeitsbegrifiFe ,  als  Wertmitte  den  wahi-scheinlichen  Wert  darstellt. 
In  den  Mittelpunkt  des  Interesses  rückt  aber  D,  da  es  als  empirisch 
dichtester  Wert,  wenigstens  angenäheii;,  d.  h.  von  den  unausgegliclienen 
Zufälligkeiten  abgesehen,  denjenigen  Wert  bezeichnet,  dem  die  größte 
W.  zukommt.  D  steht  somit  in  solidarischem  Zusammenhange  mit 
dem  Verteilungsgesetze,  dessen  Maximalwert  prinzipiell  init  ihm  zu- 
sanunenfallen  muss.  Auch  erhellt  unmittelbar,  dass  nach  Aufstellung 
eines  zutreffenden  Verteilungsgesetzes  ein  doppelter  Weg  zur  Be- 
stimmung von  D  offen  steht:  der  eine  auf  Grund  des  Gesetzes, 
dessen  Maximalwert  theoretisch  den  wahrscheinlichsten  Wert  be- 
zeichnet; der  andere  auf  Grund  der  Tafel,  deren  dichtester  Wert 


88  Charakteristik  der  £.-Q.  durch  ihre  Elemente. 

empirisch  den  wahrscheinlichsten  Wert  angiebt.  Dabei  ist  es  gleich- 
gültig, ob  der  Gang  der  x  in  der  Tafel  den  dichtesten  Wert  direkt 
oder  nur  die  Tendenz  zur  Erzeugung  eines  solchen  erkennen  lässt. 
Denn  infolge  des  in  Kraft  getretenen  Gesetzes  stehen  die  a  und 
die  ;^  in  funktionalem  Zusammenhange,  so  dass  nach  bekannten 
Regeln  das  dichteste  x  durch  Interpolation  ^us  den  gegebenen  Tafel- 
werten berechnet  werden  kann,  wenn  seine  rohe  Bestimmung  aus 
dem  unmittelbaren  AnbUck  der  Tafel  versagt  oder  ungenau  erscheint. 
Insofern  nun  aber  diese  empirische  Bestimmung  des  wahrscheinlichsten 
Wertes  mit  jener  theoretischen  übereinstimmen  soll,  müssen  dem  D 
alle  die  Eigenschaften  beigelegt  werden ,  die  den  Maximalwert  des 
Verteilungsgesetzes  auszeichnen,  so  dass  einesteils  die  Berechnung 
des  D  durch  Interpolation  ein  Mittel  bietet,  die  Triftigkeit  eines 
aufgestellten  Verteilungsgesetzes  zu  erhärten,  anderenteils,  vor  Kennt- 
nis des  aufzustellenden  Gesetzes,  die  Erkenntnis  der  Eigenschaften  des 
empirisch  konstatierten  D  der  Tafeln  Fingerzeige  zur  Auffindung 
eines  Verteilungsgesetzes  geben  kann.] 

§41.  [Dieser  solidarische  Zusammenhang  zwischen  den  Eigen- 
schaften des  dichtesten  Wertes  D  und  dem  Verteilungsgesetze,  der 
dem  D  den  unbedingten  Vorrang  vor  jedem  anderen  Hauptwerte 
sichert,  tritt  auch  in  der  physikaUschen  und  astronomischen  Fehler- 
theorie zu  Tage.  Dieselbe  betrachtet  bekanntUch  als  den  wahren 
Beobachtungswert  das  arithmetische  Mittel  der  beobachteten  Werte, 
deren  Abweichungen  von  jenem  die  Beobachtungsfehler  sind.  Der 
wahre  Wert  ist  aber  nichts  anderes  als  der  wahrscheinlichste  Wert,  der 
in  einer  Fehlerreihe,  die  hinreichend  groß  ist,  um  einen  gesetzmäßigen 
Gang  erkennen  zu  lassen,  als  empirisch  dichtester  Wert  sich  zu  er- 
kennen giebt.  Es  wird  also  durch  Aufstellen  des  Prinzips,  dass  der 
wahi-e  oder  wahrscheinUchste  Wert  das  arithmetische  Mittel  A  sei, 
dem  A  die  Bedeutung  zugelegt,  zugleich  der  dichteste  Wert  D  zu 
sein.  Diese  Forderung  des  prinzipiellen  Zusammenfallens  von  A  und 
D  führt  nun  zum  GAuss'schen  Fehlergesetz,  wie  das  z.  B.  aus 
Encke^s  *)  Darstellung  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  zu  ersehen 


I)  [Berliner  astronomisches  Jahrbuch  für  1834,  S.  264  fg.] 


■MWeriabk  der  K.-O.  durch  ihre  Elemente.  g9 

»ullii'n  fiilgt  tliinn  weiterhin  aach  die  prinzipielle 
>  Zeiitrsilwirtps  C  mit  A  und  mit  D,  deren  ver- 
li  Gmifi   diT   Tafel  Symmetrie  bez.  A  bedingt, 
■.;.;:iiiili  nveiclu'n  Asymmetrie  zur  Folge  hat] 

I -^  natürlich   durch  die  Erfahrung  Bestätigung 

r'loch   nicht  verlangt,    dasB  für  Fehlerreihen, 

■  I  iliii  Stand  setzt,   einen  dichtesten  Wert  durch 

\iilili(?k  der  Reihe  oder  durch  Interpol ationsmaßige 

l"ii,  ilet-selbf   genau  mit  .d  zusammenfalle;  denn 

ii    iin:msgegliciiene   Zufälhgkeiten    Rücksicht    zu 

In     rill  tmpirisdiGs  Auseinanderweichen   der  Haupte 

■  n   kennen,   ulino  zugleich  die  Gültigkeit  des  aufge- 

fri  Frage  zu   sti^llon.     Überdies  wird   man  eine  Be- 

t  Pril«a(ts   vielmelir  in   der  Übereinstimmung  des  in  der 

Ichlich    vorliegenden   G-anges    der  Werte   mit  dem 

1  geforderten  Gange,   als  in   dem   empirischen  Zu- 

I  Ä  und  D  suchen  und  finden;  wie  denn  auch  z.  B. 

»Fundamenta  astronomiae«    durch   Gegenüberstellen 

f  Fehler  nacli  der  Theorie  und   nach  der  Erfahrung 

I  G.  G.  gegt'l)c'n   liat.     Es  werden  nämhch  die 

t  Zufälligkeiten,  insbesondere  hei  hinreichender  Re- 

Pehlertabelle ,    den    Gang   der   Tafelwerte  im  ganzen 

usen,  während  zu  ei-warten  ist,  dass  sie  die  Lage  ein- 

!■  mitunter  erhebli<;h  stfiren  und  leicht  ein  verhältuismäBig 

Trfitliciics  Auseinand erweichen  der  Hauptwerte,  deren  Zusammen- 

tT  Theorie  verlangt  wird,  verursachen  können.] 

1  aber  ein  solches  Aiiseinanderweichen  stattfindet,  behält 

rithmetische  Mittel  den  Voi-zug,  sei  es,  dass  man  nach  Gaüss- 

rinzipien  als  den  wahrscheinliclisten  Wert  denjenigen  ansieht, 

i  dessen   die  Simime  der  AbweichungS(iuadrate  die  kleinst- 

\  ist,   oder  bezüglich  dessen  die  Summe   der  Abweichungen 

iden  Seiten  gleich  ist;  beide  Werte  aber  fallen  im  arithmeti- 

I  zusammen,   mag  Symmetrie  oder  Aa)Tnmetrie  bezüghcli 

dlben  stattfinden.    Also  bleibt  der  Vorzug  für  das  arithmetische 

tel  auch  da,  wo  es  nicht  mit  den  anderen  Hauptwerten  zusammen- 


fällt,   in  iler  jiltysikalisL'hen   und  iistrunomischen  MaiJlelire  nach   den  1 
Zwecken  derselben  jedenfalls  entschieden. 

[Dies  gilt  Jedoch  nur  unter  der  Voraussetzung,  dass  prinzipieU-J 
das  arithmetische  Mittel  als  der  wahrscheinlichste  Wert  zu  beb'achtan  I 
sei.  Verliert  dieses  Prinzip  seine  Geltung,  so  verliert  auch  A  seine  J 
bevorzugte  Stellung;  denn  es  behält  zwar  seine  ui-sprilngliche  Be- 1 
deutung  als  Durchschnittswert,  aber  mit  Rücksicht  auf  das  Veiv  1 
teilungsgesetz  tiitt  jetzt  derjenige  Wert  an  seine  Stelle,  der  dem  I 
nunmehr  autzustellenden  Prinzipe  gemäß  die  Bolle  des  wahracliein-  I 
liebsten  Wertes  übeminunt  und  prinzipiell  mit  dem  dichtesten  Werte  j 
zusammenfällt.  Wird  beispielsweise  der  Zentralwert  C  oder  ein  ] 
anderer  >Potenzniitt€lweii<,  bezüglich  deren  Aufstellung  undErörl«-! 
rung  auf  die  Abhandlung'):  Ȇber  den  Ausgangswert  der  kleinsten] 
Ähweichungssumme<  zu  verweisen  ist,  als  der  Wert  angesehen,  dem  i 
die  gröBte  W.  zukommeo  soll,  so  tritt  im  Zusammenhange  damit  I 
jedesmal  ein  anderes  Verteilungsgesetz  in  Ki-aft,  dui'ch  dessen 
stehen  der  zu  Grunde  gelegte  wahrscheinlichste  Wert  ganz  ebenso  die 
Vorherrschaft  erhält  wie  hei  Geltung  des  G.  G.  das  arithmetische  Mittel.] 

§  42.    [Für  die  KoUektivniaBlehre  ist  nun  in  gleicher  Weise  der 
dichteste  Wert  von  fundamentalem  Interesse,  sobald  das   die  VerwJ 
teilung  der  Exemplare  eines  K.-G.    beherrschende  Wahrscheinlich- ^ 
keitsgesetz   in   Fi-age   kommt.     Betreffs   der  Feststellung  der  Eigen- 
schaften des  dichtesten  Wertes  und  der  auf  dieselben  zu  gi'ündenden 
Ableitung  jenes  Gesetzes  kann  aber  liier  nicht  das  Prinzip  des  arith-    , 
metischen  Mittels  oder  ii'gend  ein  anderes  Prinzip  a  priori  aufgestellt  I 
werden.     Denn  die  K.-G.   sind  nur  durch   die  Erfahrung  gegeben,  ' 
und  es  besteht  von  vornherein  uiclit  einmal  Sicherheit  darüber,   dass 
für  dieselben  insgesamt   ein   bestiiiunter  Wert  als  walu^cheinlichster 
Wert  zu  finden  ist,  oder  dass  —  mit  anderen  Worten  —  der  empirisch 
dichteste  Wert    bei   den   verscliiedenen   K.-G.   durch    die  niindichen  J 


i.i  Abhandlungen  der  math.-phj'E.  Kksse  der  K5nigl.  SSchs,  Gesellsch.  der 
Wisseusch.  Band  XI,  1878.  ilusbeiondcre  AhBchuili  VI:  >Beinerkun(;i3u  tur 
Galtigkeitafragc  des  Priudps  dea  nrithmcdscheu  Mittels<  iiud  Abschnitt  VII: 
■WahrBcheinlichkcitBgeactic  der  Ahwcicbiiugcn  be».  der  verscliiedenen  Poten»oultd 
unter  Vornuagctzung  der  Gültigkeit  ihres  Priniipa.) 


I 


I  Chsnüttemtik  der  K.-G.  dtuefa  ihre  Elemente-  91 

Eigenschaften  clianikterisiert  wenlen  kann.  Es  ist  darum  als  ein 
grundlegendes  Resultat  der  Erfalining  anzusehen,  dass  die  verschie- 
densten K.-G.,  die  in  Untersuchung  genommen  wurden,  in  der  Tliat 
die  Bestimmung  eines  wahrscheinlichsten  Wertes  gestatten,  und  dass 
der  letztere  nahe  genug  mit  demjenigen  Werte  zusammentrifft,  für 
den  das  Verhältnis  <ler  beidei-seitigen  mittleren  Ahweichungen  (c':ö,) 
gleich  ist  dem  Verhältnisse  der  heiderseitigen  Abweichungszuhlen 
(»•':#«,).  Der  dichteste  Wert  ist  somit  in  der  KollektiiTnaBlehre  von 
dem  arithmetischen  Mittel  prinzipiell  vei'schieden  und  steht  rielraehi' 
in  prinzipiell  geforderter  Übereinstimmung  mit  dem  durch  die  Pro- 
portion e'  .e,  =  *»' :  m,  definierten  Werte.  Der  letztere  [welcher  nach 
der  in  Kap.  H  getroffenen  Festsetzung  mit  D^  zu  bezeichnen  ist, 
während  D,  den  interi}olationsmäBig  berechneten,  empiriscli  dichtesten 
Tafelwert  benennt)  beansprudit  mithin  hier  die  nämliche  Beachtung 
wie  der  arithmetische  Mittelwert  in  der  Fehlerthoorie,  Auch  hat  er 
die  ganz  entsprechende  Bedeutung;    denn   auf  Grund   des  [Prinzips, 

Idass  der  wahrscheinlichste  Wert  eines  K.-G.  die  Proportion 
i':c,  =  tn'-.f».  erfüllen,  oder  dass  Dp  =  Dt  sein  soll,  findet  mau  als 
Verteilungsgesetz  das  im  vorigen  Kapitel  bereits  rorgreiflich  aufge- 
stellte erweiterte  G.  G.  in  ähnhcher  Weise,  wie  auf  Gmnd  des 
Prinzips,  dass  der  wahrscheinlichste  Wert  das  aritlmietische  Mittel, 
oder  dass  A  ^  Dt  sein  soll ,  das  einfache  G-  G.  als  Fehlergesetz 
sich  ergiebt.] 
iNur  insofern  kann  J  auch  hier  die  Vorhenschaft  behaupten, 
als  es  bei  den  mit  schwacher  Asymmetrie  begabten  K.-G.  ao  nahe 
mit  Df  zusammenfallt,  dass  es  genügt,  approximativ  das  einfache 
G.  G.  an  Stelle  des  zweispaltigen  in  Anwendung  zu  bringen.] 
§  43,  Niclit  unberücksichtigt  darf  hei  der  Wahl  zwischen  den 
verschiedenen  Hauptwerten  der  Grad  der  Leichtigkeit  und  Bestimmt- 
heit bleiben,  mit  dem  sie  zu  gewinnen  sind.  Kommt  es  auf  bloß 
rohe  Bestimmung  an,  so  ist  die  des  dichtesten  Wertes  entschieden 
die  einfachste  »md  leichteste,  da  man  ja  in  einer  Vei-teilungstafel 
bloß  nach  dem  a  zu  sehen  braucht,  welchem  das  größte  x  zugehört; 
demnächst  folgt  in  dieser  Hinsicht  die  Bestimmung  des  Zentralwertes, 
wozu  es  nur  einer  Abzahlung  der  n  i)iler  Ö  von  beiden  Seiten  nach 


92 


Charakteristik  der  K.-O,  durch  ihre  Elemente. 


der  Mitte  bis  zur  erlangten  Gleiclilieit  von  in'  und  »i,  bedarf; 
umständlichsten  die  des  A,  da  die  Addition  aller  einzelnen  a  einer 
vielzahligen  Verteilungstafel  oder,  was  auf  dasselbe  herauskommt, 
die  Bildung  und  Addition  der  Produkte  xa  zur  Erlangung  der 
Summe  ^a,  welche  mit  tn  zu  dividieren  ist,  eine  bei  großem  ni  lang- 
wierige und  mühsame  Operation  ist. 

Aber  anders,  ja  gerade  umgekehrt,  stellt  sich  das  Verhältnis, 
wenn  man  zu  scharfen,  den  idealen  sich  möglichst  nähernden  Be- 
stimmungen übergehen  will.  Von  der  rohen  Bestimmung  des  dichte- 
sten Wertes  nach  dem  auf  ihn  fallenden  Maximal-i  ist  überhaupt 
nur  eine  sehr  unsichere  Approximation  an  den  Idealwert  zu  erwarten; 
die  achärfstmöghche  aber,  auf  das  Verhältnis  tn' :  nt,  =  ä' :  e,  zu  grün- 
dende, ist  zwar  auf  eine  bestimmte  und  nicht  schwierig  zu  führende 
Bechnung  zu  bringen,  aber  wirtl  in  der  Ausführung  unstreng,  fordert 
Reduction  und  Interpolation,  die  zuletzt  noch  einen  kleinen  Spiel- 
raum für  das  zu  rechnende  Resultat  lassen.  Auch  die  schai-fe  Be- 
stimmung des  C,  obwohl  ^Hel  eintaclier  als  die  des  D,  kann  ohne 
solche  Hilfsmittel  nicht  auskommen,  wogegen  die  Bestimmung  des 
A  solcher  nicht  bedarf.  Die  Umständhchkeit  der  Bildung  der  Pro- 
dukte ifl  kann  durch  ein  später  (Kap.  IX)  anzugebendes  Verfaliren 
vermieden  werden. 

§  44.  Nach  voriger  Besprechung  der  Eigenschaften  und  Lei- 
stungen der  verschiedenen  Hauptwerte  wird  noch  etwas  von  den 
Gesichtspunkten  zu  sagen  sein,  aus  denen  die  Extreme  und  Abwei- 
chnngsfunkttonen  in  Rücksicht  kommen. 

Es  können  zwei  K.-G.  ganz  oder  nahe  in  ihien  Hauptwerten 
übereinstimmen  und  doch  noch  ihe  Schwankung» weite  und  der 
mittlere  Schwankungswert  der  Exemplare  um  ihi*  Hauptwerte 
sehr  verschieden  sein,  worin  keineswegs  gleichgültige  Unterscheidungs- 
merkmale hegen.  So  kann  die  Mitteltemperatiu-  einer  Insel  mitten 
im  Oceane  nnd  einer  Ortlichkeit  mitten  in  einem  Kontinente  dieselbe 
sein;  aber  die  Abweichungen  der  einzelnen  Temperaturen  von  der 
Mitteltemperatur  halten  sich  bei  der  ersten  in  engeren  Grenzen  und 
sind  im  Durchschnitte  kleiner  als  bei  der  zweiten,  wonach  wir  Seekhma 
und  Kontinentalklima  unterscheiden. 


I 


Charakteristik  der  K.-G.  durch  ihre  Elemente. 

[Man  wird  nuD  geneigt  sein,  derartige  Untersuhiede  dm-ch  Angabe 
des  groBt«n  und  des  kleinst«!!  Wertes,  d.  i.  des  E'  und  des  E,,  die 
I  in  einer  Reihe  von  Exemplaren  eines  K.-Gr.  vorkommen,  in  einfaclister 
)  Weise  zu  charakterisieren.] 

So  empfehlenswert  aber  die  Angabe  der  extremen  Werte  E'  und 

[  £",  ist,   um  erkennen  zu  lassen,  in  welchen  Grenzen   die   Größe   der 

'  Exemplare  geschwankt  hat,  so  ist  doch  der  Nutzen  davon  aus  mehr 

I  als  einer  Beziehung  prekär  und  beschränkt.    Einmal  unterliegen  diese 

Werte  großen  Zufälb'gkeiten,  so  dass  man  nicht  darauf  rechnen  kann, 

wenn   man   die  Extreme   und   extreme  Schwankung   aus   einer  neuen 

Serie  Ton  Exemplaren  mit  demselben  m  bestimmt,   dieselben  Werte 

,  wieder  zu  finden;  zweitens  hat  die  Angabe  dei-selben  überhaupt  nur 

[  für  die  Anzald  der  Exemplare,   das  m,  woraus   dieselben   abgeleitet 

I  sind,   einen  Wert,   indem  bei  größerem   m   der  Spielraum   der  Ver- 

'  änderungen    größer  wird,   so    dass  man   bei  größerem  m  im  allge- 

I  meinen   weiter   ausein anderliegende   Extreme,    ein    kleineres  E,,    ein 

\  größeres  E'  und  mithin  eine  größere  extreme  Schwankung  E'  —  E, 

[  erhält  als  bei  kleinerem  m.    Gesetzt  nun  z,  B.  man  will  einen  Maß- 

I  Stab   für  die   absolute  und   relative  Veränderlichkeit  eines  K.-G,   in 

I  dem  Werte  E'  —  E,  oder  iE'  —  Ei):  A  suchen,  wie  es  wohl  geschieht, 

I  and  danach  vei-schiedene  K.-G.  vergleichen,  so  wird  man  die  größten 

I  Irrtömer  begehen,  wenn  die  Gegenstände  ein  vei-schiedenes  iii,  haben, 

und  ich  bin  Irrtümern  dieser  Art,  die  auch  zu  irrigen  Folgerungen 

I  führten,  wirklich  anderwärts  begegnet.'] 

Besser  als  die  Schwankungsweite  E' —  E,  eignet  sich  dalier  die 
mittlere  Schwankung,  identisch  mit  mittlerer  Abweichung,  zum 
M^e  der  Veränderlichkeit  eines  Gegenstandes,  da  sie  ziemlich  un- 
abhängig von  m  ist  und  diu-ch  eine  geeignete  KoiTektion  vollends 
unabhängig  davon  gemacht  werden  kann.  Allerdings  ändert  sicli 
dies  Maß  nach  dem  Hauptwfrte,  von  dem  man  die  Abweichungen 
I  rechnen  will,  und  ist,  allgemein  gesprochen,  für  positive  uml  negative 
Seite  verschieden.   Der  Berücksichtigung  letzterer  Verschiedenheit  aber 

I)  [Dieser  AbsHti  ist  einem  Eipos^  Fechner'h  über  mittlere  Abweichungen 
I  und  Exb^me  entnummen,  das  im  Jahre  1868  Herrn  Prof.  Welcher  mitgeteilt 
I  and  ron  diesem  mir  zur  Verfügung  gCBtelit  wurde.] 


04  Charakteristik  der  K.-O.  dnreh  ihre  Klemmte. 

entgeht  miin,  wenn  rann  überall  die  Totalsumme  der  Abweichungen 
nach  beiden  Seiten,  di\idiert  mit  der  Totalzahl  der  Abweichungen 
nach  beiden  Seiten,  da^u  verwendet,  also  nach  unserer  allgemeinen 
Bezeichnung  als  mittlere  Schwankung  oder  mittlere  Abweictmng 
schlechthin  bezüglich  eines  gegebenen  Hauptwertes  setiit: 

m'  4-  m,  )H 

Ob  man  dazu  die  Abweichungen  des  einen  oder  anderen  Hauptwertes 
verwenden  will,  konmit  darauf  an,  auf  welchen  man  sich  überhaupt 
beziehen  will,  und  eins  schließt  das  andere  nicht  aus.  Wie  man 
sieht,  ändert  sich  das  Maß  bei  gegebenem  nt  nach  dei'  Totalsumme 
der  beiderseitigen  Abweichungen  bezüglich  der  verschiedenen  Haupt- 
werte; bis  jetzt  hat  man  bloß  von  den  Abweichungen  des  aritluneti- 
schen  Mittels  Gebraucli  gemacht,  und  bleiben  wir  zunächst  dabei 
stehen,  so  erhalten  wir  als  mittleren  Scliwankungswert  im  Sinne 
obiger  Bezeichnung: 

_  ^J'  +  :-j,  __  ^ 

Nun  ist  allerdings  ij  nicht  ganz  unabhängig  von  der  Große  des 
m,  sondern  es  verhält  sich  so:  Der  Wert  .4,  von  dem  die  Abwei- 
chungen genommen  werden,  ändert  sich  etwas  je  nach  der  Zahl  der 
a,  mithin  des  m  derselben,  woraus  er  das  Mittel  bildet;  und  das 
genauest  mögliche  A  könnte  nur  aus  einem  unendlichen  ni  erhalten 
werden.  Mit  der  Größe  des  endlichen  iii,  also  jedenfalls  ungenauen 
A  aber  ändert  sich  auch  die  Größe  der  Abweichungen  und  mithin 
die  Summe  deraelben,  dm-ch  deren  Division  mit  m  der  Wert  i;  ge- 
wonnen wird,  und  zwar  lelu-t  Theorie  und  Erfalirung '),  dass  i"J 
und  mithin  r/  =  ^J :  m  bei  wachsendem  m  dm'chschmttlich  im  Ver- 
hältnisse Vm\[m — i)  wächst,  wonach  man  SJ,  sowie  i;  auf  den 
Normalfall,   dass  die  Bestimmung  des  A  mit  seinen   Abweichungen 

ij  1d  beider  Üinaicht  vergl,  meme  Abhandlung  in  den  Berichten  der  Königl. 
Sächsischen  Geaellschaft  der  Wissenschaften,  Band  XlII,  iS6i  (.über  die  Korrek- 
tionen bezüglich  der  GenaiiigkeitabeBtimmung  der  Beubachtuugcu,  der  Bestiromuug 
der  Schwankuiig  tneteorologiscber  Eicielwerte  um  ihren  Mittelirert  und  der 
pwychophysigcheii  Maßbestimmuugen  nach  der  Methode  der  mittleren  Fehler«]. 


ChKTakteriBtik  der  K.-O.  durch  ihre  Elemente. 


95 


aus  einem  unendlichen  m  geschehen  wäre,  zm-ückführen  kann.  in<leni 
man  ^^  resp,  ij  mit  Vm:{m  —  i),  merklich  =  2»«:|2»i— i),  mul- 
tipliziert, was  man  die  Korrektion  wegen  des  endlichen  w  nennt. 
Das  so  korrigierte  t]  heiße  r,e,  und  ßndet  sich  also: 


Diese  Korrektion  trifft  zwar  nicht  in  jedem  einzelnen  Falle,  aber 
im  Durchschnitte  der  Falle  zu,  und  da  man  kein  Mittel  bat,  sie  für 
jeden  einzelnen  Fall  zutreffend  genau  zu  bestimmen,  muss  man  sich 
an  den  Wert  halten,  der  doch  im  Durchschnitte  der  Fälle  zutrifft, 
und  kann  sich  also,  wenn  man  die  kleine  Mühe  der  Korrektion  nicht 
scheut,   auch  in  der  Kollekti^■maßIeh^e   lieber  an  tjc  als  an  ij  halten. 

Soll  die  mittlere  Schwankung  bezüglich  C  oder  D  bestimmt 
werden,  so  hat  man  ohne  Korrektion  eratenfalls  e  ^  2&:m,  zweiten- 
falls  •!  ^  S9:ni,  die  Konfektion  aber  würde,  so  viel  ich  Übersehe, 
dieselbe  bleiben.  Die  mittlere  Schwankung  bezüglich  C  hat  das  In- 
teresse, dass  sie  kleiner  als  bezüglich  A  und  D,  überhaupt  die  kletnst- 
mögliche  ist,  weil  nach  schon  früher  gemachter  Angabe  die  Smnme 
der  Abweichungen  bezüglit:h  C  überhaupt  die  kleinstmögltche  iyt, 
und  dies  sich  auf  iliren  Quotienten  dwcli  m  überträgt. 

Allgemein  gesprochen,  obwohl  dies  Ausnahmen  erleiden  kann. 
und  eine  genaue  Proportionalität  nicht  statt  findet,  wächst  die  mitt- 
lere Schwankung  mit  der  Größe  der  Gegenstände,  und  so  kann  es 
von  Interesse  sein,  diesen  Einfluss  so  weit  als  möglich  dadurch  zu 
eliminieren,  dass  man  die  mittlere  Schwankung  duich  die  Größe  des 

IBch  wanken  den  Gegenstandes  dividiert,  hiermit  das  relative  außer 
dem  absoluten  Schwankungsmittel  in  Betracht  zieht. 
§  45.  Eine  withtigei-e  Bedeutung  als  zum  Maße  der  Schwankung 
eines  Gegenstandes  um  seine  Hauptwerte  gewinnt  die  mittlere  Ab- 
weichung als  Mittelglied  für  Bestimmung  der  Verteilung  des  Gegen- 
standes. Die  physikalische  und  astronomische  Maßlehre  macht  zu 
diesem  Zwecke  von  der  mittleren  Abweichung  e  bezüglich  A  oder 
dem  zu  e  in  Beziehung  stehenden  Werte  q  =  tV-n  Gebrauch,  was 
aber  nui-  für  die  in  dieser  Lehre  vorausgesetzte  symmetrische  W.  der 


96  Charakterirtik  der  K.-G.  durch  ihre  Elemente. 

Beobaclitungsfehler  zulässig  ist,  wogegen  die  KoUektivmaÜlelire  nat^  ' 
der  für  sie  thatsächlteli  bestehenden  allgemeineren  Voraussetzung  der  ] 
Asymmetrie  nur  von  der  mittleren  Abweichung  bezüglich  D,  und  zwar  1 
nicht  gemeinschaftlich  fm-  beide  Seiten,  sondern  jede  Seite  insbeson- 
dere Gehrauch  machen  kann  (vergl.  §  33),  also  von: 


23- 


und  ü,  =  - 


Auch  hierbei  ist  streng  genommen  eine  KoiTektion  wegen  des  1 
endhchen  7»  anzubringen;  aber  die  korrigierten  Werte  sind  nicht,  wie  ' 
man  meinen  könnte,  zu  setzen: 


in    '    m 


. -Ä 


,  '    m  —  I 


In  der  That  würde  sonst  die  auf  die  Abweichungssununen  be-^ 
züghche  Korrektion  der  beiden  Seiten  nicht  mit  der  gemeinsames  j 
Korrektion  der  Totalsumme  derselben  stimmen. 

Für  die  Totalsumme  hat  man  nämÜch: 


'  '    in 


Wollte  man   nun  für   die  beiderseitigen  Äbwcichungssummeu  beson- 
ders setzen: 

so  würde  man  durch  Summiemng  dieser  Werte  erhalten: 

'    f» — I  '    frt-, —  I 

was  mit  obigem  Werte  für  SSc  nicht  stimmt. 

§46.  Endlich  ist  noch  einiger  Werte  zu  gedenken,  welche  zu 
den  schon  wiederholt  berührten,  doch  erst  später  eingehend  zu  be- 
sprechenden, sehr  wichtigen  Asymmetrieregeln  in  Beziehung  stehen. 
Vorläufig  nur  folgendes  über  diese  Werte. 


M 


W  ChmnktenMik  der  K.-O.  durch  ihie  Elemeote.  97 

Es  ist  zunächst  der  Unterschied  fi'  —  ^,  =  y/  zwisclieu  dt-r  Zalil 
I  der  positiven  und  negativen  Abweichungen  von  A  und  der  Unter- 
\  schied  U'—U,  =  {E'  —  A]  —  (A  —  E.j  =  E' +  E,  — 2  A  zwischen 
I  der  Größe  der  positiven  und  negativen  cxtreuien  Abweichung 
von  A,  welche  in  dieser  Hinsicht  in  Beti-acht  kumnien.  Noch  wich- 
[  tiger  aber  als  diese  absoluten  Unterschiede  sind  die  relativen: 

I  fi'  —  f,,        .  ü"  —  U, 

I  n !i_  und     ,——    ■ 

Hier  nur  vorläufig  in  Rücksicht  luif  den  später  davon  zu  machenden 

Gebrauch  folgendes  darüber. 
'  Von  einem  Unterschied  zwischen  der  Summe  der  positiven  und 

I  negativen  Abweichungen  von  A,  d.  i.  —J'  und  —-:/,,  kann  natürlich 
'   nicht  die  Kede  sein,   du  ja  A  ausdrücklich  so  bestimmt  wird,   dass 

beide  Summen  gleich  werden;   aber  das  führt  noch  nicht  mit,   dass 

üugleich  beide  Äbweichungszahlen  ;«',  ^,  einander  gleich  werden, 

und  höchstens  zuiälhg  wird  man  es  einmal  finden.  Was  man  aber 
[  allgemein  oder  nur  mit  zufäUiger  Ausnahme,  jedenfalls  im  Durch- 
t  schnitt  bei  den  Kollektivabweichungen  bezüglich  .-1  findet,  ist,  dass 

ft'  —  /(,  mit  der  Größe  von  ot  wächst, 
I  Unter  Voraussetzung   gleicher  W,   positiver  und   negativer  Ab- 

\  weichungen  lehrt  nämlich  die  "Wahrscheinlichkeitsreclinung  nach  Zu- 
,  rückführung  des  Falles  auf  die  UiTie  mit  der  gleichen  Zahl  schwarzer 
I  und  weißer  Kugeln,  dass  /t'  —  ;(,  seinem  absoluten  Werte  nach  durch- 
[  Bchnittbch  im  Verhältnisse  von  I  m   steigt.     Je  mehr  aber  m  steigt, 

desto  kleiner  wird  das  Verhältnis  von  Vm;m,   so   dass,   bei  unend- 

'  lichem  in.   '■ '  ^    —  Null  und  —  Eins  wird. 

I  m  m  fi, 

Ein  Folge  daraus  ist,  dass  man  bei  der  später  folgenden  Unter- 
suchung, ob  die  jiositiven  und  negativen  Abweichungen  bez.  A  wii'k- 
Ilich  eine  gleiche  W.  haben,  sich  nicht  einfach  an  den  absoluten 
Unterschied  u  halten  darf,  der  im  allgemeinen  auch  bei  gleidier  W. 
sieht  fehlt,  sondern  an  sein  Verhältnis  zu  ;n,  das  eine  gewisse  Größe 
nicht  übersteigen  dai-f,  soll  die  gleiche  W.  nicht  sehr  unwuhrschein- 
Ücli  werden,  woiüber  später  mehr  za  sagen  sein  wird. 


«B 


OfauKkteristik  der  K.-0.  durah  ihre  Slemeate. 


Bislier  haben  wir  die  Ungleichheit  tler  beiderseitigen  Zah 
Abweichungen  bcx.  A  t\.  i.  n',  fi,  als  Merkmal  und  in  gewisser  I 
sieht  als  Maßstab  der  AetjTnmetrie  .lugeuoinmen.  Natürlich  könnte 
von  einer  Asjmmetrie  wegen  Ungleicldieit  der  Abweigniigssumme 
S^\  2J,  bez.  A  nicht  die  Rede  nein,  weil  es  iin  Begri0e  von  A 
liegt,  <Iaa8  ^^  =  ^^,,  also  A  so  bestimmt  werden  muss,  (biss  diesig 
Gleichheit  eintiitt ;  andererseits  könnte  auch  ein  Merkmal  oder  MaU- 
8tab  der  Asymmetrie  nicht  auf  eine  Ungleichheit  dei'  Zahl  der  Ab- 
weichungen bez.  C  gegründet  werden,  weil  es  im  Begriffe  von  C  liegt, 
dftBs  die  beiderseitige  Zahl  der  Abweichungen  in  Beziehung  dazu 
gleich  ist;  hiergegen  würde  an  sich  nichts  bindern,  die  Asymmetrie 
statt  in  Bezug  anf  den  arithmetischen  Mittelwert  A  auf  den  dichtesten 
Wert  D  nach  der  Ungleichheit  der  Abweichungszahlcn  m,  tn,  zu  be- 
Btinunen.  im  Falle  beide  Hauptwerte  genügend  aus  einander  weichen; 
mit  dem  Vorteil,  in  Bezug  auf  D  ein  in  den  Gesetzen  der  Asymmetrie 
begründetes  stärkeres  Äuseinanderweichen  der  Abweichungen  «»',  m, 
TOn  einander,  als  der  Abweichungen  /*',  u,  bez.  A  von  einander  zu 
erhalten;  und  die  »»',  ttt,  mit  dem  zweiseitigen  G.  G.  in  Beziehung 
setzen  zu  können,  während  bei  stattfindender  Asymmetrie  gegen  A 
weder  das  einfache,  noch  ziseiseitige  G.  G.  bezüglich  der  Abweichungs- 
zahl von  J  mehr  gültig  ist.  Wobei  zu  beachten,  dass,  wenn  bez.  A 
fi'  über  fi,  übergreift,  umgekehit  «i,  über  tn'  übergreift.  Da  aber 
A  und  hiernach  /(',  ;i,  riel  leichter  zu  bestimmen  sind  als  D  und 
hiomath  m',  m,,  und  von  einer  größeren  oder  geringeren  Asymmetrie 
bez.  A  immer  auf  eine  gi-öBere  oder  geringere,  nur  in  jedem  Fallfil 
die  Asymmetrie  bez.  A  übersteigende  Ungleichlieit  bez.  D  von  ent- 
gegengeaetzter  Richtung  geschlossen  werden  kann,  so  erscheint  es  im 
allgemeinen  praktischer,  sich  zunächst  an  die  Ergebnisse  der  Be- 
stimmung der  As}'mmetrie  durch  u'  —  u,  bez.  A  zu  halten,  insofern 
daraus  schon  auf  die  Ungleichheit  von  m'  und  tn,  bez.  D  geschlossen 
werden  kann;  sofern  es  aber  um  genaue  Bestimmung  zu  thun,  ist 
diese  noch  besonders  nach  Theorie  und  Empirie  ku  untersuchen. 


VII.  Primäre  Verteilungstafeln. 

§  47.  [In  den  vorhergehenden  Kapiteln  wurden  die  Hauptpunkte 
der  Untersuchung  vorgreiflich  dargelegt.  Jetzt  gilt  es,  die  Unter- 
suchung thatsächlich  zu  führen.  Da  dieselbe  nicht  auf  hypothetischen 
Annahmen  fuBt,  sondern  völlig  auf  die  Erfahrung  sich  gründet,  so 
kann  sie  nur  von  den  empirisch  gegebenen  K.-Gr.  selbst  ausgehen. 
Die  letzteren  sind  aber  in  ihrer  ursprünglichen  Form  weder  zur  Ab- 
leitung, noch  zur  Bewährung  der  theoretisch  gültigen  Gesetze  geeignet. 
Es  muss  daher  vor  allem  ihre  rechnerische  Behandlung  gelehrt 
werden.  Dieselbe  befasst  sich  einesteils  mit  der  Herstellung  einer 
zur  Untersuchung  tauglichen  Darstellungsform  durch  Aufstellung 
primärer  und  reduzierter  Verteilungstafeln  (Kap.  Vil  und  Viilj: 
anderenteils  giebt  sie  Regeln  zur  Berechnung  der  Hauptwerte  un<l 
Abweichungsfunktionen,  in  welchen  die  charakteristischen  Merkmale 
und  Eigenschaften  der  K.-  Gr.  sich  darbieten  (Kap.  IX — XI).  Hierbei 
wird  einfachheitshalber  bloß  von  der  arithmetischen  Behandlung  der 
K.-G.  die  Rede  sein;  denn  die  logarithmische  Behandlung,  mit  wel- 
cher erst  die  volle  Allgemeinheit  der  Untersuchungsmethode  erreicht 
wird,  stimmt  mit  der  arithmetischen  der  Hauptsache  nach  überein, 
indem  nur  die  Logarithmen  der  Maße  an  Stelle  der  Maße  selbst 
treten.] 

[Ist  nun  hiermit  eine  geeignete  Unterlage  für  die  theoretische 
Untersuchung  gewonnen,  so  bietet  sich  zunächst  die  Aufgabe  dar, 
die  Asymmetrie  der  K.-G.  zu  erörtern  und  Kriterien  zur  Unter- 
scheidung wesentlicher  und  unwesentlicher  Asymmetiie  aufzustellen 
(Kap.  Xn — XVI).  Dann  aber  sind  die  bei  wesentlicher  Sjmmetrie 
und    wesentlicher   Asymmetrie    gültigen   Verteilungsgesetze    zu 


7* 


107095 


100 


FäuOn  laMn. 


entwickeln  (Kap.  XVII— XX).     Dabei  wird  der  in   der  Ei'gel  stat 
lindende  Fall  geringer  verhältnismäBiger  Schwankung  der  EinzelwerteJ 
um  die  Hauptwerte  vorausgesetzt.] 

[Diesem  Hauptteile  der  Untersuchung  schließt  sich  die  Bespre- 
chung der  Modifikationen  an,  die  durch  den  Übergang  zum  logarith- 
iniBcben  Verteilungsgesetz  bedingt  werden.  Eine  logariUumsche 
Behandlung  erfordern  in  erster  Linie  die  K.-Gr.  mit  starker  verhält- 
nisinäUiger  Schwankung,  aber  auch  die  Verhältnisse  zwischen  den 
verscliiedenen  Dimensionen  der  K,-G-  bedürfen  einer  solciien  (Kap, 
XXI  und  XXII).  Anhangsweise  werden  schheßUch  die  Abhänj 
keits Verhältnisse  <Ier  K.-G.  erörtert  (Kap.  XXTTTj] 

§  48.  [Will  man  einen  K.-G.  in  üntei-suchung  nehmen,  so  sind 
zunäclist  die  einzelnen  Exemplare  desselben  in  der  zufäUigen,  räumr- 
liehen  oder  zeithchen  Ordnung,  in  der  sie  sich  darbieten,  zu  messeA, 
und  die  mit  a  zu  bezeichnenden  Maße  in  einer  Urliste  zu  verzeichnen. 
Hierbei  ist  dai-auf  zu  achten,  dass  die  in  Kap.  IV  angegebenen  Be-- 
quisiten  erfüllt  werden,  also  insbesondere  eine  genügende  Anzahl  von 
Maßen  unt«r  Ausschluss  von  Abnormitäten  zusammengebracht  wird. 

[Eine  solche  Urliste  ist,   wie  bereits  (§  3)  bemerkt  wurde,   zu 
rechnerischen   Behandlung  noch   nicht   geeignet,     Sie   ist   jedoch 
anderer  Hinsicht  wertvoll,  da  sie  die  Feststellung  ermögUcht,  oh 
Exemplare   der  K,-G,   unabhängig    von    einander    variieren    oder 
einem    Abhängigkeitsverhältnisse    stehen.      Diesbezüglich   wui-den 
§  20  Regeln  angegeben,  die  in  Kap.  XXTTT  eine  weitere  Ausfühi 
erhalten  werden.     Im   Interesse   der  recbnoriscben  Behandlung  ahi 
muss  man  die  Maße  ihrer  Größe  nach   oMnen  und  liiermit  aus  d( 
Urliste  eine  Verteilungstafel  herstellen,    Sie  wird  zur  Unterscheidung, 
von   der  reduzierten  Tafel,    deren   Herstellung  und  Behandlung  im^ 
nächsten  Kapitel  gelehi-t wird,  primäre  Verteiluugstafel  genannt 
In   derselben    bilden    die  Maße  n  eine    von    den    kleineren   zu    den 
größeren  Werten  fortschreitende  Kolumne,   die  jedes  a  nur  einmal 
enthält,  während  eine  beigegebene  Kolumne  die  zugehörigen  Anzahlen 
X  aufführt,  die  angeben,  wie  oft  jedes  einzelne  a  vorkommt.] 

[Diese  primäre  Tafel  bildet  nun  den  Ausgangspunkt  der  ganzen 
Untersuchung.     Sie  ist  jedoch  meist  noch  mit  starken  Unregelmäßig- 


A 


Pr!mare  Tafeln. 


101 


I  keiten  behaftet  und   besitzt  gewöhnlich  eine  solche  Ausdehnung,  dass 
I  ihre  Mitteilung  einen  zu   großen  Kaum   beanspruchen  wurde.     Man 
[  wird  dämm  beiden  Nachteilen  durch  Vornahme  von  Reduktionen  zu 
[  Iwgegnen  suchen  und  dann  im  allgemeinen  auf  die  Vorführung  der 
I  Tafel  in  ilirer  reduzierten  Form  sich  beschränken.     Hier  handelt   es 
ßich  aber  darum,  die  Beschaffenlieit  der  primären  Tafeln   kennen   zu 
lernen   und   einen  Einblick  in   die  möglicherweise    auftretenden  Be- 
sonderheiten zu  gewinnen;   es   sollen   deshalb  von  ^ler,  als  Beispiele 
dienenden  K.-G.  die  primären  Tafeln  vorgefülirt  werden.] 

§  49.  [Die  beiden  ersten  Tafeln  I  und  II  geben  die  Maße  für 
den  Vertikal-  und  Horizontalumfang  von  450  europäischen  Mänuer- 
scliädeln.  Dabei  ist  zu  bemerken,  dass  die  liier  und  im  folgenden 
durchweg  festgehaltene  Bezeichung  »Vertikalumfang*  genauer  durch 
«Länge  des  Scheitelbogens«  zu  ersetzen  wäre,  indem  nicht  der  totale 
Umfang,  sondern  nur  der  über  Stirn,  Scheitel  und  Hinterliaupt  bis 
zum  VordeiTande  des  Markloclies  aicli  erstreckende  Bogen,  mithin 
I  der  um  die  Schädelbasis  verminderte  Vertikalumfang  in  der  Tabelle 
angegeben  wird.  Wie  bereits  im  HI.  Kapitel  bemerkt,  wurden  die 
Maße  von  Prof.  Welcjker  zm-  Verfügung  gestellt,  der  ein  reiciihaltiges, 
gleichmäßig  behandeltes  Material  unter  Festhalten  eines  und  desselben 
I  Messungaverfahrens  gesammelt  hat. 'j  Die  Maßeinheit  ist  das  Millimeter. 
Zur  Messung  diente  ein  Bandmaß.  Die  Maße  seihst  beziehen  sich  nach 
Wklckkr's  Angabe  auf  »normale«  männliche  Schädel.  Schädel  mit 
Kahtabnormi täten,  selbst  Sthnnalitschädel  wurden  ausgeschlossen.] 

[Tafel  m  enthält  die  Rekrutenmaße  von  2047  zwanzigjälirigen 
Leipziger  Studenten  aus  den  ao  Jalu-gängen  1843  —  1863.  Von  der 
Urliste  dieser  Maße  ist  zu  bemerken ,  daas  sie  durch  eine  in  ihrer 
j  Herstellungsweise  beim  Aushebungsgeschäfte  begründete,  reine  Zu- 
fiilligkeit  in  der  Folge  der  Maßgrößen  ausgezeichnet  ist,  weshalb  die- 
selbe in  Kap.  XX  zur  Bewährung  der  Extremgesetze  vei-wendet  wird. 
Die  Maßeinheit  ist  der  sächsische  Zoll  =  23,6  mm;  es  wurden  jedoch 
I  nicht  nur  die  ganzen,  sondern  auch  halbe  und  viei-tel  Zoll  gemessen.] 

i)  [Vergt.  H.  Wewkeb,  Wachslum  und  Bau  des  mengchHchen  Schadeis, 
Leipiig  1862;  femer;  Die  Kapazität  und  die  drot  Hauptdurchmeaier  der  Schade I- 
k&[»el  b«  den  verichie denen  Nationen;  Archiv  für  Anthropologie,  Bd.  Wl  . 


102 


PiimAre  Tafeln. 


[In  Tafel  IV  sind  die  Maße  für  das  oberste  Glied  (Intemodium) 
von  217  sechsgliedrigen  Boggenhalmen  verzeichnet.  Grenauere  An- 
gaben über  die  Grewinnung  dieses  Materiales  finden  sich  im  zii^-eiten 
Teile,  Kap.  XXV.  Mit  dem  eben  dort  beschriebenen  Messungsver- 
fahren hängt  es  zusammen,  dass  als  Maßeinheit  das  halbe  Zenti- 
meter auftritt] 

§  50.   [Die  vier  Tafeln  lauten  der  Reihe  nach:^)] 


Tafel  I. 


450  europ.  Männerschädel;  Vertikalumfang. 
=  I  mm;  m  =1  ^x.  =  450;  ^4,  =  408,5. 


a 

'  z' 

368 

I 

371 

2 

376 

I 

378 

I 

379 

I 

380 

2 

381 

I 

382 

2 

383 

3 

384 

3 

385 

8 

386 

2 

387 

6 

388 

4 

389 

5 

390 

7 

391 

7 

392 

7 

393 

2 

394 

8 

395 

12 

396 

4 

397 

7 

398 

14 

399 

3 

a 

- 

400 

13 

401 

12 

402 

13 

403 

6 

404 

IG 

405 

18 

406 

8 

407 

8 

408 

16 

409 

13 

410 

20 

411 

9 

412 

15 

413 

8 

414 

12 

415 

21 

416 

6 

417 

5 

418 

16 

419 

9 

420 

15 

421 

8 

422 

7 

423 

5 

424 

12 

425 

8 

426 

7 

427 

3 

428 

4 

430 

3 

431 

3 

432 

2 

433 

5 

434 

5 

435 

4 

438 

I 

440 

3 

442 

I 

443 

I 

447 

I 

448 

I 

r  [Da  weder  die  Urlisten,  noch   die  primfiren  Tafeln   der  hier  behandelten 
K.-G.   sich  vorfanden  (vergl.  Anmerkung  zu  Kap.  III,    so   museten  die  obigen 


Prim&re  Tafeln. 


103 


Tafel  n.    450  europ.  Männerschädel;  Horizontalumfang. 

ß  =  I  mm;  m  =  ^x  =  450;  A^  =  522,2. 


481 

484 

485 
486 

488 

489 


I 
2 

2 
I 
I 
2 


490 

2 

491 

I 

492 

I 

493 

2 

494 

4 

495 

5 

496 

I 

497 

4 

498 

I 

499 

2 

500 

8 

501 

4 

502 

3 

503 

6 

504 

9 

505 

8 

506 

4 

507 

3 

508 

6 

509 

7 

« 

z 

510 

13 

5" 

12 

512 

14 

513 

7 

5M 

6 

515 

13 

516 

II 

517 

7 

518 

9 

519 

10 

520 

15 

521 

6 

522 

8 

523 

14 

524 

17 

525 

21 

526 

9 

527 

8 

528 

7 

529 

8 

530 

13 

531 

5 

532 

6 

533 

7 

534 

8 

a 

S 

535 
536 

10 

II 

537 
538 

5 
8 

539 

9 

540 
541 

14 
6 

542 

3 

543 

4 

544 

545 
546  ' 

3 
4 
3 

547 
548 

2 
2 

549 

3 

SSO 

6 

552 

I 

553 

I 

S54 

4 

1   Cn   cn 
^  Cn   cn 

i     00  cn 

2 
I 

567 
576 


Tafeln  rekonstruiert  werden.  Tafel  I  und  III  konnten  aus  den  fünf  resp.  vier 
Reduktionslagen,  die  im  folgenden  Kapitel  (§  64  und  65)  verzeichnet  sind,  wieder 
hergestellt  werden.  Für  Tafel  II  und  IV  lagen  die  entsprechenden  Bearbeitungen 
nicht  in  hinreichender  Vollständigkeit  vor.  Indessen  fanden  sich  für  Tafel  IV 
die  Logarithmen  der  a- Werte.  Die  Werte  der  Tafel  II  dagegen  wurden  aus  den 
von  Prof.  Welcker  mir  übermittelten  Maßen  yon  500  europäischen  Mänuerschädeln 
gewonnen.  Dabei  mussten  aber  63  Maße  nach  ihrer  wahrscheinlichen  Zugehörig- 
kcit  zu  den  entsprechenden  Vertikalmaßen  ergänzt  werden,  da  nur  so  eine  Über- 
einstimmung mit  der  reduzierten  Tafel  des  folgenden  Kapitels  (§  58)  erzielt  werden 
konnte.  Die  hierdurch  möglicherweise  bedingten,  geringfügigen  Abweichungen 
beeinträchtigen  jedoch  das  Bild  der  Tafel  nicht,  die  überdies  im  folgenden  nicht 
wesentlich  in  Betracht  kommt.] 


104 


Primare  Tafeln. 


Tafel  in.     Studentonrekrutenmaße. 
S  =  I  Zoll,   ?//  =  ^x  =  2047;    Aj  =  71,77. 


a 

«* 
*> 

60,00 

I 

64,00 

2 

64,75 

4 

65,00 

6 

65,25 

3 

65,50 

5 

^5275^ 
66,00 

5 
8 

66,25 

6 

66,50 

9 

66,75 

19 

67,00 

7 

67,25 

II 

67,50 

25 

67,75 

15 

68fOO 

35 

68,25 

27 

68,50 

37 

68,75 

34 

69,00 

43 

69,25 

48 

69,50 

57 

69-75 

54 

70,00 

70 

70,25 

65 

70,50 

71 

70,75 

61 

71,00 

78 

71,25 

75 

71,50 

81 

71,75 

89 

72,00 

79 

72,25 

81 

72,50 

82 

72,75 

63 

73,00 

79 

73*25 

79 

73-50 

68 

73,75 

56 

74.00 

64 

74.25 

42 

74.50 

55 

74.75 

33 

75.00 

43 

75-25 

26 

75.50 

25 

75-75 

'7 

a 

76,00 

24 

76,25 

17 

76,50 

9 

76,75 

7 

77,00 

14 

77,25 

9 

77,50 

7 

77,75 

3 

78,00 

3 

78,25 

2 

78,50 

3 

79,00 

^ 

79*50 

2 

80,00 

I 

80,75 

i 

82,50 

I 

Primäre  Tafeln. 


105 


Tafel  IV.     Das  oberste  Glied  von  217  sechsgliederigen 

Roggenhalmen. 
=  0,5  cm;  m  ^=  2x  =  217]  ^x  =  86,54. 


a 

s                a 

z 

a 

s 

a 

z               a 

m 

42,9 

I             75,6 

I 

85,4 

I 

91,7 

I              99,0 

2 

49r7 

I            75,8 

2 

8s.S 

I 

91,9 

2                 99,2 

52,8 

I            76,1 

I 

8S,7 

I 

92,0 

2            99,3 

55»6 

I            76,2 

2 

8S,8 

T 

92,3 

I            99,4 

57,6 

I            76,4 

2 

»5,9 

I 

92,8 

I            99,5 

58,9 

I            76,7 

I 

86,0 

2 

93,0 

2          100,3 

59,0 

I            77,0 

I 

86,2 

I 

93,1 

I          100,5 

61,4 

I            77,2 

I 

86,3 

I 

93,3 

I          100,8 

61,9 

I            77,5 

I 

86,8 

2 

93,4 

I          100,9 

62,2 

I            7  7,6 

I 

86,9 

I 

93,5 

2          101,0 

62,3 

I            77,7 

I 

87,0 

3 

93,7 

I          101,1 

63,0 

I            77,9 

I 

87,1 

2 

94,4 

I          101,3 

64,1 

I            78,0 

1 

87,4 

2 

94,6 

2          101,5 

64,3 

I            78,1 

2 

87,S 

I 

94,7 

I          101,9 

65,5 

I            78,4 

I 

87,8 

I 

95,7 

I          102,2 

67,4 

I            78,8 

I 

87,9 

2 

95,8 

2          102,3      ^ 

67,7 

I            79,0 

I 

88,0 

2 

95,9 

I          102,7      I 

67,8 

I            79,4 

I 

88,3 

I 

96,0 

I          102,8  1   I 

68,1 

I            80,0 

2 

88,6 

I 

96,1 

I          ^^hZ  1   I 

68,3 

I            80,4 

I 

88,8 

I 

96,2 

I          103,4  i   I 

68,9 

I            80,7 

I 

88,9 

2 

96,3 

I          104,0  ,   I 

69,6 

I            80,9 

2 

89,2 

2 

96,5 

I          104,2   ,   I 

69,9 

I            81,3 

I 

89,3 

2 

96,8 

I          104,4  ,   I 

70,5 

I            81,9 

I 

89,4 

I 

96,9 

I          ^05,3  1   I 

71,4 

I            82,0 

2 

89,7 

2 

97,0 

I          105,5  1   I 

72,0 

2            82,1 

2 

89,9 

2 

97,1 

I          105,6  1   I 

72,1 

I            82,3 

3 

90,0 

I 

97,5 

2          105,8      I 

72,5 

I            82,4 

90,2  ' 

3 

97,6 

I          106,0      I 

72,9 

I            82,8 

90,4 

I 

97,7 

I           106,2   !    I 

73,7 

I            83,0 

90.S   ' 

I 

97,8 

I          106,3   '    ^ 

73,9 

I            83,1 

90,6  ' 

1 

I 

97,9 

I          108,0      I 

74,1 

I            83,4 

90,7 

3 

98,0 

I          110,0   ,   I 

74,8 

2            83,7 

4 

91,2      i 

I 

98,2 

I          111,2   i   I 

75,1 

2            83,9 

2 

91,3 

I 

98,6 

I           112,0   ,   I 

75,2 

I            84,6 

I 

9^4 

I 

98,8 

I          112,2 

I 

§  51.  [Ein  verglciclicndev  Blick  auf  diese  Tafeln  zeigt  eliei 
bezüglifh  des  Ganges  der  x  wie  bezüglich  der  AneiuandeiTeihuug  dar, 
n  eine  wesentliclie  Vei'schiedenlieit  der  drei  ersten  Tafeln  von  der^ 
letzten.  Die  ersteren  besitzen  näniHch  einen  mittleren  Haupt*j 
bestand,  dessen  x  gegen  die  Tafelniitte  zu  im  allgemeinen  wachst 
und  dessen  o,  von  einzelnen  Unterbrechungen  gegen  die  Enden  ztfJ 
abgesehen,  eine  äquidistjinte  Reihe  bilden.  So  erstrecken  sich  in  I 
die  äquidistanten  a  in  ununterbrochener  Folge  von  378  bis  428  und 
von  430  bis  435,  während  gleiclizeitig  die  x,  allerdings  mit  ständig 
wiederkelirenden  Schwankungen,  erst  wachsen  und  dann  wieder  ab-J 
nehmen.  In  II  geht  die  Reihe  der  äi^uidistanten  a  von  488  bis  550 
und  setzt  sich,  nach  Unterbrechung  durch  das  fehlende  0^55 
von  552  bis  555  fort,  wähi-end  iviedenim  die  x  einen  ähnhchen  Uang 
zeigen.  Tafel  in  schließlich  zeichnet  sich  bei  entsprechendem  Ver- 
halten der  X  zwischen  den  Grenzen  64,75  und  78,50  dm-ch  eine  im*| 
geatöi-t«  Äquidistanz  der  a  aus.  Diesem  Hauptbestande  schließt  sich 
in  jeder  der  drei  Tafeln  zu  Anfang  und  zu  Ende  eine  verhättnis- 
mäHig  gelinge  AnziUil  von  «-Weiten  an,  deren  Distanzen  regelli 
wechseln,  und  deren  v  üben^iegend  gleich  i  sind:  sie  stellen  End- 
abteilungen mit  zerstreuten  a  dar.  In  der  vierten  Tafel 
gegen  schi-eiten  die  a  durchweg  in  unregelmäßigen  Inten'allen  vofifj 
und  es  lässt  sich  nur  bemerken,  dass  die  kleineren  Intervalle  häu&ger 
in  der  Mitte  als  an  den  Enden  sich  finden ;  zugleich  ist  die  üher\»'iegendi 
Mehrzahl  der  t  gleich  i.  Mau  kann  somit  Tafeln,  die  einen  Haupt- 
bestand  äquidistanter  a  neben  Endabteitungen  mit  zer- 
streuten« besitzen,  und  solche,  deren  a  durch  die  ganze  Tafetl 
durch  unregelmäßig  sieh  zerstreuen,  unteracheiden.  AI». 
Repräsentanten  des  ersten  Typus  liaben  die  Tafeln  I  t>is  DI  zu 
gelten;  den  zweiten  Typus  stellt  die  Tafel  IV  dar.  Beide  Typen 
sind  wesentlich  von  einander  verschieden;  denn  es  wird  sich  zeigen, 
dass  Tafeln  vom  zweiten  Tyjjus  einer  viel  weiter  gehenden  ßeduki- 
tion  bedürfen  als  solche  vom  ersten,  falls  ihre  Behandlung  Ei-fol^J 
haben  soll.] 

(Bei   der  Abgrenzung  des  Hauptbestandes  einer  Tafel  ist   mxti', 
aber  zn  berücksichtigen,  dass  er  sich  nicht   in  scharfer  Bestüumtheit 


Primäre  Tafeln.  107 

von  den  Endabteilungen  loslöst.  Man  könnte  zwar  jeder  Unbestimmt- 
heit durch  Aufstellen  der  Regel  begegnen,  dass  der  Hauptbestand 
sich  genau  so  weit  erstrecken  solle,  als  die  Aquidistanz  der  a  reicht. 
Es  ist  jedoch  von  vornherein  klar,  dass  so  keine  wesentliche  Be- 
stimmung getroffen  würde.  Denn  vielfach  kann  der  Fall  einti'eten, 
dass  selbst  gegen  die  Mitte  der  Tafel  zu  die  Aquidistanz  durch  ein 
fehlendes  a  gestört  wird ;  noch  häufiger  wird  von  der  Mitte  aus  gegen 
Anfang  oder  gegen  Ende  auf  ein  fehlendes  a  nochmals  eine  Beihe 
äquidistanter  a  folgen,  wie  dies  thatsächlich  für  I  und  11  infolge 
des  Fehlens  von  a  =s  429  resp.  a  :=  551  zutrifft.  In  solchen  Fällen 
würde  der  Hauptbestand  bei  Festhalten  der  obigen  Regel  entweder 
übermäßig  beschränkt  oder  völlig  in  Frage  gestellt.  Andererseits 
ist  es  auch  möglich,  dass  die  a  zwar  lückenlos  verlaufen,  der  Grang 
der  X,  aber  ihre  Ausschließung  vom  Hauptbestande  als  wünschenswert 
erscheinen  lässt.  Es  muss  daher  die  Bestimmung  des  Hauptbestandes 
innerhalb  eines  gewissen  Spielraumes  der  Willkür  überlassen  bleiben, 
da  eine  Regel  nur  insoweit  sich  aufstellen  lässt,  dass  die  Aquidistanz 
der  a -Werte  nicht  erheblichen  Störungen  unterworfen  und  bezüglich 
der  Xj  wenigstens  im  ganzen,  ein  Wachstum  gegen  die  Mitte  zu 
erkennbar  sein  soll.  So  kann  man  denn  als  Grenzen  des  Haupt- 
l)estandes  für  I  378  und  435,  für  11  488  und  555,  für  EU  64,75  ^^^ 
78,50  festsetzen,  mit  der  Bemerkung  jedoch,  dass  diese  Grenzen  sehr 
wohl  eine  Verschiebung  gestatten.] 

[übrigens  kann  die  Aquidistanz  der  a  wenigstens  fonnal  auch 
im  Falle  fehlender  a  hergestellt  werden,  wemi  die  fehlenden  a,  mit 
einem  z  =  o  versehen,  in  die  Tafel  aufgenommen  werden.  Es  soll 
dies  als  Einschieben  leerer«  bezeichnet  werden.  Beispielsweise 
¥rird  der  Hauptbestand  von  I  und  H  in  dieser  Weise  durchweg 
äquidistant,  wenn  in  I  429,  in  II  551  mit  einem  ^  =  o  eingescho- 
ben wird.] 

[Was  femer  den  Gang  der  x  im  Hauptbestande  der  Tafeln 
I — in  betrifft,  so  wurde  bereits  bemerkt,  dass  die  Zunahme  gegen 
die  Mitte  zu  ständigen  Schwankungen  unterworfen  ist.  Nun  ist 
allerdings  ein  ununterbrochenes  Wachsen  und  Wiederabnehmen  schon 
wegen  der  nie  fehlenden  unausgeglichenen  Zufälligkeiten  gar  nicht 


108  PiimAre  Tafeln. 

zu  envarten.  Sollte  alior  hierin  allein  die  Ursache  liegen,  so  bhebsf 
die  unverkennbar  Iienortretende  Periodizität  in  dem  Scliwanken  dwi 
;  unerklürlicli.  Es  muss  daher  noch  eine  andere  Ursache  zu  Grunde  J 
liegen.     Dieselbe  erhellt  aus  folgenden  Bemerkungen.] 

[Im  Hauptbestande  von  I  treten  im  ganzen  i8  relative  Maxima,  4 

17  dazwischen  liegende  Minima  auf;   8  Maxima  fallen  auf  solche  0^1 
die  ganze   oder  halbe  Zentimeter   dai'stellen ,   während  kein   einziges  'I 
Minimum    einem    solchen    a    zugehört.      Von    den    17  Maxima    des  | 
Hauptbestandes  von  n   fallen    10,    von  den    16  Minima    keines  au£J 
n    der   bezeichneten    Art.      Dies   zeigt   zur  Genlige,    dasa    bei    d^J 
jVtessung  der  Scliädel   mittelst    des   Ban(hnaßes ,   wobei  offenbar  die 
Millimeter  durch  Schätzung  gewonnen   wurden,    ganze   und    halbe 
Zentimeter   bevorzugt  wurden;    denn  anderenfalls  müssten  sich  der 
Wahrscheinlichkeit  gemäß  die  Maxima  und  Minima  gleichmäßig  auf 
die  Unterabteilungen  des  Zentimeters  verteilen.     Li   der  ungleich-| 
förmigen   Schätzung,   d.  h.  in  der  Bevorzugung  der  ganzen  und! 
halben  Abteilungen  des  benutzten  Maßstabes,   findet  man  somit  diofl 
Quelle  der  periodisch  wiederkehrenden  Unregelmäßigkeiten  im  Gangs  I 
der  X.     Dies  bestätigt  sich  an  dei'  Tafel  m.     Von  den  19  MaxinwJ 
ihi'es  Hauptbestandes  fallen  g  auf  ganze,  7  auf  halbe  Zoll;  von  deotl 

18  Minima  gesellen  sich  nur  2  ganzzolhgen  Werten  zu,  während  dl«] 
übrigen  '/^-  oder  ^/^-zolligen  Werten  zugehören.] 

[Man  wird  sich  daher  bei  der  Bearbeitung  der  Yerteilungstaf^'] 
vor  den  Fehlem  wegen  ungleichförmiger  Schätzung  zu  hüten  haben 
und  auf  ihre  Beseitigung  durclj  eine  angemessene  Reduktion  bedacht 
sein  müssen.    Dies  fülu-t  dazu,  die  Tafeln,  der  Periode  der  ungleich- 
förmigen Schätzung  entsprechend,   in  Hauptabteihiugen  zu  gli&-  , 
dem.     Dieselben  müssen  beispielsweise   in   den  Tafeln  I  und  II  ^ 
5  zu  5  mm,   in  der  Tafel  III    nach   halben  Zoll    oder  besser  na<^ 
ganzen  Zoll  fortschreiten.     Im   allgemeinen  wird   man   (Uese  Haupt*  I 
abteilungen  mit  dem  Hauptbestande  der  Tafel  beginnen  lassen.    Man  J 
kann  es  dann  voiieilhaft  finden,  den  Hauptbestand  so  zu  umgrenzen,  J 
dass  er  gerade  eine  volle  Anzahl  von  Hauptabteilungen  fasst.     Dann] 
müssen  z.  B.  in  Tafel  I  drei  Werte  von  dem  -wie  oben  definiert 
Bestände  abgeschnitten  und  etwa  die  Werte  380  und  434  als  6renzeKfl 


nimlie  Taielu. 


109 


gewählt  werden,  zwischen  welchen   1 1  Hauptabteilungen  Platz  finden, 
in  der  Tafel  selbst  angedeutet  wurde.] 
§  52.    [Schließlich  sind  nocli  folgende,   für  jede  Verteilungstafel 

I  in  ihrem  ganzen  Umfange  gültige  Punkte  zu  erwähnen.  Jeder  Mes- 
sung sind  Grenzen  der  Genauigkeit  gestellt,  so  das»  die  a  niemals 
kontinuierlich  sich  aneinaudeneihen  können,  sondern  durch  ein  In- 
tervall, dessen  Größe  von  dem  Genauigkeitsgrade  der  Messung  ab- 
hängt, getrennt  verlaufen  müssen.  Dieses  Intervall  soll  das  primäre 
Intervall  heißen  und  mit  /  bezeichnet  wei-den.  Es  ist  für  die  Er- 
etreckung  der  ganzen  Tafel  konstant,  da  es  ja  nur  durch  den  MaDstal), 
nicht  durch  die  Größe  der  gemessenen  Gegenstände  bedingt  wird.' 
[In  seiner  Existenz  hat  man  den  Grund  dafür  zu  suchen,   dass 

I  ein  äquidistanter  Hauptbestaud  in  den  Vei-teilungstafeln  überhaupt 
möglich  ist.  Denn  das  Intervall  des  Hauptbestandes  ist  eben  nichts 
anderes  als  jenes  primäre  i,  das  nicht  unterschritten  werden  kann, 
sondern  nui-  mn  so  deutlicher  hervortritt,  je  größer  die  Anzahl  der 
gemessenen  Exemplare  des  K.-ti.  —  das  m  der  Tafel  —  wird.  Das 
primäre  i  ist  aber  natürhch  auch  fUi-  Tafeln  ohne  Hauptbestand  aus 
den  n-Werten  direkt  zu  ersehen.  Für  Tafel  IV  z.  B.  ist  es  gleich 
dem  zehnten  Teile  von  S,  d.  i.  =  0,05  cm.] 

[Die  wesenthche  Bedeutung  des  Vorhandenseins  eines  piiniai-en 
Tnterralles  besteht  nun  aber  darin,  dass  es  die  Zugehörigkeit  der  ■- 
zu  den  n,  welchen  jene  in  den  Tafeln  heigeschrieben  werden,  in  das 
richtige  Licht  setzt.  Man  erkennt  nämlich,  dass  die  a  bloß  als  Ver- 
treter der  primären  Intervalle  aufzufassen  sind,  deren  Mitten  sie 
darstellen;  es  sind  dariun  auch  die  z.  nicht  als  den  a,  sondern  als 
den  durch  die  a  bezeichneten,  primären  Intervallen  zugehörig  auf- 
zufassen und  innerhalb  der  letzteren  gleichmäßig  verteilt  zu  denken, 
da  es  an  jedem  Anhalte  für  eine  anders  gestaltete,  gesetzmäßige 
Verteilung  fehlt.  Insofern  so  das  primäi'e  Intervall  das  n  umschließt 
oder  umkreist,  soll  es  das  Umkreisintervall  des  a  genannt  werden. 
Seine   beiderseitigen    Grenzen    sind    a  ~  \i   und    f-i-'-i;    dieselben 

'  schließen  sich  durch  die  ganze  Tafel   durch  unraittelbai"  aneinander, 
dass  die  ei-ste  Grenze  eines  beliebigen  Intervalle»  mit  der  zweiten 
des  vorhergehenden  zusammenfällt.] 


5 


tto 


Primäre  Tafelu. 


[Die  On  und  x  -Werte  sind  somit  mittelst  des  zugehörenden  Um- 
kreisintervalles  aneinander  gebunden.  Soll  diese  Verbindung  gelöst 
und  das  a  für  sich  allein  betrachtet  und  aufgefasst  werden,  so  soll 
es  als  nacktes  a  bezeichnet  werden.] 

[Die  soeben  erläuterte  Zugehörigkeit  der  x  zu  den  a  gestattet 
nun  auch  eine  zutreffende  geometrische  Darstellung  der  V.erteilungs- 
tafeln.  Es  sind  nämlich  die  a  in  einer  Abscissenlinie  aufzutragen 
und  durch  Markieren  der  Werte  a  —  ^i  und  a  +  ^i  die  Umkreis- 
intervalle derselben  beizufügen ;  sodann  sind  auf  den  letzteren  Recht- 
ecke zu  errichten,  deren  Inhalte  die  den  a  der  Tafel  beigeschriebenen 
X  repräsentieren  müssen;  hierbei  kann  natürlich  sowohl  der  Abmessung 
der  a,  als  auch  der  Konstruktion  der  Rechtecke  ein  beliebiger  Maß- 
stab zu  Grunde  gelegt  werden,  da  es  nur  gilt,  ein  Bild  von  den 
Verhältnissen  der  Tafelwerte  zu  gewinnen.] 

[Man  erhält  so  z.  B.  folgende  Darstellung  des  mittleren  Teiles 
von  Tafel  I:] 


M'8 


M't6 


M'f3 


M'20 


M'9 


*H>7 


HOS 


HOB 


HIO 


H/t 


Fig.  I 


Vin.  Eeduziepte  Verteilungstafeln. 

§  53.  Teils  um  die  Verteilungstafeln  mehr  ins  Enge  zu  ziehen 
und  damit  einen  kleineren  Raum  für  sie  in  Anspruch  zu  nehmen, 
teils  die  Unregelmäßigkeiten  im  Gange  ihrer  Werte  auszugleichen 
und  etwaige  Ungleichförmigkeiten  der  Schätzung  unschädlich  zu 
machen,  teils  die  Berechnung  der  Bestimmungsstücke  oder  sog.  Ele- 
mente des  K.-Gr.  zu  erleichtcni,  hat  man  von  den  primären  Ver- 
teilungstafeln zu  den  reduzierten  überzugehen  und  diese  füi*  jene 
eintreten  zu  lassen,  und  ungeachtet  nach  gewissen  Beziehungen 
eine  pidmäre  Tafel  durch  keine  reduzierte  ganz  ersetzt  werden  kann, 
behält  doch  faktisch  in  angegebenen  Beziehungen  die  reduzierte  Tafel 
Vorteile  vor  der  primären  voraus,  und  wird  es  nötig,  sich  mit  ihrer 
Aufstellungsweise,  ihren  Verhältnissen  und  ihrer  Verwertungsw^eise 
zu  beschäftigen. 

Fassen  wir  zuerst  die  Reduktion  von  solchen  primären  Tafeln 
ins  Auge,  welche  so  wie  I  bis  HI  einen  Hauptbestand  mit  äqui- 
distanten  a  von  Endabteilungen  mit  zei-streuten  a  unterscheiden 
lassen.  Um  aiLS  einer  primären  Tafel  dieser  Art  eine  reduzierte 
herzustellen,  teilt  man,  wie  dies  schon  oben  in  §  50  vorgreifUch  ge- 
schehen ist,  den  Hauptbestand  derselben  in  Abteilungen,  welche  in 
ihrer  a-Spalte  eine  gleiche  Anzahl  äquidistanter  (nötigenfalls  durch 
Einschiebung  leerer  a  äquidistant  gemachter),  sog.  nackter  a  ent- 
halten, imd  summiert  die  x  jeder  dieser  Abteilungen  insbesondere. 
Hiemach  gilt  als  reduziertes  i  die  Größe  des  ganzen  Intervalles,  in 
welchem  die  Anzahl  der  primären  a,  einschließlich  ihrer  Umki-eis- 
intervalle,  zusammengefasst  wird,  als  reduziertes  x  die  Summe  der  1, 
welche  auf  die  in  dem  reduzierten  Interv^alle  enthaltenen  a  fallen, 


112 


Redutierte  l^fela. 


:  beizusclireiben  ist,  du 
oder,  was  auf  dasselbe 
nackten  a,  welclie  in  das 


als  reduziertes  «,  welchem  das  reduzieiie 
Mittel  zwischen  den  gesamten  nackten  c 
hinauskommt,  das  Mittel  aus  den  extvemeii 
Intervall  eingehen. 

Zur  Erläuterung  diene  die  Reduktion  einer  bestimmten  Abteüui 
des  Hauptbestandes  der  primären  Tafel  I,  als  wie: 

nackte  a  1     380       381       381       383       384 


prmiare  i 


lUff^H 


Durch  Summieiimg  der  piimaren  ;  erhalten  wir  als  reduziertes 
*  die  Zahl  11,  indes  das  reduzierte  a  das  Mittel  aus  den  5  primären 
nackten  0  der  betreffenden  Abteilung  oder,  was  wegen  Äquidistanz 
derselben  auf  dasselbe  herauskommt,  das  Mittel  aus  den  äußersten  17, 
380  und  384J  mithin  382  ist,  welchem  das  reduzierte  i^  11  beizu- 
schreiben. Die  Grenzen  des  reduzierten  i  aber  sind  nicht  die  äußer- 
sten nackten  «380  und  384,  und  mithin  das  reduzierte  Intervall 
nicht  384  —  380  =  4,  weil  ja  in  daa  reduziei-te  Intervall  auch  die 
Umki-eisintervalle  der  Grenz-«  mit  eingehen,  wodurch  sich  das  ganze 
Intervall  nach  einer  und  der  anderen  Seite  um  ein  primäres  |i  er- 
weitert; da  nun  das  primäi-e  i=  1  ist,  so  sind  die  Grenzen  d« 
reduziei-ten  Intervalles  nach  einer  Seite  380  —  ^^379,5,  nach  d( 
anderen  384  +  i  '=  384,5,  und  die  Größe  des  ganzen  reduzit 
Intt'rvalics  der  Unterschied  beider  =  5. 

Wälirend  man  also  das  reduziei-te  a  selbst  als  Mittel  der 
sten  primUren  nackten  a  erhält,  welche  in  die  zu  reduzierende  Ab»j 
teilung  eingehen,  kann  man  die  Größe  des  reduzierten  Liten-alles 
nicht  als  Abstand  zwischen  beiden  Grenz-ir  erhalten,  sondern  nur 
unter  Erweiterung  dieses  Abstandes  nach  jeder  Seite  um  ein  halbes, 
mithin  im  ganzen  um  ein  ganzes  primäres  i.  Dies  ist  wohl  zu  be- 
achten und  nicht  Überall  richtig  beachtet  worden,  wie  weiterhin  sa 
bemerken. 

Wenn  n  äquidistitnte  nackte  a  und  hiermit  n  i  in  jeder  Haupt- 
abteilung  der  j'rimären  Tafel  vereinigt  sind,  so  ist  auch  das  i  drf 
reduzierten  Tafel  das  «-fache  des  (  der  primären  Tafel,  Nun  sin* 
in  jeder  Hauptabteilung  von  Tafel  I  und  11  je  5,  in  HI  je  4  nackte 


Bedniierte  Tafeln. 


113 


jeder  Hauptabteilung  enthalten;  tlas  pn'märe  i  bei  I  und  II  ist 
I  min,  bei  HI  i  Zoll;  also  das  i  der  reduzierten  Tafein  bei  I  und 
n  gleich  5  mm,  bei  m  gleich  i  Zoll. 

§  54.  Entsprechend  als  bei  den  primären  Tafeln  hat  man  bei 
den  i"eduzierten  nidit  anzanehuien ,  tlass  das  reduzierte  a  selbst  so 
oftmal  vorkommt,  als  das  ilun  heigeachriebent  reduzierte  ~  besagt, 
sondeiTi  dass  sich  auf  das  Intei-vall,  was  durch  das  reduzierte  a 
repräsentiert  wird,  i  Werte  «  verteilen,  welche  sich  zwischen  den 
Grenzen  des  reduzierten  Intervalles  halten;  und  sofern  auch  die  a 
der  primären  Tafeln  im  Grunde  ein  ganzes  Intervall  repräsentieren, 
auf  welches  sich  ihi"  x  verteilt,  nur  ein  kleineres  als  die  reduzierten 
fl,  besteht  im  Gmnde  zwischen  priniäa-en  und  reduzierten  «nur  ein 
relativer  Unterschied.  Anstatt  des  reduzierten  a  aber  kann  in  den 
reduzierten  Tafeln  auch  das  Intervall  selbst  angegeben  werden,  was 
dadurch  vertreten  wird,  und  es  kommt  in  den  bisher  vorliegenden 
reduzierten  Tafeln  das  eine  und  das  andere  vor,  wonach  ich  n-Tafeln 
und  Intervalltafeln  untei'scheide.  Bloß  wegen  der  etwas  kih'zeren 
Darstellung  ziehe  ich  meist  die  Form  der  o-Tafel  vor;  ein  sachlicher 
Unterschied  aber  bestellt  nicht  zwischen  a-Tafeln  und  Intervalltafelu, 
und  man  kann  leicht  von  der  einen  Fonn  auf  die  andere  kommen, 
sofern  das  reduzierte  a  der  «-Tafel  das  Mittel  zwischen  den  Grenzen 
der  reduzierten  Intervalle  ist,  indes  die  Grenzen  der  Intervalle  ebenso 
wie  bei  den  primären  Tafeln  n  —  ;t,  a-\-{i  sind,  nur  dass  hierbei 
reduziert«  n  und  i  an  die  Stelle  der  primären  ü-eten,  -väe  sich  an 
folgendem  Beispiele  erläutert,  worin  die  Reduktion  nach  angegebenem 
Prinzip  durch  eine  Abteilung  weiter  fm-tgesetzt  ist,  und  man  lüemiit 
folgende  zu  einander  gehörige  a-Spalte  und  Intervallspalte  erhält: 


38» 
387 


379.5—384,5 
384,5—389.5 


Setzen  wir  nun  in  unserem  Beispiele  die  Reduktion  nach  denselben 
Prinzipien  weiter  durch  Tafel  I  fort,  so  erhalten  wir  zu  einander 
gehörig  folgende  reduzierte  «-  und  Inte'rvalltafel : 


Beduüerte  Tafoln. 


B 

Literralle 

= 

38^ 

379.5—384.5 

11 

387 

384,5-389,5 

25 

39' 

389,5—394.5 

31 

397 

394.5—399,5 

40 

401 

399.5-404,3 

54 

407 

404,5—409.5 

63 

41a 

409,5—414,5 

64 

417 

414,5-419,5 

S7 

42a 

419,5—424,5 

47 

427 

424,5- 4*9,5 

31 

432 

4*9,5—434,5 

iS 

Man  sieht  in  diesem  Beispiel,  diiss  die  Intenalle  der  i-eduziertcn 
Tafel  sich  durch  Zusamnienfüllen  der  zweiten  Grenze  jedes  Intervalles 
mit  der  ersten  Grenze  des  folgenden  Intenalles  ebenso  aneinander 
schließen  als  die  i-espektiven  Intervallgreuzen  der  primären  Tafeln 
(s.  §  52)- 

Nicht  überall  aber  findet  man  anderwärts  die  Intei-vallgrenzen 
nach  voriger  Regel  richtig  angegeben,  sondern  mit  Vemachläsaigung 
der  Umkmainten'alle  die  Grenz-o  der  reduzierten  Abteilungen  selbst 
&ls  IntenaUgrenzen  angegeben,  so  in  den  sonst  so  schätzbaren  belgi- 
schen Reki'utenniaßtafeln,  was  allerdings  insofern  berechtigt  scheint, 
als  die  Ei-fiUnnmg  unmittelbar  doch  nur  diese  Grenz-«  giebt,  tou 
denen  man  bei  Venvertung  der  Tafeln  leicht  auf  die  wahren 
Intcrvallgrenzen  übergehen  kann;  doch  möchte  es  rätUcher  erscheinen, 
gleich  die  waliren  Grenzen  selbst  nach  voriger  Kegel  in  den  Tafeln 
zu  gehen.  Sollte  die  Bezeichnung  der  Intervallgi-enzen  im  Sinne  der 
belgischen  Tafeln  bei  unseren  Tafeln  geschehen,  so  würden  wir  in 
unserem  vorigen  Beispiel,  die  a-Tafel  mit  der  Intervalltafel  verbindend, 
zu  setzen  haben: 


. 

IntcrraUc 

! 

38! 

380- 

-384 

II 

387 

38s- 

-389 

=5 

3<}2 

390- 

-394 

3' 

Reduzierte  Tafeln.  115 

Aber  es  tritt  uns  liier  gleich  der  Nachteil  dieser  Bezeichnungs- 
weise entgegen,  dass  die  Inter\'alle  sich  nicht  aneinander  schließen, 
sondern  Lücken  von  je  einer  Maßeinheit  zwischen  sich  lassen,  in 
welche  in  Wirklichkeit  doch  auch  IVIaße  fallen,  von  denen  die  Tabelle 
keine  Rechenschaft  giebt.  Man  hebt  jedoch  diesen  Ubelstand  und 
kann  ihn  auch  bei  den  belgischen  Maßtabellen  dadurch  heben,  dass 
man  dui'ch  Mittelziehung  aus  den  Grenzen  der  aufeinander  folgenden 
Intervalle  diese  Grenzen  zusammenfallend  macht. 

§  55.  Was  wir  nun  vorstehends  an  einem  Beispiel  der  Schädel- 
maßtafeln erläutert  haben,  wird  auf  alle  Tafeln  Anwendung  finden, 
welche  überhaupt  einen  Hauptbestand  mit  ^quidistanten  a  haben. 
Machen  wir  aber  diese  Anwendung  auf  die  Studentenmaßtafel  III, 
so  tritt  eine  Unbequemlichkeit  ein,  der  sich  in  anzugebender  Weise 
durch  ein  Verfahren  begegnen  iässt,  das  ich  die  Reduktion  mit 
geteilten  x  nennen  will.  Halten  wir  uns  dabei  zur  Ei'läuterung  an 
die  ersten  zwei  Abteilungen  des  Hauptbestandes  der  primären  Tafel  HI. 
Sie  sind: 


nackte  a 


6S7O     ^Si^S     65,5      65,75  I  66,0     66,25      66,5      66,75 


prunare/T       6  35  5'8  ^  9  ^9 

wobei  i  =  o,25  Zoll. 

Reduzieren  wir  nun  diese  Abteilungen  nach  den  bisherigen  Regeln 
auf  das  Vierfache  des  primären  i,  so  erhalten  wir  folgende  mit  höchst 
unbequemen  Brüchen  behaftete  o-  und  Intervalltafel: 

reduziert 


Intervalle 


65,375'   64,875—65,875 
66,375  1   65,875—66,875 


19 
42 


In  der  That  ist  das  reduzierte  a  = -65,3 7 5  das  Mittel  aus  den 
primären  Grenz-a  65  und  65,75  ^^^  ^^^^  reduzierten  Intervallgrenzen 
64,875  und  65,875  sind  gleich'  dem  reduzierten  «  =  65,375  if  dem 
lialben  reduziei-ten  i. 

[Um   dieser  Unbequemlichkeit  zu  begegnen,   beachte  man,   dass 
der   Hauptbestand    einer    Tafel   mit   äquidistanten  a    sich   nicht   in 

s* 


116 


Rediidert«  Tafeln. 


scharfer  Abgrenzung  von  den  Endabteilungen  mit  zerstreuteii  tS^ 
darbietet.  So  könnte  man  den  Hauptbestand  der  Tafel  m  statt 
mit  65,0  ebensowohl  mit  64,75  oder  auch,  nach  Einschiebung  leerer  n, 
mit  64,5  oder  64,^5  beginnen  lassen.  Eine  solche  Vei'schiebung 
des  Hauptbestandes  um  ein,  zwei  oder  drei  ganze  primäre  /  würde 
jedoch  nicht  zum  Ziel  filliren;  denn  auch  nach  der  Verschiebung 
würden  sowohl  die  reduziei-ten  a  als  auch  die  Grenzen  der  reduzierten 
Intervalle  in  die  Mitte  zwischen  je  zwei  benachbarte  piimäi'e  n  fallen 
und  nach  wie  vor  mit  den  unbequemen  Brüchen  behaftet  sein.  Man 
beachte?  daiiim  femer,  dass,  wie  schon  mehrfach  bemerkt  wurde,  daa  i 
der  Tafel  nicht  dem  beigeschriehenen  n  direkt  angehört,  sondern  auf 
das  ganze  Umkreisintervall  des  a  sich  verteilt.  Es  ist  somit  gestattet, 
das  primäre  ('  zu  teilen  und  den  Teilintervallen  proportionale  Anteile 
an  dem  x.  zu  überweisen,  Insbesondere  kann  man  das  primäre  i 
halbieren,  so  dass  an  Stelle  des  Intervalles  mit  den  Grenzen  a  —  j/, 
o  +  i*  zwei  Intervalle  mit  den  Grenzen  a  —  ^i,  a  und  a,  a  +  li 
treten,  deren  jedem  J  i  zugeliört.  Geschieht  letzteres  in  der  primären 
Tafel  ni,  so  erhält  man  beispielsweise  an  Stelle  von: 


64,875—65,125       6 
65,125—65,375       3 

öS'37S— öS.öaS      5 


folgende 


zusammengehÖnge  Intervall-  und  i-Reilie: 

P  r  i  m  G  r   (halbiert) 


lütenalle 

. 

64,875—65,0 
'S.»     — 6S,"S 
6s,"S— 65,25 
li5.«S  —«5,375 
65,375—65,5 
65,5     -65,615 

i,S 

!,5 

',5 

117 

Vei'schiebt  man  jetzt  den  Hauptbestand  statt  um  ein  ganzes  um  ein 
halbes  primäres  t,  und  lässt  man  denselben  mit  65,0  statt  mit  64,875 
beginnen,  wobei  diese  Werte  Intervallgi-enzen  und  nicht  o -Werte 
bedeuten,  so  erhält  man  folgende  n-  und  Intei-valltaf el : 


a 

Intervalle 

, 

65,5 

65,0—66,0 

66,0—67,0 

30 
41,5 

[  Lässt  man  jedoch    den  Hauptbestand    mit   64,5    als  Inten-allgrenze 
nnnen,  so  erhält  man: 


65,« 


64,5—65.5 
65,5—06,5 


26 


Auf  diese  Weise,  durch  Verschiebung  und  Teilung  der 
Intenalle,  kann  stets  erreicht  werden,  dass  mindestens  die  Intenall- 
grenzen  oder  die  a-Weiie  der  reduzierten  Tafel  ganzzahlig  werden, 

,  falls  nur  das  reduzierte  i  gleich  der  zu  Gmnde  liegenden  Maßeinheit 

I   oder  ein  Vielfaches  derselben  ist.] 

r  56.     Nun  giebt  es  aber  auch  Tabellen,  wie  Tafe!  IV  für  die 

I  Boggenähren,  wo  die  Maße  sich  durch  die  ganze  Tabelle  sehr  zer- 
streuen,   wo    ein   Hauptbestand  mit  äquidistanten  a  von  vondierein 

'  nicht  vorhanden  ist  und  nur  dm-ch  eine  praktisch  kaum  durchführ- 
bare Einschaltung  unzähliger  leerer  a  hergestellt  werden  könnte. 
Dann  wird  mau  wie  folgt  zu  verfahren  haben. 

Zunächst  hat  mau  sich  nacli  den  alsbald  (§  6oj  aufzustellenden 

;  Gesichtspunkten  zu  entscheiden,  auf  ein  wie  großes  i  man  reduzieren 
will.  Um  einen  nahehin  regelmäßigen  Gang  der  Werte  s  zu  erhalten, 
wird  man  bei  unserer  Tafel  mit  i  nicht  unter  vier  Maßeinheiten  gehen 
dürfen.  Gelien  wir  nun,  um  das  erste  primäre  0^42,9  noch  in  das 
erste  reduzierte  Inten,-all  einzuschließen,  mit  dessen  erster  Grenze  so 
weit  zurück,  dass  (heser  Zweck  eiTcicht  wird,  wozu  genügt,  die  erste 

I  Grenze  des  ersten  reÜ.  Intei-valles  =42  anzunehmen,  indem  dann  42,9 


in  das  erste  Intervall  42 — 46  fällt').  Das  reduzierte  i  dieses  Intervallej 
ist  dann  die  Siunme  der  iiriinüren  i,  die  in  das  Intervall  42 — 4Ö 
fallen,  d.  i.  1,  das  red.  a  die  Mitte  zwischen  42  und  46,  also  44. 
Das  zweite  i-ed,  Intervall  ist  liiemacli  46—50,  worein  wieder  nur 
ein  X  fällt,  mithin  das  red.  ,1  ^  i  ist,  u.  s.  f.,  was  von  voraherein 
folgende  reduzierte  Tafel  giebt: 


« 

InterraHe 

z 

44 
48 

56 

41—46 

46—50 
50—54 
54-58 

1 

4 

er  prmmren.^^H 


Wenn  eine  der  Intervallgrenzeu  zufallig  mit  einem  a  der  prii 
Tafel  zusammenfällt,  so  ist  nui-  das  lialbe  primäre  s  dieses  a  in  das 
reduzierte  ^  des  Intervalles  einzunehmen,  indem  das  andere  halbe  -t 
(wie  nach  der  Methode  der  geteilten  x)  dem  NachbarinteiTall  angehört. 
§  57.  Konmien  wir  jetzt  auf  Verteilungstafeln  wie  I,  11.  IR 
zurück,  in  denen  sich  ein  Hauptltestand  mit  äquidistanten  a  der 
«-Spalte  von  Endabteilungen  mit  zerstreuten  fl  unterscheiden  läsat, 
80  ist  noch  anzugeben,  wie  mit  letzteren  zu  verfahi'en.  Dies  kann 
in  doppelter  Weise  geschehen.  Entweder  c)  macht  mau  tlie  a  der 
Endabteilungen  durch  Einschaltung  leerer  n  ebenso  äquidistant,  als 
es  in  den  Hauptabteilungen  der  Fall  ist,  und  reduziert  sie  hieniach 
ganz  nach  vorigen  Prinzipien,  da  sie  sich  danach  von  den  Haujil- 
ahteilungen  prinzipiell  nicht  mehr  unterscheiden;  oder  {i)  man  setzt 
die  Reduktion  durch  die  Endabteilungen  nicht  fort,  sondern  begnügt 
sich  mit  Bauschangaben  darüber.  Letzteres  Verfahren  ist,  soviel  ich 
sehe,  bisher  das  allein  übliche,  das  erst^re  aber  das  aus  anzugebenden 
Gründen  vorzuziehende  und  künftig  von  niii^  allein  befolgte.  M 


I)  Zu  demselbeu  Zwecke  käiiule  msii  auch  noch  weiter  mit  der  crslen  Oreuie 

bcD,  bit  41,  bis  40,  bis  39,   wo  danu  die  cntco  Litervalte  reipcktiv  sviii 

*s.  40 — 44,  39—43.     In  jedes  derscIbDö   aber   fiele  42,9.     Dies   giebt 

^duktionBlagcQ,   wovoa  nachher^  jedenfalls   aber   geuflgt   BchoD  43 

Igrenze  dem  Ziiecke. 


I 


edttnertc  Tafeln. 


119 


So  sit;lit  man  überall  nach  Vprtalu'c-ii  ti)  bei  RekrutenmaBon  (kuii 
n-duziei'ten  Haiiptbestande  die  Bauscliaugabe  der  Za!d  von  MaBoii 
vorangehen,  welche  kleiner  als  die  erste  Grenze  des  reduzierten 
Haiiptbestandes  sind,  und  die  Tabelle  mit  der  Bauschangabe  der 
Zahl  von  Maßen  schheBen,  welche  größer  als  die  zweite  Grenze  des 
reduzierten  Hauptbestandes  sind,  ohne  Spezifikation  dieser  Maße: 
worauf  man  sich  aber  doch  nicht  beschmnken  sollte,  da  man  danach 
Kwar  noch  den  Zentralwert,  aber  nicht  raelir  das  arithmetische  ÄOttel 
bestimmen  kann,  anderer  Nachteile  nicht  zu  gedenken;  vielmehr  sollte, 
wenn  man  überhaupt  auf  die  Durchführung  der  Reduktion  dui'ch  die 
Endabteilungen  verzicliten  will,  außer  der  Smnme  der  Anzahl  der 
Maße  auch  che  Summe  der  Maße  selbst,  welche  in  den  Endabtei- 
lungen entiialten  sind,  angegeben  werden,  und  nicht  unzweckmäßig 
wird  man  die  primären  Extreme  liinzufiigen.  Bezeichnen  wir  also 
einerseits  als  Vorzahl  r  und  Vorsumnie  V  die  Zahl  [^,j)  und  Summe 
iSax)  der  primären  n,  weiche  kleiner  als  die  erste  Grenze  des 
i-eduzierten  Hauptbestandes  sind,  andererseits  als  Naclizahl  »  und 
Nachsurarae  N  die  Zidil  und  Summe  der  primären  «,  welche  gi-üßer 
als  die  zweite  Grenze  dieses  Bestandes  sind,  als  E,  und  £"  das 
kleinste  und  grüßte  a  der  ganzen  priinäivn  Tafel  Überhaupt,  so  ist 
der  reduzierte  Haupthestand  noch  dureh  Angabe  von  v,  V,  ii,  N, 
J?, ,  F  zu  ergänzen,  wodurch  man  die  Tabelle  brauchbarer  nuicht, 
aber  freilich  dafür  an  dem  Voi-teil  der  Kürze,  den  niu-  ilas  reine 
/^-Verfahren  gewährt,  einbüßt. 

Das  Verfahren  a]  aber  ist  uicht  nur  methodischer,  indem  sich 
danach  die  Reduktion  der  ganzen  primären  Tafel  ohne  die  üumer 
etwas  willkürliche  Abgrenzung  zwischen  Haupt  bestand  und  Eud- 
abteilungen  und  ohne  eine  Ergänzung  letzter  Art  nach  demselben 
Prinzip  dui'chführen  lässt,  sondern  streng  genonmien  sind  aucli  nur 
so  reduzierte  Tafeln  fili'  die  vorzunelimendeu  Verteil ungsrecbnujigen 
brauchbar. 

Pühi-e  ich  nun  nach  diesem  Prinzip  die  Reduktion  auf  ein  /'^jmm 
durch  die  ganzen  Tafeln  I  und  II  durch,  mit  Rücksicht,  durch  Ein- 
schaltung leerer  a  nicht  nur  die  a  der  ganzen  Tabelle  äijuiilistant 
zu  machen,  sundeni  aucli  dem  ei-stcn  prhuären  geltenden  «  so  viele 


leere  a  vorangehen  zu  lassen,  dass  das  erste  primäre  a  [bei  I  368,  ' 
bei  IT  481)  noch  in  das  erste  reduzierte  Intervall  hineinrällt,  so  kann 
man  zur  Erfüllung  dieser  Bedingung  je  nach  der  gewählten  Reduktions- 
lage 1,  2,  3  oder  4  leere  o  vorangehen  lassen  und  wird,  wenn  man 
beispielsweise  zwei  vorangehen  lässt,  die  ei'sten  durch  leere  a  ergänzten  -j 
Abteilungen  der  primären  Tafel  I  ao  zu  sclireiben  haben: 


pi-imäreo     366     367     368     369     370 


372      373     374     375 


Das   erste    red.   Intervall   ist   hiernach,    mit   Rücksicht   auf   die  ] 
Umkreisintervalle  der  primären  Grenz-ff ,  366  —  ^  bis  370  +  I1  d.  i.  J 
365^  —  370J,   das  zweite  370^  —  375i;  ^'^  red,  a  des  ersten  Inter-J 
valles  ist  368  als  Mitte  zwischen  366  und  370,  das  zweite  373;  und 
das    durch  Summierung    der   primäi-en  .!    jeder  Abteilung   erhaltene 
reduzierte  \  ist  für  die  ei-ste  Abteilung  i ,  für  die  zweite  2 ,  was  als 
Anfang  <Ier  reduzierten  Tafel  giebt: 


368 

373  I 


3Ö5-5- 
370.5- 


Entsprechend  werden  wir  bei  Tafel  II  die  zwei  ersten  durch  leere  a  ] 
ergänzten  Abteilungen  so  zu  sclireiben  haben: 

primäreal   480     48t     482     4S3     484  1   485     4S6     487     488     : 
primäre  j|o         i         o         o         al^         i         o         i 
hiemach  als  Anfang  der  reduzierten  Tafel: 


a 

IntervaUe 

• 

482 
487 

479.5— 484.S 
484,5—489.5 

3 
6 

Keduzierte  Tafeln« 


121 


§  58.  Führen  wir  nun  diese  Reduktion  durch  die  ganzen 
Tafehi  I  und  IE  durch,  so  erhalten  wir  unter  Beschränkung  auf  die 
Form  der  a-Tafeln  folgende  reduzierte  Tafeln,  deren  jeder  eine  für 
späteren  Gebrauch  sehr  nützliche  Spalte  S,  beigefügt  ist,  welche 
dadurch  entsteht,  dass  man  die  z  der  ;r- Spalte  vom  Anfang  herein 
bis  zu  dem  a  (inkl.)  der  rt-Spalte,  wozu  das  betreffende  S,  gefügt 
ist,  summiert: 

Reduktion  der  primären  Tafeln  I  (Vertikalumfang)  und 
n  (Horizontalumfang)  mit  red.  ?*  =  5mm. 

I  n 


a 

s 

s, 

368 

I 

I 

373 

2 

3 

378 

s 

8 

383 

17 

25 

388 

24 

49 

393 

36 

85 

398 

41 

126 

403 

59 

I8S 

408 

65 

250 

413 

65 

315 

418 

51 

366 

423 

40 

406 

428 

17 

423 

433 

19 

442 

438 

4 

446 

443 

2 

448 

448 

2 

450 

a 

z 

s, 

482 

3 

3 

487 

6 

9 

492 

IG 

19 

497 

13 

32 

•  502 

30 

62 

507 

28 

90 

512 

52 

142 

S17 

50 

192 

522 

60 

252 

527 

53 

305 

532 

39 

344 

537 

43 

•387 

542 

30 

417 

547 

14 

431 

552 

12 

443 

557 

3 

446 

562 

I 

447 

567 

2 

449 

572 

0 

449 

577 

I 

450 

Der  Vergleich  vorstehender  reduzierter  Tafeln  mit  den  primären, 
aus  denen  sie  entstanden  sind,  giebt  zu  folgenden  Bemerkungen  von 
allgemeiner  Trag\i'eite  Anlass. 

Verstehe  ich  überhaupt  unter  einem  regelmäßigen  Gange  der  x 
einen  solchen,  dass  sie  mit  aufsteigenden  a  ohne  Unterbrechung  durch 


t22 


JUdunerte  Tafeln. 


Absteigün  bis  /.w  einem  ^LixiiDum  wachsen,  von  tla  an  iibiT  flieni 
ohne  Unterbrechung  diireh  Aufsteigen  wieder  abnehmen,  hiermit  eine 
glatte  Verteilungskurve  ijn  Sinne  von  §  1 7  gehen,  so  zeigen  sämtliclie 
reduzierte  Tafebi  auf  den  ernten  Bliek  gegen  die  piimäi-en,  aas  denen 
sie  abgeleitet  sind,  den  auffälligsten  Voi-teil  der  EegelmUßigkeit,  Und 
ei-st  nachdem  der  Gang  der  Wei-te  durch  die  Reduktion  mindestens 
um  die  Mitte  herum  regelmiißig  geworden  ist,  wird  sich  von  einer 
Gesetzlichkeit  d^i'selben  sprechen,  dieselbe  bestimmen  oder  eine  vor- 
aiissetzliche  Gesetzlichkeit  daran  prüfen  lassen. 

DasB  I  zwei  benachbarte  gleiche  Maximal-^  zeigt,  ist  nur  zufällig 
und  steht  dem  regelmäßigen  Gange  nicht  im  Wege,  wie  es  der  Fall  sein 
würde,  wenn  sie  durch  zwischenliegende  a  mit  kleinerem  i  geschieden 
wäi-en.  n  hat,  wie  gewÖhnlicli,  nur  ein  Maximal-i.  Näher  zugesehen, 
zeigt  I  nur  noch  nach  einem  Ende  hin  eine  unbedeutende  Ausnahme 
vom  regelmäBigen  Gange,  sofern  die  ^^  17  und  ig  ihre  Größe  ver- 
tauschen miissten,  um  sich  richtig  zu  folgen;  und  selten  fehlt  es 
gegen  die  Enden  hin  ganz  an  solchen  kleinen  UnrcgebuiUJigkeiten, 
ohne  dass  bei  Verwertung  der  Tafeln  viel  darauf  ankommt,  um  so 
mi'lir,  wenn  solclie  in  der  Gegend  des  dicht*;sten  a,  d.  h.  was  das 
größte  .1:  hat,  stattfinden;  und  verstehen  wir  der  Kürze  halber  unter 
Kern  der  Tafel  das  dichteste  a  mit  seinen  zwei  höheren  und  zwei 
tieferen  Nachbai'-ff,  so  werden  wir  vorzugsweise  von  diesem  Kei-ne 
Regelmäßigkeit  zu  foiilem  haben,  vaa  unsere  Noiiualgesetze  der 
Verteilung  mit  befriedigender  Approximation  bestätigt  zu  finden. 
Während  nun  der  Kern  von  I,  der  sich  wegen  des  doppelt<>n 
Maximal-i  auf  sechs  a  erstreckt,  der  Bedingung  der  Regelmäüigkeit 
genügt,  ist  dies  bezüghch  II  nach  oben  hin  (nach  den  kleineren 
Maßen  zu)  nicht  der  Fall,  und  auch  nach  unten  zu  folgt  die  Zahl  43 
uni-ichtig  gegen  die  Gi-enzzahl  39  des  Kernes. 

Hiernach  lässt  sich  von  vornherein  schließen,  dass  die  Tafel  II 
für  Horizontalumfang  sich  der  normalen  Verteilungsweise  weniger 
gut  fügen  und  weniger  geeignet  zur  Bewälu-ung  der  Kormalgesetze 
sein  wird,  als  Tafel  I  für  Vertikalumfiing. 

§  5g.  Nun  aber  reicht  es  liin,  Tafel  I  und  11  auf  das  doppelte  « 
als  vorhin,  statt  auf  ^nim  auf  10mm  zu  reduzieren,  um  beide  Tafeln 


Beduziertc  Tafeln. 


123 


ausnahmslos  regelmäßig  zu  machen,  was  sehr  einfach  dadurch 
geschehen  kann,  dass  man  je  zwei  successive  a  der  auf  ^  =  5  mm 
reduzierten  Tafeln  zu  ihrem  Mittel  und  ihre  zugehörigen  ;;:  zur  Summe 
vereinigt.  Geschieht  dies  mit  der  Tafel  I  (§58)  von  oben  herein, 
so  bleibt  wegen  der  unpaaren  Zahl  der  nackten  a  dieser  Tabelle 
das  a  =  448  mit  :^  =  2  übrig;  es  hindert  aber  nichts,  die  «-Tafel 
über  448  hinaus  konsequent  fortzuführen,  indem  man  zu  dem  a  =  448 
ein  um  5  mm  größeres  «  =  453  mit  ^  =  0  hinzufügt;  das  mittlere  a 
zwischen  448  und  453  giebt  dann  ein  reduziertes  a  =  450,5  mit  einem 
reduzierten  ;j:  ==  2.     In  der  That  erhält  man  folgende  Tafeln: 


Die  Tafeln  I  und  II,  auf  /=  lomm  reduziert. 

I  n 


a 

m 

s, 

370,5 

3 

3 

380,5 

22 

25 

390,5 

60 

85 

400,5 

IOC 

185 

410,5 

130 

315 

420,5 

91 

406 

430,5 

36 

442 

440,5 

6 

448 

450,5 

2 

450 

a 

z 

s, 

484,5 

9 

9 

494,5 

23 

32 

504,5 

58 

90 

514,5 

102 

192 

524,5 

"3 

305 

534,5 

82 

387 

544,5 

44 

431 

554,5 

15 

446 

564,5 

3 

449 

574,5 

I 

450 

Aus  den  vorigen  Tafeln  wird  man,  nach  demselben  Prinzip,  auf 
jf  1=20  mm  reduzierte  Tafel  ableiten  können,  u.  s.  f.,  was  ich  als  ver- 
schiedene Reduktionsstufen  bezeichne.  Mit  jeder  neuen  Reduktions- 
stufe  verkleinert  sich  die  Tafel,  bis  man  zuletzt  auf  ein  einziges  red.  a 
mit  einem  einzigen  red.  x  kommt. 

Um  dies  nur  für  Tafel  I  dui'chzuführen,  so  erhält  man  bei 
Reduktion  respektiv  auf  20,  40  mm  u.  s.  f.  aus  der  Reduktion  für 
/=5mm  folgende  a- Tafeln: 


4 

Beduiierte  Tafeln. 

20  mm 

40  mm                   So  mm 

160  min 

o 

. 

=            ^ 

« 

. 

= 

375.5 

"5 

385.5 

185                       405.5 

448 

445.5 

450 

395.5 

i6o 

4»5,5 

363                       485,5 

2 

4>5.S 

331 

4SS.5 

2 

435,5 

42 

455.5 

Und  so  n'ird  man  überhaupt,  wenn  bei  Reduktion  auf  ein  gegebenes  ^" 
noch  kein  regebnäßiger  Gang  der  Werte  x  zu  erlangen  ist,  durch 
Vergrößerung  des  i  zu  einem  solchen  gelangen  oder  sich  doch  dem- 
selben nähern  können.  Und,  wie  leicht  zu  erachten,  bestellt  gleich 
von  vomlierem  die  Möglichkeit  der  Reduktion  auf  ein  verschieden 
großes  i.  Wir  hätten  ja  bei  I  und  U  das  piimäre  i  gleich  bei  der 
ersten  ßeduktionsstufe  um  mehr  oder  weniger  als  das  fünffache, 
bei  m  um  mehr  oder  weniger  als  das  vierfache  *  steigern  können, 
indem  wir  mehr  oder  weniger  äquidistante  (resp.  durch  Einschieben 
leerer  a  äquidistant  gemachte)  primäre  a  dazu  zusammennahmen.  Es 
handelt  sich  also  um  Gitsichtspunkte,  welche  die  Wahl  in  dieser 
Hinsicht  bestimmen  können.  Ganz  allgemeine  und  feste  für  jeden 
sich  darbietenden  besonderen  Fall  lassen  sich  nun  nicht  wohl  geben, 
doch  folgende  aufstellen,  welche  die  AVahlfreiheit  bis  zu  gewissen 
Grenzen  heschränken  und  regeln  können. 

§  60.  Es  findet  ein  gewisser  Konflikt  zivischen  den  Vorteilen 
und  Nachteilen  der  Vergrößerung  oder  Verkleinerung  des  Reduktions-/ 
statt.  Aus  gewissen  Gesichtspunkten  ist  es  am  vorteilhaftesten,  das  i 
möglichst  klein  zu  lialtcn,  weil  nach  schon  früher  (§  5)  gepflogener 
Erörteining  die  idealen  Verteilungagesetze  streng  genonunen  diesen 
Fall  voraussetzen,  und  in  dieser  Hinsicht  verdient  sogai-  die  primäie 
Tafel  den  Vorzug  vor  jeder  reduzierten,  die  stets  ein  Vielfaches  des 
primareu  i  enthält;  ja  am  besten  wäre,  wenn  man  das  i  der  primären 
Tafel  selbst  auf  unendliche  Kleinheit  reduzieren  könnte,  was  nun 
freilich  nicht  geht.  Auch  trägt  folgender  Umstand  bei,  unter  sonst 
gleichen  Umständen  die  Eedut*'  '  *  der  Re<lulction  auf 

größere   vorziehen   zu   lass  dass  die  auf  ein 


Bediuierte  Tafän. 


125 


gegebenes  n   geschriebene  Zahl   x   eigentlich  einem  ganzen  Intenall 
zugehört,  welches  bei  piTmären  wie  reduzierten  Tafeln  mit  der  Größe 
des  i  wächst,  bei  Bestimmung  der  Elemente  erforderlich  her  ticke  ich  tigt 
werden,    so  muss,   was  später   (Kap.  IX)  auszuführen,    Interpolation 
'  des   betreffenden  Intervalles  za  Hilfe  genommen  werden,   und  muss 
man  womöghch  die  Intervalle  klein  genug  halten,  dass  man  mit  ein- 
facher  Interpolation    ausreicht;    denn    die   Kollektivmaßlehre   würde 
praktisch    fast  undiuchführbar  werden,  wenn   man   zur  Bestimmung 
aller  Elemente  und  der  Vergleiche  zwischen  Reclmung  und  Beobachtung 
Überall  Interpolation  mit  zweiten  Differenzen  zuziehen  müsste.     Und 
obschon   icli    das  Verfahren   dazu   später  angeben  werde,    habe   ich 
doch  im  allgemeinen  nicht  davon  Gebrauch  gemacht,   nachdem   ich 
[  bei  Beschränkung    auf    die    angewandten  Größen   des  i   keinen    die 
I  Mühseligkeit  des  Gebrauches    und  Umständhchkeit   der  Darstellung 
I  Tergeltenden  Vorteil  davon  zu  erlangen  vermochte. 

Dem  entgegen  kann  die  Ausgleichung  der  Zufälligkeiten,  welche 

den  regelmäßigen  Gang  der  x  in  der  primären  Tafel  stören  und  dem 

.  Vergleiche  mit  dem  gesetzlich  geforderten  Gange  im  Wege  stehen, 

I   doch  nur  durch  Reduktion  und  hiermit  Vergrößening  des  ;'  erzielt 

l  werden,  und  ein  nicht  zu  gi-oßes  i  schadet  in  dieser  Beziehung  viel 

,  weniger  als  eine  zu  große  Unregelmäßigkeit.    Hiemach  wird  man  im 

ganzen  am  besten  tliun,  das  i  so  groß  und  docli  nicht  größer  zu 

I  nehmen,    als  dass  ein  regelmäßiger  Gang  mindestens   innerhalb  des 

I  Kernes  der  reduzierten  Tafel  stattfindet;    denn  Unregelmäßigkeiten 

im  GJajige  der  äußersten  kleinen  z  haben  überhaupt  auf  die  Bestimmung 

der  Elemente  und  gesetzlichen  Verhältniaae  keinen  erheblich  störenden 

I  Sinlluss.     Wo  nun  aber,  wie  bei  unseren  drei  ersten  Beispielstafeln, 

f  zu    den   Um-egelmäßigkeiten    wegen   unausgeghchener  Zufälligkeiten 

I  noch  solche  wegen  ungleichförmiger  Schätzung  treten,  tritt  noch  die 

I  besondere  Bedingung  hinzu,  das  i  nicht  kleiner  und  mithin  die  Zahl 

■  der  zusammenzufassenden  äiiuidistanten  a  nicht  geringer  zu  nehmen, 

l'flls  es  der  Periode  der  ungleichförmigen  Schätzung  entspricht,  und 

i  Vergrößerung  des  *  dieses  nur  nach  ganzen  MultipHs  davon  zu 

t'mo,  weil  nui-  unter  dieser  Bedingung  auf  Ausgleichung  der  Fehler 

gen  QngleichfÖrmiger  Schätzung  zu  rechnen  ist.     Nun  kehren  bei 


12fl 


Redtinnte  Tnfeln. 


i\vn  Hrliiiik'liiDiBt'ti  cKt  Tab.  l  und  11  nach  ^  51  die  MaxinialmaB-^ 
nach  je  5  um  1  mm  foiisulireitenden ,  o ,  bei  den  Studentenrekruten. 
iiiaßen  der  Tab.  llt  mich  je  4  um  0,25  Zoll  fortschreitenden  a  da 
])rini;lrcn  Tafel  wieder,  also  kann  die  Reduktion  auf  das  kleinst« 
sliittliafte  i  bei  I  und  II  nur  auf  i=  5  mm,  bei  m  nur  auf  i  2 
gcsdifhen,  wie  das  in  den  Tabellen  (§  58  und  §  62)  der  Fall 
:iuf  ein  größeres  i  aber  einzugehen,  hätte  man  nur  dann  Änlass,  wei 
duniit  noch  keia  regebnäßiger  Gang  der  reduzierten  z  zu  erzielen 
§  61.  Obwohl  man  nun  aus  angegebenen  Gründen  keinen  J 
finden  wird,  bei  Bearbeiliing  luiserer  Beispielstafeln  zu  diesen  liöhei 
Reduktionsstufen  fortzuschreiten,  kann  es  doch  ein  Interesse  halx 
an  denselben  za  sehen,  wiefern  überhaupt  von  einem  solchen  Fort 
schritt  eine  Ajidemng  der  Elemente  zu  erwarten  ist,  und  ich  j 
hiemacli  zuvördeist  für  Tafel  I  folgende  Tabelle  der  wichtigsten 
Elemente  je  nach  ihrer  Ableitung  aus  verschiedenen  Reduktions- 
Btufen.  Die  Bestimmung  von  D^  ist  wegen  ihrer  Umständlichkeit  bloß 
für  die  zwei  ereten  Reduktionsstufen  geschehen.  Nach  Änderung 
der  Hauptwerte  andern  sich  natürlich  auch  die  davon  abhängigen 
Abweichungsfunktioneii ;  >i,  u  und  p  haben  die  früher  [§10  und  §33) 
angegebene  Bedeutung,  woraus  ii',  (i,,  tn' ,  m,  mit  Zuziehung  der 
T()talzahl  m  in  angegebener  Weise  zu  folgern  ist.  Die  Ableitung 
von  m',  m,  und  demgemäß  von  «,  sowie  von  tf',  c,  ist  überall  von 
Df  aus,  nicht  von  Di  aus  geschehen.  Das  aus  der  primäien  Tafel 
abgeleitete  A ,  d,  i.  J, ,  ist  in  der  Überschrift  mit  angegeben.  Alli? 
Elemente  sind  nach  der  sog.  scharfen  Methode  der  Kap.  IX  und  X 
mit  einfacher  Interi>olation  des  Eingriffsintenalles  abgeleitet.  Ganz 
entsprechend  sind  alle  weiter  folgenden  Tafeln  der  Elemente  zu  1 
stehen. 


Ileduzicrte  Tafeln. 


127 


Elemente  der  Tafel  I,  je  niicli  Ableitung  aus  verschiedenen 

Beduktionsstufen. 

S  =  I mm;  m  =  450;  A^  =  408,5. 


• 

1 

sS 

1 

IG   S 

20  S 

40  s 

^. 

408,2 

408,1           I 

408,2 

409,2 

c 

408,6 

408,6  »j 

409,1 

411,6 

B, 

409,7 

410,1 

Dt 

410,5 

409,8 

410,6 

414,7 

n 

+  10 

+  12 

+  20 

+  31   • 

u 

—  29 

—  40 

c, 

11,9 

12,4 

— 

c' 

10,4 

10,4 

• 

P 

0,74 

0,75 

Man  sieht,  dass,  abgesehen  von  der  letzten  hier  berücksichtigten 
Reduktionsstufe,  auf  /  =  40,  wo  die  reduzierte  Tafel  auf  drei  Werte 
zusammenschrumpft,  die  Hauptweile  je  nach  der  ßeduktionsstufe  nur 
um  zu  vernachlässigende  und  zufällig  scheinende  Größen  von  einander 
abweichen;  wogegen  w,  u  und  mithin  /i, ,  /[<',  /w, ,  W  sich  nicht 
unerheblich  danach  ändern,  woraus  zu  folgern  ist,  dass,  wenn  es  sich 
nur  um  Bestimmimg  der  Hauptwerte  handelt,  auf  die  Reduktions- 
stufe nicht  viel  ankommt,  wenn  man  nur  nicht  bis  zu  den  höchsten 
Graden  damit  geht;  wogegen  die  Verteilungsrechnungen  von  den 
Reduktionsstufen  wesentlich  influiert  werden  müssen,  und  man  also 
auch  aus  diesem  Grunde  wohl  thun  wird,  sofeni  es  gilt,  beobachtete 
mit  berechneter  Verteilung  zu  vergleichen,  bei  der  möglichst  niedri- 
gen Stufe,  welche  noch  eine  regelmäßigi^  Verteilung  im  Kerne  giebt, 
stehen  zu  bleiben.  Wo  nun  die  niedrigste  Stufe  nicht  durch  Rück- 
sicht  auf   eine   etwa   vorhandene   ungleichförmige  Schätzung  bedingt 


1}  Es  könnte  als  Versehen  erscheinen,  dass  C2  für  *=  10  ganz  denselben 
Wert  als  für  »  =  5  erhalten  liat.  Es  rührt  dies  jedoch  daher,  dass  das  Intervall, 
in  welches  Ca  für  1=  10  fällt,  ein  doppelt  so  großes  2  besitzt  als  das  Intervall. 
in  welches  Ca  für  «  =  5  fallt,  was  durch  die  beiden  benachbarten  gleichen  Maximal-r 
der  Reduktionsstiife  1  =  5  bedingt  wird.] 


Redndert«  Tafeln. 


bei  Tafel  I,  11  und  HI,  ist  man  auch  nii.:lit  gebundei 


ist, 

erst  gewählte  i  gerade  zu  verdoppeln,  um  zum  Zwecke  eines  regel- 
mäßigen Kernes  zu  gelangen,  was  nur  den  formalen  Vorteil  hat, 
dass  man  die  höhere  Stufe  einfach  aus  der  vorherigen  niederen  Stufe 
ableiten  kann.  Wenn  man  aber  einen  regelmäßigen  Kern  mittelst 
einer  achwät'heren  Reduktion  als  durch  Verdoppelung  des  vorherigen  i 
erlangen  kann,  so  wird  man  nicht  zu  dieser  Verdoppelung  greifen, 
muas  aber  dann  zui'  Ableitung  der  betreffenden  Reduktion  auf  die 
primäre  Tafel  zurückgeh 

§  62.  Um  nim  zu  sehen,  wie  sich  diese  Resultate  bei  anderen  K.- 
unter  anderen  Bedingungen  wiedertimlen,  wenden  wü-  uns  von  Tafel 
welche  f Ür  Schädebnaße  mit  111  ^^^o  gilt'),  zu  Tafel  IH  für  Student 
rekrutenmaße  mit  »«^2047. 

Bei  Tafel  I  waren  wir  durch  das  Vei-halten  der  ungleichfürmigen 
Schätzung  genötigt,  das  primäre  i  =  i  mm  hei  der  ersten  Stufe  auf 
das  Fünffache  zu  reduzieren;  bei  Tafel  m  sind  wir  aus  demselben 
Grunde  gehalten,  das  primäre  *  =  0,25  Zoll  auf  das  Vierfache,  d.i. 
I  Zoll  zu  reduzieren,  wobei  aus  dem  oben  §  55  angegebenen  Grunde 
das  Verfahren  mit  geteilten  x  anzuwenden  ist.  Dies  giebt,  wenn 
wir  von  einer  solchen  Lage  der  ersten  Reduktion  ausgehen^),  dass 
die  a  derselben  ohne  Bruch  auftreten,  folgende  Verteilungstafeln  und 
Elemente. 


aie 

ell^^l 

itai^^l 


i)  Tafel  11  abergehe  ich,  ujubt  uur,  weil  ue  analoge  VerhSltnisse  als  I 
darbietet,  sondern  auch,  ireil  sie  n'cgcu  UDrcgclmäßigkcit  im  Kerne  der  primSrea 
Tafel  weniger  sicheren  Anhalt  bietet. 

i)  Die  Möglichkeit  verschiedener  Redtiktiocelagcii  wird  weiterhin  besproolieu. 


Reduzierte  Tafeln. 


129 


Auf  verschiedene  Stufen  reduzierte  Tafel  in. 


=  0,25  Zoll;  ^=2047;  -4x  =  7i>77- 


• 

I  ZoU 

/  — : 

2  Zoll 

i  —  4  Zoll 

t  =  1 

»Zoll 

a 

a 

S 

a 

S 

a 

2 

60 

I 

6o,S 

I 

6i,S 

I 

63,5 

98,5 

61 

0 

6*,5 

0 

65,5 

97,5 

71,5 

18X5 

62 

0 

64,5 

17,5 

"69,5 

823 

79,5 

133,5 

63 

0 

66,5 

80 

73,5 

993 

87,5 

0 

64 

2 

68,5 

280 

77,5 

"9,5 

65 

15,5 

70,5 

543 

81,5 

4 

66 

26 

7»,S 

626,5 

85,5 

0 

67 

54 

74,5 

365,5 

68 

108 

76,5 

"3 

69 

172 

78,5 

16,5 

70 

253 

80,5 

3 

71 

290 

8*,5 

I 

72 

330,5 

84,5 

0 

73 

296 

74 

223,5 

75 

142 

76 

75 

77 

38 

78 

13 

1 

79 

3,5 

80 

2 

81 

I 

82 

0,5 

83 

0,5 

Fechveb,  KoUektiTmaßlehre. 


9 


130 


Reduzierte  Tafeln. 


Elemente  der  Tafel  m  nach  Ableitung  aus  verschiedenen 

Beduktionsstufen. 


<S=iZoll;  w  =  2047;  -^x  =  7i>77« 


• 

t 

iS 

2S 

4^ 

SS 

A 

71,75 

71,76 

71,77 

71,64 

c. 

71,81 

71,83 

71,91 

71,58 

D, 

71,99 

72,06 

— 

— 

Di 

72,04 

71,98 

72,16 

71,54 

n 

+  39 

+  41 

+  70 

—  29 

u 

—  120 

—  147 

— 

^, 

2,16 

2,26 

— 

c' 

I792 

1,96 

— 

V 

0,75 

0,77 

— 

— 

Wie  man  sieht,  bestätigen  sich  durch  diese  Tabelle  die  aus  den 
Reduktionsstufen  für  I  gezogenen  Schlüsse. 

§  63.  Was  Tafel  IV  bezüglich  der  Roggenähren  mit  ^»  =  217 
anlangt,  so  habe  ich  durch  mehrfache  Versuche  gefunden,  dass  man, 
um  zu  einem  regelmäßigen  Kern  zu  gelangen,  nicht  wohl  unter  ein 
reduziertes  i=/^S  herabgehen  kann,  wo  ^  =  0,5  cm  ist;  was,  bei 
Beginn  der  Tafel  mit  einem  reduzierten  a  =  42,  folgende  Resultate 
giebt: 


Reduzierte  Tafeln. 


131 


Auf  verschiedene  Stufen  reduzierte  Tafel  IV. 


<S  =  o,5cm;  ?w  =  2i7;  -4,  =  86,54. 


t  =  4 


a 

z 

42 

I 

46 

0 

50 

I 

54 

2 

58 

3 

62 

5 

66 

70 

6 
8 

i  =  ^S 


a 

M 

44 

I 

52 

3 

60 

8 

68 

14 

76 

35 

84 

50 

92 

51,5 

100 

40 

108 

13 

116 

1,5 

»:=i6<8 


a 

z  . 

48 

4 

64 

22 

80 

85 

96 

91  »5 

112 

14,5 

• 

32  <? 

a 

z 

56 

26 

88 

176,5 

120 

14,5 

Hieraus  begnüge  ich  mich,  nur  die  Hauptwerte  abzuleiten,  welche 
ebenfalls  eine  sehr  geringe  Änderung  je  nach  der  Reduktionsstufe 
zeigen. 


9* 


Hauptwcrte  der  Tafel  IV  nach  Reduktion  iiuf 

verschiedene  Stufen. 

iS^Ojsem;  ^=^217;  -i,  =86,54. 


.■ 

4< 

iS 

16  £ 

3.« 

.1, 

86,48 

86,67 

86,67  1) 

86,30 

c. 

87,60 

87,60  1) 

87.53 

86,96 

Df 

90,2S 

— 

— 

— 

D, 

89,44 

88,76 

89,25 

87.41 

§  64.     Inzwischen  außer  der  Wahl  zwischen  den  Rcduktions-^ 
stufen  Ijandelt  es  sich  nach  schon  gemucliter  Bemerkung  noch  1 
die  Wahl  zwischen  den  Reduktionslagen. 

Die  Vei-schiedenheit  der  Roduktionslagen  henilit  darauf, 
je  nachdem  man  den  Äuagangawert  des  Zusammennehroena  dai 
primären  nackten  a  ändert,  die  reduzierte  Tafel  verschieden  aui^fall 
Betrachten  wir  dies  zuerst  in  Bezug  auf  den  Hauptbestand  iat 
primären  Tafel  I.  Das  Zusammennehmen  der  n  begann  im  Beispiel 
§53  mit  dem  ersten  «^380  der  ersten  Hauptabteilung,  und  ■ 
erhielten  damit  als  reduziertes  a  382  mit  dem  reduzierten  ; 
Gehen  wir  nun  konsequent  damit  vor,  so  wird  die  Reduktion  dal 
zweiten  Hauptabteilung  mit  den  fünf  nackten  a  385,  386  flg.  ein 
reduziertes  a  ^  387  mit  dem  reduzierten  ä  ^  25  geben.  Nun  hindert 
aber  nichts,  den  Anfang  des  Zusanunennehmens  von  je  fünf  nackten  a 
um  ein  a  vorzuschieben,  womit  andere  zu  reduzierende  Äbteilungei 
entstehen,  nämlich,  um  bei  den  zwei  ersten  stehen  zu  bleiben: 


nackte  ( 


I  381  382  383  384  38s  I  386  387 


3S9     390 


pnmare  x  [     1 
woraus  folgt: 


I)  [Die  Übereinstimmung  dor  Werte  von  A,  für  1  =  8  und  i=  16,  «oiric 
Ci  far  t"  =  4  lind  1  =  8  i«  durch  die  Bcechaffcnhcit  der  Tafel  IV  begründet,  1 
iWB.r  folgt  die  Glciclihcit  der  beiden  A,  daraus,  dasa  in  der  Reduktion a stufe  1  ■ 
die  Summe  des  ersten,  dritten,  fQnftea  ::  u.  a.  w.  zufällig  gleich  der  Summe 
iweiten,  Tierten  s  u.  b.  w.  ist,  während  die  gleichiabligen  :  der  Stiife  1^4 
'-nd  86}  die  Oldohheit  der  beiden  C,  bedingen.] 


=  S 
leB 
•flr    ■      1 

I 


Beduzierte  Tafeln, 
reduziert 

a 

Intervalle 

z 

383 
388 

380,5      385,5 
385,5—390,5 

17 
24 

133 


u.  s.  w. 

Dies  giebt,  wie  man  sieht,  eine  andere  reduzierte  Tafel  des 
Hauptbestandes  als  die  vorige,  welche  primär  mit  a  =  380,  reduziert 
mit  382  anhob,  statt  dass  diese  primär  mit  381,  reduziert  mit  383 
anhebt.  Weiter  könnte  man  auch,  statt  mit  primärem  a  =  380  oder 
381  anzuheben,  mit  382,  383  oder  384  anheben,  und  erst  wenn  man 
mit  385  den  Anfang  machte,  würde  man  in  die  erste  Reduktions- 
weise zurückfallen,  indem  diese,  mit  380  beginnend,  die  mit  385 
beginnende  als  Fortsetzung  einschließt. 

Im  ganzen  sind  so  viele  Reduktionslagen  möglich,  als  die  Zahl 
der  primären  a  oder  i  beträgt,  welche  in  dem  i  der  Reduktionsstufe 
zusammengef asst  werden.  Sofern  nun  das  i  =  1  mm  der  primären 
Tafel  I  in  der  ersten  Reduktionsstufe  auf  i  =  5  mm  gesteigert  ist, 
sind  liier  fünf  Reduktionslagen  möglich,  bei  Reduktion  auf  10  mm 
würden  zehn  Lagen  möglich  sein  u.  s.  f.  Und  wenn  wir  im  Sinne 
der  Methode  a)  die  primären  Endabteilungen  durch  Ergänzung  mit 
leeren  a  in  einheitlichem  Zusammenhange  mit  den  Hauptabteilungen 
behandeln,  so  dehnt  sich  die  betreffende  Zahl  der  Reduktionslagen 
mit  auf  diese  aus. 

Um  nun  die  mögUchen  Reduktionslagen  einer  gegebenen  Re- 
duktionsstufe zu  erschöpfen,  haben  wir  nicht  nur  die  Lücken  zwischen 
den  primären  a  durch  leere  a  zu  ergänzen,  sondern  auch  liinter  das 
erste  geltende  a  so  weit  und  in  so  vieler  Weise  mit  leeren  a  zui*ück- 
zugehen,  dass  das  erste  geltende  a  noch  unter  den  zusammenzuneh- 
menden a  mit  enthalten  ist,  d.  i.  bei  fünf  möglichen  Lagen  je  nach 
der  Lage  respektive  mit  vier,  mit  drei,  mit  zwei,  mit  einem  leeren  a. 
Also  werden  wir  in  Tafel  I,  wo  368  das  erste  geltende  a  mit  z  =  i 
ist,  für  die  ei-ste  Lage  zu  setzen  haben: 

«     !  364     365     366     367     368 


134 


Beduücrtc  Tafeln. 


mit  reti.  n  ^  366  als  Mitte  zwischen  364  und  368,  und  red.  1  ;=  i  als 
Summe  der  in  dem  red.  Intenall  entlialtenen  i;  bei  der  zweiten  mit 
Vorschiebung  um  ein  n: 

o     I  365     366     367     368     369   I 


mit  red,  a  =  367,  red.  j  = 
Lagen  giebt: 


,  u.  s.  f.,  was  durehgefUlirt  folgende  fünf 


Tafel  I  (Vertikalumfang)  in  fünf  Keduktionslagen 
mit  i^  5  nun;  S^  1  mm;  ni  ^450. 


Um  die  vei-scliiedenen  Lagen  zu  untersclieiden,  dürfte  man  sich 
am  einfachsten  der  Bezeichnung  dureh  den  Anfang  der  reduzierten 
Tafel,  d.  i.  des  kleinsten  reduzierten  «  oder  reduzierten  E,  bedienen, 
wonach  also  die  erste  der  obigen  Keduktionslagen  durch  JT,  =  366, 
die  zweite  durch  ff,  =  367  u.  s.  f.  zu  bezeichnen  ist. 

[Der  Einäuss  der  Heduktionsiage  auf  die  Werte  der  Elementaj 
wird  aus  folgender  Tabelle  ersichtlich:] 


i 


Elemente  iler  Tafol  I  ( Vertikiilumfiin-)  bei  Kerl 
tiuf  fünf_vc'rschieilene  Lagen. 
S-^=  t  mm;  i=  5111111;  »(==450;  .1,  =408,5. 


-B, 

366 

367 

368 

369 

370 

Mittel 

A, 

408,6 

408,7 

408,2 

408,5 

408,6 

408,5 

t; 

409,1 

409,1 

408,6 

408,9 

409,1 

409,0 

0, 

410,7 

410,5 

409,7 

410,4 

410,3 

410,3 

i>i 

411,0 

410,1 

410,5 

410,2 

410,1 

410,4 

m, 

246 

344 

240 

244 

242 

243 

■m' 

204 

206 

210 

206 

208 

107 

*r 

11,3 

12, 1 

11,9 

12,1 

12,1 

12,1 

c' 

io,a 

"o,3 

10,4 

10,2 

10,4 

10,3 

n 

+  13 

-fio 

+  10 

+  11 

+  16 

+  12 

u 

—  4a 

-38 

-30 

-38 

-34 

-36 

P 

0,76 

0.78 

0,73 

0.79 

0,71 

0,75 

Man  bemerke,  das»  das  A^  der  primären  Tabelle  gleieh  408,5, 
und  dass  die  Ä^  bei  sämtlichen  fünf  Lagen  hiervon  und  mithin  von 
einander  nur  wenig  abweichen,  im  Mittel  aber  ganz  mit  A^  stimmen. 
Ebenso  zeigen  die  anderen  Hauiitwerte  je  nach  der  verschiedenen 
liage  nur  wenig  Verschiedenheit;  etwas  abweichender  zeigen  sicli  die 
Abweichungszahlen  und  Äbweichungasummen  und  daraus  folgenden 
mittleren  Abweichungen. 

Doch  kann  man  schon  bemerken,  dass,  so  wenig  sich  die  Werte 
.1,  C,  D  dei-selben  Lage  unterscheiden,  sie  doch  bei  allen  Rcduktions- 
lagen  in  derselben  Ordnung  auftreten.  Es  ist  nändich  D  größer  als  Ä, 
und  C  fällt  zwischen  beide  Werte,  wie  es  durch  die  Äsyminetiie- 
gesetze  gefordert  wird.  Auch  tritt  die  Asymmetrie  schon  dadui'ch 
deutlich  hervor,  dass  überall  m.'^tn'  ist;  ja  es  erfüllt  sich  auch  die 
für  den  Fall  der  Asymmetrie  geltende  Forderung',  dass  p^[D  —  €•]: 
(D  —  Ä)  sehr  approximativ  ^J;r^  0,785  ist. 

§  65.  Während  wir  nun  solchergestalt  bei  Tafel  I  veiinöge 
Steigerung  des  primären  i  auf  das  Fünffache  die  Möglicldceit  von 
fünf  verschiedenen  reduzierten  Tafeln  erhalten,  erhalten  wir  bei  HI 
wegen  Steigerung  auf  das  Viei-fache  die  Möglichkeit  von  vier  Hc- 
duktionslagen. 


J 


136 


Reduzierte  Tafeln. 


Tafel  in  in  vier  Reduktionslagen 
mit  i  =  i  Zoll;  <&  =  iZoll;  ^=2047. 


a 

Z 

a 

S 

a 

s 

a 

59,5 

0,5 

59,75 

I 

60 

I 

60,25 

I 

60,5 

0,5 

60,75 

0 

61 

0 

61,25 

0 

61,5 

0 

61,75 

0 

62 

0 

62,25 

0 

62,5 

• 
0 

62,75 

0 

63 

0 

63,25 

0 

63,5 

I 

63,75 

2 

64 

2 

64,25 

4 

64,5 

8 

64,75 

",5 

65 

15,5 

65,25 

18,5 

65,5 

20 

65,75 

22,5 

66 

26 

66,25 

35 

66,5 

41,5 

66,75 

43,5 

67 

54 

67,25 

60 

67,5 

72 

67,75 

94 

68 

108 

68,25 

123,5 

68,5 

137 

68,75 

151,5 

69 

172 

69,25 

192 

69,5 

215:5 

69,75 

237,5 

70 

253 

70,25 

263,5 

70,5 

271 

70,75 

280 

71 

290 

71,25 

309 

71,5 

323>5 

71,75 

327 

72 

330,5 

72,25 

318 

7*,5 

305 

72,75 

304 

73 

296 

73,25 

285,5 

73,5 

274,5 

73,75 

248,5 

74 

223,5 

74,25 

205,5 

74,5 

183,5 

74,75 

165 

75 

142 

75,25 

119 

75,5 

101,5 

75,75 

87,5 

76 

75 

76,25 

62 

76,5 

52 

76,75 

43 

77 

38 

77,25 

35 

77,5 

27,5 

77,75 

18,5 

78 

13 

78,25 

9^5 

78,5 

7 

78,75 

5 

79 

3,5 

79,25 

3 

79,5 

3 

79,75 

3 

80 

2 

80,25 

1,5 

80,5 

1,5 

80,75 

I 

81 

I 

81,25 

0,5 

81,5 

0 

81,75 

0 

82 

0,5 

82,25 

I 

82,5 

I 

82,75 

I 

83 

0,5 

83,25 

0 

Reduzierte  Tafeln. 


137 


Elemente  der  Tafel  HI  nach  Reduktion  in  vier  Lagen. 


^=iZoll;  i=i;  7^  =  2047;  -4,  =  71,77. 


E, 

59,5 

59,75 

60 

60,25 

Mittel 

A 

71,76 

71,75 

71,75 

71,76 

71,755 

c. 

71,79 

71,80 

71,81 

71,80 

71,80 

Dp 

71,91 

71,96 

71,99 

71,97 

71,96 

Di 

71,74 

71,92 

72,04 

71,97 

71,92 

u 

+  21 

+  33 

+  39 

+  28 

+  30 

u 

-76 

—  104 

—  120 

—  106 

—  101,5 

n 

2,05 

2,04 

2,045 

<?/ 

2,12 

2,14 

2,16 

2,15 

2,14 

c' 

1,97 

1,93 

1,92 

1,94 

1,94 

p 

0,80 

0,76 

0,75 

0,81 

0,78 

Man  sieht,  dass  sich  die  Resultate  der  vorigen  Tabelle  I  durch 
die  der  Tabelle  ITE  bestens  bestätigen.  Auch  hier  zeigt  sich  Di  überall 
mit  Dp  fast  genau  stimmend,  mit  Ausnahme  der  Lage  E",  =  59,5,  wo 
ganz  exceptionell  I),-  nicht  nur  verhältnismäßig  stark  von  D^  abweicht, 
sondern  auch  entgegen  der  Richtung  der  wesentlichen  AsjTmnetrie 
kleiner  als  A^  und  C,  ist. 

§  66.  [Da  für  Tafel  IV  das  durch  ihre  Unregelmäßigkeiten 
bedingte  reduzierte  /  =  4^,  das  piimäre  i  aber  =0,1  S  ist,  so  sind 
hier  im  Grunde  40  Reduktionslagen  möglich.  Von  denselben  sollen 
die  folgenden  vier  Lagen  ausgewählt  werden: 


138 


Rediiziertc  Tafeln. 


Tafel  IV  in  vier  Reduktionslagen 
niit/  =  4Ä;  ^  =  0,5  cm;  ni  =  2i'j. 


a 

s 

41 

I 

45 

0 

49 

I 

53 

I 

57 

3,5 

61 

5 

65 

3,5 

69 

9 

73 

II 

77 

23,5 

81 

19 

85 

23 

89 

35>5 

93 

22 

97 

24 

lOI 

18 

105 

12 

109 

2 

113 

3 

a 

42 

I 

46 

0 

SO 

I 

54 

58 
62 

66 

70 

74 

78 
82 

86 

90 

94 

98 

102 

106 

HO 

114 


2 

3 

5 
6 

8 

15 
20 

25 
25 
32 

19,5 

24,5 

15)5 
10 

3 
>,5 


el 


43 
47 
5« 
55 
59 
63 
67 

71 

75 
79 
83 
87 
91 
95 

99 

103 

107 
III 

"5 


I 

o 

2 
I 

3 

7 

7 

9 
17,5 
18,5 
21 

30 

30 

22,5 
22 

13,5 
8 

4 
o 


a 

z 

44 

I 

48 

I 

52 

I 

56 

2 

60 

4 

64 

6 

68 

8 

72 

9 

76 

21,5 

80 

15,5 

84 

24 

88 

33*5 

92 

27,5 

96 

23,5 

100 

18,5 

104 

13,5 

108 

4 

112 

3,5 

116 

0 

Elemente  der  Tafel  IV  nach  Reduktion  in  vier  Lagen. 
<t>  =  0,5cm;  /'  =  4;  /«  =  2i7;  -^^1,  =  86,54. 


-K, 

41 

42 

43 

44 

Mittel 

^K 

86,50 

86,48 

86,59 

86,52 

86,52 

c. 

87,90 

87,60 

87,87 

87,85 

87,805 

D, 

90,19 

90,25 

9^31 

90,58 

90,58 

A 

88,92 

89,44 

89,00 

88,45 

88,95 

U 

—  41 

—  41 

—  52 

-45 

—  45 

^\ 

11,70 

11,86 

12,28 

11,82 

",915 

c 

8,01 

1 

8,09 

1    7,56 

7,76 

7,855 

p 

0,62 

0,70 

i    0,73 

0,67 

0,68 

Rediltä«rte  Tafeln, 


W 


Auch  diese  Talielle  zeigt  bei  stärkerem  Auseinandei-weichen  der  Hnn|it- 
werte  als  in  I  und  lU  die  relative  Konstanz  der  Hauptwerte  iind 
Atweichungsfimktionen  in  den  verschiedenen  Lagen,  die  Gesetz- 
mäßigkeit in  der  Aufeinanderfolge  von.i,  C  und  D,  sowie  die  Nähe 
von  D{  und  2),.  Indessen  ist  ji  durchweg  kleiner  als  der  theoretisch 
geforderte  Wert  0,785.] 

§  67.  Es  entsteht  nun  die  Frage,  an  welclie  der  verscliiedenen 
Beduktion&la|;en  man  sich  bei  Ahleitung  der  Elemente  oder  Prüfung 
der  aufgestellten  Gesetze  zu  halten  habe,  worüber  sich  wieder  ganz 
allgemeine,  feste  Regeln  nicht  geben  lasaen  dürften,  wolil  aber 
folgendes  allgemein  zu  sagen  sein  wird. 

Zunächst  lässt  sich  an  dem  Ausseben  unsei-er  Tafeln  selbst 
zeigen,  dass  bei  so  großen  m,  als  unseren  Tafeln  unterliegen,  die 
Änderungen  der  Elemente  je  nach  der  Reduktionslage  nur  unerheb- 
lich und  im  allgemeinen  von  der  Ordnung  der  Unsicherheit  sind,  die 
an  der  Bestimmung  der  Elemente  überhaupt  zulässig  ist,  so  dass  es  mit 
KUcksicbt  hierauf  ziemlich  gleichgültig  erscheint,  an  welche  Reduktions- 
lago  man  sich  halten  winl,  und  nur  die  Kegel  zu  beobachten  bat, 
alle  Elemente,  die  in  Untersuchung  genommen  werden  sollen,  aus 
derselben  Reduktionslage  zu  bestimmen.  Jlitmiter  aber  kommt  es 
vor,  dass  unter  verschiedenen  Keduktionslagen  die  eine  oder  andere 
einen  Nachteil  gegen  die  übrigen  in  betreff  des  regelmäBigen  Ganges 
der  X  zeigt,  wie  denn  z.  B.  unter  unseren  fünf  Tafeln  I  f§  64)  die 
letzte  mit  £",^370  eine  Abweichung  von  der  Regelmäßigkeit  giebt, 
sofern  sie  die  Folge  der  reduzierten  ■;  55,  50.  73  erhält,  statt  dass 
die  t  bis  zum  Maximum  73  ununterbrochen  steigen  sollten.  Alle 
übrigen  vier  Tafeln  zeigen  dagegen  nichts  der  Art  \ind  sind  daher 
jener  vorzuziehen.  Dies  uiucbt  nun  dai-auf  aufmerksam,  dass  man, 
wenn  man  zufallig  einen  Kern  mit  unregelmäßigem  Gange  getroffen 
hat,  nachsehen  kann,  ob  man  nicht  mit  einer  anderen  Lage  besser 
fahre,  f  Jberhaupt  wiM  beim  Vergleiche  verschiedener  Reduktions- 
lagen diejenige  zu  wählen  sein,  welche  die  geringste  Abweichung  von 
den  allgememen  Verteüungsgesetzen  zeigt.  Jeder  Wahl  könnte  man 
sich  übrigens  dadurch  entachlagen,  dass  man  die  möglichen  Reduktions- 
lagen sämtlich  in  Rechnung  bringt  und  das  Mittel  aus  den  Resultaten 


140 


Reduiicrte  Tafelo. 


zieht,  nur  dass  dies  mülis^m   durclizufüliren  ist  und  wenig  loliucndaJ 
Umständlichkeiten  mit  sich  führen  wlirde. 

Wei-fen   wir   jetxt    einen   vergleichenden    Blick    auf    den    "Wertl 
primärer  und  daraus  abgeleiteter  reduzierter  Tafeln,  so  ergiebt  sicb,a 
dass  für  vollständige  Behandlung  eines  K.-G.  beide   sich    vielmelu 
zu  ergänzen  als  zu  ersetzen  liaben,  wonach  nur  zu  bedauern  ist, 
der  große  Raum,  den  primäre  Tafeln  im  allgemeinen  einnehmen,  meis< 
nötigt,  auf  ihre  Mitteilung  zu  verzichten  und  sich  bei  reduzierten  ; 
begnügen.     Jedenfalls   hat   man   in   der   primären  Tafel   die  direkten 
erfahrungsmäßige  Unterlage  für  die  ganze  Behandlung  eines  gegelie 
nen  K.-G.,  und  da  die  Reduktion  nach  der  Grüße  des  i',   der  Lagej 
der  Intervalle,   nach  ganzen  und  halbierten  x   so  oder  so  vorgenora-J 
men  werden  kann,    bleibt  jedem   bei  Vorliegen  der   primären  Tafell 
noch    freigestellt,    welche  Wahl    er    treifen  will,    und   behält  er  dieV 
Möglichkeit,   eine    schon   getrofiene  Wahl   danach   noch   abzuändernd 
und  zu  kontrollieren.    Auch  kann  der  arithmetische  Mittelwert  dui-cli>] 
keine   reduziei-te  Tafel   ebenso    sicher  erhalten  werden   als    aus    der^ 
primären,  mag  auch  der  Unterschied  hei  vielzahligen  GegenständenT| 
zu  vernachlässigen  sein.     Hiergegen  kann  man   bei  Verfolgung  des 
gesetzlichen  Ganges  der  Werte  eines  K.-G.  eine  allgemeine  Reduktion 
der  Tafel  und  bei  Bestimmung  der  Elemente,   welche  an  lokalen 
Unregelmäßigkeiten  in  besonderer  Weise  beteiligt  werden,  eine  lokale  , 
Reduktion  überhaupt  nicht  entbehren,  und  die  Reduktion  der  Tafel-i 
wird  jedenfalls  den  Vorteil  haben,  eine  Regelmäßigkeit  zum  Vorscheine  .j 
zu  bringen,  die  in  der  primären  Tafel  nicht  sichtbai'  ist. 


IX.   Bestimmung  von  Za^  Za,^  ^a', 

§  68.  Zur  Erläuterung  der  Anwendung  der  folgends  zu  geben- 
den Regeln  könnte  jede  der  bisherigen  Verteilungstafeln  dienen.  Es 
vereinfacht  und  hiermit  erleichtert  sich  aber  die  Anwendung  der 
Regeln  mit  der  Kürze  der  Tafeln,  und  so  lasse  ich  zunächst  eine 
kleine,  nur  nach  dem  allgemeinen  Schema  einer  KoUektiwerteilungs- 
tafel,  übrigens  willkürlich,  aus  bloß  acht  a  der  a-Spalte  konstruierte 
Tafel  folgen,  an  welche  sich  die  folgenden  Erläuterungen  knüpfen 
mögen,  die,  richtig  gefasst,  dann  auch  auf  jede  wirkliche  Kollektiv- 
verteilungstafel Anwendung  finden  können.  Die  Spalten  S,,  S'  sind 
Hilfsspalten,  welche  sofort  ihre  Erläuterung  erhalten  werden. 

Kleine,  willkürlich  aufgestellte  Verteilungstafel. 

i=2;  m  =  8o;  ^0  =  912. 


a 

Intervalle 

z 

z.a 

«, 

S' 

3 

2—  4 

I 

3 

I 

80 

5 

4—  6 

2 

10 

3 

79 

7 

6—  8 

5 

35 

8 

77 

9 

8—10 

10 

90 

18 

72 

II 

10 — 12 

30 

330 

48 

62 

13 

12 — 14 

20 

260 

68 

32 

15 

14 — 16 

10 

150 

78 

12 

17 

16—18 

2 

34 

80 

2 

Summe 


80 


912 


304 


416 


In  voriger  Tafel  ist  die  Bedeutung  der  Werte  in  den  Spalten  a, 
Interv.,  x^  x.a  nach  den  früheren  Erklärungen  bekannt,  die  der  Werte 


142 


S,,  S'  aber  erläutert  sich  so:    Das  ei-ste  S,  ist  gleich  ilcm  ersten 
(las  zweite  S,  gleich  dem  ersten  +  zweiten  x,   das  dritt«  gleich  dem' 
ersten  +  zweiten  +  dritten  x  u.  s.  f.,   so  das«  das  letzte  gleich 
Suniuie  aller  x  und  hiermit  =  »/  wird.     Hiernach  wird  jedes,  ei 
gegebenen  a  zugehörige  S,  durch  Sunmiierung  des  zum  vorangeht 
den  a  gehörigen  S,  mit  dem  i  des  betreffenden  a  erhalten. 

In  der  Spalte  der  S'  ist  dasselbe  Verfahren,  aber  mit  Suraraie- 
nmg  von  unten  in  entgegengesetzter  Richtung  angewandt. 

§  69.  Nun-  ist,  abgesehen  von  der  Totalsumme  2a  und  der 
Totalzahl  m,  eine  rohe  und  eine  schaife  Bestimmung  der  betreffenden 
Werte  in  dem  schon  früher  angegebenen  Sinne  zu  unterscheiden; 
eine  rohe,  sofern  man  so  rechnet,  als  wenn  die  Zahl  i,  lUe  auf  jedes 
ß  einer  primären  oder  reduzierten  Tafel  geschrieben  ist,  demselben 
ganz  angehöre;  eine  scharfe,  sofern  darauf  Kücksicht  genommen 
wird,  das8  sie  eigentlich  in  dem  Umkreisintenall  jedes  «  verteilt  zu 
denken  ist,  wonach  der  Wert  der  zu  bestiimnenden  Elemente  in  dem 
Intervall,  worin  die  Bestimmung  derselben  eingreift,  kurz  dem  Ein- 
griffsintervall, interjiolations mäßig  zu  bestimmen  ist,  wie  im  Folgenden 
gezeigt  wird.  Bisher  ist  man  hierauf  nicht  eingegangen;  im  Folgen- 
den wird  darauf  einzugehen  sein  und  der  Vorteil  davon  bewiesen 
werden. 

Das  bei  schai-fer  Bestimmung  zu  interpoliei-ende  Inten'all,  sog. 
Eingriffsintervall,  werde  ich  seiner  Lage  und  Größe  nach  allgemein 
mit  I  bezeichnen.  In  unserer  Beispielstabelle  ist  es,  übereinstimmend 
mit  dem  durch  die  Tabelle  durchgehenden  i  seiner  Größe  nach  ^  2, 
indes  seine  Lage  nach  Beschaffenheit  der  Aufgabe  wechseln  kann. 
Allgemein  sei  seine,  aus  der  Spalte  der  Intenalle  sich  ergebende 
erste  Grenze  mit  jj,,  seine  zweite  mit  g^  bezeichnet;  also,  wenn  10 — 12 
das  Eingriffsinten'all  ist,  3,  =  10,  (?,  =  iz. 

Sei  femer  allgemein: 
s„  der  Wert  x,  welcher  auf  das  Eingriffsintenall  /  fällt, 
o„  der  in  der  Spalte  der  a  dem  betreffenden  /  zugehörige  Wert  1 

II,  welcher  die  Mittu  von  /  ist, 
x^.%  das  demgemäßo  Maßprodidit,  welches  auf  I  fällt, 
*>  die   sog.  Vorzahl,   d.  i.   die  Summe   der  x  und  9'  die  SaouDel 


=S 


Bestimmung  von  ^.a,  £a,,  la',  m,y  m'  etc.  143 

XMy^  welche  vom  Anfange  der  Tabelle  herein  bis  zum  Anfange 

von  7  reicht, 
n  die  sog.  Nachzahl  und  SZ  Nachsumme,  welche  vom  Schlüsse  des 

/  bis  zum  Schlüsse  der  Tabelle  reicht, 
X  :=  H  —  g^j  EingriffismaB,  der  Wert,  um  welchen  der  in  I  fallende 

Hauptwert  H  den  Anfang  von  7,  d.  i.  g^ ,  überreicht, 
y  =z  nif  —  c,   Eingriffszahl,   die  Zahl,   um  welche  die  vom  Anfange 

herein  bis  H  reichende  Zahl  die  bis  zum  Anfange  von  Z 

reichende  überreicht, 
T  Eingriffssumme,  die  Summe  der  a,  welche  vom  Anfange  des  7  bis 

zu  H  reicht. 

Allgemein  hat  man: 

S>  +  Sr  +  x^%  =z^a  =  2xa. 

Sofern  nun  für  die  folgende  Erläutenmg  das  Intervall  10—12 
unser  7  vorstellen  wird,  haben  wir : 

m  =  80;         2a  =  2xa  =  912  ; 

^0  =  30;  «0  =  11;    -o«o  =  33o; 

XI  =  18;  S>  =  138; 

^1  =  32;  SW:==444; 

X  =  H —  10;  y  =  m,  —  18. 

Als  H  kann  jeder  beliebige  Wert  auftreten ,  doch  werden  wir 
die  Erläuterung  vorzugsweise  an  den  arithmetischen  Mittelwerth  der 
Tafel  als  H  knüpfen,  welcher  sich  durch  Division  von  Ixa  ^=  gi2 
mit  2x  =  80  gleich  11,4  findet,  und  mithin  ir  =  1,4  giebt;  doch  soll 
auch  der  Centralwert  als  Tf  dienen. 

§  70.    Bestimmung  einer  Wertsumme  2a, 

Diese  Bestimmung  geschieht  direkt  durch  Summierung  der  xa, 
so  dass  2a  mit  2xa  gleichbedeutend  gebraucht  wird. 

Bei  so  kleinen  Tafeln  als  unserer  Beispielstafel  macht  nun  die 
Bildung:. und  Summierung  der  xa  keine  Schmerigkeit;   aber   wenn 


144  Bestimmung  von  ^a,  £a,,  ^a',  m,,  m*  etc. 

eine  Tafel  weit  ausläuft,  die  a  der  o-Spalte  und  hiermit  zu  bildenden 
Maßprodukte  xa  sehr  zahlreich  sind,  was  namentlich  die  primären 
Tafeln  trifft,  wird  diese  Bildung  und  Summierung  außerordentlich 
umständlich  und  unterliegt  leicht  Rechenversehen.  Man  versuche  es 
nur  mit  irgend  einw  unserer  primären  Tafeln;  und  selbst  bei  den 
reduzierten  Tafeln  macht  sich  dieselbe  Beschwerlichkeit,  wenn  auch 
in  vermindertem  Grade,  noch  geltend.  Demnach  ist  sehr  erwünscht, 
dass  eine  auf  primäre  wie  reduzierte  Tafeln  jeder  Stufe  und  Lage 
gleich  anwendbare  Methode  zu  Gebote  steht,  ^a  (und  hiemach  A) 
mit  ganz  demselben  Werte,  aber  in  weit  bequemerer  Weise  als  nach 
dem  vorigen  Verfahren  zu  finden,  welches  ich  das  der  xa  nennen 
will,  indes  ich  das  folgends  auseinanderzusetzende  das  der  8  nenne. 
Es  gehört  nur  dazu,  was  für  das  Verfahren  der  xa  nicht  wesentlich 
ist,  dass  die  Tafeln,  auf  welche  das  Verfahren  der  S  Anwendung 
finden  soll,  äquidistant  oder  durch  Einschaltung  leerer  a  äquidistant 
gemacht  sind,  wonach  man  sich  darauf  beschränken  kann,  die  unbe- 
queme Methode  der  xa  auf  die  Fälle  zu  beschränken,  wo  die  Aqui- 
distanz  doch  nicht  hergestellt  ist. 

Man  kann  sich  nun  beliebig  der  S,  oder  S'  zur  Bestimmung  der 
Summe  ^a  bedienen.    Erstenfalls  geschieht   die  Bestimmung   nach 

folgender  Formel: 

2a  =  mE'  '-Z,i\  (i) 

zweitenfalls  nach  der  Formel: 

Ia  =  mE,  +  Z'i.  (2) 

Darin  haben  die  Buchstaben  folgende  Bedeutung.  Unter  m  wird 
die  gesamte  Zalil  der  a  verstanden,  deren  Summe  zu  nehmen  ist, 
d.  i.  ^x,  unter  JE"  das  größte  a  oder  obere  Extrem  (was  freilich  in 
der  Tabelle  unten  steht),  unter  E,  das  kleinste  a  oder  untere  Extrem 
unter -diesen  a,  welche  Werte,  wann  etwa  die  zu  summierenden  a 
bloß  ein  Stück  einer  ganzen  Veiieilungstafel  ausmachen  sollten,  nur 
auf  das  Stück,  nicht  auf  die  ganze  Tafel  zu  beziehen  sind.  Femer 
sei  Z,  die  Totalsumme  der  S,,  welche  den  zu  summierenden  a  zuge- 
hören, weniger  dem  S,,  das  zu  E'  gehört,  oder,  was  dasselbe  sagt, 
die  Totalsumme  der  S,  exklusive    des  extremen  S,\    femer  Z'   die 


Bestiminung  Yon  JTa,  Sa,,  Ea\  m,,  m'  etc.  145 

Totalsumme  der  S'  exklusive  dessen,  was  zu  E,  gehört;  /  die  kon- 
stante Differenz,  um  welche  die  a  der  a- Spalte  auseinanderweichen. 

Sei  nun  das  !Sa  der  ganzen  Beispielstafel  zu  nehmen,  so  ist  das 
m^=^1%  derselben  80;  J?'  =  17;  E,  =  3;  Z,  =  304  ■—  80  =  224; 
Z'  =  416  —  80  =  336;  i  =  2.  Mag  man  nun  die  erste  oder  zweite 
Formel  anwenden,  so  wird  man  nach  diesen  Werthen  ^0  =  912,  über- 
einstimmend mit  der  direkt  bestimmten  Summe  der  xa  finden,  welche 
unter  der  Spalte  der  xa  steht 

Granz  auf  dieselbe  Weise  lasst  sich  die  Summe  !Sa  für  jedes 
Stück  der  Beispielstafel  finden,  nur  dass  die  Werte  m,  E*,  E,,  8,,  8' 
sich  demgemäß  abzuändern  haben,  wie  denn,  wenn  die  Summierung 
bloß  für  die  vier  a  der  o-Spalte  von  5  bis  1 1  zu  geschehen  hatte, 
man  hätte:  m  =  2x  =  4'j,  E'  =  ii,  ^,  =  5,  i  =  2.  Die  Spalten  der 
8,j  8'  aber  wären  so  zu  bilden: 

S,  S 


2 

47 

7 

45 

17 

40 

47  ' 

30 

Summe:  73  162 

mithin  Z,  =  73— 47  =  26;  Z' =  162  —  47  =  115  , 

was  giebt:  2a  =  465  . 

Bei  sehr  langen  Beihen  kann  man  es  unbequem  finden,  im  Fort- 
schritte zu  sehr  großen  Werten  von  8  aufsteigen  zu  müssen;  welchem 
sich  aber  leicht  abhelfen  lässt,  indem  man  die  ganze  Beihe  in  zwei 
oder  mehr  Abteilungen  teilt,  und  deren  2a  auf  vorigem  Wege  be- 
sonders sucht,  um  schließhch  dieselben  zu  vereinigen.  Als  noch  prak- 
tischer aber  empfiehlt  sich  die  vereinigte  Anwendung  der  Spalte  8, 
und  S'  in  folgender  Weise. 

Man  sondere  irgendwo,  am  praktischsten  ungefähr  um  die  Mitte 
der  Tafel,  einen  Wert  a  aus,  welcher  c  heiße,  führe  die  Spalte  der 
8,  bis  zu  diesem  c,  exkl.  desselben,  und  ebenso  die  Spalte  der  8' 
exkL  c  fort,  summiere  die  so  erhaltenen  8,  wie  8'  besonders;  erstere 
Summe  heiße  wie  früher  Z,,  die  zweite  Z\  dann  hat  man: 

Fkcubb,  KoUektiTiiutOlehre.  10 


146  Bestimmung  von  la    2^a,,  Sa\  m, ,  m'  etc. 

Va  =  mc  +  (Z'-Z,)i,  (3) 

woraus : 

A  =  c  +  ^^^i,  (4) 

wobei  m  die  Totalzahl  aller  zu  summierenden  a  ist. 

§  71.  Ich  habe  das  S- Verfahren  in  einer  amerikanischen  Ab- 
handlung über  Rekrutenmaße  (von  Elliott)  *)  angeführt  gefunden 
ohne  Angabe,  wie  der  Verf.  dazu  gekommen  ist,  und  ohne  Beweis 
seiner  Allgemeingültigkeit.  Nun  lässt  sich  dieser  Beweis  wohl  führen, 
ist  aber,  obwohl  elementar*-^),  doch  ziemlich  lunständlich  und  mühsam 
zu  verfolgen;  ich  übergehe  ihn  daher,  da  das  Verfahren  jede  empirische 
ProTbe  besteht,  füge  aber  demselben  zur  Sicherung  seiner  Anwendung 
noch  folgende  Bemerkungen  hinzu. 

1.  Natürlich  hängt  die  Richtigkeit  der  Bestimmimg  von  ^a  und 
folgeweis  von  A  von  der  Richtigkeit  der  S-Columnen  ab.  Ist  ein  S 
in  der  Reihenfolge  falsch,  so  werden  alle  folgenden  ebenfalls  falsch, 
weil  jedes  frühere  S  in  alle  späteren  eingeht,  und  bei  Aufsteigen  zu 
hohen  Werten  von  S  kann  leicht  ein  Versehen  vorkommen.  Man 
hat  aber  ein  leichtes  und  nie  zu  versäumendes  Mittel  der  Kontrolle 
darin,  dass  bei  Anwendung  einer  iS- Spalte  das  extreme  S,  was  in  Z 
nicht  eingeht,  mit  m  übereinstinmien  muss;  bei  dem  kombinierten 
Verfahren  von  S,  imd  S  aber  die  letzten,  in  Z  nicht  mit  eingehenden 
Werte  von  S,  und  /?,  zu  denen  man  gelangt,  mit  dem  x-Werte 
von  c  die  Totalzahl  m  geben  müssen. 

2.  Das  S- Verfahren  ist  zwar  gleich  anwendbar  auf  Tafeln  mit 
imd    ohne   eingeschaltete   leere   a,    und   die  Bildung   der   S-Spalte 


i)  [£.  B.  Elliott,  On  the  müitary  statistics  of  the  United  States  of  America. 
Berlin  1863.  (International  Statistical  congress  at  Berlin).  S.  Note  on  the  con- 
struction  of  certain  tablcs,  p.  40.] 

2)  [In  der  That  ist  bloß  nötig,  Eza  ausführlicher  durch  z^üx  +  z^a^  -\-  z^a-^ 
-f- .  •  •  Zu  ^»darzustellen  und  die  äquidistanten  a, ,  03 , . . .  a,»  durch  a^  +  *  >  ''z  +  2 1 , 
...aj+^ — I'  zu  ersetzen,  um  durch  geeignetes  Zusammenziehen  der  Glieder  die 
transformierte  Summe  in  der  Form :  Cx  («x  -+-  a«  +  •  •  •  Jf«)  +  •  («a  +  *3  +  •  •  •  2»)  4- 
•  (S3  +  •  •.  •  Zn)  +  •  •  •  sSfi  ui^d  damit  die  Summenformel:  Effn-^  Zii  la  erhalten.  In 
ähnlicher  Weise    erhält   man  E'm  —  Z,i ,  wenn   man  «• .  '^  laap. 

durch  ttn—^n — 11,  a„  —  n — 21,  c^  —  n — 3t...  Hn*^^ 


lUnminDg  rou  Sa,  So,, 


147 


:  ill     ii,iili  derselben  Regel;  aber  es  wird  doch  nütz- 

■iiluii;;    der  Regel    für    den  Fall  vorkommender 

xuh  Iteaonders  zu  erläutern,    um  etwaigen  Miss- 

1     Kirruus     folgenden    Versehen    zum    voraus    zu 

^!n■i)    ')i.'i*    angegebenen    Regel    wird    jedes    zu    einem 

*-   der   H-yi)alte  gehörige  S  als  Summe  des  zum  voran- 

»hörigen  .S'  mit  dem  x  des  betreffenden  a  erhalten.    Ist 

«  dn  loere^  mit  x  =  o,  so  ist  selbstverständlich  nach 

■  l  FH!in  S  eine  bloße  "Wiederholung  des  vorhergehenden  S, 

-I.-  leere  a  hinter  einander  folgen,  so  oft  wiederholt  sich 

--  ihaiiü  vorangehenden   geltenden  a.     Unsere  beiden  Bei- 

g  68  um!  §  70)  geben  zur  Erläuterung  hiervon  keinen 

,  wie  ili«'    meisten  reduzierten  Tafeln,  keine  leeren  a 

I  mehr  Gelegenheit  bieten  dazu  die  primären  Tafeln, 

i  in  ihren  Endabteilungen.    Zur  kurzen  Erläuterung  aber 

I  hier  eine  Ideine  Tafel  mit  einigen  leeren  n  willkür- 

lui  klamnieiii  dabei  die  den  leeren  a  zugehörigen,  wieder- 

ui    It'ichtori'ii  Unterscheidung  von  den  anderen  ein,  ohne 

lUr  lifi  BiMuiLf!  von  2S  und  mithin  Z  von  der  Summierung 

«:^lll03seii  werden   dürfen,    da   sie  vielmehr  dabei  ganz  nie  die 

^■tu  mitzählen: 


0 

S. 

S" 

3 

2 

50 

5 

(=) 

(48) 

7 

0 

(2) 

(48) 

9 

10 

48 

II 

30 

4» 

38 

«3 

5 

47 

8 

15 

(47) 

{3) 

17 

3 

SO 

-3 

Summe 

SO 

204 

146 

,  wie  häufig,  in  liin  Endabteilungen  primärer  Tafeln  eine 
i  Anztdd  leerer  a  und  mitlün  wiederholter  eingeklammerter  S 
folgen,    wird  man  es  am  einfachsten  finden,   diese 


rang  Ton  ^ 

gleich  in  Siiuima  einziiklamnieni,  nur  dasB  man  sich  zu  hüten  hat, 
das  darauf  folgende  S  dann  nicht  als  Summe  dieser  Summe  von  S 
mit  dem  neuen  ;s ,  sondern  als  Summe  des  der  Einschaltung  vorher- 
gehenden nackten  S  mit  dem  neuen  -;  zu  bestimmen.  So  wird  die_ 
Reilie  der  S,  voriger  Tafel  folgende  Gestalt  annehmen: 

3  ,    [4),    12  ,    42  ,    U,  8.  W., 

also  das  zu  o  ^  g  mit  t  =  10  gehörige  S,  =  12  nicht  durch  Zufügung 
von  10  zum  vorangehenden  summierten  [4),  sondern  zu  dem  der  Ein- 
schaltung vorangehenden  nackten  2  zu  bilden  sein;  eine  Regel,  die 
wohl  zu  beachten  ist.  Wenden  wir  nun  dies  auf  den  Eingang 
unserer  primären  Tafel  I  (Kap.VII)  an,  so  wii'd  sicli  nach  erforder- 
licher (in  Gedanken  ausführbarer)  Einschaltung  der  leeren  n ,  deren 
zwei  zwischen  368  und  371,  vier  zwischen  371  und  376,  eins  zwischen 
376  und  378  fallen,  die  E^^ihe  der  S,  so  gestalten: 

1.    (2):    3;    ("i);    4-    (4I.    5.    6    U.  S.  W. 

In  der  primilren  Tafel  m,  wo  /^o,25  Zoll  ist,  fallen  zwischen  die 
zwei  ersten  geltenden  a,  d,  i.  60  und  64  ganze  Zoll  respektiv  mit 
t  =  i  und  2,  gar  15  leere  a,  weiter  zwischen  64  und  64,75  zwei, 
und  gestaltet  sich  der  Anfang  der  Sj-Heilie  so: 

I,  (15),  3,  (6),  7  u.s.f- 
Es  ist  wichtig,  sich  mit  dieser  Verwendung  der  leeren  a  wohl 
vertraut  zu  machen  und  die  richtige  Vornahme  derselben  in  jedem 
Falle  wirklichen  Gebrauchs  durch  sorgfältige  Revision  zu  kontrolheren, 
weil  man  sich  nur  zu  leicht  darin  versieht,  und  weil  die  obige  Kon- 
trolle der  richtigen  Bildung  der  S-Kolunmen,  dass  ihr  letzter  Wert 
mit  m  übereinstimme,  auch  bei  Einschaltung  der  leeren  a  noch  zu- 
treffen muss,  also  nicht  zw  vernachlässigen  ist,  aber  auch,  wenn  sie 
zutrifft,  nicht  gegen  eine  falsche  Verwendung  der  leei-en  n  sicherstellt. 


§  72.     Bestimmung  der  unteren  und  oberen  Suiiimeu,  resp. 
^rt,  und  2a',  bezüglich  eines  gegebenen  Hauptwertes  H. 
Sei  beispielsweise  A   der  Hauptwert,  in  unserer  Beisi>ielstabelle 
11,4,  so  hat  man  nach  roher  Bestinuimng  alle  «,  welche  kleiner  als 


Bestimmung  von  ^a,  2'a,,  I^a',  m,,  m'  etc.  149 

1 1 ,4  sind,  also  von  ff  =  3  bis  inkl.  a  =  1 1  «u  summieren,  d.  h.  die 
entsprechenden  xa  zu  summieren,  um  2a,  zu  haben;  indes  man  2a 
durch  Summierung  der  xa  von  a=  13  bis  zum  Schluss  erhält,  d.  i. 
^flr,  =  468,  ^ff'  =  444.  Außer  durch  direkte  Summierung  der  be- 
treffenden xa  kann  man  diese  Summen  in  angegebener  Weise  nach 
dem  S- Verfahren  erhalten. 

Zur  scharfen  Bestimmung  hat  man  die  Summe  2a,  aus  zwei 
Teilen  zusammengesetzt  zu  denken,  der  Vorsumme  2>,  welche  vom 
Anfange  der  Tabelle  herein  bis  zum  Anfange  des  Eingriffsinter- 
valles  /  reicht,  und  der  Eingriffssumme  F,  welche  von  da  bis  zu  -ff, 
unseren  Falles  bis  A,  reicht  und  durch  einfache  Interpolation  erhalten 
wird,  indem  man  setzt,  dass  sich  die  Eingriffssumme  Y  zur  Total- 
summe des  Intervalles  /,  d.  i.  zu  x^a^,  verhält  i^ie  das  Eingriffs- 
maß X  zum  totalen  Intervall  /;  mithin: 

Y:x,a,  =  jr:I,  (5) 

also: 

Y=jx^a^;  (6) 

hiemach: 

2a,  =  V  +  jx,a,  .  (7) 

In  imserer  Beispielstabelle  ist  3>  =  138  ,  ^0^0  =  33° »  ^  =  '»4  » 
/=  2 ;  mithin: 

2a,  =  369  ;  2a  =  2a  —  2a,  =  912  —  369  =  543  , 

was  von  den  rohen  Bestimmungen  sehr  abweicht. 

Sollte  statt  A  ii'gend  ein  anderer  Hxiuptwert  H  eintreten,  so 
würden  die  vorigen  Formeln  dieselben  bleiben,  nur  dass  x  statt 
=  ^  —  ^, ,  vielmehr  =  jff  —  ^, ,  zu  nehmen  wäre.  Sei  z.  B.  das  scharf 
bestimmte  C  als  H  genommen.  Nach  §  82  findet  es  sich  für  unsere 
Tabelle,  mit  Abrundung  in  der  letzten  Dezimale,  wenig,  doch  etwas 
abweichend  von  A^  gleich  11,467,  mithin  x=  1,467;  giebt: 

2a,  =  138  -t-  -^-  •  330  =  380  -i-  0,055 
2a*  =  gi 2  '-2a,  =  532  —  0,055  , 


4 


150 


BeBtimmimg  v 


WO  die  kleinen  Zusätze  zu  380  und  532  wegfallpii   müssen,   w 
bloß  von  Abrundung  des  C  in  der  letzten  Dezimale  abhüngen, 

[Wollt*  man  nun,  um  eine  noch  genauere  Bestimmung  der  Eil 
giifissumme  Y  zu  erhalten,  an  Stelle  der  einfachen  Intei-polation  eine 
Bclulrfere,  durch  Zuziehen  zweiter  Differenzen,  treten  lassen, 
dies  nicht  zulässig.  Denn  die  hierbei  als  erste  Diffei-enzen  zu  Gninde 
zu  legenden  Produkte  ax  stellen  die  Summe  der  auf  ein  Intervall 
fallenden  Werte  a  nur  unter  der  Voraussetzung  dai-,  dass  diese  Wei 
sich  gleichmäßig  auf  das  ganze  Inteivall  verteilen.  Es  ist  somit 
durch  diese  Vorstellungs weise  die  Abhängigkeit  der  Eingriffssumnie  Y 
von  dem  Eingriffsmaße  x  bereits  geregelt  und  insbesondere  einer 
Beeinflussung  durch  die  dem  interpolieiien  Intervalle  vorangehend« 
oder  folgenden  Produktwerte  ax,  me  sie  bei  der  Zuziehung  zweil 
()der  noch  höherer  DifferenzL'n  vorausgesetzt  werden  miiaste,  entzogen, 
Will  man  daher  aus  dem  nämlichen  Gesichtspimkte,  dem  die  Sum- 
miening  aller  auf  ein  ganzes  Intervall  fallenden  n  unterliegt,  die 
Eingriffssumme  Y  mit  größtmöglicher  Schäi'fe  bestimmen,  so  musa 
man  die  an  der  Bildung  der  Eingriffssumme  beteiligten  Werte  a , 
deren  Anzahl  die  Eingriffszahl  if  ist  und  im  folgenden  Paragraph 
gleich  x^x:!  gefunden  wird,  in  der  Mitte  des  als  Eingriffsmaß  x 
bezeichneten  Teilinteivalles,  d.  i.  in  5,  +  ^J" ,  vereinigt  denken  imd 
somit' 


ide  ^^^ 
mit 

!  y 

ner 


statt,  wie   oben,   gleich 
man  alsdann  gleich: 


;  I  setzen.     Die  Sunune   der  > 


i 


=«)- 


.[9.  +  ; 


(9) 


wo  ,  der  dem  Summenzeichen  beigefügte  Index  zur  Untci-scheidung 
von  der  Formel  (7)  dienen  mag.  Bei  proportionaler  Bestimmung 
von   Y  wird  demnach  2a,  um  den  Betrag 


zu  groß  in  Rechnung  gezogen ,  so  dass  die  genauere  .ßestimmungs- 
weise   (8)    im    allgemeinen    einen    in    Betracht    kommenden   Vorfeil 


Bestimmuiig  von  2^ay  l'a,y  ^cti,  m,^  m'  et<$.  151 

gewähren  wird.  In  der  That  erhält  man  für  das  -4  =  11,4  unserer 
Beispielstabelle  J'a,=  362,7  gegenüber  ^«,=  369.] 

[Grenügt  aber  die  so  erreichbare  Genauigkeit  nicht,  so  ist  nicht 
nur  y,  sondern  auch  '^  und  §fl  auf  Grund  der  Vorstellung  zu  be^ 
stimmen,  dass  an  Stelle  der  gleichmäßigen  Verteilung  der  a  innerhalb 
der  einzelnen  Intervalle  eine,  durch  Berücksichtigung  der  lienach- 
barten  Intervalle  bedingte,  kontinuierUch  sich  verändernde  tritt.  So 
erreicht  man  den  nächst  höheren  Grad  von  Genauigkeit,  wenn  man 
die  Zuziehung  der  Nachbarintervalle  auf  eines  der  beiden  direkt  an- 
grenzenden Intervalle,  z.  B.  auf  das,  beim  Fortschreiten  von  den 
kleineren  zu  den  größeren  a  unmittelbar  folgende  Intervall  be- 
schränkt. Dann  sind  die  bisherigen  Bestimmungen  durch  folgende 
zu  ersetzen.] 

[Bezeichnet  x^  die  Anzahl  der  Werte,  die  auf  das  dem  Eingriffs- 
intervalle folgende  Intervall  fallen,  und  fügt  man,  um  die  Werte  des 
ersten,  dem  Extreme  E,  zugehörenden,  und  die  Werte  des  letzten, 
das  Extrem  E'  einschheßenden  Intervalles  nicht  in  Rechnung  ziehen 
zu  müssen,  am  Anfange  und  Ende  der  Tafel  ein  leeres  Intervall 
mit  x  =  o  hinzu,  so  bestimmt  sich  die  Summe  der  a  des  ganzen 
Eingriffsintervalles  gleich  a^x^  —  ^/(-^o— ^J,  die  Vorsumme  gleich 
2^ -f- Vi /-^o  7  ^^  Nachsummc  gleich  SZ  —  ~^Ix^,  wo  9>  und  §JZ  wie 
oben  zu  berechnen  sind,  und  die  Gesamtsimime  der  a  ist  somit 
gleich  dem  wie  oben  berechneten  2  a .  Zur  Berechnung  der  Ein- 
griffssumme femer  dient  die  Fonuel: 

aus  welcher  schließlich: 

(«o — *.)  (^—  ^y 


^a,=f,  +  ^n^+^.^+^^^j^'::^)(g,  +  ^) 


12/' 


(") 


folgt.] 


r- 


BMtinuaiinK  «on  ^»i 


-o,,  Ea',  M,,  m'  eU. 


in- 


Bestir 


luiiig  lief  Aljweii'liungszahlen  »i, , 


Nach  roher  Bestimmung  findet  sich  m,  leicht  durch  Zusammen^ 
zählen  der  Werte  %,   welche  zu  den  Werten  a  gehören,   die  kleiner] 
als  H  sind;  und  nehmen  wir  in  unserer  Beispielstalielle  ^  =  11,4  für  ] 
ff,  so  giebt  dies  ^^,=  48  und  fi=ni — /(,  ==  80  —  48^32. 

Gilt  es  die  scharfe  Bestinmiung,  so  setzt  sich  m,  zusammen  aoa  1 
der  Vorzahl  f>,  welche  his  ziim  Anfange  von  /  reicht ,  und  der  Ein- 
gi-iffszahl  //,   welche   von  da  his   H  reicht.     Biese   aher    wird   nach 
Kenntnis  von  r^H  —  g^  dui'ch  Interpolation  nach  Ansatz  der  Pro-  j 
portion  erhalten; 

mitlun : 


"'■="+7'- 

Nehmen  wii-  für  H  den  Wert  j4  =  1 1 ,4  und  hiemach  die  ohiga 
Werte  i>=^i8;  x:=i,4;  ,•.^=30;  1=2,  so  erhalten  wir  /(,=  3 
^':=8o — 39  =  41,  eine  Bestimmung,  die  wiederum  von  der  rohei 
sehr  abweicht,  ja  das  Übergewicht  auf  die  entgegengesetzte  1 
fallen  liisst. 

Soll  in  nicht  durch  Abzug  des  m,  von  m,  sondern  direkt  l 
stimmt  werden,  was  zur  Kontrolle  niit^Iich  sein  kann,  so  hat  i 
scharf  allgemein: 


■was  bei  Setzung  von  H^^A  vermöge  «  =  32  1 


M  =  32  H ^  ■  30  =  41 

Kmnickfiilu't. 

Sei  statt  A  vielmehr  C  als  H  genommen.  Nach  scharfer  Be- 
stimmung im  X.  Kap.  findet  es  sich  für  unsere  Beispiel  Stab  eile 
wenig,  doch  etwas  abweichend  von  A,  gleich  1 1,467,  mitliin  j-  =  1,467 
indes  die  übrigen  Werte  dieselben  als  für  A  bleiben.     Dies  giebt  1 


»"7  ^^m 


Bestimmung  Ton  £ay  £a,y  Sa',  m,,  m'  etc.  153 

1,467 
m,  =  18  +  -^ — -  •  30  =  40  +  0,005 

m'  =  32  +  ^— .  30  =  40  —  0,005  • 

Beide  Werte  sind,  wie  es  dem  Begriffe  des  Zentralwertes  entspricht, 
einander  gleich,  gleich  ^7/1  =  40,  indem  der  kleine  positive  und  ne- 
gative Zusatz  dazu  wieder  nur  von  Abrundung  des  C  in  Dezimalen 
abhängt. 

[Diese  Bestimmung  der  Eingriffszahl  y  durch  einfache  Inter- 
polation hat  als  exakt  zu  gelten,  so  lange  die  Verteilung  der  a  inner- 
halb der  einzelnen  Intervalle  als  gleichförmig  angenommen  werden 
darf.  Ist  dies  jedoch  nicht  der  Fall,  so  kann  durch  scharfe  Inter- 
polation, unter  Benutzung  zweiter  und  höherer  Differenzen  jeder  be- 
liebige Grad  von  Genauigkeit  erreicht  werden.  Denn  das  intervall- 
weise Zusammenfassen  der  Anzahlen  der  a  zu  den  ;?^ -Werten,  die 
der  Interpolation  als  erste  Differenzen  zu  Grunde  zu  legen  sind,  ist 
nicht  wie  das  entsprechende  Zusammenfassen  der  Summen  der  a  zu 
den  xa-Werten  von  einer  bestinmiten  Voraussetzung  über  die  Ver- 
teilimg  der  a  innerhalb  der  zugehörigen  Intervalle  abhängig.  So  er- 
hält man  denn  bei  Zuziehung  zweiter  Differenzen,  d.  h.  bei  Mit- 
berücksichtigung des  auf  das  Eingriffsintervall  unmittelbar  folgenden 
Intervalles,  dessen  x  wie  oben  gleich  x^  gesetzt  werde,  die  Formel: 

.V  =  j-o  +  ^\,p^  (-0—  ^,) .  (16) 

Berücksichtigt  man  aber  überdies  auch  noch  das  immittelbar  voran- 
gehende Intervall,  dessen  x  durch  x_^  ausgedrückt  werde,  so  dient 
zur  Berechnung  von  y  die  Formel: 

X  jr{7— t)/  ,  7—  2X.  A     .     . 

y  =  j^o ^j— (^x—^-,  +  — 7— (2^0- ^x -«-,))   (17) 

in  welcher  dritte  Differenzen  zugezogen  sind.  Dabei  ist  zu  beachten, 
dass  eine  derartige  Verschärfung  in  der  Berechnimg  von  y  die  ent- 
sprechende Verschärfung  in  der  Berechnung  von  F,  9>  und  3Z  be- 
dingt. Insbesondere  hat  die  Benutzimg  der  Formel  (16)  das  In- 
krafttreten der  Formeln  (10)  und  (11)  zur  Folge.] 


g  74.     Bestimmung  der  beiderseitigen  Äbweichungssuninieij 
^0',  S6,  bez.  eines  gegebenen  Hauptwertes  H. 

Db-ekt  erhalten  wir  die  positive  Abweichungssumme  S&  bez.J 
eines  bebebigen  Ausgangs  wertes  3,  wenn  wir  die  einzeln  bestimnitenTl 
Differenzen  Q'^a'  —  H  summieren;  die  folgends  immer  nach  ab-'j 
solutem  Werte  zu  nehmende  negative  Äbweichungssumme  2&.,  wenn  I 
wii-  die  einzeln  bestimmten  Differenzen  0,  =  77 — a,  sununieren;  abarj 
die  Einzelbestimmung  der  vielen  Differenzen  ist  mübsam  luid  untei^  1 
liegt  leiebt  einzelnen  Recb en verseben ;  beidem  begegnet  man  durch  j 
Bestimmung  nach  folgender  Formel: 

I&=^a'  —mll  I 

In  der  Tbat,  tbe  Summe  der  positiven  ö,  d.  i.  2'  t*',  wird  dadm'ch 
gewonnen,  dass  der  Wert  if  von  jedem  der  in  Werte  «',  d.  i.  dera, 
welche  größer  als  H  sind,  also  im  ganzen  7«'-mal  H  von  Sa'  ab- 
gezogen vrii-d');  was  die  ei-ste  obiger  Gleichungen  giebt.  Andererseits 
wird  die  Summe  der  negativen  0  nach  absolutem  Werte  erbalten, 
wenn  die  Summe  der  m,  Werte  a.,  d.  i.  der  Werte  a,  welche  kleiner 
als  H  sind,  von  Hi,-mftl  H  abgezogen  wird,  was  die  zweite  der  obigen 
Gleichungen  giebt. 

Diese  Formeln  gelten  sowohl  für  rolie  als  scharte  Bestimmung, 
nur  mit  dem  Unterschiede,  dass  für  rohe  Bestimmung  m,  und  m, 
— «,  und  -ö'  roll,  für  scharfe  Bestimmung  scharf  bestimmt  werden. 
Nehmen  wir  nun  wieder  A  als  Hauptwert  für  imsere  Beispielstabelle, 
in  welchem  Falle  sich  /(  für  m,  J  für  0  substitiuert,  so  können  wir 
uns  für  robe  wie  scharfe  Bestimmung  der  schon  vorhin  bestimmten 
Werte  bedienen,  wonach  roh  ,»,=  48;  fi'  ^  32;  i'«,  =  468;  Sn  =  444; 
giebt: 

roh  \ 


{SJ,- 


^J-  -- 


=  4«-  11.4 - 
^444  —  32 


-468^ 
11.4  = 


79.2 


r   (laud   ReBcheheii    könnte,   1 


Bestimmung  von  Xa,  la,,  £a',  m,,  m'  etc.  155 

Beide  Summen  sind  gleich  wie  es  dem  Begiiffe  des  arithmetischen 

Mittels   entspricht.     Nach   schai-fer  Bestimmung  hat  man  ^<,  ==39; 
u  =  41 ;  -«,  =  369;  2a'  =  543;  hiernach: 


scharf  P^r^^-"'-^-^'^  =  75^' 
l-^  =543  —  41  •  11,4  =  75,6 


Also  wieder  Gleichheit  beider  Summen,  nur  dass  die  scharf  bestimm- 
ten Summen  kleiner  als  die  roh  bestimmten  sind.  [Legt  man  jedoch 
an  Stelle  der  proportionalen  Berechnung  von  Y  die  oben  angegebene 
genauere  zu  Gmnde,  setzt  man  also  ^'«,  =  362,7;  J'a'=:  549,3,  so 
erhält  man,  wenn  auch  hier  zur  Unterscheidung  von  den  obigen  Ab- 
weichungssummen dem  Summenzeichen  ein  Index  beigefügt  wird: 


scharf  P^'^^9-  11,4  —  362,7  =  81,9 
l  -'^'  =  549,3  —  41  •  1 1,4  =  81,9, 


mithin  zwei  einander  gleiche  Summen,   die  größer  als  die  roh  be- 
stimmten sind.] 

Dies  Resultat  ist  bez.  A  als  H  genommen  überhaupt  allgemein, 
und  zwar  ist: 

1 )  für  den  Fall,  dass  A^a^,  mithin  a:  >  - : 


scharf 


2J,  =  roh  2J,  —  ^  (7  -  :r)  Ix  —  ()  =  roh  2J,  —  k 


[scharf  2'J,  =  roh  2J,  +  -°  (7  —  jf  =  roh  2J,  +  x] 

2)  für  den  Fall,  dass  -i<[ao,  mitliin  x<^  -: 

2 


(«9) 


scharf 


SJ,  =  roh  IJ,  —  Jxl-  —  x\  =  roh IJ,  —  l 


[scharf  r^,  =  roh  2J,  +  -\  x"  =  roh  2J,+  l] 

2 1 


f 


(20) 


Den   etwas  umständlichen   und  penibeln  Beweis^)  hiervon    übergehe 
ich,  man  kann  aber  die  Richtigkeit  der  Formel  an  beliebigen  selbst 


i^  [Er  folgt,  zugleich  mit  der  Erweiteruug  für  jeden  beliebigen  Hauptwert  JH", 
bezüglich  dessen  die  unteren  und  oberen  Abweichungssummcu  ^ß,  resp.  Iß' 
bestehen,  durch  direkte  Rechnung  aus  den  Formeln: 


156 


ron  r»,  Sa,,  Sm',  *>,, 


gpiiiachten  Beispielün,  z.  B.  an  unserer  BeispielstabeUe  bestätigen. 
Hier  ist  4  1=11,4;  Oo=ii,  mitliin  A'^a^,  zugleich  ist  1  =  2, 
r=  1,4,  mithin  a*  >  II.  Also  Hegt  der  erete  Fall  vor.  Nun  hatten 
wir  roh  SJ,=  7<),2.  Der  hiervon  abzuziehende  Wert  k,  um  zu  ^J, 
scharf  zu  gelangen,  aber  berechnet  sich  nach  obigem  Ausdi*uck  mit 
Rticksicht,  dass  s^  ^  30,  zu  ^  ■  30  ■  0,6  ■  0,4  =  3,t)  und  dies  von  715,2 
abgezogen,  giebt  75,6  wie  oben  nach  der  Formel  gefunden.  [Der 
Wert  X  ferner,  der  ziS'/i,  scliarf  fUhrt,  findet  sich  nach  obiger  Be- 
stimmung gleich  J  ■  30  •  0,6°  =  2,7  und  dies  zu  79,2  addiert  giebt  81, Q, 
wie  es  sein  soll.] 

Nur  in  dem  Spezialfälle  verscliwindet  der  Unterschied  zwischen 
2iJ,  roh  und  S^,  scharf,  wo  Ä  mit  einer  der  beiden  Grenzen  des  / 
oder  mit  dessen  Mitte  zusammenfällt,  wo  r  =  o  oder  ^ /oder  =  |7; 
wogegen  nacli  einer  Maximumgleichung  der  Unterschied  der  größt- 
möghche  wird,  wenn  erstenfalls  j-  ^  1 7,  zweitenfalls  =^1,  indem  er 
beidesfalls  den  Wert  ^'^  ■  x^  I  erliält.  [Es  verschwindet  feiner  der 
Unterschied  zwischen  SJ,  roh  und  2'^,  scharf,  falls  Ä  mit  einer 
der  beiden  trrenzen  des  /  zusammenfällt,  wogegen  ilieser  unterschied 
seinen  Mivximalwert  -gX^I  erhalt,  wenn  A  in  die  Mitte  von  /  fällt] 
Also  schwebt  der  ganze  Unterschied  k  oder  /  zwischen  o  und  -^z^I 
[der  Unterscliied  *  oder  l  zwischen  o  und  Ix^I]',  überhaupt  aber 
8t«ht  der  Unterechied  bei  gleichem  /  und  t  in  einfachem  Verhält- 
nisse zu  Xa. 

Man  sieht  nun,  dass  sieh  das  scharfe  2^,  [resp.  2'J,]  auch  da- 
durch bestimmen  lässl,  dass  man  erst  das  einfacher  zu  findende  rohe 
bestimmt,  hiernach  k  oder  /  davon  abzieht  [resp.  x  oder  X  dazu  ad- 
diert], je  naclidom  .d  >  «„  oder  A<Ca„. 

Wenn   S  nicht  gleich  A ,   so  hat   man   statt  titeicldieit   beider 


roh  i'»,  — (o  +  Eoj  jy— (9'+a<,io;,  wenn  2f>oi 
-«•«-■5'.  irenn  H<aoi 


dciiou  nnitluKC  b'uruirlu  für  die  obErru  AbireichuDguummen  lur 


Bestiiiimung  von  2'a,  2'a,,  Sa',  m,,  m'  etc. 


157 


Summen  vielmehr  Ungleichheit  zu  erwarten.     Nehmen  wir  z.  B.  C 
Die  Formen  für  Bestimmung  desselben  sind  hier: 


2 

2 


(21) 


Nach  Kap.  X.  wird  sich  C  für  unsere  Beispielstabelle  nach  scharfer 
Bestimmung  =11,467  ergeben,  indes  Jw  =  40  ist.  Und  bestimmen 
wir  nun  auch  2a,  und  ^a'  nach  angegebener  Regel  scharf,  so  er- 
halten wir:  „^  ^  « 

2G,  =  40  •  1 1,467  —  380       =  78,7 

^©'  =532—40.  11,467       =73,3 
[resp.  r®,  =  40.  11,467  —  374,13  =  84,5 
-'0'  =  537,87  —  40  •  1 1,467  =  79,2 .] 

§  75.  Machen  wir  jetzt  die  Anwendung  von  vorigen  Bestimmungs- 
weisen  an  einem  unserer  K.-G.  und  untersuchen  wir,  in  wie  fem  die 
scharfe  Bestimmimg  Vorteile  vor  der  rohen  in  betreff  der  Überein- 
stimmung der  Elemente  bei  Ableitung  aus  verschiedenen  Beduktions- 
lagen  gewährt,  so  zeigt  sich,  dass  sie  in  betreff  der  Bestimmung  von 
^,  (woraus  fi'  =  m  —  fi,  folgt)  höchst  bedeutend,  in  betreff  von  I^J, 
(womit  2J'  gleich  ist)  aber  fehlt  oder  zweifelhaft  bleibt,  [in  betreff 
von  -'^,  dagegen  beachtenswert  hervortritt]. 

Ich  habe  den  ziemlich  mühsamen  Vergleich  an  den  5  Reduktions- 
lagen der  Verteilungstafel  des  Schädelvertikalumfanges  vorgenommen, 
welche  in  §  64  ausgeführt  sind,  und  deren  scharf  bestimmte  Elemente 
ebendort  verzeichnet  sind. 

Vergleich  zw^ischen  den  roh  und  scharf  bestimmten 

Werten  von  ft,  und  2J,, 


E, 

366 

367 

368 

369 

370 

1     Mittel 

1  diff. 

A 

408,6 

'  408,7 

408,2 

408,5 

408,6 ' 

'      408,5 

0,7 

fjt,  roh 

fi,  scharf        1 

• 

217 

2X8 

230 

220 

2509 
4292 

2513 

250 

220 

193 

219 

201 
217 

1       218,2 
!       218,8 

87,2 

5,2 

S^,  roh 
-^,  scharf 
I'A  scharf 

2531 
2528 

2531 

2471 
2465 

2505 

2492 

2479 
2518 

2531 
2509 

2540 

2506,8 
2494,6 

2521,4 

101,2 
95,6 
56,4 

Die  Spaltt  ^dift.  giebt  die  Summe  der  Abweichungen  der  5  eil 
zelnen  Bestimmungen  von  der  mittleren  Bestimmung,  und  liiermit  eine 
Art  Maßstab  für  die  Variation  je  nach  der  Lage.    Der  Nachteil  roh 
gegen  scharf  für  fi,   ist  hiernach  in  der  That  ungeheuer,    für 
zu  geling,  um  nicht  zweifelhaft  zu  bleiben  [füi-  2'J,  dagegen  lüi 
reichend  groß,  um  das  Befolgen  der  genaueren  Bestimmungsweise 
teilhaft  erscheinen  zu   lassen],     übrigens  kann  man  bemerken , 
die  Lage  E,^no   vielleicht   besser  vom   Vergleiche   ausgeschlossen 
bliebe,  weil  die  Vei^teilungstafel  dieser  Lage  nach  §  67  eine  anormale 
Unregelmäßigkeit  im  Kerne  zeigt,   die  sie  niclit  wolJ  anwendbar  zur 
Berechnung  der  Elemente  macht. 

Die  primäre  Tafel  ist  zum  Vergleiche  nicht  zugezogen,  weil  sie 
bei  der  großen  Um'egelmäßigkeit  und  Ungleicliförmigkeit  der  Schätzung 
überhaupt  keine  sichei-e  Bestimmung  zulUsst.  Indes  könnte  mau 
fragen,  ob  nicht  doch  das  A  derselben  =  408,5  zur  Ableitung  aller 
^f,  und  2J,  in  den  5  Lagen  vorzuziehen,  da  die  Reduktion  keinen 
Vorteil,  sondern  vielmehr  eine  etwas  größere  Unsicherheit  in  die  Be- 
stimmung des  Ä  bringt.  Indes  halte  ich  dies  aus  folgenden  Gründen 
nicht  für  sachgemäß. 

Für  die  Ableitung  der  anderen  Hauptwerte  als  Ä  ist  jedenfalls 
der  Nachteil  der  Unregebuäßigkeit  und  Scliätzungsgleiclibeit  der  pri- 
mären Tafel  überwiegend,  und  musa  man  sieh  doeli  an  eine  reduzierte 
Tafel  halten,  und  dann  meines  Erachtens  konsequentei-Vi'eise  auch  A 
aus  derselben  Reduktionsstufe  und  Lage  ableiten,  welche  zur  Re- 
duktion angenommen  ist,  um  die  Verhältnisse  der  verschiedenen 
Hauptwerte  niclit  dm-cli  die  Likonsequenz  in  dieser  Hinsicht  zu  al- 
terieren.  ühneliin  liegt  gewöhnlicli  nur  eine  reduzierte  Tafel  zur 
Ableitung  des  A  wie  der  anderen  Elemente  vor.  Da  übrigens  das 
Ä  der  reduzierten  Tafeln  nach  dem  Ergebnisse  der  Zusammen- 
stellungen §  64 — 66  von  dem  primären  A  im  allgemeinen  wenig 
abweicht,  lässt  sich  auch  kein  bedeutender  Unterschied  von  dem  Be- 
folgen des  einen  und  anderen  Verfahrens  ervsai'ten.  Ich  habe  in 
dieser  Hinsicht  wenigstens  11,  vergleichsweise  an  derselben  Tabelle 
untersucht,  welche  die  vorigen  Resultate  bei  Anwendung  der  5  spe- 
ziellen .1  für  Ableitung  des  u,  gegeben  hat.  indem  ich  dasselbe  überall 


Bestimmung  von  A*a,  l'a,j  £a'f  m, ,  m'  etc. 


159 


vom  primären  -4  =  408,5  ableitete,  und  erhielt  dabei  folgende  Re- 
sultate, wonach  sich  fi,  roh  gegen  vorliin  nirgends  verändert  hat, 
hiergegen  fi,  scharf  so  geändert  hat,  dass  die  Übereinstimmung  zwischen 
den  verschiedenen  Lagen  dadurch  etwas  gemindert  ist,  sofern  ^diff. 
vorhin  nur  5,2  war,  folgends  11,6  ist,  was  unstreitig  nur  zum  Nach- 
teil der  durchgeführten  Anwendung  des  primären  A  gegenüber  der 
speziellen  Anwendung  der  reduzierten  A  gedeutet  werden  kann. 


F, 

366 

367 

368 

369 

370 

Mittel 

2'diff. 

fÄ,  roh 
/Ä,  scharf 

217 
217 

230 
217 

250 
224 

193 
219 

201 
216 

218,2 
218,6 

87,2 
11,6 

Die  mittlere  Abweichung  anlangend,  so  hat  man  durch  Ver- 
doppelung von  2J,  zunächst  2J  und  hiemach: 


Vi  = und    17^  =  17 1^  • 


[22] 


üntriftig  wäre  es,  wie  Elliott  in  seiner  Abhandlung  über 
amerikanische  Rekrutenmaße  gethan,  1;  als  Mittel  von  r],  =  2J,:  n, 
und  ij*  =  3^' :  ix'  d,  i.  =  {[ri,  -f-  rf]  bestimmen  zu  wollen;  denn  nicht 
nur  läuft  das  wider  den  Sinn  der  ursprünglichen  GAuss'schen  Regel, 
sondern  man  vernachlässigt  auch  dabei  die  verschiedenen  Gewichte, 
welche  dem  1^,  oder  rf  je  nach  ihrer  Ableitung  aus  /i,  und  fi'  Werten 
zukommen;  wonach  das  richtige  Mittel: 


'  7)1  m  m 


(^3) 


ist. 


X.  Zusammenstellung  und  Zusammenhang  der 

Haupteigenschaften  der  drei  Hauptwerte  ,l,  C,  D, 

ferner  R,  T,  F. 


I 


§  76.  Außer  tieii  iiu  giiuzen  von  mii'  bevoi"zugten  drei  Haupte 
werten,  dem  arithmetischen  Mittel  Ä,  dem  Zentral  wert  C  und  dem 
dichtesten  Wert  D  werden  folgends  noch  drei  nebenaächlich  von  mir 
berücksichtigt  werden,  die  ich  als  Scheidewert  R,  schwersten  WertrJ 
T  und  Äbweichungsschwerwei-t  F  auffülu'e. 

Übersichtlich  nach  ihren  Hauptunterschieden  zusammengestellt 
sind  es  folgende. 

8cheidowert  li,  der  Wert  a,  bezüglich  dessen  Sa'=Sa,^^2n 
mitliin  die  Summe  der  größeren  Werte  gleich  der  Summe  der  klei 
neren  und  mitbin  jeder  von  beiden  gleich  der  halben  Giesamtsumn 
der  a  ist. 

Arithmetisches  Mittel  A,  der  Wert  a,  bezüghch  desse 
SQ'=2&,,  d.  h,  die  Summe  der  positiven  Abweichungen  gleicdb 
der  Summe  der  negativen  ist;  und  bez.  dessen  ^©'  ein  Minimum  ist; 

Zentralwert  C,  der  Wert  «,  bezüghch  dessen  m  ^  m, ,  d.  h.^ 
die  Zahl  der  positiven  Abweichungen  gleich  der  Zahl  der  negativai 
Abweichungen,  und  ^0  ein  Minimum  ist. 

Dichtester  Wert  J5,   der  Wert  a,  bezüglich   dessen  sich  ( 
Abweichungszahlen   beider  Seiten  in,:tit'  wie  tUe    mittleren  Fehl« 
derselben  e, :  c'  verhalten,  und  die  MaBzahl  x  ein  Maximum  ist. 

Schwerster  o-Wcrt  T,   der  Wert  a,  dessen  Maßprodukt  xa  * 
ein  Maximum  ist. 

Abweichungsschwerwert  F,  der  Wert  a,  bezüglich  dessen 
xQ  ein  Maximum  ist. 


Haupteigenschaften  der  Hauptwerte.  \Q\ 

Ich  werde  jedoch  diese  Werte  nicht  in  der  vorigen  Reihenfolge, 
sondern  nach  der  Folge  A,  C,  D,  R,  T,  i^  behandeln. 

Abgesehen  von  A  sind  die  vorigen  Werte  wie  die  Werte  des 
vorigen  Kapitels  einer  rohen  und  scharfen  Bestinimung  fähig,  indes 
bei  A  sich  eine  solche  nicht  unterscheiden  lässt  Dieselbe  kleine 
Verteilungstabelle  wird  liier  wie  dort  zur  Erläuterung  der  Ableitung 
dienen,  und  die  dabei  gebrauchten  Bezeichnungen  werden  in  dem, 
§  9  und  lo  angegebenen  Sinne  zu  verstehen  sein.  Bez.  A  gehen  auch 
hier  7n,,  rri,  in  fi,,  fi\  und  0,,  0'  in  ^,,  ^'  über. 

§  77.     Arithmetischer  Mittelwert  A, 

Der  arithmetische  Mittelwert  einer  Reihe  von  Werten  a  vereinigt 
folgende  drei  Eigenschaften  in  sich: 

i)  Die  Eigenschaft  selbst,  wonach  er  definirt  wird,  dass  er  der 
Quotient  der  Summe  der  n  durch  die  Zahl  derselben  w  ist,  also: 

oder,  insofern  ^a  durch  Sunmiierung  der  xazn  gewinnen,  =  JSa;i :  7n] 

2)  dass  die  Summe  der  positiven  Abweichungen  J'  von  ihm 
gleich  der  Simime  der  negativen  J,  nach  absolutem  Werte  ist,  also: 

:SJ'=2J,  oder  ^J'—2J,=  o;  (2) 

3)  dass  die  Summe  der  Quadrate  der  Abweichungen  von  ihm 
kleiner  als  von  jedem  anderen  Werte  ist,  kurz: 

IJ'=  J^"+  2J;=  Minimum.  (3) 

Die  vorigen  Eigenschaften  des  A  hängen  so  solidarisch  zusammen, 
dass  mit  der  einen  zugleich  die  anderen  gegeben  sind,  und  er  nach 
jeder  derselben  mit  identischem  Resultate  abgeleitet  werden  kann, 
nur  dass  die  Ableitung  nach  der  ersten  Eigenschaft  die  praktischste 
bleibt.  Auch  sind  sie  unabhängig  von  einem  bestimmten  Verteilungs- 
gesetze der  a  und  gelten  über  die  Kollekti\Tnaßlehre  liinaus  nicht 
bloß  für  eine  als  unendlich  angenommene  ideale,  sondern  auch  jede 
endliche  Reihe  von  n  in  willkürlicher  Verteilung. 

Fkchitbs,  KoIlekÜTmaßlelire.  1 1 


162  Haupteigenschaftcn  der  Hauptwerte. 

Der  Zusammenhang  des  zweiten  und  dritten  Satzes  mit  dem 
durch  die  Definition  gegebenen  ersten  findet  sich  so. 

Zweiter  Satz.  Jede  positive  Abweichung  von  A  ist  a  —  A, 
jede  negative  nach  absolutem  Werte  A  —  a,^  liiemach  entwickelt: 

:^J'=(a'-A)  +  {a'-A)  +  ..-  | 
:^J,^(A-a,)  +  {A-a„)+-.^  \  ^"^^ 

mithin,  wenn  /i'  die  Zahl  der  positiven,  ft,  die  der  negativen  AIh 
weichungen  ist, 

2J,  =^i,A-'2a, 

2J'  -  :SJ,=  2^a'+  2a,-  ifi'+  u,)A  (5) 

oder,  weil  2a'-{-  2a,=  2a  und  /('+/i,=  7w, 

2J'—2J,=  2a  —  mA,  (6) 

und  weil  A  =  2n:  7n 

2J'  —  2J,=  2a  —  2a  =  o.  (7) 

Dritter  Satz.  Sei  der  Wert,  bez.  dessen  2J^  ein  Minimum 
ist,  zunächst  als  unbekannt  =x  gesetzt,  so  haben  wir: 

2J^=  (</'-  2f+[ä'-  .r;:«+  . . .  +  {a,-xY+  [an-xY+  ...   (8) 

Zwar  sollte,  sofern  wir  die  negativen  Abweichungen  nach  absolutem 
Werte  als  positiv  nehmen,  jede  negative  Abweichung  statt  a, —  xu.s.w. 
vielmehr  x  —  a,  u.  s.w.  gesetzt  werden;  aber  [a,  —  or)^  ist  gleich  [x  —  a,Y^ 
was  gestattet,  den  vorigen  Weii;  von  2J^  in  angegebener  Weise  zu 
entwickeln.  Nun  erlialten  wir  den  IVlinimumwert  von  2J'^  durcli 
Setzen  des  Differentials  seines  Ausdruckes  bez.  x  gleich  Null;  dies 
giebt : 

2 [(„'_  .r)  +  (rr—  X)  -\ ^(a,-x)  +  [a„—  x)  +  •  •  .]rf.r  =  o     (g) 


mithin  duroli  Summierung  aller  a  und  — x 

2a  —  ffix  =  o  , 

./'  ==  —  =  A  . 
m 


(lO 


Kauptei^enBcbaften  der  Hauptnrrle. 


163 


S  78.  Wenn  scbon  der  arithmetiscUe  Mittelwert  für  die  Kol- 
lektiraiaßlelire  nicht  ein  gleich  übei-wiegendes  Interesse  in  Anspruch 
nehmen  kann  als  für  die  physUtalische  und  astronomische  Maßleine, 
so  gewährt  ihm  doch  die  Verbindung  seiner  drei  Haupteigenschaften 
auch  für  jene  ein  an  sieh  matliemfitiscbes  Interesse,  was  um  so  mehr 
dadui-cli  wächst,  dass  dunrli  ihn  eine  Beziehung  zwischen  beiden 
Lehren  hergestellt  wird.  Gegen  D  steht  er  noch  insbesondere  durch 
die  größere  Leichtigkeit  und  Einfachheit  seiner  genauen  Bestimmung 
im  Voi-t^il;  von  C  wird  er  darin  zwar  noch  ilberti'offen ,  aber  dass 
in  die  Gleichheitsbestimmung  seiner  zweiten  Eigenschaft  luit  der  Zahl 
zugleich  die  Größe  der  Abweichungen  eingeht,  giebt  ihm  ein  gewich- 
tigeres Interesse  als  dem  C.  Auch  lässt  sich  Folgendes  bemerken. 
Wenn  man  eine  heüebige  Reihe  von  a  nach  der  zuKiUigen  Ordnung, 
wie  sie  in  der  Urliste  enthalten  sind,  in  eine  gegebene  Zahl  Fraktio- 
nen aus  gleicliviel  a  geteilt  hat  und  aus  jeder  derselben  das  A  be- 
sondei-s  bestimmt,  so  stimmt  das  arithmetische  Mittel  dieser  A  mit 
dem  allgemeinen  Mittel  der  ganzen  Reihe  von  a  liberein.  Ver- 
fährt man  aber  entsprechend  mit  der  Bestimmung  von  C,  so  stimmt 
weder  der  Centralwert,  noch  Mittelwert  der  verschiedenen  spezialen 
C  allgemein  gesprochen  mit  dem  aus  der  Totalität  der  a  gewonne- 
nen C  überejn.  Verfahrt  man  entsprechend  mit  dem  ö,  ho  stimmt 
zwar  das  jD,  aber  nicht  der  Mittelwert  der  spezialen  I)  mit  dem  D 
der  Totalität  der  a  überein. 

Endlich  knüpft  sieh  an  die  Bestimmung  von  A  folgender  prak- 
tische Vorteil.  Hat  man  das  A  eines  K.-G.  aus  einer  Verteilungs- 
tafel mit  nicht  zu  kleinem  in  bestimmt,  so  wird  man  nicht  nur  die 
Gesamtgröße  »Gr.«  des  Gegenstandes  für  diese  Tafel  durch  Multi- 
plikation des  A  mit  dem  m,  sondern  auch  nach  Walu^cheinliehkeit 
die  Gesamtgröße  des  Gegenstandes  für  jedes  größere  oder  kleinere 
m  durch  Multiplikation  jenes  erst  bestimmten  A  mit  dem  neuen  m 
erhalten,  nui-  mit  einem  um  so  größeren  wahrscheinlichen  Fehler 
dabei,  je  kleiner  das  m  ist,  und  je  weiter  das  m,  auf  das  mau 
I  schließt,  von  demselben  abweicht.  Umgekehrt  wird  man  auf  die 
Zahl  von  Exemplaren  »»  ,  welche  dazu  gehört,  eine  gegebene 
GesamtgrÖBe  Gr.  zu  geben,  nach  Wahi-scheinlichkeit  scliließen  können, 


1€4  Haiipte^eiucIufteD  der  Hauptwerte. 

indeni    man    setzt    h»  5=  Gr. :  .4  ;    da    ja    i  n  =  in  A  =  Gr. , 
in  =  GT.\A. 

Diese  Sätze  küiinen  /..  B.  von  Nutzen  si-in,  wenn  man  den  ^täoi 
bestimmen   will,    der  eine   gegebene  Änzalil   Menschen    von    zufällig 
wechselnder  Größe  iasst.    Weder  der  Centralwert,  noch  der  dichteste 
Wert  lassen  eine  entsprechende  Verwendung  zu. 

§  7g.  Es  kami  sein,  dass  man  aus  den  Ä  verschiedener  K.-G. 
oder  auch  den  besonders  bestimmten  A  verschiedener  Abteilungen 
desselben  K,-G.  ein  gemeinsames  Mittel  ziehen  will,  und  hat,  wenn 
diese  A  aus  verschiedenen  m  erhalten  sind,  zu  unterscheiden,  ob  das 
definitive  Mittel  ohne  oder  mit  Rücksicht  auf  die  Versctijedenheit  der 
m  gezogen  werden  soll.  Seien  J,,  -■!, ,  Ä^...  besondere  Mittel,  re- 
spektiv  aus  m, ,  m, ,  nij . . .  Maßen  gezogen.  Ohne  Rücksicht  aul  die 
Vei-sthiodenlu'it  der  vi  wird  das  Mittel  der  hctreffenden  A  wein: 

^i_+  4-  +  -^3  +  --- 

wo  N  die  Anzahl  der  ,1;  mit  Rücksicht  auf  die  Verschiedenlieit  dof 
tii  aber  wird  es  sein: 

M,  A,+  m,A,+  m^A^-\ 

Wi  + W.+ wijH 

und   mit    dem   Mittel   übereinkonmien ,    welches    man    erhält, 
man  die   Gesamt«umme    aller  a  mit   der  Gesamtsumme  aller  m  1 
ridiert 

Ersteres  Mittel  heiße  das  singulare,  letzteres  das  summa- 
rische. Je  nach  der  Natm-  der  Aufgabe  kann  die  eine  oder  andere 
Art  der  Mittelziehung  vorzuziehen  sein.  Gesetzt  das  Mittel  aus  der 
Kör|)erlänge  der  Chinesen,  Neger,  T^Ialaien,  Amerikaner  und  Euro- 
j)äer  kaukasischer  Basse  soll  bestimmt  werden;  aber  von  den  Euro- 
päern liegen  dazu  1000  Maße,  von  jeder  der  anderen  Rassen  nur 
10 — 20  Maße  vor;  so  wüi-de  die  zweite,  die  summarische  All  der 
Mittelziehung  unzulässig  sein;  denn,  wie  leicht  zu  erachten, 
die  mittlere  Körperlätige  dieser  verschiedenen  Rassen  wegen  des  1 
verhältnismäßig  überwiegenden  Gewichtes,  was  die  Europäer  dui 
ihr  großes  m  erhalten,    fast   ganz   mit   dem   der  Europäer  iiberei 


Haupteigenschaften  der  Hauptwerte.  165 

kommen,  und  überhaupt  das  definitive  Mittel  vorwiegend  durch  das 
Spezialmittel  mit  dem  größten  m  bestimmt  werden,  was  der  Natur 
der  Aufgabe  widerspricht.  Hier  ist  nur  die  erste,  die  singulare  Art 
der  ]VIittel2iehung  brauchbar;  und  dass  nicht  alle  m  dieselbe  Größe 
haben,  vermindert  bloß  die  Sicherheit  der  Bestimmung  gegen  den 
Fall,  dass  die  Gesamtheit  der  m  sich  gleich  zwischen  alle  A  ver- 
teilt. Überhaupt  werden  disparate  Gegenstände  (vgl.  §  14)  mehr 
Anlass  zur  ersten  als  zweiten  Mittelbestimmung  geben;  wogegen  die 
Spezial-il  aus  verschiedenen  Abteilungen  eines  einstinmiigen  Gegen- 
standes nach  dem  Prinzip  der  zweiten  Mittelbestimmung  zu  kombi- 
nieren sind. 

Es  kann  auch  sein,  dass  man,  statt  aus  verschiedenen  A  ein 
arithmetisches  Mittel  aus  verschiedenen  C  oder  D  zu  ziehen  hat,  und 
es  gilt  dann  dafür  die  entsprechende  Unterscheidung  zwischen  sin- 
gulärem  und  summarischem  Mittel,  und  gelten  dieselben  Gesichts- 
punkte der  Bevorzugung  des  einen  oder  anderen. 

§  80.     Zentralwert  C. 

Den  drei  Haupteigenschaften  des  aritlimetischen  Mittels  A  gegen- 
über vereinigt  der  Zentralwert  C  folgende  drei  Haupteigenschaften: 

1.  Die  durch  seine  Definition  gegebene  Eigenschaft,  ebensoviel 
größere  a'  über  sich  als  kleiner  a,  unter  sich  zu  haben. 

2.  Die  Eigenschaft,  gleich  viel  positive  und  negative  Abweichun- 
gen von  sich  abhängig  zu  haben,  so  dass  m'=^m,=  ^m. 

3.  Die  Eigenschaft,  dass  die  Summe  der  positiven  und  negativen 
Abweichungen  von  ihm  nach  absolutem  Werte  kleiner  als  von  jedem 
anderen  Werte,  mithin  bez.  desselben  .30  ein  Minimum  ist. 

Auch  diese  Eigenschaften  sind  unter  einander  solidarisch  und 
gelten  für  jede  beliebige  Reihe  von  a,  rücksichtslos  auf  ein  beson- 
deres Verteilungsgesetz,  entsprechend  wie  es  von  den  drei  Haupt- 
eigenschaften des  A  gilt. 

Die  Folgerung  der  zweiten  Eigenschaft  aus  der  ersten  ist  selbst- 
verständlich und  bedai'f  keiner  Erläuterung.  Der  Zusammeiüiang  der 
dritten  damit  aber  folgert  sich  so. 


Sc-i  (li>r  Wert,  vun  ilem  die  dritte  Eigenscliaft  gilt,  zuniiclist  als 
iiiiiK'kaimt  5=  X  gesetzt,  so  ist  die  Summe  iler  Aliweidiungon  liezüg- 
licli  j"  iWL'li  absolutem  Werte  so  Hnzusetzen: 


v©  =  {a'~T)  +  {a~  T]+...  +  lj--f,,]  +  {x  —  a 
Um  lins  Minimum  dieser  Summe  zu  erhalten,  haben  w 
ri'ntial  ilci-fielben  bez.  r  gleich  o  zu  setzen;  das  giebt: 

inilhin: 


+  ■■■    (>3) 
das  DifTe- 


(14) 
(IS) 


was  dem  Begiiffe  des  Zentralwei'tes  entspricht. 

Ich  habe  diese  Eigenschaft  des  Zentralwertes  zuei-st  in  einer 
Abhiindlung ')  über  denselben  bewiesen  und  dmxb  Vei-aUgemeinemng 
des  AVeges,  welcher  dazu  führt,  allgemeinere  Folgerungen  gezogen, 
auf  die  ich  jedoch  liier  keinen  Anlass  habe  einzugeben. 

§8i.  Man  kann  dem  Zentralivert  folgende  Bedeutung  für  die 
Kollektii-maBlehre  beilegen. 

Dächte  man  sich  alle  Exemplare  eines  K.-Gr.  in  eine  grolle  L'rae 
gethan,  wofür  man  die  Welt  selbst  ansehen  kann,  und  nach  Zufall 
ein  Exemplar  herausgezogen,  so  wüi'de  die  Wahrscheinlichkeit  gleich 
stehen,  ein  größeres  und  ein  kleineres  Exemplar  als  C  herauszuziehen, 
und  bei  sehr  vielen  Zügen  würde  wirklich  diese  gleiche  Wabrschein- 
Ui-likeit  aich  bewähn-n,  wogegen  bezüglich  gi-öBerer  Werte  als  C  die 
Wahrscheinlichkeit  des  Herauszieliens  eines  kleineren  Gegenstandes, 
be/üglich  kleinei-er  Werte  als  C  die  Walu^cbeinliebkeit  des  Hcraus- 
Kieheus  eines  grüßeien  Exemplares  überft-iegt.  Hiemach  kann  man 
C  in  demselben  Sinne  den  wahrscheinlichen  Wert  eines  K,-G. 
nennen,  -wie  man  den  wahrscheinlichen  Fehler  eines  Beobachtungs- 
mittels so  nennt,  insofern  die  WEdu-scheinlichkeit  seiner  ITberschrei- 
tung  und  Untersclireitung  gleich  steht. 

Bei  der  gemeinühlichen  Weise,  die  Verteilungstaiebi  Ton  K.-G., 
namentlich  Rekrutenmaßtafeln,   so  aufzustellen,  dass  von  den  Exem- 


i)  [Ober  dea  AuBgangsirert  der  kleiuitcii  Abweiehnnguununc.  deswn  Be«tint- 
muDg,  Vmrmduag  und  Verall^cemciiiening:  Abhandlungen  der  math.-pbrs.  Kluse 
der  Kgl.  S&chs.  GesFllsch.  d.  ^Visaeusch.  XL  Band;  1878-  S.  1— 76-j 


Hauptcigcnscb&fteu  der  Uaiiptwcrte. 

pliuen,  ilic  unter  und  über  eine  gewisse  GrÖBengi-enze  gühen,  nur 
ilie  Zahl,  nicht  die  Größensunune  angegeben  wird,  fällt  die  Möglich- 
keit weg,  ein  genaues  arithmetisches  Mittel  zu  ziehen;  und  dann  kann 
anstatt  desselben  der  Zentiiilwert,  welcher  sich  eben  nacli  ilcr  Idoßen 
Zahl  bestimmen  lässt,  dienen,  Vergleiche  z.  B.  zwischen  versi^hiede- 
nen  Jahrgängen  und  Ortlichkeiten ,  woher  die  Maße  stammen,  m 
ziehen,  ein  Verfalii-en,  was  mir  hei  Beaibeitung  langjähriger  belgi- 
scher Bekrutenmaße  aus  den  verscliiedenen  Provinzen  Belgiens  ge- 
dient hat,  den  Gang  und  Parallelismus  dieser  Maße  durch  Zeit  und 
Raum  zu  konstatieren. 

§  8;.  Die  Herleitimg  des  C  aus  einer  Reihe  von  Werten  a,  die 
ihrer  Größe  nach  geonlnet  sind ,  hat  prinzipiell  dadurch  zu  geschehen, 
dass  man  von  jedem  Ende  der  Reihe  nach  der  Mitte  zu  gleichiiel 
Werte  ahzälilt  und  den  Wert  oder  Zwischenwert  zwisclien  zwei  Wer- 
ten als  C  nimmt,  in  dem  beide  Zahlungen  ziisammenti'efEen ,  sofern 
hiermit  dem  Begriffe  des  C,  nach  beiden  Seiten  gleichviel  Abwei- 
chungen und  mithin  gleichviel  abweichende  Werte  über  sich  und  unter 
sich  zu  haben,  offenbar  genügt  ist.  Es  sind  aber  dabei  zwei  Falle 
zu  unterscheiden,  erstens,  wo  das  a,  auf  das  man  bei  dieser  dopjwl- 
ten  Abzahlung  kommt,  oder  die  zwei  a,  zwischen  welchen  das  Re- 
sultat der  Abzähliuig  eintriSt,  einfach  sind,  oder  wo  sie,  wie  im 
allgemeinen  bei  unseren  Verteilungstafeln  der  Fall,  mit  einem  a>i 
behaftet  sind. 

Fasgen  wir  zunächst  den  ersten  einfacher  scheinenden  Fall  ins 
Auge.  Für  den  ersten  Anblick  nun  erscheint  obige  Regel  hierbei 
darauf  liinauszulaufen ,  dass  man,  wenn  die  Zalü  der  Werte  m  ist, 
i  m  Wert«,  sei  es  von  der  einen  oder  anderen  Seite  her  abztlhlt,  und 
den  ; raten  Wert  als  C  nimmt  Inzwiachen  überzeugt  man  sich 
leicht,  dass  diese  Abzahlung,  je  nachdem  sie  von  der  einen  oder 
anderen  Seite  her  geschieht,  zu  einem  verschiedenen  Werte  führt. 
Denn  sei  z.  B.  folgende  Reihe  von  vier  Werten : 

« ,   Ij  ,  c ,  (t 


gegeben ,   so 
herein  =  h. 


man  den  Jn. 
^■htn  lierein  = 


1,    d.  i,  den  2ten  Wert  von  links 
'  linden.     Oder  uebjnen  wir  statt 


HAuptcigenachaftcu  der  llauptwerte. 


eines  geraden  ein  ungerades  i 
aufstellen : 


,   z.  B.  5.   indem  wir  folgende  Reihe 


w.  //,  c,  d,  e, 

so  wiii-de  man  den  zlten  Wert  von  links  lierein  zwischen  h  und  r, 
von  rechts  hei-ein  Knischen  c  und  d  finden,  indes  nur  c  der  Grund- 
rege] entspricht,  nach  einer  Seif«  eben  so  viele  größere  Wei-te  über 
sich,  als  nach  der  anderen  unter  sich  zu  haben.  Hingegen  genügt 
man  der  Forderung,  von  einer  wie  der  anderen  Seite  her  auf  das- 
ßelhe  C  zu  konuuen,  bei  geraden  wie  ungei-aden  »«,  wenn  man  den 
J  [»i  -j-  0  **!•  Wert  [d.  i.  das  Mittel  zwisclien  J  iti  und  j  m  4-  1 )  dafür 
nimmt.  In  der  That.  bei  unserem  Beispiel  mit  dem  geraden  m  ^  4 
kommt  man  von  einer  wie  der  anderen  Seite  her  auf  einen  Wert 
zwischen  b  und  c,  hei  dem  Beispiel  mit  ungeradem  7»  =  5  heides- 
falls  auf  den  Wert  c. 

Nelunen  wir  nun  aber  den  zweiten,  uns  eigentlich  allein  interes- 
sierenden Fall,  der  bei  unseren  Verteilungstafeln  stattfindet,  das»  die 
Zählung  von  beiden  Seiten  her  in  ein  fl  eintrifft  oder  zwischen  zwei 
a  eintrifft,  die  mit  einem  .,  >  1  tiehaftet  sind,  so  würden  wir  nach 
roher  Bestimmung,  indem  wir  diese  -■■  ganz  auf  die  betreffenden  n 
seihst  fallend  denken,  auch  das  C  erstenfalls  mit  jenem  a  seihst  zu- 
sammenfallend oder  zweitenfalls  zwischen  jene  zwei  n  fallend  und 
bei  mangelndem  l>estimmten  Änlialte  als  JVIittel  zwischen  beiden  zu 
nehmen  haben.  Und  so  hätte  in  unserer  Beispielstabelle  (§  68)  1 1 
als  Zentralwert  zu  gelten,  indem,  wenn  wir  voriger  Regel  folgend 
i  .  8 1  ^  40J  von  beiden  Seiten  ahzälilen ,  diese  innerhalb  des  dem 
«  =  1 1  zugeschriebenen  i  ^  30  eintreffen. 

Aber  uin  eine  schärfere  Bestimmung  zu  erhalten,  haben  wir  zu 
berücksichtigen,  da.s3  die  x^io  Exemplare  sich  durch  das  ganze 
Intervall  von  10  bis  iz  verteilen,  und  gelangen  mit  Bücksicht  hierauf 
unter  Zuziehung  einer  Intei-polation  dieses  als  /  genommenen  Inter- 
valles  zu  einem  übereinstimmenden  C  durch  Abzählen  von  beiden 
Seiten  her  nicht  von  ',  [m  ■+■  1 ),  sondeni  von  l  vi  Exemplaren,  wie  von 
vom  hei-ein  am  natürlichsten  erschien.  In  der  That,  um  von  oben 
herab  nach  Lage  der  Tabelle)  zum  40  8ten  [d.  i.  jWten)  Werte  zu 
gelangen,  haben  wir  zu  berücksichtigen,  (was  sich  unmittelbar  in  der 


Hauptcigenschaften  der  Hauptwerte.  169 

Spalte  der  S,  ablesen  lässt)  dass  bis  zu  Ende  des  vorhergehenden 
Intervalles,  mitliin  bis  zu  Anfang  des  /  i8  Exemplai'e  mchen; 
fehlen  also  zur  Erfüllung  der  40  noch  22  Exemplare,  die  ins  Inter- 
vall /  übergreifen.  Nun  schließen  wir:  wie  sich  diese  ins  Intervall 
übergreifenden  22  zur  Totalzahl  30  des  /  verhalten,  so  der  zum 
Anfang  des  7,  d.  i.  zu  10  noch  zuzufügende  Wert  r,  sog.  Eingriff 
in  /,  zur  Größe  von  /,  d.  i.  zu  2,  mitliin: 

22  :  30  =  j" :  2, 
d.  i.  JT  =  —  =  1,467 

C=  10  +  1,467  =  11,467  . 

Gehen  wir  jetzt  mit  der  Abzahlung  von  unten  aufwärts,  so 
reichen  32  IJ^emplare  bis  an  das  Intervall  /,  fehlen  also  zu  40  noch 
8,  die  in  das  Intervall  /  selbst  fallen,  und  zwar  den  Teil  I — x  da- 
von einnehmen,  der  von  z  bis  zur  zweiten  Grenze  des  /,  d.  i.  bis  zu 
12  reicht.     Nun  schließen  wir  wieder: 

I — j':/=8:30. 
Da  nun  /=2,  hat  man 

30(2  '-t)=  16, 

woraus  sich  der  Zuwachs  x  zur  ei^sten  Grenze  10  wie  oben  =  1,467 
bestimmt,  was  zu  (7=11,467  zurückfülirt. 

Da  nun  die  zweite  Bestimmungsweise  nach  l  m  von  unten  herauf 
zu  demselben  Resultate  fühi-t  als  die  erste,  diese  aber  einfacher  ist, 
so  können  wir  uns  zur  Bestimmung  von  C  bei  dieser  begnügen,  und 
erhalten  zur  Bestimmung  von  C  folgende  FonueP): 

m 


'•o 


i)  [Sollte  an  Stelle  der  einfachen  Interpolation  die  schärfere,  unter  Benutzung 
2ter  Differenzen,  treten,  so  müsste  x  =  6' — tf^  durch  Auflösen  der  Qlcichunfi^  j6 
des  Kap.  IX  statt  wie  oben  durch  Auflösen  der  Gleichung  «13)  ebendesselben 
Kapitels  gewonnen  werden.^ 


v.i)hri  y,  wie  fiüLcr  den  Aiifangswpii  oder  die  ei-ste  Gi-pnzp  dps  zu 
iiitfi|>"lit'rfU'leii  Intervulles,  -s^  das  ;  dieses  Intervalls,  */  den  Zahlen- 
fingriff  in  diisselbe,  d.h.  die  Zalil  bedeutet,  um  welohe  die  VoraaJü 
(■  noeh  vennolirt  werden  muss,  um  ^m  zu  gelten. 

§  83.     Diclitester  Wert  D. 

Definieren  wir  den  diditesten  Wert  Kuniichst  kurz  als  den,  der 
unter  einer  Reihe  von  a  um  häufigsten  vorkonunt,  oder  auf  den  das 
firöUtc  ;  fällt,  so  kann  ein  soleher  Weit  nicht  wie  die  beiden  vorigen 
Hauptwei-tf  aus  jeder  beliebigen  Reihe  von  a  abgeleitet  werden  und 
Imt  überhaupt  nur  für  die  KoUektivniaßlehre  eine  in  Betracht  kom- 
mende, für  sie  aber  sehr  wichtige  Bedeutung '].  In  der  That,  stellen 
wir  !S.  B.  willkürlich  folgende  Reihe  von  fünf  n  auf: 

],   3,   4,   6,    16, 

SO  werden  wir  als  ai-itlniietisehea  Mittel  haben  ^1  =  ^«:  )h  =  30:  5 
=  6 ;  al3  Zentralwert  (durch  Zusammentreffen  der  Abzahlung  von 
i'eebts  und  links)  C^4,  Aber  welchen  Wert  sollen  wir  als  dich- 
testen Wert  nehmen,  da  jeder  Wert  nur  einmal  vorkommt,  also  alle 
i  nur  1  sind.  Andere  Reihen  lassen  sich  willkürlich  aufstellen,  in 
denen  zwar  verscliiedene  t  bei  vei-schiedenen  a  vorkonunen,  dasselbe 
Maximal-c  sich  aber  bei  niehrei-en  a  wiederholt,  wonach  nicht  zu  ent- 
scheiden, welches  als  D  anzusehen.  Aber  bei  Verteilungstafeln  von 
K.-G.  mit  großem  m,  die  den  zu  einer  erfolgreichen  Untersuchung 
erforderlichen  Requisiten  geniigen,  kommen  entweder  solche  Fälle 
Überhaupt  nicht  vor  oder  lassen  sieh,  wenn  es  bei  primären  Tafeln 
doch  der  Fall  ist,  wovon  man  Beispiele  in  <leu  Tafeln  Kap.  VU 
linden  kann,  durch  erforderliche  Reduktion  in  der  Art  beseitigen, 
diiss  das  Jlaxiunil-:  nm-   auf  eins  der  reduzierten  n  fällt.     Dabei  ist 


ti  Sollte  IVpilicIi  die  liia  jcUt  iiirht  beBii«taDd<?tc  Annahme,  dass  die  Be- 
oliitolittingafchler  hei  einwiirrarreicD  Bcabnehtiiiigen  eine  symmetmche  W.  bei.  des 
nrilhm^tliclieti  UeobaoliIiiti^roitleU  liabeo.  irrift  «ein,  so  würde  lirh  die  groOe 
Wiehtiftkcit  dra  II  niieh  nur  die  physikaliielic  und  astrouomisclic  MaClehTC 
eHirwkcu.      llirr.lljpr  »crgl.  Kftji.  XXVUI." 


freilich  nielit  zu  vtTgessen,  ilass  man  damit,  iliLss  man  ilas  ganze 
Maximal-j;  auf  das  reduzierte  a,  dem  es  beigescliriclten  wird,  bezieht, 
nur  eine  rohe  Bestimmung  des  dichtesten  Wertes  erlnugt,  welche  nur 
mehr  oder  weniger  approximativ  zu  der  idealen  ist,  die  man  unter 
"Voraussetzung  eines  unendlich  großen  »s  bei  unendlich  kleinem  i  er- 
langen würde,  und  der  man  sich  in  später  anzugebender  "Weise  mög- 
Uchst  zu  nähern  suchen  miiss.  Im  allgemeinen  kajin  man  nur  sagen, 
dass  dieser  Wert  innerhalb  des  Intervalles  zu  suchen  ist,  das  sich 
in  der  Intenalltafel  für  das  reduzierte  a  als  dessen  ümkreisintenall 
substituiert. 

0ass  bei  symmetrischer  W.  der  Abweichungen  bez.  Ä  der  dich- 
teste Wert  D  wesentlich  mit  Ä  und  C  znsammenfällt ,  ist  mehrfach 
erwähnt;  nach  der  Verallgemeinerung  des  G.  G.  für  die  asymmetrische 
W.  der  K.-G.  aber  weicht  er  allgemein  gesprochen  davon  ab  und 
besitzt  dann  keine  von  den  di-ei  Grundeigenschaften  sei  es  des  A 
noch  des  C;  hingegen  die  in  §  33  aufgezählten  Eigenschaften,  wovon 
die  wichtigsten  soHdarisch  zusammenhängenden  die  sind:  1)  dass  er 
fben  der  dichteste  im  angegebenen  Sinne  ist,  2)  dass  das  Proportions- 
gesetz,  und  3)  dass  das  zweispaltige  G.  G.  bezüghch  desselben  be- 
steht, wovon  dann  weiter  abhängt,  dass,  um  ein  einfaches  Yerteilungs- 
gesetz  für  Kollektivabweichungen  zu  gewinnen,  die  Abweichungen 
vielmehr  von  ihm,  als  von  A  oder  C  abhängig  gemacht  werden 
mllssen.  Man  kann  noch  hinzufügen,  dass  1)  den  wahrscheinliclisteu 
Wert  eines  K.-G.  aus  folgendem  Gesichtspunkte  dai'stellt. 

Greift  mau  aus  der  Gesamtheit  der  a  eines  K.-G.  ein  Exemplar 
nach  Zufall  heraus,  so  wird  der  Wert  D  wahrscheinhcher  als  jeder 
andere  getroffen  werden,  und  die  ihm  nahen  a  mit  einer,  der  seinigen 
nahe  gleich  kommenden,  docli  vei-schiedeneu  W.,  je  nachdem  sie  auf 
die  eine  oder  andere  Seite  von  D  fallen. 

Hiemach  überbietet  die  Wichtigkeit  des  D  für  K.-G.  aus  mehr 
als  einem  Gesichtspunkte  die  jedes  anderen  Hauptwertes,  ohne  jedoch 
damit  zu  hindern,  dass  diese  nach  den  Eigenschaften,  welche  er  nicht 
mit  ilmen  teilt,  beachtenswert  bleiben  und  zur  vollständigen  Charak- 
teristik eines  K-G.  gehören;  auch  steht  er  insofern  im  Nachteile 
gegen  alle  anderen,  d:iss  seine  möglichst  genaue  üai-stcllung  umständlich 


172  Uaupteigeniehaften  der  Rauptirerte- 

ist  und   eine  Rpchenarlieit  fordert,   deifn  es   für   die   andei-en   nicht 
bedarf.    Hierauf  wSre  nun  ijilh<!i'  einzugehen;  alier  ich  vei-spare  lieber 
di«  ziemlich  umstand  heben  Erörterungen  über  seine  Ableitung  übet 
liaupt  auf  ein  besonderes  Kapitel,  um  noch  die  folgenden  drei  Haup^  I 
weii«  zu  besprechen. 

§  84.     Scheidewert  R. 

Der  Wert,   der  eine  gleiche  Summe  von  a  iilier  sich  als  unter   ' 
sicli   hat,    und  welcher    also    die  Scheidegrenze   zwischen    den  ihi-er 
Größe    nach    geordneten    kleiueren   und    gi'üßeren  a  zu  bilden  hat. 
wenn  durch  Summierung  tler  kleineren  a  dieselbe  GesamtgröBe  er- 
zengt werden  soll,  als  durch  Sunimierung  der  größeren  a. 

[Er  liegt  oberhalb  C.  Denn  tue  Anzahl  der  oberhalb  und 
unterhalb  C  gelegenen  a  ist  beidesfalls,  dem  Begriffe  des  C  gemäß. 
gleich  \m\  es  ist  daher: 

so  dass  eine  Gleicblieit  der  unteren  mit  der  oberen  Summe  nur  für 
einen  Weit,  der  größer  als  C  ist,  eri-eicht  werden  kann.  Er  hegt 
somit  zugleich  oberhalb  A  oder  oherbalh  D,  je  nachdem  Ä  oder  D 
kleiner  als  C  ist,  wogegen  er  möglicherweise  unterhalb  des  einen  oder 
des  anderen  dieser  beiden  Hauptwerte  liegen  kaun,  wenn  der  eine 
oder  der  andere  größer  als  C  ist.  Um  jedoch  seine  Lage  zunächst  mit 
Rücksicht  auf  das  in  der  Regel  als  bereits  bekannt  vorauszusetzende  Ä 
zu  bestimmen,  werde  angenonuuen,  dass  R  oberhalb  A  liege.] 

Seien  nun  2a,,  la'  die  Summen  unterhalb  und  oberhalb  R, 
—  a„  und  Sn"  die  Summen  unterhalb  und  oberhalb  A,  so  zähle  man 
1  ^  ^  {^a"  —  — n»)  nach  oben,  d.  i.  nach  den  größei-en  Werten  zu 
von  .1  ab,  um  zu  72  zu  gelangen. 

Beweis.     Nach  Anschauung  des  Linienschemas 


Ux  die  untere  Summe  der  «  ttez.  R  gleich  der  imt^ren  Sunnne  bez.  A 
plus  der  Summe  zwisclien  A  und  R.  welche  a  heiße,  d.  i. 


Haupteigenschaften  der  Hauptwerte.  173 

Die  obere  Summe  bez.  R  aber  ist  gleich: 


also,  da 


2a'  =  Sa"  —  a, 


2a,  =  2a' j  2a„  +  a  =  2d'  —  a, 

2a''  —  2a„  .     , 

^= : ^-  (17) 


Da 


so  hat  man  auch: 


2a„  =  ti,A  —  2J, 
2a  =^'A  +  2J', 

^_[,.'-,^)A^2J_^ 

2  ^ 


Diese  Bestimmungsweisen  gelten  rücksichtslos  auf  ein  besonderes 
Verteilungsgesetz,  nur  dass  eine  rohe  und  scharfe  Bestimmung  dabei 
in  gewohnter  Weise  unterschieden  werden  kann.  [Sie  behalten  ihre 
Geltung  auch  für  den  Fall,  dass  A  oberhalb  R  liegt;  a  wird  jedoch 
alsdann  negativ  und  ist  .daher,  seinem  absoluten  Werte  nach  ge- 
nommen, nach  unten  d.  i.  nach  den  kleineren  Werten  zu  von  A  ab- 
zuzählen, um  zu  R  zu  gelangen.] 

In  unserem  Erläuterungsbeispiel  ist  nach  früherer  Bestimmung 
A=  11,4;  2a„  =  369;  2a"  =  543,  mitliin  unser  jetziges  ex  =  87; 
diese  Summe  haben  wir  von  1 1,4  an  aufwärts,  d.  i.  nach  den  größeren  a 
zu,  zu  zählen,  imi  zu  R  zu  gelangen  und  dazu  das  Intervall  10—12 
mit  xa  =  330  zu  interpolieren,  was  dazu  führt,  2  .  87  :  330  =  0,527 
zu  11,4  zu  fügen;  giebt  R=  11,927.  [Setzt  man  jedoch  wie  früher 
(§  72)  2'a„  —  362,7;  2'a"  =  549>3,  mithin  a  =  93,3,  so  ist  konse- 
quenterweise die  Differenz  R  —  A=^x  aus  der  Gleichung:  93,3  = 
(11,4  H-  |a:)  •  150:^  mit  dem  Werte  0,533  zu  finden;  giebt  mit  obigem 
Werte  wesentlich  übereinstimmend  R  =  11,933.] 

[Statt  nun,  wie  hier  geschehen,  R  in  Abhängigkeit  von  A  zu 
bestimmen,  kann  es  ganz  ebenso  in  Abhängigkeit  von  C  oder  von  D 
gefunden  werden;  dann  sind  natürlicli  2a„,  2a"  und  entsprechend 
die  Abweichungszahlen  und  Abweichungssumme  bez.  C  oder  D  statt 
bez.  A   zu   nehmen.      Man    erhält    so    beim  Ausgange    von   C    die 


174 


HkiipteiRcnschaften  der  HauptwPrtp. 


Bestimniuug:  a^^l^O  (bez.  Cj;  beim  Ausgange  von  D  dagt-gen:  a^ 
i(ff*'  —  ■/»,]  D  +  \~3.  Überdies  kann  R  auch  direkt,  ohne  An- 
lehnung an  einen  vorbestimmten  anderen  Hauptwert  gefunden  werden. 
Es  geschieht  dies,  indem  man  durc]i  Addieren  der  a  von  beiden  En- 
den der  Verteilungstnfel  das  Litervall  aufsucht,  in  welches  R  zu 
hegen  kommt,  und  dann  in  diesem  Eingriffsinten'all  die  Eingriffs- 
sunmie  1'  der  Art  bestimmt,  dass  die  Vorsumme  vermehrt  um  die 
Eingriffasumme  gleich  der  Laiben  Gesamtsumme  der  a  ist.  Dies 
führt,  unter  Benutzung  der  {§  69)  definiei'ten  Bezeichnungen,  zu  der 
Fonnel : 

/ 


R^ 


9i 


-  (i^"  - 


Oller  zu 


R-- 


-V^ 


[^«-2  9>), 


[19  a) 


(igbj 


je  nachdem,  im  Einklango  mit  den  §  yz  getroffenen  Bestimmungen. 
das  Eingriffsmaß  x,  d.  i.  der  Wert,  ura  welchen  R  die  untere  Grenze  g, 
des  Intervalles  I  überragt,  nach  der  Proportion 

oder  genauer  nach  der  Gleichung: 


Y  = 


berechnet  und  zu  ff,  liinzugefUgt  wird.] 

[SchlieBUcli  verdient  noch  erwähnt  zu  werden,  daas  die  Lage 
von  R  in  anderer  Weise  als  diejenige  von  A,  C  und  D  von  den  o 
der  Verteil ungstaf ei  abhängt.  Vermehrt  man  nämlich  jedes  a  um 
einen  und  denselben  Betrag,  so  wird  auch  A,  C  und  D  um  den 
nümlichen  Betrag  größer,  so  dass  liie  Lage  innerlialb  der  Tafel  er- 
halten bleibt;  dagegen  bewirkt  die  angegebene  Vermehrung  eine  An- 
näherung des  Ä  an  C  der  Ai-t,  dass  bei  unbegrenzter  Vermehrung 
R  mit  C  zusammenfällt.  Dies  folgt  unmittelbar  daraus,  daas  die 
zwischen  C  und  R  gelegene  Summe  der  n,  d.  i-  ff,  beständig  gleich 
^^0  [bez.  C)  ist  und  sich  somit  bei  größer  werdenden  o  auf  ein 
inmer  kleiner  werdendes  Intervall  verteilt,] 


Haupteigenschaftcu  der  Hauptwerte.  175 

§  85.     Der  schwerste  Wert  T. 

Jeder  Wert  a  einer  zu  unseren  Untersuchungen  tauglichen  Ver- 
teilungstafel giebt,  allgemein  gesprochen,  je  nach  seiner  Größe  und 
dem/.,  wie  oft  er  vorkommt,  ein  verschiedenes  Produkt  ::ia,  und  man 
kann  nun  nach  dem  o  fragen,  für  welches  dieses  Produkt  ein  Maxi- 
mum ist.  Zunächst  lässt  sich  daran  denken,  dass  es  mit  dem  dich- 
testen Werte  zusammenfalle.  Aber  bei  diesem  kommt  es  bloß  auf 
die  Größe  des.^r,  nicht  des  ^a  an.  Es  giebt  Werte  a,  die  größer 
sind  als  />,  und  obwohl  sie  seltener  vorkommen  als  I),  giebt  ihnen 
doch  bis  zu  ge^Nissen  Grenzen  die  Größe  des  a  betreffs  des  xn,  was 
sie  liefern,  einen  Vorteil. 

In  jedem  Falle  kann  T  bloß  nach  positiver  Seite  von  D  ab- 
liegen, weil  beim  Herabgehen  der  Weile  o  unter  D  sowohl  a  als  x 
abnehmen.  Nach  roher  Bestimmung  würde  in  unserer  Beispielstabelle 
T  mit  D  zugleich  auf  a  =  1 1  fallen,  sofern  sich  hierf üi*  das  Maximal- 
xa  =  330  findet.  Nach  scharfer  Bestimmung  aber  fallen  beide  aus 
einander,  und  hat  man  dazu,  wenn  das  zweiseitige  G.  G.  als  zutreffend 
vorausgesetzt  wird,  nach  unten  folgendem  Beweise  überhaupt  folgende 
Formel  zu  benutzen: 


T^^±y-^-±±^ii-\  [20) 

2 

Aus  unserer  Beispielstabelle  §  68  findet  sich  nach  dem  im  näch- 
sten Kapitel  auseinander  zu  setzenden  Proportionsverfahren 

I)=  11,6;  e  =  1,9; 
hiemach 

Nun  kann  man  fragen,  was  hat  es  für  eine  empirische  Bedeu- 
tung, dass  auf  den  so  bestimmten  Wert  von  T  das  Maximum  von  .;  a 
fällt.  In  dieser  Hinsicht  hat  man  sich  zu  erinnern,  dass  nach  scharfer 
Betrachtung  jedes  a  einer  Verteilungstafel  eigentlich  ein  ganzes 
Interv^all  von  der  Größe  des  /  dieser  Tafel  repräsentiert,  wovon  das 
betreffende  a  die  Mitte  ist.  Also  ist  niit  dem  Werte  T=  12,1  für 
unsere   Verteilungstafel,   deren  ?  =  2   ist,   gesagt,   dass  unter  allen 


176 


Hnupteigetischafteit  der  Hauptwerte. 


Intervallen  dieser  Tatel  von  der  Gi'öße  2  das  Intervall,   dessen  Klitt^ 
T^  12,1  ist,  also  das  Intervall  11,1 — 13,1   ein  größei-es  \a  euth 
als  jedes  andere  Intervall  von  der  Größe  2. 

[Dies  findet  sich  nun  aber  nicht  bestätigt;  denn  das  ;«  des^ 
latervalles  11, i — 13,1  ist  gleich  296,  während  das  in  des  InteiTalles 
10 — \2  gleich  330  ist.  Dadurch  wii-d  jedoch  nicht  die  Unrichtigkeit 
(1er  obigeu  theoretischen  Bestinunungsweise  von  T  nachgewiesen,  son- 
dern nur  nahe  gelegt,  daas  die  theoretisch  geforderte  Lage  des  schwer- 
sten Wertes  nicht  mit  seiner,  in  der  Tafel  empirisch  dargebotenen 
Lage  genau  übereinstimmt,  was  übrigens  von  vornherein  nicht  anders 
zu  erwai-ten  ist.  Dass  dies  auch  bei  den  Tafeln  empiiisch  gegebener 
K.-6.  nicht  wesentlicli  anders  ist,  erhellt  aus  folgendem  Beispiel] 

Die    Verteilungstafel    für    den    vertikalen    Schädelumfang    niit 
(■  =  5  Dim  (§  58)  giebt  nacli  Bestimmung  des  D  mittelst  des  Propor*« 
tionsverfalirene:  ■ 

z)  =  409,7;  r^  410,1;  ^ 

wonacli  hier  auf  das  Intervall  407,6 — 41^,6  das  gi'üBte  xa  fällt.  Ob 
sich  dies  nun  wiiklicli  findet,  lässt  sich  empirisch  an  der  Verteilungs- 
tabelle prüfen,  und  wulileu  wir  zum  Vei^gleich  das  Intervall  des 
dichtesten  Wertes  409,7,  d.  i.  nacIi  entsprechender  Bestimmung 
407-2—412.2- 

Da  die  xa  der  betreffenden  Intervalle  in  der  Verteilungstafel 
nicht  umnittelbai'  gegeben  sind,  weil  diese  Intei-valle  selbst  mit  ihren 
xa  nicht  darin  gegeben  sind,  vielmehr  das  Intei-vail  des  schwersten 
Wertes,  ebenso  wie  das  des  (hchtesten  Wertes,  zwischen  zwei  Inter- 
valle der  gegebenen  Tafel  übergreift,  so  muss  man  intei-polations- 
niäDig  berechnen,  welchen  Anteil  zum  gesuchten  %  a  jedes  beider  In- 
teiTalle  liefert,  und  duich  Sumniienuig  dieser  Anteile  sowold  das  xa 
des  Intervalles,  was  für  D,  als  was  für  T  einzustehen  hat,  finden, 
■was  ich  liier  nicht  detaillieren  will ').  Hiernach  fand  ich  für  obiges 
Beispiel   das    ;o   des    dichtesten   Wertes   26631,    das    des   T  gleich 


i)  [In  dem  vorlicgcndpii  Tnllc  vereinfacht  sicli  iiilolne 
a  =^413  gemcinaBmcn  X  =  (15  dicee  Bcchming,  und  finäut  mau 
glmdi  65.1*  rc»p.  6s.T.] 


I  a  =  408   und 
u  für  J>  resp,  T 


Haupteigenschaften  der  Hauptwerte.  177 

26656,  also,  wie  zu  erwarten,  das  letztere  sehr  wenig,  aber,  wie  zu 
verlangen,  doch  etwas  größer  als  das  erstere.  [Aber  trotzdem  ist 
das  theoretisch  aus  (20)  bestimmte  T  von  dem  empirisch  aus  der 
Tafel  zu  entnehmenden  verschieden;  denn  für  a  =  4i3  ergiebt  sich 
der  noch  größere  Wert  xa=  26845.] 

Beweis.     Da  T  größer  als  D  ist,  so  setzen  wir 

T  =  D  +  d,  (21) 

wo  d  eine  positive  Abweichung  von  D  ist,  und  bestimmen  5,  indem 

wir 

xa:=x[D  -^-d)  (22) 

setzen,  diesen  Wert  zur  Erlangung  einer  Maximumgleichung  in  Bezug 
auf  d  differenzieren  und  das  Differential  gleich  Null  setzen,  wobei  wir 
einfachheitshalber  die  Strichelchen  oben  sn  Xj  a,  9,  c  weglassen,  die 
eigentlich  anzubringen  sind,  um  die  Lage  dieser  Werte  oberhalb  D 
zu  bezeichnen. 

Wir  haben  also: 


(23) 


bx 
wovon  der  letzte  Wert  x  ist.    Um  nun  -r-j^  zu    finden,    muss    x    als 

Funktion  von  d  ausgedrückt  werden,  was  geschehen  kann,  indem  wir 
nach  dem  zweispaltigen  G.  G.  die  Wahrscheinlichkeitsverhältnisse  für 
d  positiverseits  von  D  in  Anspruch  nehmen.  Hiemach  ist  bekannt- 
lich die  Wahrscheinlichkeit  cpS  eines  Wertes  9 

2h 
(pd  =  -—  exp  [—  h^d'] ,  (24) 

YTt 

worin  h  =  i  :  c  VTc.  Bei  dem  nonnaler  Weise  vorauszusetzenden 
großen  m  aber  kann  cpd  auch  durch  x  :  fn'  ausgedrückt  werden, 
mithin 

*  =  -^exp[-A'5«],  (25) 

woraus  folgt: 

^='-^exv[-k'd'].{-2h'd)  (26) 

FKCR9EB,  KollektiTmaOlehre.  12 


176  HaiipteigcDBC haften  der  Hauptirertc. 

Intervallen  dieser  Tafel  von  der  Größi?  ;  das  Inten'all,   dessen  Klitl 
T=  12,1  ist,  also  das  Intervall  i[,i — 13.1   m  größeres  in 
als  jedes  andere  Inten'aJl  von  der  Größe  2. 

[Dies  findet  sicli  nun  aber  nicht  bestätigt;  denn  das  ;«  deä" 
Tntervalles  11,1 — 13,1  ist  gleich  296,  wähi-end  das  xa  des  Intcrvallea 
10 — 12  gleich  330  ist.  Dadurch  wird  jedoch  nicht  die  Unrichtigkeit 
der  obigen  theoretischen  Bestininiungsweise  von  T  nachgewiesen,  son- 
dern nur  nalie  gelegt,  dass  die  theoretiscli  geforderte  Lage  des  schwer- 
sten "Wertes  nicht  mit  seiner,  in  der  Tafel  empirisch  dargebotenen 
Lage  genau  llbereinstimnit,  was  übrigens  von  vornherein  nicht  anders 
itn  erwai'ten  ist.  Dass  dies  aucli  bei  den  Tafeln  empirisch  gegebener 
K.-G,  nicht  wesentlich  anders  ist,  erhellt  aus  folgendem  Beispiel." 

Die    Verteilungstafel     für    den    vertikalen    Schildehunfang    nut 
(=:5nim  [§  58)  giebt  nach  Bestinunung  des  TJ  mittelst  des  Fropowj 
tionsverfahreus:  H 

0  =  409,7;  r=4'0,.;  1 

wonach  hier  auf  das  Intervall  407,6 — 412,6  Abs  größte  xa  fallt  Ob 
sich  (Ues  nun  wirklich  ändet,  lässt  sich  empirisch  an  der  Terteilungs- 
tabelle  prüfen,  und  wälilen  wu-  zum  Vergleich  das  Intervall  des 
(hchtesten  Wei-tes  409,7,  d.  i.  nach  entsprechender  Bestimmung 
407,2—412,2. 

Da  die  ;;n  der  betreffenden  Int^^rvalle  in  der  Verteilungstafel 
nicht  unmittelbar  gegeben  sind,  weil  diese  Inten'alle  seihst  mit  ihren 
xa  nicht  darin  gegeben  sind,  vielmehr  das  Intenall  des  schwersten 
"Wertes,  ebenso  wie  das  des  tlichtesten  Wertes,  zwischen  zwei  Inter- 
valle der  gegebenen  Tafel  übergreift,  so  muss  man  intei-polations- 
mäQig  bei-echnen,  welchen  Anteil  zum  gesuchten  x  a  jedes  beider  In- 
tervalle hefert,  und  durch  Siunmiening  dieser  Anteile  sowohl  das  la 
des  Intervalles,  was  für  D,  als  was  füi-  T  einzustehen  hat,  finden, 
was  ich  hier  nicht  detaiUiei-en  will').  Hiemach  fand  ich  für  obiges 
Beispiel    das  xn   des    thchtesten  "Wertes   26631,    das    des   T   glei 


1;  [In  dem  vorliegenden  Fnllc  veremfatht  sich  iufolge  des  für  n  =  4o8| 
0^413  gempiuBameu  £  =  65  diEse  Rfclitiiirig,  und  ßiidet  mim  das  :ii  tHr  2> n  ] 
gleich  65,21  TCip.  63. 1'.] 


Hanpteigenuhaften  der  Hsuptwnte. 


)77 


26636,  also,  wie  zu  erwarten,  Jas  letztere  sehr  wenig,  aber,  wie  zu 
verlangen,  doch  etwas  größer  als  das  erstere.  [Aber  trotzdem  ist 
das  theoretisch  aus  (20)  bestimmte  T  von  dem  empirisch  aus  der 
Tafel  zu  entnehmenden  verschieden;  denn  für  0^415  ergiebt  sich 
der  noch  größere  Wert  j«  =  26845.] 

Beweis.     Da  T  größer  als  D  ist,  so  setzen  wir 

T=D  +  3,  (21} 

wo  d  eine  positive  Abweichung  von  D  ist,  und  bestimmen  B,  indem 
wir 

xa=x(D-\-S]  (22) 

setzen,  diesen  Wert  zur  Erlangung  einer  Maxiraumgleichung  in  Bezug 
auf  d  differenzieren  und  das  Differential  gleich  Null  setzen,  wobei  wir 
einfachheitshalber  die  Strichelcben  oben  an  .;,  a,  3,  c  weglassen,  die 
eigentlich  anzubringen  sind,  um  die  Liige  dieser  Werte  oberhalb  D 
zu  bezeichnen. 

Wir  haben  also: 


ID  +  S) 


ix 


>s 


rs"^-«' 


U3) 


wovon  der  letzte  AVert  i  ist.    Um  nun  ^  zu    finden,     muss    x    als 

Punktion  von  d  ausgedrückt  werden,  was  geschehen  kann,  indem  wir 
nach  dem  zweispaltigen  G.  G.  die  Wahrscheinlichkeitsverhältnisse  für 
d  positiverseits  von  D  in  Anspruch  nehmen.  Hiemach  ist  bekannt- 
lich die  Wahrscheinlichkeit  tpd  eine»  Wertes  9 

T  2h 


Vn: 


exp  [ —  äV] 


("4) 


worin  k  ^  [  :  c  V  k.  Bei  dem  noimaler  Weise  vorauszusetzenden 
großen  m  aber  kann  xp  9  auch  durch  ;  :  nt'  ausgedrückt  werden, 
mitbin 

;  =  ^"C^exp[-Ä'i9'],  /•»' 


i  der  Fdl  Bk,  ne  man  ach  sh  der  ktda  ^alte  Bbcr- 

I  kann,  woBMfa  für  dir  o;-Seste  ein  M&xibiibi  ««■  :^,.  knn:  F,, 

1 6,7   und  a,=  D  —  d,  ^  393 ;    md  auf  der  o'-Seite  eui 

'  Maxifflam  »on   i'.?",   kn«  /*,   bei  ^^  13.3  nnd  «■=i>  +  (?^  433 

«tattfindet     [Die  nämHcben  Werte  m&iÜerc»  aaeli  ba  sdnrfer  Be- 

■riwitnimg  mittelst  einfacber  InterpoUtioii  die  V^t^m  der  :<?. 

Wie  nun  min  sieht,  stinunt  der  so  «mpirisdi  bestnunte  Maxi- 
iBBrnirert  tod  x,d,=F,  sehr  nahe  nüt  dem  oben  angegebenen  Weite 
~  t^\\n  =  14,9  and  der  empirisch  gefimdene  Maximomwert  von 
x'3^  ^  F"  auf  der  a'-Seite  sehr  nahe  mit  dem  oben  ange^ebenea 
Werte  e  y^;t^  13,0;  und  in  der  That  ist  das  Resultat  der  nach- 
her m  beigivndeiiden  Bechnung  auf  Gnmd  der  Gültigkeit  anseres 
VertePoDgBgeBetzes,  dass 


F.  =  ..\/^ 


Yf. 


[i') 


[Bestimmt  man  aber  interpolationsmäfiig  die  den  Werten  S.^  14,9 
frimd  d"^  13,0  zogehörigen  z,3,  und  x' ^  mit  Rücksiebt,  dass  (  =  5, 
r»  findet  man  x,d,=  563;  z'3'^  529,  deren  Vergleich  mit  den  wirk- 
lichen   Masimalwerten    der   Tafel    den    Grad    der    Übereinstimmung 
atwinclit-n    den    theoretisch   geforderten    und    empirisch    dar^botenen 
Wertem  erkennen  läsat.] 

[Beweis.     Setzt  man  auf  Grund   des  als  gültig  vorauszusetzt 
den  zweispaltigen  G.  G.: 

, zm-'h' 


^"T 


-ejp[-4'"3"; 


133) 


wo  A'=  I  :«'  Vn,  90  ist  üur  Erlan^jung   der  Maxiniumgleichung  für 
i'S"  der  Wert: 


vn 


d'  exp  [ —  h"3"\ 


Haupteigenschaften  der  Hauptwerte.  181 

in  Bezug  auf  d*  zu  differenzieren  und  das  Differential  gleich  Null 
zu  setzen.     Man  erhält  so: 


^^exp[-Ä-5-](i  -2Ä-P-)  =  o,  (35) 

V/r 

also,   da  der  Koeffizient  von  (i  —  zh'^S'^)  seiner  Natur  nach  nicht 
verschwinden  kann, 

2h'^9'^=  1 ,  oder  ^=  — U.  =c'  V^  .  (36) 

In  gleicher  Weise  folgt  für  die  unteren  Abweichungen: 

5.=-^=^Y^-  (37) 


Es  sind  nun  aber  c*  V^u  und  e^V \7c  die  beiderseitigen  mittleren 
quadratischen  Abweichungen,  so  dass  die  theoretische  Bedeutung  der 
Abweichungsschwerwerte  F'  und  F,  bezüglich  D  eben  darin  besteht, 
die  quadratische  mittlere  Abweichung  der  oberen  und  der  unteren 
Werte  darzustellen.] 


XI.  Der  dichteste  Wert, 


§  87.  [Da  der  dicliteste  Wert  als  Ausgangswert  des  fiii-  K. 
in  Anspinich  zu  nehmenden  Verteilungsgesetzea  eine  fundamentale 
Stellung  in  der  Kollekti\-maBIelire  einnimmt,  so  ist  eine  ErÖi-tenmg 
seiner  mathematischen  Bedeutung  und  seiner,  auf  letztere  zu  gründen- 
den rechnerischen  Bestimmung  notwendig.  Hierbei  ist  es  wesentlich, 
den  als  Di  bezeichneten  empirisch  dichtesten  Wert,  den  die 
Tafel  hergiebt,  von  dem  als  D,,  bezeichneten  theoretisch  wahr^; 
scbeinlichstenWert,  den  das  Verteilungsgesetz  verlangt,  zu  seh« 
den  und  jeden  gesondert  zu  behandeln.] 

[Die  Existenz  von  Di  gründet  sich  darauf,  dasa  die  t  der  Tafel, 
die  für  einen  K.-G.  die  Anzahl  der  Exeraplai-e  von  der  Gräße  a 
angeben,  nicht  durchweg  konstant  sind,  sondern  steigen  und  fallen,, 
80  lange  nun  bei  roher  Bestimmung  die  x  direkt  als  den  beigeschrii 
benen  a  zugeliörig  aufgefasst  und  demgemäß  die  zwischen  die  ge- 
messenen a  der  Tafel  fallenden  n-Wei-te  als  überhaupt  nicht  vor- 
kommend angesehen  werden,  kann  nur  das  mit  dem  größten  x 
behaftete  a  selbst  als  dichtester  Wert  beansprucht  werden;  und  es 
giebt  alsdann  kein  Mittel,  füi-  den  Fall,  dass  mehrere  aufeinander 
folgende  a  das  nändiche  Maximal-t  besitzen,  den  Zweifel,  welches  a 
nun  in  Wirklichkeit  den  dichtesten  Wert  darstelle,  zu  heben 
Wird  aber  berücksichtigt,  dass  die  Intervalle  zwischen  den  gemei 
nen  a  nur  der  relativ  geringen  Anzahl  der  gemessenen  Exemplare 


'm 


I  i    (Das    Vorkommcu    voc    iwci    einander    gkiclien ,    durch    ZiTiscIieiiw 
getrennteu   Maximal-:   Ut  nicht   zu   be  rück  sichtigen .   drt   dica   das  Auftreten   voi; 
Ewei  verichiedencn  dichtesten  Werten  bedingen  und  ao  eine  Mischling  diepuratej 
K.-G.,   auf  welche   die  Verteil» ugsgesetie   kmne   direkte  Anwendung   finden,   aitr 
leigen  würde.' 


3S   a.^^_ 

1 


der  Ungenauigkeit  der  Messung  ihr  Dasein  verdanken,  während  die 
unbegrenzte?  Geaamtheit  der  Exemplai-e  des  K.-G,  sich  ohne  Un- 
terbrechung auf  alle,  zwischen  den  Extremen  liegende  a  verteilt,  so 
hat  man  in  den  gegebenen  Tafelwerten  nur  die  Unterlage  zu  suchen, 
auf  der  ein  funktioneller  Zusammenhang  zwischen  den  x  und  den  n 
sich  aufbaut.  Ist  derselbe  hergestellt,  so  ergiebt  sich  der  dichteste 
Wert  in  einfacher  Weise  als  Maximum  der  konstruierten  Funktion.] 

[Bei  der  Herstellung  dieses  funktionellen  Zusammenhanges  ist 
nun  darauf  zu  achten,  dass  —  was  schon  durch  die  Ungenauigkeit 
der  Messung  und  durch  die  damus  folgende  Existenz  der  primären 
Intervalle  bedingt  ist  —  die  x  der  Tafel  nicht  als  Einzelwerte 
der  gesuchten- Funktion,  sondern  als  Suramenwerte,  die  auf  die 
zugehörigen  Intervalle  zu  beziehen,  mitbin  als  Integralwerte,  ge- 
nommen für  die  Grenzen  der  Intervalle,  zu  gelten  haben.  Ln  übri- 
gen sind  die  Prinzipien  der  Interpolationsrecbnung  in  Anwendung  zu 
bringen,  was  darauf  hinauskommt,  die  Anzahl  der  Exemplare  von 
der  Größe  a,  die  allgemein  mit  C  bezeichnet  werde,  innerhalb  eines 
bestinunten  Bereiches  als  eine  ganze  rationale  Funktion  von  a  voraus- 
zusetzen und  dann  mittelst  der  gegebenen  i  der  Tafel  ihre  Koeffi- 
zienten so  zu  bestimmen,  dass  die  Summen  der  t,  d.  i  ihre  Inte- 
grale zwischen  den  Grenzen  der  in  Betracht  gezogenen  Intei-valle, 
mit  den  gegebenen  ;  der  Tafel  für  eben  dieselben  Intervalle  über- 
einstimmen ;  dabei  ist  die  Anzahl  der  zu  berücksichtigenden ,  aufein- 
anderfolgenden Intervalle  von  dem  Grade  der  vorausgesetzten  Punktion 
oder  der  Anzahl  der  zu  bestimmenden  Koeffizienten  abhängig,  und  es 
wächst  mit  dem  Steigen  jener  Anzahl  zugleich  der  Grad  der  erreich- 
ten Gtenauigkeit,] 

[Winl  also  vorausgesetzt,  dass  für  den  Bereich  eines  Wertes  a, 
der  in  dem  Intervall  mit  der  Mitte  a^  und  mit  einem  x  gleich  x^  liege, 
C  entweder  konstant  sei  oder  durch  eine  lineare  Funktion  von  a  oder 
durch  eine  solche  vom  zweiten  Gi'a<le  dargestellt  werde,  so  ist  im 
ersten  Falle  nur  das  ,i^  des  Intervalles  selbst,  im  zweiten  Falle  das 
X  eines  der  beiden  benachbai-ten  Intervalle,  im  dritten  Falle  das  x 
der  beiden  Nachbarintervalle  zu  benutzen,  um  die  Konstanten  zu 
hesfimnien.    Man  findet  so,  wenn  das  x  des  nach  dein  oberen  Extrem 


zu  gelegentm  Intcrvalles  niit  j-, ,    das    in   entgegengesetzter  Richtu 
liegende  mit  i_,  bezeichnet  und  die  in  Eratreckung  der  ganzen  Tafe 
sich  behauptende  Intervallgröße  nach  früherer  Peataetzung  i'  genannt^ 
wird,  im  ersten  Falle; 


im  zweiten  Falle ; 


im  dritten  Falle: 


S="f+- 


24* 


J  +  (o-oJ 


i^;  (^)l 


-;  {3!1 


Formeln,  deren  Gültigkeitsbereich  in  jedem  Falle  über  diis  [ntervall'l 
mit  den  Grenzen  n„ — {i  nnd  «o  +  ¥''  sich  erstreckt] 

[Will  man  nun  auf  Grund  der  so  konstruierten  funktionellen! 
Abhängigkeit  das  dichteste  a  des  Intervalles  bestimmen,  so  erMeistl 
sich  bloß  die  Formel  [3)  hierzu  brauchbar;  denn  [1)  liefert  durchwejf^l 
konstante,  (2)  ständig  wachsende  oder  ständig  abnehmende  WertOil 
Aus  [3)  aber  ergiebt  sich  der  Maximalwert  oder  dichteste  Wert: 


'.+  : 


{41 


sofern  nur  ;i„—  *, —  i_,>o.     Ist  letzterer  Wert  kleiner  als  Nu] 
so  stellt  a  ein  Minimum  dar,   ist  aber  zs^ —  .:, —  ^_,  =  o,   ao  wir^l 
[3)  linear  und  zur  Bestimmung   eines  Maximums   unbrauchbar.     Holl'l 
überdies,   wie  ertorderUch,  das  Maximum  innerhalb  des  untersuchte 
Intervalles  hegen,  so  muss  sowohl  5,    als  auch   i_,,   jedes  für  sicl 
kleiner  als  i^  sein.] 

[Statt  auf  die  Mitte  a^  kann  sich  die  Bestimmung  des  dichtesteiH; 
Wertes    auch    auf    die  Grenzen    des    Intervalles:   y^^  a^  — 
j,^  O0+  \i  beziehen.     Man  findet,   wenn  n  —  9,^  r  gesetzt  wirdifl 


Ltforaus  die  einfache  Proportion: 


(ö) 


f  folgt.] 

[Die  Bestiimnung   von  Dt  erledigt    sich    mithin   mittelst   obiger 
I  Fonnebi,  indem  zunächst  das  Intenall  mit  dem  Maximal-t,  d.  i.  der 
,  roh  bestimmte  dichteste  Wert,   aufgesucht,   und  dann  die  Lage  von 
1  Dt  innerhalb  dieses  Intei-valles  durch  den  Aiisatz  der  Proportion  (6) 
[  oder  aus  den  (rleichungen  (5)  oder  (4)  berechnet  wird.    Existiert  nur 
ein  Maximal- j,   so   ist   die  erreichte  Genauigkeit  liinreichend  ,    und 
l  4ie  Beiaehung  schärferer  Interpolationsformeln    unter   Eeriicksichti- 
I  gung  der  x  von  vier  oder  mehr  benachbarten  Intervallen  im  allge- 
meinen nicht  nötig.     Ja  man  gewinnt  selbst  auch  dann  noch  eine 
brauchbare  Bestimmung,  wenn  zwei  benachbarte  Maximal-i  die  rohe 
Bestimmung  des  dichtesten  "Wertes  im  Ungewissen  lassen.    Es  wird 
i.iülialich,  wenn  x„=x_,,  x=^o,  und  wenn  x^^x,,  x  =  i,  so  dass 
k stets  die  gemeinsame  Grrenze  der  beiden,  mit  dem  Maximal -x  be- 
I  hafteten  Intervalle  als  Di  in  Anspruch  zu  nehmen  ist.] 

§  88.  [Auf  diesem  Wege  wiu-den  die  Werte  H,  der  verschiede- 
[  nen  Reduktionsstufen  und  Reduktionslagen  des  Viii.  Kap.  berechnet. 
nicht  anders  wird  es  in  den  spateren  Kapiteln  gehalten  werden.  Es 
L  ^nn  indessen  erwünscht  sein,  für  den  Fall,  dass  zwei  benachbarte 
I  Maximal-.!:  auftreten,  eine  schärfere  Formel  zui'  Verfügung  zu  balM'n. 
L  Ja  es  wäre  eine  solche  unumgänghch,  wenn  —  was  allertlings  kaum 
i.au  erwarten  ist  und  eintretenden  Falles  durch  Änderung  der  Re- 
[  duktionslage  vermieden  werden  kann  —  drei  auccedierende  Maximal-i 
I  das  Versagen  der  obigen  Fonneln  bedingen  würden.  Dann  ist  noch 
edn  weiteres  Inten'all  zu  den  bisher  berücksichtigten  hinzuzunelunen, 
r  als  eine  Funktion  dritten  Grades  bestimmen  zu  können.  Es 
[  Bei  dies  das  auf  das  Intervall  mit  i  =  i,  folgende  Intervall  mit 
j,.  Setzt  man  nun  wie  oben  a  =  g,-\-  x  oder  ^  g^  —  ('  —  x], 
I  wo  g,  und  g,  die  untere  und  obere  Grenze  des  Intenalles  mit  der 
lUitte  «0  und  ^^x.^  sind,  so  ergiebt  sieh: 

^^a  +  ^{i  -  X)-  y[i-xf  ~  5{i-  xY;  | 

4«V  =  "D +  -*.  —  -_,  —  -,;  6'''<J  =  a-to—  3*.—  t_,+  ', .      I 


Hieraus  folgt  als  Majdmalwert,  wenn  z.B.  x^^x,  und  ^o>  ?,>!■_ 


Man  findet  teiTier 


i  =  — (j-iK. 5),  wran  ;,=  =,  =  ,,; 

x^  —  (i  -|-  JV15  |,  wenn  -_,  =  ^,  =  -o  U 

wonach  die  Lage  von  D,  wechselt,  je  nachdem  man  das  auf  die 
drei  Maximal-i  folgende  oder  das  vorhergehende  Intervall  lierück- 
eichtigt.  Dieser  Unsicherheit  kann  nur  durch  Beiziehen  der  beiden 
Naclibarintervalle  begegnet  werden.] 

[Gescliieht  dies,  indem  man  -o^ 'i^  ■_.  annimmt  und  außer 
dem  folgenden  Intervall  mit  i  =m,  noch  das  vorangehende  Intervall 
mit  x^x_^  berücksichtigt,  so  erhält  man  zur  Bestimmung  des  Maxi- 
mums, für  x^a  —  g,,  die  Gleichung:  ■ 

;4t'<J=-2S, +  :,+  !_,;  ) 

mit  der  Bedingung: 

2ß-\-byx-h  i2d3*'<;o.] 
§  89.  [Wälirend  so  die  Existenz  von  ß,  unabhängig  von  <lem 
Bestehen  eines  Verteilungsgesetzes  ist,  und  seine  Bestimmung  in 
snccessiver  Annäherung  durch  Interpolation  erreicht  werden  kann, 
wird  die  Existenz  von  öp  gerade  durch  das  vorausgesetzte  Vert«- 
lungsgesetz,  unseren  Falles  durch  das  zweiseitige  G.  G. ,  gefordert, 
und  seine  Berechnung  aus  den  gegelwnen  Tafelwerten  ist  auf  Grund 
seiner  mathematisch  formulierten  Eigenschaft«n  vorzunehmen.  Es 
würde  zwar,  wenn  die  unvermeidhchen ,  unausgeghchenen  Zufällige 
kciten  ein  genaues  Zutreffen  des  Verteilungsgesetzes  nicht  hindern 
würden,  der  dichteste  Wert  von  vom  herein  die  Eigenschaften  von 
Dp  besitzen,  mithin  Di^  Dp  sein;  und  es  wäre  alsdann  kein  Anlass 
vorhanden,    neben   ö,-  noch  Dp  zu  berechnen,    wenn   nicht   auch    in 


diesem   Falle    die    sc-barf    formulierten  Eigenschaften    von    D^,   eine 

r  größere  Sicherheit  als' die  AnnUheiningcn  des  Interpolalionsverfahrens 

böten.    Insofern  aber  der  Gang  der  Tafelwerte  niemals  völlig  den 

'   Forderungen    des   Gesetzes    entspricht,    weichen  ß,   und  D^  ausein- 

I   ander;    und   es   muss    unabhängig  von   Di    auch  Dp   bestimmt  wer- 

I   den,  um  sowohl  in  dem  Unterschiede  ihrer  Lage  einen  Maßstab  für 

das  Zutreffen  des  Verteilungsgesetzes  zu  gewinnen,   als  auch  in  Dp 

einen   geeigneteren  Ausgangswert  wie    in  D,  zur  Anwendung   jenes 

1  Gesetzes  zu  erhalten.] 

I  [Es   wird  nun  Dp,   in    solidarischem  Zusammenhange    mit   dem 

I  zweiseitigen  G.  G.,  durch  die  Eigenschaft  definiert,  dass  die  Anzahlen 
der  unteren  und  oberen  Abweichungen  bezüglich  desselben  sich  ver- 
balten wie  die  Mittelwerte  der  unteren  und  oberen  Abweichungen, 
oder  dass: 

tn., :  ■m'^c,  :e'.  (i  i) 

Da  diese  Eigenschaft  des  theoretisch  wahrscheinlichsten  Wertes  ein 

Ausfluss  des   Verteilungsgesetzes  ist,    so   steht  unter  Voraussetzung 

der  Gültigkeit  dieses  Gesetzes  von  voraberein  fest,  daas  ein  und  nur 

1  derartiger  Wert  in  unseren  Verteil ungatafebi  existiert  und  in  der 

'  Kähe  von  Di  zu  suchen  ist.     Es  hat  aber  ein  Interesse,   nachzuwci- 

f  sen,   dass  Dp  einerseits    nicht,   wie   A   oder   C,   in  jeder  beliebigen 

I  Tafel  existiert  und  andererseits  in   mehrfacher  Auflage   vorkommen 

I  kann.] 

[Zu  diesem  Zwecke  setze  man   eine  Verteilungstafel   nut  aqui- 
di3tänt«n  a  voraus,   deren  x  das  eine  Mal   durchweg  konstant,   das 
andere  Mal  durchweg  das  nämliche  Vielfache  der  zugehörigen  a  dar- 
^m    stellen.] 

^^M  [Im  ersteren  Falle  sind  che  z  gleichmäßig  auf  die  ganze  Tafel  zu 

^^K  verteilen;  es  ist  mithin,  zwischen  den  Grenzen  a^b  und  a^c: 

^^fcwo 
^H  so 


I: 


fc  wo  a  eine  Konstante  bedeutet;   und  flu-  ein  beliebiges  a  findet  man: 
e,  =^\{a  —  h) ;     c'  ^  j  (c  —  a) 
in,  =  (i{(i-  —  b];  m'^(i{c  —  n), 
[  so  da-ss  jedes  «  che  Eigenschaft  von  D,  besitzt.] 


Der  diehtHte  Wert. 


[Im    zweiten  Falle  ergiebt  sicli  durch   Interpolation    die    stetig 
Verteilung : 


und  wählt  man  als  Grenzen  (7  =  o;  a^c,  so  erhält  man  bezüglid 
eines  beliebigen  n: 


so  dass  als  Lösungen  der  Gleichung: 

c,m' —  e'm,^o 

nur  die  beiden  Werte  0  =  0  und  o:=c  resultieren,  für  welche  c,  und 
tti,  resp.  c  und  W  gleich  Null  aiiid.  Von  diesen  Grenzwerten 
wird  aber  von  vornherein  in  jeder  Tafel  die  Bedingungsgleichung 
für  D^  erfüllt,  oline  dass  man  sie  als  Z>p- Werte  in  Anspruch 
ninunt.  Es  giebt  somit  in  diesem  Falle  kein  D^  innerhalb  der  Tafel.] 
[Infolge  dieses  Vorkommens  kann  es  wünschenswert  erschei- 
nen, ein  Kriterium  für  das  Vorhandensein  von  Dp  zu  besitzen.  Ein 
solches  bietet  sich  in  einfacher  Weise  durch  folgende  Ei-wägung. 
Ist  für  den  Beginn  der  Tafel  nachweisbar  e, :»»,  >^c' :*«',  für  das 
Ende  i!,:*n,<iy  ifn,  so  muss  für  einen  mittleren  Wert  a,:*n,=c'  ■.■m 
sein,  da  die  Quotienten  e,:m,  und  a  :  m  infolge  der  stetigen  Ver- 
teilung der  X  auf  die  einzelnen  Intervalle  sich  mit  der  Lage  des 
Wertes,  auf  den  sie  sich  beziehen,  stetig  andern.  Nun  ist  aber,  wenn 
Xa  das  X,  von  E,,  ^m  dasjenige  von  E'  darstellt  und  die  untere  Grenze 
des  Intervalles  von  E,  mit  i,  die  obere  Grenze  des  Inten-alles  von  E' 
mit  e  bezeichnet  wird,  für  den  Anfang  der  Tafel: 


für  das  Ende  der  Tafel: 


(  existiert  daher  jedenfalls  ein  Wert  Dj,  innerlialb  der  Tafel , 


(enn^^^l 


Der  dichteste  Wert.  189 


/vflf 


2[A  —  by        "'^2(C— ^) 


§  Qo.  [Zur  Berechnung  von  Dp  kann  zunächst  nur  die  Pro- 
portion (ii)  dienen,  da  sie  diesen  Wert  definiert.  Es  lassen  sich 
jedoch  auf  Grund  jener  Proportion  folgende  Eigenschaften  des  Wer- 
tes Dp  nachweisen,  die  in  gleicher  Weise  zu  einer  Berechnung  be- 
nutzt werden  können: 

i)  Das  arithmetische  Mittel  der  unterhalb  Dp  gelegenen  a,  d.  i. 
^a,:fn,,  vermehrt  um  das  arithmetische  Mittel  der  oberhalb  Dp  liegen- 
den a,  d.  i.  2a':ffPj  ist  gleich  dem  arithmetischen  Mittel  aller  a, 
vermehrt  um  Dp  selbst.     Mithin: 

^  +  ^  =  A  +  D,.  (13) 

2)  Die  Differenz  der  Mittelwerte  aus  den  unteren  und  oberen 
Abweichungen  der  a  bezüglich  Dp  ist  gleich  der  Differenz  aus  dem 
Werte  Dp  selbst  und  dem  arithmetischen  Mittel  der  a;  somit: 

c,  —  e'^==Dp  —  A.  (14) 

Die  Verbindung  letzterer  Gleichung  mit  (11)   führt  zu  der  weiteren 
Bestimmung: 

c,  +  c='^[A-Dp),  (15) 

wo  u=^tn'  —  tn,.    Durch  Addition   und  Subtraktion  von  (14)  und 
(15)  gewinnt  man  femer: 


c=  —  {A-D,) 


(16) 


Der  Beweis  von  (13)  wird  erbracht,  indem  durch  Substitution 
der  Werte 

c,  =  D,-^;    c-  =  ^-D,  (17) 


in  die  aus  der  Proportion  (11)  sich  ergebende  Gleichung  cffv,=^Cffn 
mittelst  einfacher  Rechnung  die  Gleichung: 


Dei  diehteite  Wert. 


hergeleitet  und  in  derselben 


gesetzt  wird.    In  der  Th.it  folgt  aus  der  so  resultierenden  Gleichung: 

■m  Dp  =  m  ^^—!  4-  m  ^^  —  ^a  [ig] 

durch  Division  mit  m  die  Foitiiel  (13).  Ist  aber  diese  Formel  ge- 
wonnen, 80  folgt  aus  üu-,  wenn  —a,:*M,  und  —a':nt'  aus  (17)  durch 
Dp  und  c,  reap.  c'  ausgedrückt  werden,  unmittelbar  die  Gleichung  (14).] 

§  gi.  [Zur  rechnerischen  Bestimmung  von  Dp  bietet  nun  die 
Gleichung  [13)  den  bequemsten  Ansatz,  Hierzu  ist  jedoch  eine  Kennt- 
nis des  Intervalles,  in  das  Dp  fällt,  erforderlich,  da  die  Eigenschaften 
des  gesuchten  Wertes  auf  die  AbweichungszaJden  und  Abweichungs- 
summen sich  gründen  und  nicht  eine  absolute  Bestimmmig,  wie  sie 
für  A  möglich  ist,  gestatten.  Es  muss  somit,  wo  eine  solche  Kennt- 
nis, die  z,  B.  durch  vorgängige  Bereclinung  von  Di  erworben  werden 
kann,  fehlt,  versuchsweise  der  Ansatz  für  irgend  ein  Inten'all  ge- 
macht und,  wenn  nicht  zufällig  das  richtige  Intervall  getroffen  wurde, 
für  ein  anderes  Intervall  wiederholt  werden,  wobei  indessen  das  Er- 
gebnis der  zuerst  geführten,  fehlschlagenden  Rechnung  die  Wahl  des 
Intervalles  bei  der  Wiederholung  de.s  Versuches  zu  beeinflussen  hat. 
Bietet  die  Tafel  keine  großen  Ahnonuitäten,  so  wii-d  es  sich  bei 
diesen  Versuchen  nur  nni  die  Wahl  zwischen  benachbarten  Inter- 
vallen handeln.] 

[Hat  man  demgemäB  ein  bestimmtes  Intenfall,  dessen  Mitte  a„, 
dessen  untere  Grenze  p,  und  dessen  x  gleich  ~^  sei,  als  Eingriffs- 
intervall  gewählt  und  für  dasselbe  v,  n,  §',  SC  berechnet,  so  ist  hei 
roher  Bestimmung  in  trhereinstimmung  mit  (13): 


oder; 


Sl- 


-A  = 


g' 1« +  '.)'  +  «' (3t +  °.», 
mv  (»  +  *„) 


Der  dichteste  Wert  191 

je  nachdem  Dp  kleiner  oder  größer  als  a^.  Es  ist  somit  die  erstere 
Formel  zutreffend,  wenn  a^  —  -Dp  <C  1  h  die  letztere,  wenn  Dp  —  a^  <  ^  t 
sich  ergiebt. 

Für  scharfe  Bestimmung  ist  aber  von  dem  Ansatz: 

'        v  +  y    '      n  +  x^—y 

auszugehen,  wo  Y  die  Eingriffssumme,  y  die  Eingriffszahl  bedeutet. 
Setzt  man  hier  nach  Kap.  IX,  Formel  (8)  und  (13),  wenn  x  das 
Eingriffsmaß  z=Dp  —  g^  angiebt  ^) : 

80  erhält  man  folgende  Gleichung  für  x  =  Dp  —  g^: 

ax^  —  ßx-^  y  =^o\ 

r=^[n  +  x,)  +  v[Sl  +  a,x,)^[g,  +  Ä)v(n  +  x,]', 


[22) 


mit  der  Bedingung,  dass  x  positiv  und  kleiner  als  I  sei.] 

[Da  jedoch  diese  Bestinmiungsweise  keineswegs  bequem  ist,  soll 
Dp  zu  irgend  einem  in  dem  nämlichen  Intervall  liegenden  Haupt- 
werte H  in  Beziehung  gesetzt  werden,  um  auf  Grund  der  besonderen 
Eigenschaften  des  jeweils  gewählten  H  einfachere  Gleichungen  zu 
gewinnen.] 

[Zu  diesem  Zwecke  mögen  die  Anzahlen  und  die  Summen  der 
unterhalb  und  oberhalb  fl' gelegenen  a  durch  m„^  w",  ^a„,  ^a"  be- 
zeichnet, femer  Dp  —  II  ^=x'  und  die  zwischen  2)^  und  //  liegenden 


I  [Wollte  man  die  einfacher  scheinende,  jedoch  ungenauere  Formel  (6^  des 
Kap.  IX,  nämlich  Y=^aoZoX'.  I ,  benutzen,  so  würde  an  Stelle  von  (22)  eine 
Gleichung  dritten  Grades  für  x  resultieren;  es  hätte  somit  der  Verlust  an  Genauig- 
keit überdies  eine  Einbuße  an  rechnerischer  Bequemlichkeit  zur  Folge.] 


■  AmaJil   nach  gleich  y',  ihrer  Summe  nach  gleich   }''  gesetzt  I 


werden,  so  dass: 


f:[H+- 


Man  gewinnt  di 


lami  aus  dem 


Ö,: 


^«■■  + 


Ansatze : 


-y 


fih-  jr'^Df  —  H  die  Gleichung: 

a' x"  —  ß'x' -\-  y'^o; 

=  wi„ffi"  +  ^  \Sa„  —  :Sa"  +  A  [m" - 


Y  ^  2.a„-  jh  +  2 «  ■ 


-[n-\-  Ä)}ii'm„\ 


(M) 


die  für  fl"  ^  ß,  in  [22)  übergelit  Aus  derselben  muse  sich  eiii  x' 
ergeben,  das  entweder  positiv  und  kleiner  als  g,  —  H  (wo  g^  die  obere 
Grenze  des  EingriffsintervalleB  ist),  oder  negativ  und  seinem  absoluten 
Werte  nach  kleiner  als  H — g^  ist] 

[Diese  Gleichung  fühi-t  nun,  wenn  entweder  das  arithmetiBche 
Mittel  A  oder  der  Zenti-alwert  C  oder  der  Sclieidewert  B  in  das 
Intervall  von  D^  füllt  und  als  II  gewälilt  wird,  zu  folgenden  Be- 
stimmungen : 

1 1  Es  sei :  H^  A;  .r  =  Dp  —  ^ ;  dann  ist : 


fif'—t'') 


II, ft  - 


•sj\  +  -i:^j{f,,-ti-)  = 


(25) 


wo   fi,  und  /('   die  Abweichungszalilen ,    — J   die   Gesamtsumme   der 
Al)weicliungen  bez.  A  vorstellen. 

2)  Es  sei  sodann:  H:=C;  :r  =  D^  —  C;  dann  resultiert: 


iV(J-C)-x('^-i:p»'-^a.))  +  "±'(^-C)  = 


126) 


WO  Jn„  und  Sa"  auf  C  sich  bezielien. 


Der  dichteste  Wert  193 

3)  Es  sei  schließlich:  H=R\  x  =  Dp  —  B;  dann  ergiebt  sich: 


+  ( — tn  m,\  A  —  m'm„ R  =  o; 

wo  m„  und  m"  bezüglich  R  zu  nehmen  sind.] 

[Der  Anwendungsbereich  dieser  Bestimmungsweisen  wird  noch 
erweitert,  w^enn  man  für  den  Fall,  dass  Dp  und  der  Hauptwert,  auf 
den  die  Rechnung  Bezug  nimmt,  in  benachbarte  Intervalle  fallen, 
eine  Verschiebung  des  Eingriffsintervalles  vornimmt  oder,  mit  anderen 
Worten,  das  Eingriffsintervall  aus  aneinanderstoßenden  Teilen  zweier 
Nachbarintervalle  zusammensetzt.  Das  x^  dieses  zusammengesetzten 
Intervalles  setzt  sich  dann  aus  den  proportional  bestimmten  x  seiner 
Teile  zusammen,  während  die  bez.  des  Hauptwertes  geltenden  Be- 
stimmungen erhalten  bleiben.] 

§  92.  [Von  diesen  Fonneln  wird  (26)  im  allgemeinen  vorzuziehen 
sein.  Denn  (27)  bezieht  sich  auf  einen  wenig  interessierenden  Haupt- 
wert, dessen  genaue  Berechnung  selbst  schon  nach  Kap.  X  (19b) 
die  Auflösung  einer  Gleichung  zweiten  Grades  erfordert;  während 
(25)  dadurch  im  Nachteil  steht,  dass  ^  dem  Lagengesetze  gemäß  von 
Dp  durch  C  getrennt  ist  und  somit  weniger  häufig  als  C  mit  Dp  im 
nämlichen  Intervalle  liegen  wird.  Es  ist  femer  picht  als  Nachteil 
zu  empfinden,  dass  die  Gleichung  (26)  die  Kenntnis  der  beiden  Werte 
A  und  C  erheischt,  da  man  neben  Dp  stets  auch  A  und  C  berech- 
nen wird.] 

[Es  ist  darmn  angezeigt,  die  auf  die  Kenntnis  von  C  und  A  zu 
gründende  Berechnung  von  Dp  nach  (26)  auf  eine  möglichst  einfache 
Form  zu  bringen.] 

[Zu  diesem  Zwecke  dividiere  man  (26)  durch  \7n''x  und  schreibe 
die  Gleichung  wie  folgt: 

——  =  -p%  (la" -  Sa„]  -  I  -  4p-',  xIC-A)  (28) 

X  Im   ^  '  I  m       "  ^     ' 

Setzt  man  nun: 

y.  C       -.-1  ,  C        —      ^1 

?=— ; — ?  also  x=  -  ^ — , 

Fechser,  KolIektiTmaßlehre.  13 


194  Der  dichteste  Wert. 

SO  erhält  man: 

>  -  /m'  ^-''         -''")         ' /^^^^ J  '  ('9) 

wodurch  eine  Kettenbruchdarstellnng  für  ^  gegeben  wird,  die  rasch 
konvergiert,  da  2X^(C  —  A):  [Im)  für  unsere  Tafeln  kleine  Werte 
darstellt.] 

[Der  Gang  der  Rechnung  ist  mithin  der  Ai-t  einzurichten,  dass 
auf  Grund  von 

der  Reihe  nach: 

?,  =  «  —  I ; 

?.  =  «  —  I  —  |- ; 

b3  =  «  -  I  -  f ; 

etc. 

bestimmt  und,  wenn  die  Rechnung  zum  Stehen  gekommen,  aus  dem 
gefundenen  Werte  von  ?  der  Wert  von  x  =^  Dp  —  C  hergeleitet 
wird.     Zugleich  ergiebt  sich  dann  in  einfacher  Weise  der  Wert  von 

[Aus  der  Gleichung  (26)  folgt  überdies,  dass  von  den  empirisch 
bestimmten  Hauptwerten  -4,  C  und  Dp  bei  den  für  unsere  Tafeln 
geltenden  GröBenverhältnissen  das  Lagengesetz  von  vornherein  erfüllt 
wird.     Bringt  man  nämlich  jene  Gleichung  in  die  Form: 

so  folgt,  wofern 

^a  —  2a„> , 

4^0 

dass  A-^C  und  x,  d.  i.  Dp — C,  weder  gleichzeitig  positiv,  noch 
gh^iclizeitig  negativ  sein  können.  Es  ist  daher,  da  die  angegebene 
Bedingung  in  der  That  von  den  Verteilungstafeln  erfüllt  wird, 

entweder  A>C':>Dp  oder  ^  <  C<  Dp  , 

wie  du    "  "f,  es  verlangt.] 


XII.   Gründe 

daftir,  dass  wesentliche  ABymmetrie  der  AbweichuDgen  bezüglich 

des   arithmetischen   Mittels    und  Gültigkeit   des   asymmetrischen 

Terteiltingsgesetzes  bezüglich  des  dichtesten  Wertes  D  im  Sicne 

des  verallgemeinerten  Gauss'schen  Gesetzes  (Kap.  V) 

der  allgemeine  Fall  sei. 


§  93.    Gemäß  (Ipm  (§  4)  gemacliten  ITntersdiierte  zwisthen  wesent- 
.  liehen  und  unwesentlichen  Bestimmungen  kann  man  geneigt  sein,  auch 
eine  wesentliche  und  unwesentliche  (oder  zufaiyge)  Asymmetrie  der 
Abweichungen  beziiglicli   eines  Hauptwertes,  wie  des   arithmetischen 
Mittels  oder  diclitesten  Wertes,   zu  untersclieiden.     Ricliten  wir  hier 
die  Betrachtung  in   dieser  Hinsicht  ?.uuiichst  auf  das  arithmetische 
Mittel  Ä.     Gewiss  ist,    dass  seihst  bei  symmetrischer   W.   der  Ab- 
I  weichungen   bez.  A  durch  unausgeglichene  Zufälligkeiten  ein  Untei^ 
'  schied  zwischen  dein  Abstände   der  Extreme  ff,   E,  von  A  und  ein 
Unterschied   u   zwischen   der  Zahl   der  beiderseitigen   Abweichungen 
/('   und  fi,  hervorgeben   kann,    und  so  kann  man    nach  Merkmalen 
fragen,    wodurch  sich  eine  wesentliche  Asymmetrie    bez.   A,    (Ue 
I  nicht   von   unausgeglichenen  Zufälligkeiten    abhängt,   von   einer    un- 
wesentlichen oder  zufälligen,  die  davon  abhängt,  unterscheidet.     Ab- 
gesehen  nun  von  den    in  Kap.  JT   angegebenen   allgemeinen,    etwas 
unbestimmten   Merkmalen,    wodurch   wesentliche  von   unwesentlichen 
'  Bestimnuingen  zu  unterscheiden  sind,   kann  man  hierbei  darauf  fußen, 
f  Aam    der    durch    bloße    unausgeglichene   Zufälligkeiten    entstehende 
I  Unterschied  «  zwischen  ,«'   und   /(,  einer  Wahrscheinlichkeitsbestim- 
nuing  fähij;  ist,   und   dass  sich   die  wahrscheinliche  Größe  desselben 


196 


Orflude  fflr  'wesentli^e  Asymmetrie. 


angelien    lüsst.      Nacli    Maßgabe    nun,    als    dieser    walu-sL-lieiiilichi 
üntei-scliietl  überschiitten  wird,  wird  es  unwahrscheinlicher,  dass  die 
Asymmetrie  eine  bloß  zufällige  sei,  und  giebt  es  selbst  Regebi,   den 
Grad  der  Unwahrscheinlichkeit  zu  bestimmen,  ohne  dass  fi-eilich  ein&j 
iibsolute  Gewissbeit  hierbei   en-eicbhar  ist;  worüber  ich   auf   die 
merkungen  in  §  31   (Idstoriscb)  zurückweise  und  auf  die  Wahrsclieia' 
lichkeitafnrmeln   des  XIV.  Kapitels   verweise.     Und    so  könnte 
als   leitenden    Gesichfcspunkt    nacli    vorwiegender    Wabi'scbeinlicIUteit 
aufstellen,    nur    solche    Fälle    der    Asymmetrie    bezüglich    A     für 
wesentlich    zu  halten    und   eine   Bewährung   der   Gesetze   weseutli« 
asymmetrischer  Vei"teilung    dafür    zu    suchen,    wo    der   hezüghch 
sich  ergebende  wahi-scheinliche  Wert  von  u  niclit  tmerheblich   übei 
stiegen  wird. 

In  der  That  habe  ich  von  vornherein  die  Sache  so  gefasst, 
niieli   nachmals   überzeugt,   wie   schon  in  §  32  bemerkt,   dass   dief 
zunächst  so  natürlich,   ja  geboten  erscheinende  Auffassung  gänzhi 
den  richtigen  Gesichtspunkt  verfehlt.     Sie  würde  haltbar  sein,   wenn 
ilie   symmetrische  W.   der  Abweichungen   bezüglich  A  der  allgemein 
vorauBzusetzende  Fall  wäre,  und  nui',  wie  man  vom  Anfange  her 
voraussetzen  konnte    und   noch    von   Qoetblbt    vorausgesetzt  v 
Ausnahmen  erlitte,    die  besonders  herausgesucht  und  rechnend 
)mndeit  sein  wollten.     Andei-s  stellt  es  sich  aber,  wenn  rielmeln- 
Sinne  der  schon  vorgreiflich  ausgesprochenen  Ansicht  die  wesentli 
Asyiiunetrie   der  allgemeine  Fall  ist,  welcher  unter  den   unzälüij 
Graden,   in  welchen  die  Asymmetrie  vorkommen  kann,   den,   vr< 
ve  rech  wind  et,  nui-  als  besonderen,  in  idler  Strenge  vielleicht  nie 
kommenden  Fall  enthält. 

g  94.     Dann  ist   ein  piinzipi eller  üntersclued  zwischen   we 
lieber  und   unwesentlicher  Asymmetrie  gai-  nicht   zu   machen; 
K.-G.  dürfen,  ja  müssen  unter  der  Voraussetzung  der  asjTniuetrischen 
W.   behandelt  werden,   mit   Rüclcsicht    nur,    dass  bei    entUicheni   m 
wegen   unausgegh ebener  Zufälligkeiten  die  Größe   und  Richtung 
Asymmetrie  zufälh'g  von  dei'jenigen  abweichen  kann,  welche  bei 
endlichem  m  sich  als  wesentliche  liei-uusstelten  würde;  und  der  dun 
schlagende  Grund,  es  so  7.u  fassen,   ist,   dass   selbst  in  den  Fälh 


eiu&,^^_ 
ein^^^l 


Gründe  für  weseutliche  Asymmetrie.  197 

wo  nach  den  vorliegenden  Wahrscheinlichkeitsformeln  die  Asymmetrie 
bezüglich  A  möglicherweise  nur  zufällig  sein  könnte^,  die  in  §  33 
angefühlten  Gesetze  der  Asymmetrie  sich  in  einer  mir  selbst  uner- 
warteten AUgemeinlieit  bestätigen. 

Nun  gestehe  ich  allerdings,  dass  es  mir  selbst  befremdend  er- 
schienen ist,  und  überhaupt  ein  Rätsel  darin  gefunden  werden  kann, 
dass  l)ei  so  schwacher  Asymmetrie,  wie  sie  vielfach  bei  den  K.-G. 
des  VII.  und  Vm.  Kap.  vorkommt,  in  Konflikt  mit  den  unausweich- 
Uchen  Zufälligkeiten  wegen  EndUchkeit  des  w,  doch  die  oben  auf- 
gestellten Gesetze  der  Asymmetrie  sich  mit  merkwürdiger  Allgemein- 
heit und  Approximation  bestätigen. 

Nehmen  wir  z.  B.  die  Schädeldimensionen.  450  Exemplare 
europäischer  Schädel  geben  für  den  Vertikalumfang  (bei  i  =  5  mm 
jP,  =368)  220  negative,  230  positive  Abweichungen  von  .4^ ,  die- 
selben Schädel  für  den  horizontalen  Umfang  unter  entsi)rechenden 
Verhältnissen  gar  226  negative,  224  jiositive  Abweichungen,  Unter- 
schiede, die  viel  zu  unbedeutend  sind,  um  nicht  von  unausgegUchenen 
Zufälligkeiten  übensuchert  zu  werden;  und  doch  geben  diese  Fälle, 
sowie  zahli'eiche  andere  von  gleicher  Ordnung  der  Unterschiede,  nicht 
minder  gute  Bestätigungen  der  aufgestellten  Asymmetriegesetze  als 
die  Beispiele  von  stärkerer  Asymmetrie,  was  ich  mir  bisher  nur  so  zu 
erklären  weiß,  dass  die  verschiedenen  Elemente,  auf  deren  Verhält- 
nisse sich  die  betreffenden  Gesetze  beziehen,  von  den  unausgegUchenen 
ZufälUgkeiten  im  Zusammenhange  betroffen,  hieraus  in  gleicher  Rich- 
tung und  naheliin  um  gleiche  Größen  oder  in  gleichem  Verhältnis 
abgeändert  werden,  so  dass  vielmelu-  nur  die  absoluten  Größen  als 
die  gesetzhchen  Unterschiede  oder  Verhältnisse  der  Elemente  darunter 
leiden,  womit  nicht  behauptet  ist,  dass  diese  gleiche  oder  propor- 
tionale  Änderung  genau  erfolge,  sondern  nur  so  weit,  dass  der 
Spielraum,  den  die  Gesetze  noch  übrig  lassen,  niclit  überscliritten 
wird.  Diese  Auffassung  mag  noch  einer  gründlicheren  matliematischen 
Diskussion  bedürftig  sein;  in  Ei-wartiing  einer  solchen  bleibt  jeden- 
falls die  That Sache  bestehen,  dass  selbst  die  schwächsten  Grade 
der  As}Tnmetrie  bezüglicli  A  den  aufgestellten  Verteilungsgesetzen 
der  Asymmetrie   noch  ihre  Gültigkeit  bewähren  und  dadiu'ch  selbst 


198 


OrOiide  fllr  waientliehe  Aijrmmetrie. 


beitragen,   die  Allgt-nieinlieit  einer  mehr  als  liloü   zufälligen  Aiii 
inetrie  zu  beweisen '). 

Bestellt  nun  aber  eine   solche   im    angegebenen   Sinne    für   diel 
K.-G. ,   so  ist  die  Anwendung  matbematiscber  Walirscheinlichkeit»^  1 
formeln   zur  Xlntei-scheidung  wesentlicher  und  unwesentlicher  Asym- 
metrie eigentlich  mUHig.    Möchte  immer  füi-  Gegenstände  von  schwa^  ' 
eher   Asymmetrie   dadurch   nachweisbar  sein,    dass  die   Asymmetrie 
hezüglich  Ä  möglicherweise  nur   zufiilh'g  sein  könnte;  was  ist  damit 
getlian,   wenn  die  faktische  Untersuchung  beweist,  dass  sie  den  Ge- 
setzen wesentlicher  Asymmetrie  gehorchen;   indes,   da  diese  Formeln 
doch   ein   gewisses  theoretisches  Literesse  füi-  unser  Gebiet  behalten, 
will  ich  in  den   folgenden  Kapiteln  darauf  eingehen,   ohne  folgeuds 
praktischen  Anlass  zu  hahen,  darauf  zu  fußen. 

§  95-  Stelle  ich  nun  überhaupt  die  Gründe  zusammen,  welche 
uns  zu  veranlassen  haben,  statt  einer  wesentlichen  Symmetrie  eine 
wesentliche  Asymmetrie  bezüglich  Ä  und  eine  Verallgemeinemng  des 
G.  G.  im  Sinne  der  §  33  angeführten  Gesetze  zuzulassen,  so  sind 
es  folgende. 

i)  Da  es  jedenfalls  Fälle  eines  so  großen  « :  m  giel)t,  bei  deuen 
man  nach  weit  überwiegenden  Wahi'scheinlichkeitsgiünden  nicht  um- 
hin kann,  das  Vorliandensein  wesentlicher  Asymmetrie  bezüglich  A 
zuzulassen ,  so  kann  der  allgemeine  Fall  keinesfalls  in  wesentlicher 
SjTiunetrie  bez.  A  gesucht  werden;  wohl  aber,  wenn  überhaupt  etwas 
Allgemeines  für  K,-G.  in  dieser  Beziehung  gelten  soll,  in  wesent- 
licher Asymmetrie,  worunter  wesentliche  Symmetrie  iind  sehwaclii- 
Asymmetrie  als  besondere  Fälle  treten. 

2]  Wenn  man  einen  und  denselben  K.-G.  einer  vergleichenden 
Verteilungsrechnung  nach  dem  füi"  wesentliche  Asymmetrie  gelten- 
den, zweispaltigen  GAOss'schen  Verteilungsgesetze  (§  33}  und  dem 
für  wesentliche  Synmietrie  geltenden,    einfachen  GAUss'schen  Vertei- 


1'  ^Man  vcrgl.  hierzu  die  theoretiBche  Abteitiiug  des  asiimnetrischeu  Vcr- 
teihrngsgcseUcB  §136,  wotiaoh  die  Hauptwerte  aich  mir  uia  GrSßen  von  der 
Orduuug  I  oder  t:  yin  uutcrschcideu,  nelch  letiteie  so  klein  rorauszusetieu  üiid, 
duBB  ihre  Quadrate  i'  oder  t  :  m ,  cudlichcu  Größe«  gegeuilber,  vcroachlässiiit 
wcrdeu  dürfcu.] 


lun^sgesetze  {§  24  flfid.)  imtfrzielit,  so  ist  die  ecstcre  Vtirteihiiigs- 
recliiiung  von  vornherein  dadurch  ira  Vorteil,  dass  sie  das  empiriscli 
vpTscliiedenne  in',  m,  bez.  D  beiderseits  genau  wiedergiebt,  wogegen 
letztere  für  das  empirisch  verschiedene  fi' ,  li,  bez.  ,(  denselben  Wert 
^^\ft' -\- (t,) ^  {m  giebt,  der  also  für  die  eine  Seite  um  ebensoviel 
gegen  die  empirische  Äbweichungszalil  zu  groB  als  auf  der  anderen 
zw  klein  ausfallen  niuss.  Dieser  im  Prinzip  der  verglichenen  Kech- 
ntmgaweisen  begründete  Vorteil  für  die  Kechnuiig  nach  der  Verallge- 
nieinening  des  G.  G.  für  Asymmetrie  würde  nun  zwar  an  sich  nicht 
hindern,  dass  in  den  einzelnen  Verteilungsbestimmuugen  der  m'tp' 
und  -m,tp,  (§  27)  sich  um  so  gi-ößere  und  im  ganzen  überwiegende 
Xacbteile  gegen  die  RechnungHweise  nach  dem  einfachen  G.  G.  gel- 
tend machten;  aber  so  weit  ich  Vergleiche  angestellt  habe,  ist  das 
Gegenteil  der  Fall. 

3)  Die  Gesetze  der  wesentlichen  Asymmetrie,  welche  §  33  für 
den  Fall  eines  hinreichend  großen  m  und  Ei-füUung  der  in  Kap.  IV 
angegebenen  Re(|uiKiten  aufgestellt  sind  und  weiterliin  ilire  theore- 
tische Begründung  linden  werden,  bestätigen  sich  an  dem  vorliegen- 
den L'ntersuchungsmaterial  allgemein  mit  solcher  Annäliemng  an  die 
idealen  Forderungen,  wie  es  nur  bei  den  doch  nicht  ganz  ausschließ' 
baren  unausgeghchenen  ZufaUigkeiten  erwartet  werden  kann,  und 
beweisen  damit  zugleich  (Üe  Bichtigkeit  dieser  Theorie. 

So  gilt  es  zuvörderst  beKüglich  des  Proporti onalgesetzes.  Nach 
den  gegebenen  Erklärungen  besteht  es  darin,  dass  bezüglich  des 
Wertes,  auf  den  das  größte  x  fällt,  kurz  bezüghch  des  dichtesten 
Wertes,  die  Zahl  der  beiderseitigen  Abweichungen  sich  wie  die  Größe 
ihrer  mittleren  Werte,  d.  i.  tn,:  nt'^e,ze-'  verhält,  wonach  umge- 
kehrt der  Wert,  bezüglich  dessen  dies  Verhältnis  zuüifEt,  mit  dem 
durch  sein  j-Maximum  direkt  bestimmten  dichtesten  Werte  zusam- 
menfallen muss,  Nachdem  wir  nun  eine  Verteilungstafel  durch  an- 
gemessene Reduktion  auf  einen  so  regelmäßigen  Gang  dei-  x  gebracht 
haben,  dass  eine  Untersuchung  seiner  Gesetze  und  Verhältnisse  über- 
haupt möglich  ist,  finden  wir  den  daraus  nach  der  Bedingung  be- 
stimmten Wert,  dass  sich  bezüglich  desselben  /«, :  m'  =  e, :  c'  verhalte, 
in  das  Intervall  fidlend,  auf  welches  das  größte  ;  füllt,  wie  man  sicli 


200 

ülierzouf'fii  kiinii,  woiin  man  einoi-soits  das  in  den  Tabellen  der  Ele- 
mente aufgeführte,  überall  nach  jener  Bedingung  bestimmte  Df,  an- 
dererseits die  auf  die  Foini  der  Intervalltnfel  gebrachte  Vei-teilungs- 
tafel,  aus  welcher  die  Ableitung  geschehen  ist,  vor  Augen  ninnnt. 
Mittelst  des  Kap,  XI  angegebenen  Interpolationsverfalirens  aber  knnu 
man  das  D  in  dem  Intfr\alle,  worin  es  liegt,  noch  genauer  bestim- 
men, als  wenn  man  es  direkt  nach  der  Größe  seines  x  zu  bestimmen 
sucht,  wonach  man  dann  freilich  in  den  Tabellen  der  Elemente  nicht 
eine  weitere  Bestätigung  des  Proportionalgesetzea  daidn  finden  darf, 
dass  bezüglich  des  darin  aufgeführten  dichtesten  Wertes  D^  sieb 
wirklieb  -tu, :  tn'  =se,'.a  verhält,  da  D^  selbst  als  der  Wert  bestimmt 
ist,  bezüglich  dessen  dieses  Verhältnis  besteht,  Nun  kann  allerdings 
ausnahmsweise  dieser  Wert  unter  dem  Einflüsse  stai'ker  unausgegli- 
chener ZufaUigketten  und  bei  ungünstiger  ßeduktionslage  statt  in  das 
Intervall  mit  dem  Maximal-t  selbst,  in  das  Nachbaiintervall  fallen; 
doch  reicht  es  dann  im  allgemeinen  lün,  die  Eeduktionslage  zu  Uii- 
dem,  um  ilm  in  das  betreffende  Inten-all  hineinzubringen. 

Weiter  aber  finden  wii'  in  dem  mögUcbst  scharf  auf  Grund  jener 
Proportion  bestimmten  Werte  I)p  einen  Äusgangswert-  für  Abwei- 
chungen, welche  dem  zweisiialtigen  G.  G.  genügen,  mit  zuRlUigen 
Störungen  allerdings,  die  ja  nirgends  fehlen  können ,  aber  nur  solchen 
von  gleicher  Ordnung,  als  auch  bei  der  Verteilung  der  Beobachtungs- 
fehler bezüglich  des  niithmetiscben  Mittels  vorkommen  und  geduldet 
werden,  wie  die  BKssEL'schen  Vergleichstabellen ')  zwischen  Beob- 
achtung und  Rechnung  beweisen. 

Was  das  Lagengesetz  anlangt,  wonach  der  Zentralwert  C  und 
das  arithraetische  Mittel  A  nach  derselben  Seite  vom  dichtesten  Werte 
in  der  Art  abliegen,  dass  C  zwischen  A  und  llf  fällt,  so  wird  man 
es  mit  seinen  Konsequenzen  ausnahmslos  selbst  bei  den  schwächsten 
u:m  in  den  Tabellen  der  Elemente  bestätigt  finden,  und  konnte 
geneigt  sein,  hierin  den  allerschlagendsten  Beweis  für  wesentliche 
Asymmetrie  zu  finden,  da  bei  wesenlicher  Symmetrie  vielmehr  Dp,C,  Ä 
nm'  durch  unausgeglichene  Zufälligkeiten,  und  dann  in  unbestimmter 


I  FiiiidamcutA 


Sectiu  II,  p.  19,  20-1 


«ik 


Gründe  für  wesentliche  Asymmetrie.  201 

gegenseitiger  Lage,  von  einander  abweichen  könnten.  Doch  ist 
hierauf  nichts  zu  geben.  Es  lässt  sich  nämUch  nachweisen,  dass  das 
Lagengesetz  eine  notwendige  Konsequenz  des  Proportionalgesetzes 
ist*),  und  sofern  Dp  in  den  Tabellen  der  Elemente  durch  das  Pro- 
portionalgesetz bestimmt  ist,  muss  sich  dann  freihch  auch  das  Lagen- 
gesetz bezüglich  desselben  bestätigen,  ohne  damit  beweisen  zu  können, 
dass  dieser  Wert  dem  Maximal-;?  entspriclit ,  was  fundamental  immer 
nur  durch  den  direkten  Vergleich  geschehen  kann. 

Hiergegen  setzen  die  /r-Gesetze,  wodurch  für  die  Abstände  zwi- 
schen Dp ,  C^  A  bestimmte  Werte  festgestellt  werden,  die  Gültigkeit 
des  zweispaltigen  G.  G.  voraus,  ohne  dass  dieses  eine  notwendige 
Folge  des  Proportionalgesetzes  ist,  und  tragen  also,  insofern  sie  sich 
in  der  Erfahrung  mit  solcher  Annäherung  bestätigen,  als  es  unaus- 
geglichene Zufälligkeiten  gestatten,  allerdings  wesentlich  bei,  das 
Vorhandensein  wesentUcher  Asymmetrie  zu  beweisen,  sofern  solche 
mit  dem  zweispaltigen  G.  G.  soUdarisch  ist. 

Schließlich  also  kommen  die  aus  den  Tabellen  der  Elemente 
und  den  damit  in  Beziehung  stehenden  Vergleichstabellen  zwischen 
beobachteter  und  berechneter  Vei'teilung  zu  entnehmenden  Merkmale 
für  das  Vorhandensein  wesentlicher  Asymmetrie  darauf  zurück:  a)  dass 
das  nach  dem  Proportionalgesetz  bestimmte  Dp  mit  dem  direkt  be- 
stimmten Di  so  nahe  zusammentrifft,  als  es  unausgeglichene  Zufällig- 
keiten gestatten;  b)  dass  die  Abweichungen  von  dem  in  ersterem 
Wege  möglichst  genau  l)estimmten  Dp  dem  zweispaltigen  G.  G.  in 
zufriedenstellender  Weise  genügen;  c)  dass  die  tt- Gesetze  mit  hin- 
reichender Annäherung  erfüllt  werden.  Selbstverständlich  muss  Wi 
air  dem  die  Erfüllung  der  Requisiten  des  Kap.  IV  vorausgesetzt 
werden,  die  überhaui)t  zu  einer  erfolgreichen  Untersuchung  der  K.-G. 
erfüllt  sein  müssen.  Sofern  nun  imter  diesen  Voraussetzungen  die 
angegebenen  Kriterien  allgemein  zutreffen,  kann  allerdings  ein  Schlu«s 
auf  das  allgemeine  Vorkommen  wesentlicher  Asymmetrie  daraus  ge- 
zogen werden. 

4)  Verstehen  wir  verwandt!»  K.-G.  im  Sinne  folgender  Beispiele, 


I    [Vergl.  den  Schluss  des  vorhergchcudcu  Kapitels.] 


so  giebt  es  niclit  wenige  Fälle,  wo  das  n  derselben  hei  dem  zu  < 
böte  stehenden  iii  zu  klein  ist,  um  niclit  bei  jedem  insbesondere  ( 
Mögliclikeit  der  Abhängigkeit  von  bloß  zufälliger  Asymmetrie  übrig  zu 
lassen,  in  der  Richtung  aber  bei  allen  so  übereinstimmend,  oder  einer 
Abwandelung  der  Gegenstände  »o  gesetzlicti  folgend,  als  sich  nielit 
mit  bloßer  Zufälligkeit  verträgt. 

So  habe  ich  bei  Rekrutenmuüen  ganz  vei-scliiedener  Iiiinder,  s» 
weit  sie  als  vollziildig  anzusehen  sind,  die  Asymmetrie  benüglicli  .1 
immer  positiv  gefunden,  bei  tägUohen  und  monatlichen  Eegenniengen 
(Genf,  Freiberg)  für  alle  Monate  negativ,  für  die  verschiedensten 
Bauch-  und  Bmstorgane  des  Mentichen  [nach  Boyb)  immer  negativ 
gefunden.  Bei  den  tliei-mischen  Moniitsabweichungen  anderei-seits 
kehrt  sich  die  Richtung  der  Asymmetrie  im  Fortschritt  der  Monate 
durch  das  Jalir  gesetülicli  um,  so  duss  sie  in  den  Wintermonaten 
positiv,  in  den  Somniennonaten  schwächer  negativ,  in  den  Zwischen- 
monaten  dazwischen  schwankend  ist.  Bei  den  Roggenähreu  ist  das 
«  des  obersten  Gliedc«  positiv,  scliwächt  sich  beim  Herabsteigen  zn 
den  unteren  Gliedern  und  schlägt  bei  den  untersten  ins  Negative  um, 
Unsü-eitig  zwar  könnte  das  m  aller  dieser  Fälle  klein  genug  genom- 
men werden,  dass  die  Konstanz  oder  Gesetzlichkeit  gestört  würde 
oder  verloren  ginge,  sofern  mit  der  Kleinlieit  des  m  die  unausge- 
glichenen Zufälligkeiten  einen  wachsenden  Einfluss  gewinnen;  aber  das 
ni,  was  zu  Gebote  stand,  hat  liingereicht ,  es  zu  verhüten.  Wäre 
aber  keine  wesenthctie  Asj-mmetrie  vorhanden  gewesen,  so  hätte  sie 
auch  bei  keiner  Größe  des  in  ein  so  konstantes  oder  gesetzliches 
Übergewicht  über  die  Zufälligkeiten  gewinnen  können.  Das  mehr- 
fache Vorkommen- solcher  Fälle  hat  mich  zuerst  darauf  gefülirt,  der 
wesentlichen  Asynraietrie  überhaupt  eine  allgemeine  Rolle  im  Gebiete 
der  IC-G.  zuzuschreiben;  und  unstreitig  würden  sich  die  Fälle  dieser 
Alt  häiifen,  wenn  nur  hinreichende  Vnteraucl Hingen  mit  himvichendcm 
m  in  Bezug  darauf  vorlägen. 


XIII.  Mathematische  Verhältnisse  der  Verbindung  von 
wesentlicher  und  unwesentlicher  Asymmetrie. 

§  L(6.  Si'i  irgend  ein  Wert  H  als  AiHgangswert  der  Ali- 
weicJiungen  gentniiuieii,  und  bestehe  asymmetrische  W.  (wesentliche 
Asymmetrie]  liezüglich  desselben,  so  würde  oline  Zutritt  unausge- 
glichener Zufäilligkeiten  (itiifaUige  Asymmetrie)  der  Unterschied  u 
/wischen  den  beidei-seitigen  Abweicliungen  einfach  proportioniil  mit 
der  Vergröflei-ung  oder  Verminderung  resp.  waclisen  oder  almelimen. 
In  der  That  sei  er  bei  einem  gegebenen  Ausgangs-/«  gleich  x,  so 
wfQ-de  er  bei  /i-mahger  Wiederholung  der  Beobachtung  an  jedesmal 
neuen  Exemplaren  desselben  tiegenstaniles  denselben  Wert  x-  n-ni&\ 
erreichen,  mithin  auch  bei  Zusammensetzung  der  /*  Beobachtungs- 
reihen zn  einer  einzigen  kontinuierlieiien  der  Unterscliied  x  in  iix 
übergehen.  Wenn  dagegen  (Ue  wesentliche  Asymmetrie  ganz  weg- 
fiele, und  der  Unterschied  bloß  von  unausgeglichenen  Zufälligkeiten 
abhinge,   so   würde,   wenn  wir  beim  Ausgangs-»»  den  Unterschied  // 

^  fänden,  dieser  ünterechied  bei  «-fächern  vi  nicht  gleich  tiy  werden 
können,  weil  die  Richtung  und  ürößo  des  Unterschiedes  bei  den 
"Wiederholungen  zufällig  wechselt,  und,  wenn  schon  allgemein  ge- 
sprochen  ein   Übergewicht,   unbestimmt   nach  welcher  Seite,    bleibt, 

I  ändert  sich  dieses,  also  der  definitive  Unterschied,  solange  man  sich 
in   großen  Zahlen  von  Abweichungen  bewegt,   und  durehsclinittlicli 

'  auch  bei  kleinen  ZaJiIen,  nach  bekanntem  Prinzip  statt  im  Verhält- 
nis /(  vielmehr  im  Verhältnis  V«.  Füliren  wir  nun  das  zu  ver-n- 
fachende  m  als  Einheit  der  Ver-/(-fachuug  ein  und  bezeichnen  die 
von  der  Größe  des  n  abliäugigen  Wei-t«  mit  «  als  Iudex,  so  werden 

'  wir  zu  setzen  haben';: 


'   hnt   hier   koasequei 
ilcu    beim    Aiis^ti};ii- 


I   Wert 


204  MiuhuDg  TOD  trecentlicber  und  unwHenÜicher  Aifiiinietrie. 

für  den  Fall  bloß  wesentlicher  Asynmietriei 


für  den  Fall  liloß  unwesentlicher  Asymmetrie: 

und  für  den  Fall  des  ZusammentrefEens  beider: 

u.,  ^tiTj  -\-y,  \  n 

wobei  y,  allgemein  gesprochen  mit  ,/■,  gleichen  oder  ungleichen  Voi 
Zeichens  sein  kann;  denn  während  t  beim  Übergänge  aus  ,r,  in  nx^ 
seine,  sei  es  positive  oder  negative,  Richtung  beibehält,  kann  y,  beim 
Übergänge  in  y^Vn  nach  Zufall  seine  Richtung  beibehalten  odi 
wechseln,  ohne  dass  eine  allgemeine  Entscheidung  dazwischen  vor- 
liegt; und  nehmen  wir  y,  nach  absolutem  Werte,  so  werden  wir 
Rücksicht  auf  diese  Zweifelhaftigkeit  zu  setzen  haben: 

u„  ^  nXj  ±  »/,  Vn 

und  beim  Ausgangs-Hf  selbst,  wo  ii  ^  i  . 

V,  =^  3",  rt  (/,  . 

andermal  =  i :  loo,  mo  werden 


Setzen  wir  jot/t  einmal  ii  =  loo, 
wir  respektiv  erhalten: 

"loo  ^  looj",  rt  loy,  , 

5^5  lOO         lO 

Also  bei  Vcrliundertfaclmng  des 


por- 

I 

ien 

I 


voti  X  beicidhuct,  eiitsprci^heud  mit  y,  [Auch  ist  zu  benchtcu,  dass  Formel  (3' 
nur  die  schematischc  DarBtcllviug  der  Mischung  von  weBentüchcr  und  nuwesent- 
liohei  Agyminctrie  geben  will,  ohne  zu  besagen,  daas  ,i/,  denselben  Wert  wie  in  'i 
repräsentiert.  In  der  Thal  sind  beide  Werte  Terschiedeu.  Denn  das  aiif  unwesent- 
licher As^nunetTie  beruhende  Glied  y,V"  ''^  nichU  weiter  als  die  nach  AA'.  zu 
emarleiide  durchschnittliche  Schwankung  des  Wertes  tou  u„  ,  während  das  in 
der  weaentlicheu  Asymmetrie  begründete  Glied  nr,  den  HahrschcinUchutcn  Wert 
von  «„  darstellt;  die  durchschnittlich  zu  erivarteude  Schwankung  um  deu  wahr- 
Bchciulic baten  Wert  ist  aber  von  dem  letzteren  abhängig  und  besitzt  mithin  ver- 
aehiedene  Werte,  je  nachdem  der  wahrscheinlichste  Wert  gleich  Null  ist  oder  eine 
endliche  OrOße   darstellt     VergL  hierzu   den  Zusatz   xum  folgenden  Kap.  (g  iot).l 


Mischuug  You  wesentlicher  und  unwesentlicher  Asymmetrie.  205 

gangs-x  auf  das  loofache,  das  Ausgangs-^/  bloß  auf  das  lofache  ge- 
steigert, und  sollte  n  ins  Unbestimmte  vergrößert  werden,  so  würde 
das  definitive  y,  d.  i.  der  von  unausgeglichenen  Zufälligkeiten  ab- 
hängige Unterschied,  gegen  den  von  wesentlicher  Asymmetrie  ab- 
hängigen X  ganz  verschwinden;  umgekelirt  ist  nach  (7)  bei  Herab- 
setzung des  Ausgangs -m  auf  i  :  100  das  Ausgangs -x  auf  i  :  100, 
das  Ausgangs-^  bloß  auf  i  :  10  herabgekommen,  und  ersteres  würde 
bei  weiterer  Verkleinerung  von  m  gegen  letzteres  merklich  ganz  ver- 
schwinden können,  was  nur  insofern  nicht  ganz  parallel  mit  der  Ver- 
größerung von  m  geht,  als  m  ins  Unendliche  vergrößert,  aber  nur 
bis  auf  2  verkleinert  werden  kann,  soll  überhaupt  noch  ein  Unter- 
schied u  bestehen.  Allgemein  aber  folgt  hieraus,  dass  die  wesent- 
hche  Asymmetrie  leichter  bei  großem,  die  unwesentliche  bei  kleinem 
m  überwiegt,  sofern  wir  jenes  als  ein  in  starkem  Verhältnisse  ver- 
größertes, dieses  als  ein  in  starkem  Verhältnisse  verkleinertes  Aus- 
gangs-/;2,  welches  man  immer  dafür  nehmen  möge,  betrachten  können, 
wovon  natürlich  das  Bedürfnis  abhängt,  ein  mögUchst  großes  m  an- 
zuwenden, um  die  wesentliche  Asymmetrie  möglichst  ungestört  von 
unwesentlicher  zu  erhalten. 


XIV.  Formeln  für  den  mittleren  und  wahrscheinlichen 

Wert  des  von  rein  zufälliger  Asymmetrie  abhängigen 

Unterschiedes  u. 


§  97.  Wenn  sclioii  oben  Merkmale  zur  Untei-scbeitlung  der 
wesentlichen  von  der  unwesentlichen  AsjTnmetrie  gegeben  sind,  ist 
doch  zu  gestehen,  dass  sie  keinen  absoluten  Charakter  haben.  Auch 
kann  man  in  der  Tliat  nie  absolut  versichern,  dass  eine  wesentliche 
Asymmetrie  vorliegt,  sondern  nur,  dass  eine  überwiegende  Walir- 
scheinliclikeit  für  dieselbe  besteht,  eine  um  so  mehr  überwie^tende, 
je  mehr  die  oben  angegel jenen  Unterscheidungsmerkmale  <on  der 
zufälligen  bestehen  und  zusammentreffen. 

Um  doch  ein  etwas  bestinmiteres  Wahrscheinlichkeitsurteü  zu 
fällen,  ist  es  nützlich,  zu  wissen,  welchen  Unterschied  man  nach  W. 
und  im  Durchschnitte  schon  bei  wesenthcher  Sjmmetrie  nach  bloßer 
Zufäihgkeit  zu  finden  erwarten  kann. 

Unter  walirsc  heinlich  er  Diffei-enz  verstehe  ich  diejenige,  ilie  in 
einer  gi'oBen,  streng  genommen  unendlichen  Zahl  von  Fällen  eben 
so  oft  unterschritten  (nicht  erreicht),  als  Überschritten  wird;  unter 
mittlerer  oder  durchschnittlicher  die,  die  man  erhält,  wenn  man  die 
hei  oft  wiederholten  Verauchen  mit  gegebenem  m  erhaltenen  Werte 
von  w  ohne  Rücksicht  auf  das  Vorzeichen  addiert  und  mit  der  Zahl 
n  der  vorgenoimnenen  Wiederholungen  dividiert.  In  der  That,  hat 
man  den  einen  oder  anderen  beider  Werte  für  den  Fall  wesentlicher 
SjTnmetrie  allgemein  bestimmt,  so  wird  man  jeden,  bei  einer  ge- 
gebenen Mittelbestimmung  erhaltenen  Wert  von  n  damit  vergleichen 
können.  Übenviegt  er  jene  Werte  in  starkem  Verhältnisse,  so  wird 
man  es  sehr  unwahrscheinlicb  zu  finden  haben,  dass  er  bei  SjTnmetrie 


FonnelD  für  da«  mittlere  und  nahraoheinlichc  ii 


2(17 


I  eiToiclit  werden  konnte,  weil  die  Unwahrscheinlich  keil  davon  mit  der 
I  Grüße  dieses  tlbersteigens  wächst,  hiergegen  eine  wesentliche  AsjTn- 
[  Dietrie  vom  Vorzeiclien  des  u  sehr  wahrscheinlieh  halten  dürfen. 
I  Bleibt  er  erheblich  unter  diesen  Werten,  so  hat  man  niit  gi-oGer  W. 
,  Buf  Symmetrie  oder  geringe  Asviiinietrie  von  zweifelhaftem  Vorzeichen 
2U  schließen.  Ja,  man  kann  noch  genauere  Schlüsse  ziehen.  Die 
L  Theorie  lehrt,  und  die  Ei-fahrung  bestätigt  es,  dass  die  Walu-schein- 
I  lichkeitsverliältnisse ,  welche  nacli  G.  G.  für  die  Beobaclitungsfebler 
a  Sinne  des  bekannten,  tabellarisch  darstellbai-en  Integral«  bestehen, 
I  sich  bei  wesentlicher  Sj-mmetrie  auf  die  ii  in  der  Art  übertragen 
[  lassen,  dass  das  Übersteigen  des  mittleren  oder  wahi-acheinlichen  /* 
[  bis  zu  gegebenen  Grenzen  gleicher  W.  unterliegt  wie  das  ITherst^igen 
\  des  einfach  mittleren  oder  wahi-scheinlicben  Beobachtiingsfehlers. 

Dies  wird  ausführlicher  und  genauer  in  den  beiden  folgenden 
I  Kapiteln  theoretisch  erwiesen,  empirisch  hewäbi-t  und  ilie  Anwendung 
[  davon  gezeigt  werden.  Hier  besctiränke  ich  mich,  voigreiflich  f(d- 
L  gende  Hauptbestimnmngen  daraus  zu  entlehnen,  wekJte  geeignet  sind, 
'  den  allgemeinsten  Anhalt  zu  geben. 

§  98.     Mail  hat  dabei  zwei  Fälle  zu  unterscheiden,   den  eigent- 
I  lieh  nur  idealen  Fall,   dass  die  Werte  J  vom  wahren  A   gerechnet 
'  werden,  wie  es  aus  einer  unendlichen  Zahl  von^  Einzel  werten,  also  im 
absoluten  Normalfalle  zu  erlangen   sein   wünle,    und    den  Fall   der 
I  Wirklichkeit,   wo   sie   von  dem  in  gewisser  Weise  unrichtigen  A  ge- 
I  rechnet  werden ,   wie   es    aus  einer  endlichen   Zahl   von  Werten    zu 
I  erlangen  ist.     Ei-stenfalls  ist  gleichgültig,  welchem  Gesetze  der  Ver- 
teilung  die   einzelnen  W^erte  nach  Maß   und  Zahl   gehorchen,   nicht 
■  die  Größe,  nur  die  Zahl  derselben  bei  gleicher  W.  der  +  und  — 
kommt   in   Betracht,   und   man  kann   den   bekannten  Sack  mit  einer 
'  gleichen  Anzahl   weißer  und   schwarzer  Kugeln  statt  +  imd  —  als 
'  Anhalt  zur  Berechnung  nehmen.   Letztenfalls  muss  für  die  theoretische 
Berechnimg  des  mittleren    und    wahrscheinlichen    »    ein   bestimmtes 
I  Gesetz  der  Verteilung  zu  Grunde  gelegt  werden,  weil  sich  hiernach 
!  die   durchschnittlich   und   wahrscheinlich  zu  ei-wartende   Abweichung 
I  4es  falschen  vom  wnhren  -'I  richtet,  und  diese  wieder  auf  die  Größe 
I  des  durchschnittlichen  und  wiibrsclir'inlichen  //  von  Einfluss  ist-    Wir 


208  Formeln  für  das  mittlere  und  wahrscheinliche  u . 

legen  demgemäß  zweitenfalls  für  die  Verteilung  das  G.  G.  zufalliger 
Abweichungen  vom  Beobachtungsmittel  unter,  welches  durch  das  be- 
kannte Integral  dargestellt  wird,  da  diese  Verteilung  als  normal  für 
den  idealen  Fall  eines  wesentlich  symmetrischen  K.-G.  gelten  kann. 
Sei  nun  U  das  mittlere,  V  das  walirscheinliche  u  in  dem  soeben 
(§  97)  angegebenen  Sinne  unter  Voraussetzung  des  ei*sten  Falles,  ^5/^ 
und  9>  unter  Voraussetzung  des  zweiten  Falles*),  so  hat  man,  bis  zu 
sehr  kleinem  7n  merklich  zutreffend  folgende  Normalbestinmiungen : 


^  =K7  (^*  ^ 0,5)  =  0,797 88  Vmih  0,5,  fi) 

F  =  0,67449  V///,  (2) 


-^=V^  (i  —  ^)  •  yrn  dzi, 5  =0,48097  Vm  d:  1,5  ,  (3) 

5P  =  0,406 59  Vm,  (4) 

log  0,79788  =  0,90194—  I  ,     log  0,67449  =  0,82897  —  I  , 
log  0,48097  =0,682  12  —  I  ,     log  0,40659  =  0,609  ^6  —  I  • 

In  dem  Werte  von  U  und  ??/*  ist  das  obere  Vorzeichen  respektive 
von  0,5  und  1,5  bei  ungeradem,  das  untere  bei  geradem  7n  zu  ver- 
wenden. 

§  99.  Hierzu  folgende  Bemerkungen.  SämtUche  vier  Fonneln 
sind  prinzipiell  nur  als  approxhnative  füi*  gi'ößere  rn  hergeleitet,  und 
bei  dieser  Herleitung  die  mit  ih  behafteten  Korrektionen  0,5  und  1,5 
der  Werte  IT  und  ^Z*  (die  füglich  gegen  größeres  ///  vei-schwindet) 
nicht  mit  gefunden.  Aber  es  findet  sich  empirisch,  dass  durch  An- 
bringung derselben  die  betreffenden  Fonneln  bis  zu  viel  kleineren 
m  —  ja  fast  bis  zu  den  kleinsten  —  herab  merklich  zutreffend 
worden  als  ohne  sie. 

Ein  Erfolg  der  Korrektion  :±:  0,5  für  V  ist,  dass  der  Weit 
(Usselben  für  jtnles  ungerade  und  das  nächst  größere  gerade  m  gleich 
groß  ist,  und  ein  Erfolg  der  Korrektion  :ti,5  für  ^Z*,  dass  der  Wert 
für  jedes  ungerade^  und  das  um  3  Einheiten  gi'ößere  gerade  m  gleich 


1    r  und  ^5'  haben  sonach  hier  eine  andere  Bedeutung  als  die  in  §  10  fest- 
gesetzte. 


Fonneln  für  du  mittleie  und  wahNohnnlicfae  u. 


209 


gi-oß  ist.  Durch  Rückgang  auf  ganz  genaue  Foniieln  für  [",  welche 
aber  bei  größcrem  nt  zu  imistündlich  in  der  Anwendung  werden, 
lässt  sich  beweisen,  dass  der  erste  Erfolg  nomitilerweise  von  dem 
kleinsten  bis  zu  dem  gi'ößten  ?n  streng  und  allgemein  gültig  ist;  was 
den  zweiten  anlangt,  so  kann  ich  dasselbe  nicht  mit  gleicher  Sicher- 
heit, sondern  nur  nach  den  in  Kap.  XVI  folgenden  empirischen 
Ergebnissen  behaupten,  welche  diesen  Erfolg  so  nahe,  als  man  es* 
nach  der  Unsicherheit  solcher  Ergebnisse  erwarten  kann,  zeigen; 
auch  ist  die  theoretische  Herleitung  der  gegebenen  Formeln  für  ^f 
und  3*  nicht  ganz  so  sicher  als  für  U  und  T'',  und  da  doch  gerade 
von  jenen  allein  für  unsere  jetzige  Untersuchung  eine  praktische 
Anwendung  zu  machen  ist,  uides  die  für  Fund  Fin  anderen  Unter- 
suchungen größere  Wichtigkeit  gewinnen,  so  ist  diesbezüglich  auf 
die  nach  einer  sehr  eigentümhchen,  sehr  mühsamen  Methode  von 
mir   erlangten,   empirischen    Bcwälirungaresultato    für   ^f  und   3'  in 

Es  wird  nützlich  sein  zu  bemerken,  dass  die  vorigen  Formeln 
auch  füi-  den  Fall  Anwendung  finden  können,  wenn  man  statt  des 
m  einer  einzelnen  Serie  das  summatorische  —iit  mehrerer,  bezüglich 
verschiedener  Mittel  erhaltener  Serien,  sei  es  mit  gleichem  oder  ver- 
schiedenem JH  vor  sich  hat,  indem  sich  dann  dies  2jn  für  ?n  in 
vorigen  Formeln  substituiert;  nur  muss  dabei  die  Bedingung  erfüllt 
sein,  dass  die  Zufälligkeiten,  welche  in  den  einzelnen  Serien  auf  die 
Größe  des  «  Einfluss  haben,  als  ebenso  unabhängig  von  einander 
angesehen  werden  können,  und  mithin  bei  Zusammenrechnung  der 
verschiedenen  m  entsprechend  zur  Kompensation  tendieren,  als  wenn 
man  das  vi  derselben  Serie  vergrößert, 

§  loo.  Noch  möchten  einige  theoretische  Bedenken  zu  heben 
sein,  die  sich  bei  Betrachtung  der  vorigen  Formeln  leicht  aufdrängen 
könnten. 

Nach  der  hei  vorigen  Formeln  vorausgesetzten  gleichen  Wahr- 
scheinlichkeit der  J'  und  J,  hätte  man  im  Sacke  mit  unendlich  rie- 
len  weißen  und  schwarzen  Kugeln,  welche  uns  die  ^'  und  J,  ver- 
treten können,  eme  gleiche  Anzald  beider  anzunehmen;  mid  wenn 
die  ganze  unendliche  Anzahl  gezogen  würde,  das  m  des  Zuges  also 

FiasRKc,  EnUclitiiaiDlehni.  ]4 


21  fr 


Formeln  für  das  mittlere  und  wahrBcheiiiliolie  u . 


unendlich  wäi-e,  so  sollte  hiemacb  der  Unterschied  //.  Null  sein 
zwar  bei  jeder  Wiederholung  eines  solchen  Zuges  Null  sein,  also  aui 
der  mittlere  und  wahrscheinliche  Unterschied  Null  sein,  wogegen  i 
Formeln  einen  mit  tn  ins  Unbestimmte  wachsenden  und  bei  »» = 
unendhchen  Wert  von  l.^,   V,  ^/,  ^  finden  lassen. 

Von  anderer  Seite  jedoch  leuchtet  ein,  dass  mit  wachsendem 
auch  der  Spieh-aum  eines  möghchen  zufälligen  Unterschiedes  zniscl 
fi'  und  u,  sicli  vergrößert,  und  insofern  allerdings  ein  Wachstum  d( 
mittleren  und  wahrscheinlichen  Unterschiedes  mit  m  erwartet  werdi 
kann,   wovon  keine  Grenze  ahzoselien  ist,   hiemach  bei  unendlichett] 
m  in  der  That  ein  unendlicher  Unterschied  erwartet  werden  kann. 
Diese  scheinbare  Antinomie  hebt  sich  dadurch,  dass,  wenn  schoj 
der  mittlere  und  wahrscheinliche  Unterschied  bei  unendlichem  m  de] 
Pomiela  gemäß  an  sich  selbst  unendlich  groß  wird,   er  doch  als  mit 
Ym  proportional,  als  Größe  zweiter  Ordnung,   gegen   m  sowohl  als 
u'  und  /(, ,  die  selbst  mit  m  gleicher  Ordnung  sind,  verschwindet,  so 
dass  man  aus  diesem  mathematischen  Gesichtspunkte  das  gröStmi 
liehe  ;(',   was   sich   ziehen   lilsst,   immer  noch  gleich  fi,,   oder  fi' 
der  Einheit  gleich  setzen  kann,  wie  es  als  Bedingung  der  Symmel 
festzuhalten  ist,  wenn  schon /i'  von /(,  sich  um  eine  gegen  bei 
schwindende  Größe  unterscheidet. 

Auch  kann  man  vielleicht  die  Sache  so  fassen:  Da  eine  Unend- 
lichkeit mit  einer  Unendlichkeit  multipliziert  gedacht  werden  kann, 
was  wieder  eine  Unendlichkeit  giebt,  so  folgt  daraus,  dass  man 
einfach  eine  unendliche  Zahl  Kugeln  zieht,  nicht,  dass  man  die 
ganze  Zahl  zieht,  und  es  könnte  immerhin  in  der  absoluten  Unend- 
Uclikeit  die  Zahl  der  weißen  und  schwarzen  Kugeln  gleich  sein,  obns 
ilass  bei  i»  =  oo  diese  Gleichheit  einträte ,  sofern  das  oo  nicht  die 
absolute  Unendhclilceit  bedeutete. 

Jedenfalls  kann  man  der  Ei-fahrung  nicht  anders  als  durch  obige 
Gestalt  der  Formeln  entsprechen,  und  rechtfertigt  sich  hiei'durch  die- 
selbe gegen  jedes  Bedenken  der  Theorie,  was  aus  vorigem  Gresichta- 
punkte  übrig  bleiben  könnte. 

Zweitens  kann  man  aufstellen,  dass,  da  mit  wachsendem  tn  der 
Unterschied  zwischen  dem  wahren  und  falschen  A  sich  mehr  und' 


Formeln  für  das  mittlere  und  wahrscheinliche  u,  211 

mehr  verkleinert  und  bei  unendlichem  7n  verschwindend  klein  wird, 
doch  nach  obigen  Formeln  das  vom  falschen  A  gerechnete  3^  zu  dem 
vom  wahren  Ä  gerechneten  U  ein  bei  größerem  m  merklich  konstantes 
Verhältnis  hat,  dessen  genauer  Grenzwert  für  unendliches  m  statt 
I  vielmehr 


^Z 


=V^^  =  o,6o2S  (5) 


U       ^       11 
ist. 

Dies  aber  hat  folgenden  Gnmd:  Die  Zahl  von  Abweichungen, 
welche  zwischen  dem  wahren  und  dem  falschen  Mittel  liegen,  und  wo- 
von der  Unterschied  zwischen  TJ  und  ^  abhängt,  nimmt  freilich  mit 
der  Annäherung  des  falschen  an  das  wahre  Mittel  ab,  aber  mit  der 
Größe  des  m  zu;  und  insofern  die  Annäherung  beider  Mittel  durch 
die  Größe  des  vfi  betlingt  wird,  kompensiert  sich  dies  so,  dass  jenes 
konstante  Verhältnis  bei  wachsendem  w  herauskommt;  und  selbst  bei 
unendlicher  Annäherung  beider  Mittel  kann  vermöge  Unendlichkeit 
des  w  noch  eine  unendliche  Menge  unendlich  kleiner  Abweichungen 
zwischen  beiden  mathematisch  liegend  gedacht  werden.  Auch  in  die- 
ser Hinsicht  ist  übrigens  die  Erfahrung  entscheidend.  Nach  den  in 
§  1 1 5  angeführten ,  mit  einander  vergleichbaren  Werten  von  XJ  und 
^S  findet  man  für  7/^=  lo;  50;  100  der  Beihe  noch  den  Wert  ^C\  TJ 
gleich  0,554;  0,558;  0,608,  was  von  dem  theoretischen  Verhältnisse 
und  von  der  Konstanz  nur  in  den  Grenzen  der  zu  erwartenden  Un- 
sicherheit abweicht,  die  natürlich  für  das  Verhältnis  zweier  Werte 
erheblich  größer  als  für  die  Einzelwerte  ist. 

Drittens  kann*  der  folgende  Umstand  auffallen.  Je  nachdem 
man  Abweichungen  vom  wahren  oder  falschen  Mittel  rechnet,  fällt 
die  Summe  derselben  verschieden  aus,  und  zwar  durchschnittlich  um 
so  kleiner  bei  Rechnung  vom  falschen  Mittel  gegen  die  Rechnung 
vom  wahren  Mittel,  je  kleiner  w,  und  je  falscher  mithin  das  Mittel 
ist.  Aber  der  Unterschied  ist  schon  bei  mäßigem  m  fast  verschwin- 
dend,  indem,   wie  ich  in  einer  besonderen  Abhandlung ^)  theoretisch 


i)  [»Über  die  Korrektionen  bezüglich  der  QenauigkeitsbestimmuQg  der  Be- 
obachtungen« etc.  in  den  Berichten  der  Kgl.  Sachs.  Gesellschaft  der  Wissen- 
schaften. 1861.] 

14* 


2t2 


Fanniln  fBr  das  mittlere  und  wahrscheinliche  u. 


und  empirisch  gezeigt,   die  falsche  zur  wahren  Suiiime   sich  duret- 
echnittlich  wie  Vm — i  zu  Vm  verhält,  welches  Verhältnis  raitwa( 
Bendem  m  sich   der  Einheit  rasch  nähert     Hiergegen  erecheint  ai 
fälhg,  dass  der  mittlere  Unterschied  zwischen  der  Zahl  der  positiv« 
und   negiitiTOn  Abweichungen  so  beträchtlich  verschieden 
sich  nach  obigem  Grenzverliältnis  5/":  P=  0,6028  ergiebt. 

Dies  lässt  sich  wie  folgt  verständlich  machen.     Wenn  die  AI 
weichungen,  die  man  in  Wirklichkeit  erhält,  vom  wahren  Mittel 
rechnet  werden  könnten,  wUrde  bei  endlichem  m  nicht  nur  die  Zahl, 
eondem  auch   die  Summe   derselben  nach  beiden  Seiten  nach  Zufall 
imgleich  sein.     Nun  geschieht   die  Bestimmung  des   falschen  Mittels 
80,    dass    mau    die   Summen    der  ^  nach    beiden    Seiten   künstlicli 
gleich  macht,  da  dies  ja  die  Bedingung  des  aritlmietisclien  Mittels 
ist,   und  man  hätte  hiemach  zu  erwarten,   dass  mit   dem  Suromen- 
unterscliiede  auch  der  Zahlenuntersclued  bei  Rechnung  von  falschem 
Mittel   ganz    verschwände,     wenn    beide    Untei-schiede   propoitional 
gingen.     Dies  ist  nun  nicht  der  Fall;  aber  jedenfalls  sieht  man  ei 
dass  das  Verschmnden  des  Summenunterschiedes  beim  tibergange 
wahi-en  zum  falschen  Mittel  recht  wohl  mit   einet  so    bedeuteni 
Reduktion   des  Zahlenunterschiedes  zusammeuliängen  kann,  wie 
sich  im  Verhältnisse  Sf:  U  herausstellt. 

Was  die  wesentliche  AsjTnmetrie  anlangt,   so  niuunt  sie  an 
ser  Reduktion  nur  geringen  Anteil.    Wie  oben  iKap.  XIH',  bemerl 
kann  sich   zwar  weder   wesentliche,  noch   unwesentliche  Asymmetrie 
bei  gar  zu  kleinem  ni  recht  entwickeln;  indem  aber  die  Abweichung 
des  falschen  vom  wahren  Mittel  durchschnittlich  ebenso  oft  im  Sinne 
als  wider  den  Sinn  der  wesentlichen  Asj-mmetrie  geschieht,   fii 
bei  großem  m  eine  Kompensation  des  Einflusses  hiervon  für  die 
scntliche  Asymmetrie  stitt 

g  101,  'Zusatz.  Um  schlieSlich  noch  die  Moditikationen,  weh 
die  obigen  Formeln  für  den  Fall  der  wesentlichen  Asymmetrie 
leiden,  anzugehen  und  zugleicli  die  Triftigkeit  des  im  vorigen  Kapitel 
gegebenen  Schemas  der  Mischimg  von  wesentlicher  und  unwesent- 
licher Asymmetrie  ru  erweisen,  ist  zu  beachten,  dass  bei  wesentlich 
»symmetrischen  K.-G.  nicht  vom  arithmetischen  Mittel,  soodeni  vom 


nne 


Fonneln  fQr  das  mittlere  und  wahrschemliche  u.  213 

dichtesten  Werte  prinzipiell  auszugehen  ist.  Bezüglich  des  letzteren 
Wertes  sind  dann  die  Wahrscheinlichkeiten  positiver  und  negativer 
Abweichungen  nicht  gleich,  sondern,  in  Übereinstimmung  mit  der 
theoretischen  Bestimmung  des  dichtesten  Wertes,  im  Verhältnisse  der 
beiderseitigen  einfachen  mittleren  Abweichungen  c'  und  c^  anzunehmen. 
Denn  die  Proportion  c':c,  =  in':  fn,  definiert  den  dichtesten  Wert,  so 
dass  die  Gesamtzahl  der  Exemplare  sich  im  Verhältnisse  e':e^  auf 
beide  Seiten  des  dichtesten  Wertes  verteilt,  und  mithin  eben  dies 
Verhältnis  die  Wahrscheinlichkeiten  p  und  q=  i  — p  für  positive 
und  negative  Abweichungen  bestimmt.  Es  sei  demgemäß  für  einen 
K.-G.  mit  gegebenem  c   und  e,  bez.  des  dichtesten  Wertes*): 

Dann  ist  zunächst  die  wahrscheinUchste  Differenz  zwischen  positiven 
und  negativen  Abweichungen  für  ein  beliebiges  m  gleich: 

m{p--q).  (7) 

Wird  femer  die  mittlere  und  wahrscheinliche  Abweichung  von  diesem 
Werte  in  gleicher  Weise  durch  U  und  V  bezeichnet,  wie  dies  oben 
betreffs  der  mittleren  und  wahrscheinlichen  Abweichung  vom  Null- 
werte geschah,  so  erhält  man  mit  Beiseitelassen  der  Korrektionen: 


U=\/^y^pqm  (8) 


7=0,6745.  y^pqm.  (9) 

Es  sind  mithin  die  wahrscheinlichen  Grenzen  der  Differenzen  u  gleich 


[P  —  q)^  ^  ?>6745  •  y^pqr?i ,  (10) 

d.  h.  es  ist  1  gegen  1  zu  wetten,  dass  ein  beobachtetes  u  größer  als 
(jp  — 5') w  — 0,6745 V42)2//^  und  kleiner  als  (p  — 3)7/2  +  0,6745 V4/? 5?» 

sei.] 


I)  [Eine  eiugeheiidcre  Diskussion  lehrt,  dass  bei  schwacher  Asymmetrie  die 
eine  arithmetische  Behandlung  des  £.-G.  gestattet,  p  und  q  nur  um  Größen  von 
der  Ordnung  i :  ]/7n,  wo  m  die  Gesamtzahl  der  Exemplare  des  K.-G.  ist,  von  ^ 
verschieden  sind.] 


214  Formeln  für  das  mittlere  und  wahrscheinliche  ii. 

[Diese  Bestimmung  der  wahrscheinlichen  Grenzen  lässt  zugleich 
die  Mischungsverhältnisse  der  wesentlichen  und  unwesentlichen  Asym- 
metrie erkennen,  wenn  im  Einklänge  mit  den  Aufstellungen  des  vor- 
hergehenden Kapitels  unter  wesentlicher  Asymmetrie  der  wahrschein- 
lichste, von  Null  verschiedene  Differenzwert  Uj  unter  unwesentlicher 
Asymmetrie  die  wahrscheinliche  Schwankung  lun  diesen  wahrschein- 
Uchsten  Wert  verstanden  wird.  Sie  zeigt,  dass  man  in  Formel  (3) 
des  angegebenen  KApitels  x,  =  (jp  —  9) w ;  y,  =  0,6745 V4p9^/^  setzen 
kann,  und  dass  man  sodann  in  Formel  (2),  wo  j?  ==  9  =  1  anzunehmen 
ist,  y^^=^o,6'j4^Vm  zu  setzen  hat.] 

[Man  gelangt  zu  den  angegebenen  Bestimmungen  des  wahr- 
scheinlichsten u,  sowie  der  mittleren  und  wahrscheinlichen  Schwankung 
um  diesen  Wert,  wenn  man  die  WahrscheinUchkeit,  dass  unter  m 
Abweichungen  fn'  positive  und  fn,  negative  sich  finden,  dass  mithin 
u^^ffp' — ffp,,  gleich: 

I  •  2  •  •••  Tfp  •  I  •  2  •  •  •  TtV^ 

setzt  und  hieraus  unter  Voraussetzung  eines  großen  Wertes  von  m 
den  Näherungswert: 

W[ui  =  -=i=  expT-  i!izd£riiHll  (x2) 

ySpqjtm      n.  Spqryi  J 

ableitet.] 


XV,  Wahrscheinlichkeitsbestimmungen  für  den  von  rein 

zufälliger  Asymmetrie  abhängigen  Unterschied  u  beim 

Ausgange  vom  wahren  Mittel, 

§  102.  Im  aUgpmemen  tiiidct  sidi  bei  K.- Gr.  zwischen  der  Zalil 
der  positiven  und  negativen  Äbweicbungea  ^l',  ^,  bez.  des  ariÜi- 
luetischen  Mittels  A  ein  Unterschied  u^/t'  —  /i, ,  ?on  dem  sieh 
fragt,  ob  er  nicht  bei  weaenthch  gleicher  W.  der  beiderseitigen  AIh 
weichungen  bloß  durch  unausgegUchene  Zufälligkeiten  wegen  End- 
lichkeit des  m  erklärlich  ist,  oder  ob  die  Mitbeteiligung  einer  asj-ni- 
metrischen  W,  der  Abweichungen  nach  beiden  Seiten  als  mitwirkend 
anzunehmen  ist,  da  unausgeglichene  Zufälligkeiten  bei  dem  endlichen 
m,  mit  dem  man  iitmier  zu  thun  hat,  Überhaupt  nicht  fehlen  können, 
ohne  dass  sie  aber  deshalb  den  gefundenen  Unterschied  allein  zu 
bedingen  brauchen.  Hierüber  lassen  sich  Wahrscheinlichkeitsbestim- 
ffluugen  angeben,  die  zwar  aus  dem  in  §  94  angegebenen  Grunde 
für  unsere  Lehre  keine  fundamentale  Wichtigkeit,  aber  immerhin  ein 
Interesse  haben,  was  mich  veranlasst,  ohne  diesen  Öegenstand  hier 
erschöpfen  und  in  seiner  mathematischen  Tiefe  verfolgen  zu  wollen, 
bis  zu  gewissen  Grenzen  darauf  einzugeben. 

Das  Allgemeinste,  was  sich  darüber  sagen  lässt,  ist,  dass  je 
größer  der  Unterschied  u  dem  absoluten  Wert«  nach  im  Verliältnisse 
zur  Totaizahl  m  ist,  und  je  grüBer  m  seibat  iet,  desto  unwahrschein- 
licher wird  die  Abhängigkeit  von  bloßen  unausgeglichenen  Zufällig- 
keiten, oder,  wie  wir  kurz  sagen  mögen,  die  bloße  Zufälligkeit  des 
Unterschiedes,  um  so  wahi-scheinlicher  die  Mitabhängigkeit  von  asjiu- 
metriacher  W.,  ohne  fi-eilich  eine  absolute  Gewissheit  auf  diesem 
Wege  überliaupt  eiTeichen  zu  können.    Wohl  aber  läast  sich  angeben, 


J 


216 


"Vf.  flir  lufiUUge  Asymmetne  bn.  du  irahna  Mittel«. 


wie  groß  bei  wesentlicli  symmetrisclier  W.  der  zufällige  mittlere 
wahrsclieinliclie  Unterschied  «  zwischen  ft'  und  n,  ist,  der  je  nach 
dem  Torhandeneui  m  erwartet  werden  kann,  wenn  unter  mittlerem 
Unterschiede,  kui'z  t',  der  Unterschied  verstanden  wird,  der  bei  oft- 
maliger Wiederholung  der  Beobachtung  unter  denselben  Umständen 
mit  demselben  m  aus  immer  neuen  Exemplaren  desselben  Gegen- 
standes als  ai-ithmetisches  Mittel  der  verschiedenen,  dabei  erhaltenen 
"Werte  von  u  [dem  absoluten  Werte  nach}  hen-orgeht;  unter  walu- 
scheinüchem  Unterschiede,  kurz  V,  der  Wert,  der  dabei  ebenso  oft 
überschritten  als  unterschritten  wird,  wovon  der  erste  bezüglich  der 
M-Werte  dasselbe,  als  A  bez.  der  n-Werte,  der  zweite  dasselbe  als 
der  Zentralwert  bez.  der  n-Werte  ist.  In  je  stärkerem  Verhältnisse 
nun  das  nach  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  bestimmbare,  rein 
zufällige  mittlere  und  walirscheinliche  w  in  einer  gegebenen  Ver- 
teilungstafel, resp.  [7  und  V,  von  dem  vorgefundenen  H  überscluitten 
irird,  desto  imwahrscheinlicher  wird  die  Abhängigkeit  desselben  von 
bloßer  ZufiiUigkeit;  imd  es  lassen  sich  selbst  nach  dem  VerliUltnisse 
dieser  Ülterschreitung  Grade  der  Unwahrscheinlichkeit  angehen,  wo- 
für die  Regeln  den  Mathematiken!  bekannt  sind,  worauf  ich  aber 
hier  nicht  näher  eingehen  will. 

Nun  scheint  es  zunächst  natürlich,  bei  der  Feststellung  der  Vi 
hältnisse  der  u  von  der  bekannten  Unie  der  WalirscheinUchkeits- 
reclinung  unter  der  Bedingung  auszugehen,  dass  darin  unendlich 
viele,  an  Zaiü  aber  gleich  viele,  weiße  und  schwai'ze  Kugeln  enthalten 
Bind,  indem  bei  Ziehung  von  Je  m  Kugeln  eine  gleich  große  W.  für 
den  Zug  weißer  und  schwai-zer  Kugeln  besteht,  wonach  der  Zahlen- 
Unterschied  u  der  Kugeln  Null  sein  miisste,  nach  Zufall  aber  bei 
wiederholten,  sagen  wir  n  Zügen  von  je  m  Kugeln  bald  die  Zahl  der 
einen,  bald  der  anderen  Kugeln  bald  mehr,  bald  weniger  überwiegt, 
kurz  ein  zufälliger  Unterschied  u  von  zufälliger  Größe  in  zufälliger 
Richtung  erhalten  wird.  Es  lasst  sich  nicht  nui-  berechnen,  sondern 
auch  dui'cb  Erfahrung  bewähren,  wie  groß  im  Falle  neler  {streng 
genommen  unendHch  vieler)  Züge  das  mittlere  und  wahrscheinhche 
H  dem  absoluten  Werte  nach  sind,  und  es  liegt  nahe,  das  Besultat 
hiervon  auf  den  mittleren  und  wahrscheinlichen  Wert  des  u  zu  iibi 


1 


W.  for  tufUlige  Asymnetrie  bei.  dei  waluen  Mittel«. 


217 


tragen,  was  iiatli  bloßem  Zufall  zwischen  der  Zahl  dej-  positiveu  und 
negativen  Abweichungen  vom  arithmetischen  Mittelwerte  eines  K,-G, 
unter  Voraussetzung  synunetnacher  W.  bezüglich  desselben  erhalten 
wird.  Nun  wird  allerdings  weiterhin  [§  log]  ein  Umstand  angegeben 
werden,  welcher  die  reine  Übeiiragung  des  Resultates  vom  einen  aui 
den  anderen  Fall  unthunlicli  machtj  aber  gehen  wir  doch  von  dem 
eben  besprochenen  Falle  aus,   wobei   sich   einige  interessante,   wenn 

r  ich  nicht  iiTe,   bisher  unbekannte  Verhältnisse  herausstellen  werden, 

,  um  ei-st  später  auf  den  verwickeiteren,   welchen   die  Kollektivabwei- 

I  chuugen  darbieten,  überzugehen;  kurz  besprechen  wir  zunächst  das 
Resultat  des  Zuges  der  Kugeln  aus  der  Urne  unter  den  angegebenen 

I  Verhältnissen,  wobei  ich  mich  in  betreff  der  Resultate  für  größeres 
m  auf  Sätze  stütze,  die  ich  in  den  ■Recherches  sur  la  probabilite 
des  jugements"  von  Poisson  und  den  Abhandlungen  von  Hauber  im 
7-,  8.  und  g.  Bande  der  Zeitschrift  für  Physik  and  Mathematik  von 
Baumoartnek  und  Ettingshausen  finde,  und  die  unstreitig  auch 
anderwärts')  zu  finden  sind,  indes  ich  für  kleineres  m,  wofür  meines 

I  Wissens  nach  keine  Untersuchung  vorliegt,  auf  eigener  Untersuchung 

I  fuße. 

§  103.    Nun  finde  ich  zunächst  in  jenen  Quellen  das  allgemeine 

[  Resultat  begründet,  dass  die  Wahrscheinlichkeitsverhältnisse  des  u 
hei  sehr  großem   m  und  n  unter   den  angegebenen  Bedingungen  in 

'  ihren  Beziehungen  untereinander  dasselbe  Gesetz  zufälliger  Abwei- 
chungen befolgen,  als  die  Abweichungen  ^  vom  arithmetischen  Mittel 

I  nach  dem  G.  G.  der  Beobachtungsfehler,  und  dass  mithin,  wenn 
Q'  das  Mittel  aus  den  Quadraten  aller  möglichen  it  bei  gegebenem 

!  m  ist,  auch  zwischen  Q,  U  und  V  bei  großem  m  und  71  dasselbe 
Verhältnis  besteht  als  nach  G.  G.   zwischen  q',  £  und  ic,   wenn  q' 

I  das  mittlere  Fehlerquadrat  ^d'.m,  e  der  einfache  mittlere  Fehler 
£^ :  m ,  und  w  der  wahrscheinhche  Fehler  ist.    Wonach : 


['=01/^  =  0,75788  Q 


f  0,79788^0,90194- 


ij   [Z.  B.   h 
I   ZuiEunDieii)iaQg  n 


Mcyek'b  VorleBuugec    über  WahrBcheinlichkeitBrechnuiig,    L 
l  der  Behandlung  de«  Bersoclli' gehen  Theorems;  Kap.  III.] 


Ufmmetne  bn.  des  i 


r=  0,67449  Q 
f^=  0.845  35  V 


log  0,67449  =  0,82897—  I 

log  0,845  35  =  0,927  03  —  I     iiT 


Nach  eigener  Untei-suclmng  aber  finde  ich  folgende  zwei,  an 
sich  nicht  uninteressante  Sätze,  welche  für  selir  großes,  streng  ge- 
nonunen  unendhches  ?j  streng  gültig  bleiben,  mag  m  groß  oder  klein 
sein,  also  sich  um  so  angenäherter  wiederfinden  werden,  je  öfter  man 
den  Zug  von  je  m  Kugeln  wiederholt,  sei  es,  d»ss  es  jedesmal  d 
oder  10  oder  100  u.  s.  w.  sind:  S 


2)  dass  ITganz  gleich  für  ein  gegebenes  ungerades  und  das  um 
I  größere  gerade  in,  also  für  ni^  1  und  2,  3  und  4,  99  und  100 
u.  s.  f.  ist. 

§  104.  Folgendes  die  Weise,  wie  matliematischerseita  auf  vorige 
Sätze  zu  kommen. 

Seien  jedesmal  m,  beispielsweise  4  Kugeln  aus  der  betreffenden 
Urne  gezogen,  so  können  folgende  5  Fälle  eintreten: 


Ueaaudere  Ziihl  der  geiogeaen 
weiQen  und  Bcliwaneii  Kugeln 


0  schw. 

1  scliw. 

2  .schw. 

3  schw. 

4  schw. 


—  2 

—  4 


Allgemein,  bei  gegebenen  m,  siud  die  möglichen  »-Werti 
wenn  die  positiven  und  negativen  u  ujiterschieden  werden,  hingegen 
bloß  \m  -{-  i  bei  geradem  «j,  | [m  +  1 1  bei  ungeradem  »1 .  wenn  die 
M  nach  absolutem  Werte,  also  positive  und  negative  als  gleich  gezählt 
werden.  Für  jedes  nicht  zu  große  m  sind  die  möglichen  u  nach 
vorigem  Schema  leicht  empirisch  zu  finden,  und  es  fragt  sich  nun, 
wie  oft  bei  sehr  oftmaligen  Zügen  von  m,  also  diesfalls  von  4  Kugeln 
jedes  der  möglichen  u  im  Verhältnisse  zur  Gesamtzahl  der  möglichen 
11  vorkommt,  oder  kui'z,  welche  W,  jedes  u  hat.  Sei  diese  W.  in 
gleich  anzugebender  Weise  gefunden.     Multiphziert  man   dann  jedl 


ide^^ 


W.  für  suftUige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


219 


u  mit  seiner  W.  und  addiert  diese  Produkte,  so  hat  man  darin  nach 
bekanntem  Prinzip  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  das  genaue 
mittlere  ti,  was  wir  U  nennen.  Zunächst  scheint  es  zwar,  dass  die 
Summe  jener  Produkte  noch  mit  der  Summe  der  W.  dividiert  werden 
müsste,  um  das  mittlere  u  zu  erhalten;  aber  jede  einzelne  W.  stellt 
sich  als  ein  Bruchwert  von  i  dar,  und  die  gesamte  Summe  dieser 
Bruchwerte  giebt  i,  was  keine  besondere  Division  nötig  macht. 
Ebenso  erhält  man  das  mittlere  w',  was  wir  Q*  nennen,  durch  Sum- 
mierung der  Produkte  der  einzelnen  w*  in  ihre  respektive  W. 

Es  gilt  also,  um  U  und  Q*  für  ein  gegebenes  m  zu  finden,  die 
dabei  möglichen  u  im  Sinne  obigen  Beispieles  zu  verzeichnen,  die 
"W.  eines  jeden  wie  folgt  zu  bestimmen,  und  dann  die  Summe  der 
Produkte  wie  angegeben  zu  nehmen. 

Um  nun  die  W.  eines  u,  kurz  W[u]  oder  W[f,i'  —  ^J,  unter 
Sonderung  der  positiven  und  negativen  Werte  für  gegebenes  m  zu 
erlangen,  hat  man  folgende,  den  Mathematikern  bekannte  Formel*): 


WM  = i.2.3...m liV" 

(l.2.3...ju')(l.2.3...^,)      \2l 


(4) 


wobei  I  .  2  .  3  . . .  w  das  Produkt  aller  ganzen  Zahlen  von  i  an  bis 
inkl.  m  bedeutet,  entsprechend  mit  ju'  und  ^, ,  in  dem  Falle  aber, 
dass  (X  oder  ^,  =  o  ist,  der  Wert  i  .  2  .  3  . . .  ju'  oder  i  .  2  .  3  .  . .  ju, 
gleich  I  zu  setzen  ist. 

Wenden  wir  dies  auf  unser  Beispiel  w  =  4  an ,  nehmen  ju'  für 
die  Zahl  der  weißen,  ft,  für  die  der  schwarzen  Kugeln,  1.2.3.4  =  24; 
(1)*  =  ^;  so  erhalten  wir: 


f^' 

/"r 

u 

W[u] 

4 

0 

+  4 

X 

x6 

3 

I 

+  2 

4 
16 

2 

2 

0 

6 
16 

I 

3 

—  2 

4 
x6 

0 

4 

—  4 

z 
16 

i)  Kürzer  drückt  man  dieselbe  Formel  so  aus: 


320 


W.  für  lufSU^  Afjnuaetrie  bec  dH  mluen  HiUeli. 


\eimii;ü  wir  nuii  >i  nach  absolutem  Werte  rücksichtslos  auf  seiu 
Vorzeicben,  wie  wir  zu  tliiin  habeu,  weil  U  als  Mittel  aus  den  ab- 
soluten Werten  gefasst  wird,  so  verdoppelt  sicli  bei  ungeradem  ni 
die  W.  für  jedes  u,  bei  geradem  m,  wie  es  bei  m^4  ist,  f lir  jedeg 
u  mit  Ausnahme  von  u^o,  und  haben  wir  das  vorige  Beispiel 
zu  schreiben: 


ir[±t<i 


Die   entsprechende  Dui'clifüluTmg  für  das  ungerade  /» ^  5  und   d( 
um  I  größere  gerade  m^ti  giebt: 

für  w»  ^  5  für  tn  =  6 


I 


±u 

Wl±u] 

S 

3 

S  =  A 

I 

W[±u] 


I 


[Daraus  folgt  aber  17=  t'-,  (^'=^4  für  «(^4;  [^^i|,  Q' =  5  für 
?ffl^5  und  U:=il,  Q'=^b  für  wt  =  6,  so  dass  sich  die  obigen 
Sätze  bestätigt  finden,  indem  ^' ^  ;w  für  m  =  4,  5  und  6,  und  U 
für  m  =  j  und  6  den  nändichen  Wert  erhält.  In  gleicher  Weise 
kann  füi"  beliebige  andere  m  durch  dii-ekte  Heclmung  eine  Bestätigung 
erzielt  werden.] 

[Um  jedoch  rlie  beiden  Sätze  in  ihrer  allgemeinen  Gliltigkeit  zu 
beweisen,  bezeichne  mau  Q  und  17  rücksichtlich  der  Abhängigkeit 
von  tn  durch  Ö»  und  U„,  und  setze  zunächst: 

D'     —    v(."'-A''r-H' 


u']:iii,): 


(5) 


wo  die  Summation  über  alle  Wertenpaare  {fi',fi,)=  (jii,  o};  (m  —  1,1}; 
...  [j  ,m—i];(o,m]  auszudehnen  ist,  für  welche  ft'-i- fi,:=m.  Somit 
ist  [ft' — ^,)' =  (//  +  /*,)"  —  4/i'/(,  ^  m'  —  4ii'fi,,  und  man  erhält 
durch  Substitution  des  let2teren  Wertes: 


lUUb^^_ 


W.  für  zufUlige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels.  221 


Da 


wenn  |u'=o  oder  ^,  =  0^  so  ist  die  zweite  Summe  bloß  noch  über  die 
Wertenpaare  (ju',  fi,)  =  (m  —  1 ,  i),  (w  — 2,  2),  ...  (i,  tw  —  i)  zu 
erstrecken,  und  man  kann  darum  ©,«'  in  folgender  Form  darstellen : 

Es  ist  nun  aber  die  erste  Summe  gleich  (1  + 1)»* :  2*",  die  zweite  gleich 
(i  4-  i)»"-"^:  2"*-^,  wie  immittelbar  zu  erkennen,  wenn  die  Dividenden 
nach  dem  binomischen  Satze  entwickelt  werden,  und  der  Wert  jeder 
der  beiden  Summen  ist  folglich  gleich  Eins.     Daher  erhält  man: 

i)  Q^  ^fri""  —  m{m^  i)=m. 

Man  setze  femer  für  ein  gerades  /»,   das  gleich  2^1   angenommen 

werde : 

TT     —  yy  2  (At'  —  ^,)  (2  ^).^ 

für  das  um  i  kleinere  ungerade  m  =  2ft  —  i : 

TT       —  V^^(^'— A^/)(^^^—  0-'  /^N 

^--x  -^       (|U');  (^1,)/  2-A*-^  ^^^ 

und  erstrecke  erstenf alls  die  Summation  über  die  Wertpare :  [ft\  fi,) 
=  (2/1,  o),  (2^—1,  i),  ...  (|tt+i,  |U— -i);  zweitenfalls  über  die 
Wertenpaare  (fi',  ^^  =  {2^1, —  1,  o) ,  [2^1  —  2,  i),  ...  (/i,  ju  —  1). 
Man  kann  nun  im  ersteren  Falle  |u'=  |tt+i+>L,  /<,  =  |tt—  i— A, 
im  letzteren  Falle  ^t'  =  ^t  +  A,  i^,=  i^  —  i  —  A  setzen,  wo  beidesfalls 
Ä  die  |U  Werte  ft— i,  ^  —  2^  ...  o  anzunehmen  hat,  so  dass  man 
folgende  Darstellungsformen  gewinnt: 


_^_(2JU)^    -^/.i     ,     .^  ^(^—  l)...(,U  — X) 


(10) 


222  ^-  f^f  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 

J-j^'    2{2k+l)(2^t-l): 

x=o   \f*-r   I  \t^  I  I  ^jjj 

_       2(2^—1).         Vz-i  I    ,^/^(ft— i)---(^  — ^) 

Da  aber  für  beliebige  positive,  ganze  Zahlen  ju  und  v'}: 

^[2X  +  V-,l+X)   ^(„_^,)___      (^_^;i)    -M,  (12) 


SO  ist  auch: 


(13) 


und  man  erhält  durch  einfache  Reduction: 

,^  TT    —r        —  (^^—0''  1 

§  105.  In  den  beiden  vorigen  Sätzen  ist  nichts  über  die  Zahlen- 
beziehung enthalten,  welche  in  den  Formeln  (i),  (2),  (3)  auf  Grund 
der  Anwendbarkeit  des  G.  G.  auf  die  Wahrscheinhchkeitsverhältnisse 
der  li  zwischen  den  Werten  ü,  Q  und  V  aufgestellt  sind,  und  liegt 
im  Bisherigen  noch  keine  [einfache]  Abhängigkeit  der  Wei-te  U  und 
V  von  der  Größe  des  m  vor,  wie  wir  eine  solche  doch  brauchen. 
Substituieren  wir  nun  aber  in  die  obigen  Formeln  auf  Grund  von 


i)  [Mao  beweist  diese  Identität,  indem  man  erst 

(A  =  ^=^ -f.  (f-^  +  I)  C. 

setzt  und  dann  der  Reihe  nach 

f.l[fA  —  l)  ,  ,.[}A  —  A) 

^iV-f-i)...  (i^  +  A—  I) 
für  A  =  1 ,  2 , ...  ^  —  I  durch 

0 


W.  fGUr  zuf&llige  Asymmetrie  bes.  des  wahren  Mittels.  223 

Satz  I )  den  Wert  Vm  für  Q^  so  erhalten  wir  folgende  zwei  Formeln, 
welche  das  Verlangte  leisten  ^j: 

[7=  0,797  88  V^  (14) 

F  =  0,67449  Kw",  (15) 

Formeln,  die  man  übrigens  aus  allgemeinen  Formeln  der  angezeigten 
Quellen  ableiten  kann,  so  dass  nichts  wesentlich  Neues  damit  geboten 
wird;  hiergegen  lässt  sich  auf  Satz  2)  folgende,  vrie  mir  scheint, 
bisher  unbekannte  Korrektion  der  Formel  (14)  gründen,  wozu  folgen- 
des vorauszuschicken. 


I)  [Man  gelangt  zu  der  nämlichen  Formel  für  U  ^  wenn  man  in  der  obigen 
Darstellung  von  XI^^ ,  die  der  Einfachheit  wegen  in  der  unreduzierten  Form 

vorausgesetzt  werde,  nach  der  SxiRLlNG'schen  Formel  {2,a)'=  (2^)*^«  exp[— 2^] 
•  ]/2  7r  •  2^  und  u\  =  ^'*  •  exp  [ —  ^]  •  y^n|A  setzt;  man  erhält  alsdann  nach  erfor- 
derlicher Reduktion 

V^^  =  ^\'^    oder     l^aa  =  l/|-V^. 

Da  jedoch  so  nur  eine  Annäherung  an  den  wahren  Wert  von  U^^^U^a^i  erzielt 
wird,  ist  es  angezeigt,  für  kleinere  Werte  von  2fjt  oder  2^  —  i ,  auf  Grund  der 
genaueren  Formel 

n',  =  w"  •  exp  [ —  »] •  V a;rn  1 1  H j  , 

den  Nähenmgswerten  von  '20)'.  und  (^).'  noch  den  Faktor 

beizufügen;  dann  erhält  man 

u.^  =  ^u-  =1/^  v^  ('  -  8^)  =  >/!•  v«T^; 

somit  für  gerades  m  die  Formel: 
für  ungerades  m  die  Formel: 

Man  gewinnt  somit  auf  diesem  Wege  die  unter  (16]  angegebene  Korrektion  für  U.] 


^4 


W.  für  lufftlligc  Asymmetrie  bei.  des  wahren  Mittels. 


Wälirend  die  obigen  Sätze  i)  und  2)  für  beliebig  kleines  und 
großes  m  bei  nur  liinreicbend  großem  n  gültig  bleiben,  setzen  die 
Formeln  (14)  und  (15),  ebenso  wie  die  Formeln  (1),  (2}  und  (3),  aus 
denen  sie  folgen,  ein  gi'oßes,  streng  genommen  unendliches  m  voraus, 
ohne  ein  größeres  n  als  i  zu  fordern.  Wollte  man  sie  aber  auf  so 
kleine  m  me  3,  4  oder  5  anwenden,  so  würden  sie  selbst  im  Mittel 
unendlich  vieler  Züge,  also  bei  unendlich  großem  n  ein  merklich 
falsches  Resultat,  hingegen  schon  bei  einem  einmaligen  Zuge  eines 
sehr  großen  m  ein  merklich  richtiges  Resultat  geben.  Ersetzen  wir 
aber  die  Formel  (14)  durch  folgende: 


U. 


=  0,79788  Vjwqr  0,5  (16) 

unter  Anwendung  des  oberen  Zeichens  für  gerades,  des  unteren  für 
ungerades  m,  so  entsprechen  wir  damit  der  Forderung  des  Satzes  2) 
und  finden  zugleich  empirisch,  dass  diese  Formel  selbst  bis  zu  den 
kleinsten  vi  herab  zwar  nicht  absolut,  aber  fast  genau  mit  den 
genauen  theoretischen  Zahlen  stimmt,  die  in  oben  angegebenem  "Wege 
prinzipiell  gleich  genau  für  kleines  wie  füi'  gi'oßes  m  erhalten  werden, 
nur  dass  fm-  großes  m  die  Rechnung  nicht  mehi-  diu'chführbar  ist. 
In  der  Tliat  erhält  man  hiernach  folgende  Vergleichstabelle: 


Vergleich  der  genauen  Werte  von  U  mit  den 
nach  (16]  berechneten. 


M 

8.-U 

0,797  88  Vmi  0,5 

diff. 

1    D.     2 

1,0000 

0,9772 

—  0,0228 

3  o-    4 

1,5000 

1-49*7 

—  0 

0073 

5  n.    6 

1,8750 

1,8712 

—  0 

003S 

7».    8 

»,.875 

2,1851 

—  0 

0034 

9  n.  10 

3,4609 

2,459* 

—  0 

0017 

11  n.  la 

j,7o7o 

2,7058 

—  0 

OOI3 

15  n.  16 

3,H" 

3,1413 

~o 

0008 

.5  U..6 

4,029s 

4,0291 

—  0 

0004 

Wie  man  sieht,  weichen  alle  nach  Formel  (16)  berechneten  Werte 

18  von  den  genauen  ab,  aber  selbst  bei  m=  1  und  2 

ng  sehr  unbedeutend,  beträgt  bei  m  =  25  und  26 


W.  flu-  iiifBüige  Agymmetric  hez.  dei  wahren  Mittels. 


225 


nur  nocL  4  Einheiten  der  4.  Dezimale  und  nimmt  mit  Vergriißcnmg 
I  dea  m  weiter  ab.  Natüi'lich  giebt  die  unkonigierte  Formel  (14)  bei 
[  kleinem  m  viel  gi-ößere  Abweichungen  von  dem  genauen  Werte;  bei 
7H^25  betiiigt  sie  noch  — 0,0401,  bei  »«^  26  noch  +0,0389;  und 
nur  bei  viel  größerem  m  viid  sie  nach  Formel  (14)  wie  nacb  Formel 
(16)  merklich  verschwindend, 

g  106.  Was  den  Wert  V  anlangt,  so  würde  derselbe  prinzipiell 
genau  dadurch  gegeben  sein,  dass  man  den  Wert  u  bestiiomt«,  be- 
züglich dessen  die  Wahrscheinlichkeit  größerer  u  gleich  der  Wabr- 
Bcheinliclikeit  kleinerer  u;  aber  versuchen  wii-  dies  auf  Beispiele  mit 
kleinem  Jti,  wie  die  obigen  mit  m^4,  5  oder  6  anzuwenden,  so 
geben  dieselben  keinen  solchen  Wert  her,  sondern  welche  Werte  wir 
dafür  nehmen  wollen,  so  ist  die  Wahrscheinliclikeitssumme  der  gi'jißeren 
und  kleineren  te  ungleich,  und  hätte  man  denselben,  wenn  man  über- 
haupt einen  bestimmteu  Wert  dafüi-  verlangt,  zwischen  zweien  von 
den  u  zu  suchen,  die  um  je  2  auseinanderliegen,  z.  B.  bei  '«^5 
zwischen  «  ^  3  und  i ,  bei  m  ^  6  zwischen  m  ^  2  und  o,  ohne  dass, 
80  viel  ich  sehe,  ein  rationelles  Pi-inzip  für  eine  genauere  Bestimmung 
vorliegt,  was  docli  nicht  bindert,  bei  einem  so  großen  ■'»,  dass  dr  2 
dagegen  verschwindet,  die  Formel  [15)  dafiii'  zulässig  zu  finden.  In- 
zwischen schien  mir  von  Interesse,  eine  Bestimjnung  auch  füi'  kleinere 
m  nach  folgendem  Prinzip  zu  versuclien. 

Die  Zahl  der  Werte  t,  die  auf  einen  Wert  a  eines  K.-G.  ge- 
schrieben wird,  sei  es  in  einer  primären  oder  reduziei-ten  Tafel,  ist 
nach  früheren  Auseinandersetzungen  eigentlich  auf  ein  ganzes  Intervall 
verteilt  zu  denken,  dessen  Grenzen  bei  äquidistanten  a  in  die  Mitte 
zwischen  je  zwei  a  fallen.  Vergleichen  wir  nun  die  äiiuidistanten  u 
mit  den  äquidistanten  a,  so  lassen  sich  nach  Analogie  the  Wahi^ 
scheinlichkeiten,  die  jedem  m  zidcommen,  auf  ein  Intenall  von  der 
Größe  2  verteilt  denken,  und  hiemach  ganz  in  derselben  Weise,  me 
wir  den  Zentralwert  der  a  durch  Interpolation  des  Intervalles,  in  wel- 
ches er  fällt,  finden  [s,  §  82),  so  den  Zentralwert  der  n,  d.  i.  V, 
durch  Intetpolation  seines  Intervalles  finden.  Ich  sage  nicht,  dass 
diese  Betrachtung  streng  ist;  denn  jene  Verteilung  der  x  bei  K.-G. 
ist  durch  die  Natur  der  Sache  als  notwendig  gegeben,  hiergegen  bei 

Ftoun,  EsUaktl>iiiall!clu(.  15 


SSO 


W.  fOr  mfHlSge  AMjnnmetlie  bei.  de§  wahren  Sfitteli. 


den  u  an  sich  durch  nichts  gefordert,  und  eine  durch  Int^rpolatiä 
gefundene  Bestimmung  nicht  mit  einer  genauen  zu  verwecliseln.  In- 
dcBsen  ließ  sich  doch  der  Versuch  machen,  was  dabei  herauskommt, 
und  ließen  sich  die  so  gefundenen  Werte  für  gegebene  m  mit  den  für 
großes  m  durch  Fonnel  (15)  gegebenen  vergleichen.  Anstatt  aber 
bloß  Interpolation  mit  ersten  Differenzen  habe  ich  die  genauere  mit 
zweiten  Differenzen  dabei  angewandt  und  folgende  Kesultate  erhalte 

Vergleich  der  interpolierten  Fmit  den  nach  {15)  berechneteid 


m 

0,674  49  V»' 

diff. 

2 

1,0000 

o,9S39 

—  0,0461 

3 

1,1716 

1,1682 

—  0,0034 

4 

1,3837 

».3490 

—  0,0347 

5 

1,507» 

1,5082 

4- 0,0010 

6 

1,6667 

1,6522 

-  0,0145 

7 

1,7912 

1.7845 

—  0,0067 

S 

1,9117 

1,9077 

—  0,0040 

9 

»,0371 

2,0235 

—  0,0137 

ID 

1,1318 

3,1339 

-|-  D,0ODI 

IS 

2,6168 

2,6123 

—  0,004s 

20 

3,0241 

3,0164 

-  0,0077 

25 

3.3733 

3,3724 

—  0,0009 

Man  sieht,  dass  der  Vergleich  in  der  Tat  nicht  erfolglos 
indem  die  durch  Interpolation  erhaltenen  I'-Werte  selbst  bei  1 
niederen  Werten  von  m  mit  denen,  welche  der  Formel  (15)  exAi 
sprechen,  fast  genau  übereinkommen.  Und  es  bleibt  nur  auffä 
dass  die  Differenzen  zwischen  den  zusammengehörigen  Werten  kei 
regelmäßigen  Gang  befolgen,  und,  während  die  meisten  nach  (i5j| 
berechneten  Werte  um  eine  Kleinigkeit  kleiner  als  die  interpoliert 
Werte  sind,  bei  ein  paar  (für  m^  5  und  10)  das  Umgekehrte  f 
findet,  was  nicht  auf  Rechenversehen  beruht,  wie  ich  mich  dm 
sorgfältige  Revision  überzeugt  habe, 

[Gerade  diese  durchgängige  Übereinstimmung  zeigt  jedoch,  dasva 
die  interpolationsmäßige  Bestimmung  nur  insoweit  zutreffend  ist, 
die  Fonnel  (15)  den  wahrscheinlichen  Wert  von  u  mit  hinreichende! 


W.  ftlr  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels.  227 

Annäherung  dai*stellt.  Da  aber  dies  —  der  Herleitung  jener  Formel 
zu  folge  —  nur  dann  der  Fall  ist,  wenn  Größen  von  der  Ordnung 
I  :  Vw  vernachlässigt  werden  dürfen,  so  wird  man  sich  für  kleinere  in 
weder  der  Formel  (15),  noch  des  Interpolationsverfahrens  mit  Vorteil 
bedienen,  vielmehr  lieber  an  genauere  Bestimmungen  von  V  sich 
halten.  Solche  lassen  sich  in  successiver  Annäherung  an  den  wahren 
Wert  mittels  der  Summenformel  von  Mac  Laurin,  die  auch  Euler's 
Summenformel  heißt,  gewinnen.  Es  besteht  nämlich  die  prinzipielle 
Bedeutung  jener  Summenformel  darin,  dass  sie  die  Berechnimg  einer 
diskreten  Simune,  bei  Erfüllung  gewisser  Bedingungen,  auf  Integration 
und  Differentiation  zurückführt  und  dadurch  an  Stelle  des  von  In- 
tervall zu  Intervall  sprungweise  sich  ändernden  Summenwertes  einen 
stetiger  Veränderung  fähigen  Ausdruck  setzt.  Geschieht  dies  für 
die  Summe  der  Werte  W[±i  u] ,  so  kann  dasjenige  ti  bestimmt  wer- 
den, bis  zu  welchem  die  Summe  der  oberhalb  und  unterhalb  gelegenen 
Werte  gleich  \  ist,  wodurch  eben   V  gefunden  wird.] 

[Es   ergiebt   sich  nun,   wie  im  ersten  Zusatz   (§  iio)   dargelegt 
wird,  für  gerade  und  ungerade  m: 

F=  0,674  489!/^  —  I  ;  (17) 

wofern  Grössen  von   der  Ordnimg  1  :  Vm  berücksichtigt,  solche  von 
der  Ordnung  i  :  m  vernachlässigt  werden.    Bei  Mitnahme  der  Größen 
von  der  Ordnung  i  :  m  femer  findet  man : 
I )  für  gerades  m  =  2^ 


V=cV2Vm  +  ^-'  i;  {i8a) 

2)  für  ungerades  //^=  2f.i  —  i 


V=cV2Vm  —  \—  i;  (18b) 

wo  der  Wei-t  von   c  mittelst  der  f-Tabelle  in  beiden  Fällen  für  ein 
gegebenes  /i  =  \m  resp.  \[in  +  i)  aus: 

j4=/expL-^']dr  =  i(.  +  3L-)  (.80) 

ZU  finden  ist.    Die  beiden  Foimeln  (i8a),  ( i8b)  bilden  das  Analogon  zu 

(16);  sie  haben  zur  Folge,  dass  nahehin  die  V  für  ein  gerades  m  und 

15* 


228 


W.  für  zuflQlige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


und  das  nächst  folgende  ungerade  einander  gleich  sind  und  völlig 
gleich  würden,  wenn  cVz  mit  Vernachlässigung  des  Gliedes  i  :  i6/i 
in  ,i8c)  gleich  0,67449  gesetzt  würde.] 

[Zum  Vergleiche  der  drei  Xäherungsformeln  (15;,  (17  und  18), 
deren  V  der  Beihe  nach  als  F, ,  V^  und  V^  bezeichnet  werden,  dient 
folgende  Zusammenstellung: 


m 

r. 

r. 

^3 

4 

Ij349 

0,349 

0,565 

5 

1,508 

0,508 

0,529 

6 

1,652 

0,652 

0,827 

9 

2,023 

1,023 

1,043 

10 

2,133 

1,133 

1,267 

II 

2,237 

1,237 

1,257 

20 

3,016 

2,016 

2,111 

100 

6.745 

5,745 

5,786 

1000 

21,329 

20,329 

20,333 

§  107.  Da  abgesehen  von  den  interpolationsmäBig  herzustellen- 
den T''  alle  vorigen  Bestimmungen  auf  zweifelsfreien  aritlmietischen 
Prinzipien  und  Sätzen  beruhen ,  so  dürfte  eine  empirische  Bewährung 
derselben  an  sich  nicht  nötig  sein,  indes  will  ich  doch  auf  eine 
solche  eingehen,  teils  weil  die  Methode  der  Bewährung  an  sich  ein 
eigentümliches  Interesse  durch  den  Ersatz  der  Wahrscheinlichkeits- 
ume  darbieten  dürfte,  teils  weil  ihre  Besultate  einen  gewissen  An- 
halt geben,  in  wie  weit  man  die  genauen  Werte  von  Q  und  U  für 
gegebenes  /w,  welche  prinzipiell  eine  Bestimmung  aus  unendlichem  // 
voraussetzen,  bei  großem,  doch  immer  noch  endlichem  w,  wie  es 
empirisch  zu  Gebote  steht,  wiederzufinden  erwarten  kann. 

Unstreitig  gewährt  die  Urne  mit  unendlich  vielen,  an  Zahl  glei- 
clien  weißen  und  scliwai-zen  Kugeln  eine  sehr  geeignete  Vorstellung, 
an  welcher  man  die  vorigen  Sätze  erläutern  kann,  aber  eine  solche 
Urne  lässt  sich  niclit  herstellen,  und  auch,  wenn  man  sie  durch  eine 
l'nie  mit  einer  endlichen  Zalil  von  Kugeln  ersetzt,  in  die  man  die 
fH  Kugeln  nach  jedem  Zuge  zmiickthut,  was  wohl  geschehen  kann, 
wüido  das   Verfahren  l)ei  selir    vielen  Zügen    außerordentlich    lang- 


W.  für  lulSlligc  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


220 


weilig  luitl  liie  Herstelluug  einer  ganz  zufälligen  Mischung  der  Kugeln 
vor  jedem  neuen  Zuge  schwerlicli  erreichbar  sein,  kui-z  die  wirkliche 
Anwendung  des  Verfahrens  immer  praktisch  undurchführbai"  sein; 
auch  wüßte  ich  nicht,  dasK  je  Gebrauch  davon  gemacht  worden. 
Aber  es  steht  das  Äquivalent  der  Urne  in  den  Listen  gezogener 
Gewinnniumnem  der  Lotterie  zu  Gebote,  von  welchen  die  gerad- 
zahligen als  weiße,  die  ungeradzahligen  als  scliwarze  Kugeln,  oder 
bei  Vergleich  mit  positiven  und  negativen  Abweichungen  von  gleicher 
W. ,  die  einen  als  positiv,  die  anderen  als  negativ  gefasst  wenlen 
können. 

Hierzu  habe  ich  mir  (in  den  50er  Jahren)  von  den  betreffenden 
Behörden  die  Listen  von  zehn  sachsischen  Lotterien  von  1843  bis  mit 
1852  mit  je  32000  bis  34000  Nummern  verschafft,  Listen,  in  welchen 
die  Gewinnnummem  nach  der  zufälligen  Folge,  in  der  sie  gezogen 
wurden,  stehen,  als  wie  28904;  24460;  32305;  16019;  '57i  i7°^> 
16  928  u.  s.  w.  Obwohl  nun  die  Anzahl  der  Nummern  jeder  Jahres- 
lotterie immer  nur  eine  endliche  Zahl  bleibt,  und  die  gezogenen 
Nummern  nicht  in  das  Glücksrad  zurückgelegt  werden,  so  ändert 
'doch  die  Ziehung  der  finiheren  Nummern  nichts  in  dem  Walu-schcin- 
lichkeitsverhältnis  der  späteren,  wie  es  bei  der  Anwendung  der  Urne 
mit  einer  endlichen  Zahl  Kugeln  der  Fall  sein  würde,  und  kaim  man 
es  ao  ansehen,  als  wenn  eine  Urne  mit  einer  unendlichen  Zahl  Kugeln 
vorlüge '). 


ij  Die  Loauiimmera  im  GlQckarade  atellcu  üob,  loviel  icb  bei  einem  deah&lb 
vorgenommenen  Besuche  der  Anstalt  habe  beobachten  können,  als  Meine  Stifte 
dar,  welche,  nithcr  besehen,  kleine  RöUehen  sind,  besteheud  aus  fest  zusanuneu- 
geroUten  und  durch  riuglänmge  Halsen  gesteckten  Zetteln,  auf  »-eichen  die  Num- 
mern enthalten  sind.  Vielleicht  ist  diese  Beachreibtmg  noch  der  Eritineniug  nicht 
gani  genau,  warauf  aber  hier  uichtB  ankommt.  Vor  der  Ziehung  sind  diese 
Nummern  auf  Brettern  nach  ihrer  Reihenfolge  geordiiel,  je  looo  auf  einem  Brett. 
Diese  Bretter  werden  in  unregelmäßiger,  durch  nulatligen  Aufruf  eines  Beamten 
bestimmten  Reihenfolge  erst  in  einen  Kasten  und  von  hier  aus  in  das  Glücksrad 
entleert,  so  daes  von  Tomberctu  eine  unregelmäßige  Mischung  nach  Tausenden 
statt  hat.  dann  das  Rad  umgedreht,  und  dies  nach  je  too  gctogeuen  Nnnunem 
■wiederholt.  An  der  Aiie  des  Rades  sind  vier  durchbrochene  FlQgel  angebracht, 
welche  sich  in  entgcgeugesetiiter  Richtung  des  Rades  drehen  und  dadurch  die 
tinregelmftßigc  Mengimg  befördern.  Sieht  man  im,  wie  dies  geschieht,  und  die 
Lose  durcheinander  fallen,   so   fühlt  man   sich    versucht,   eii   glauben,   dass  schon 


230 


W.  fCLr  EuflSllige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


Erläutern  wir  die  Anwendung  hiervon  zunächst  an  dem  ein- 
fachen Fall  von  w  =  3 ,  wo  bloß  die  beiden  di  w=  i  und  3  mit 
der  theoretischen  Tr[?/]  =  o,75  respektive  0,25  mögUch  sind,  welche 
sich  nach  angegebenen  Regeln  finden  lassen.  Bei  20oomahger  Wieder- 
holung der  Bestimmung  von  w  =  3  aus  immer  neuen  Nummern,  also 
M=:20oo,  wurden  im  ganzen  folgende  Resultate  erhalten: 

Empirische  Zahl,  wie  oft  ein  dzu  in  n  Serien  von  je  m  =  ^ 
Werten  vorkam,  verglichen  mit  der  theoretischen  Zahl. 

7?j  =  3 ;  n  =  2000 . 


±u 

theoretisch 

empirisch 

I 
3 

1500 
500 

1494 
506 

Dividiert  man  die  erhaltenen  Zahlen  mit  71 ,  so  erhält  man  aus 
voriger  Tabelle  folgende  Bestimmungen: 

W[±ti] 


±u 

theoretisch 

empirisch 

I 

3 

Oj75o 
0,250 

0,747 
0,253 

woraus  sich  dann  ^',  U,  F,  wie  früher  angegeben,  bestimmen  lassen; 
also  z.  B.  theoretisch  Q'^=  i  -  0,750  -f-  g-  0,250  =  3;  und  Z7=i  •  0,750 
-|- 3  •  0,250=  1,5  .  Entsprechend  sind  die  folgenden  Resultate  mit 
größerem  m  und  verschiedenem,  nur  immer  sehr  großem  n  zu  ver- 
stehen und  zu  behandeln. 


ganz  wenige  Drehungen  hinreichen,  die  Mischung  ganz  unregelmäßig  zu  machen; 
doch  sollen  nach  Aussage  der  Beamten  bei  den  ersten  Ziehungen,  in  welche  die 
Lotterie  eingeteilt  ist,  noch  öfter  Nachbarzahlen  nacheinander  erscheinen,  indes 
bei  der  letzten  Ziehung,  nachdem  die  Mengung  durch  mehrhundertmalige  Drehung 
des  Rades  bewirkt  ist,  nichts  mehr  der  Art  bemerkt  wird.. 


W.  für  zufUHge  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


231 


Empirische  Zahl,  wie  oft  ein  ztu  in  n  Serien  von  je  m  Werten 
vorkam,  verglichen  mit  der  theoretischen  Zahl. 


±u 

m=  10; 
theoretisch 

n  =  5000 
empirisch 

»11=50; 
theoretisch 

lies  1000 

empirisch 

m==  100; 
theoretisch 

n  =  6oo 

empirisch 

o 

1230 

1201 

112 

HO 

48 

46 

2 

2051 

2027 

216 

217 

93,5 

104 

4 

1172 

1225 

192 

194 

88 

85 

6 

439 

442 

158 

154 

80 

67 

8 

98 

97 

119.5 

120 

69,5 

68 

10 

10 

8 

84 

65 

58 

63 

12 

54 

62 

47 

51 

14 

— 

32 

41 

36 

31 

i6 

17 

21 

27 

34 

i8 

9 

10 

19 

13 

20 

4 

3 

13 

14 

22 

2 

2 

8,5 

8 

24 

— 

o.S 

I 

5,5 

7 

26 

— 

3 

4 

28 

, 

— 

2 

2 

30 

— 

I 

I 

32 

— 

o,S 

0 

34 

0,3 

I 

36 

— 

— 

0,1 

I 

38 

0,1 

0 

5000 

5000 

1000 

1000 

600 

600 

Die  möglichen  Weile  ?(  in  voriger  Tabelle  sind  für  in  =  50 
und  100  nicht  bis  zu  Ende  durchgefülirt,  die  noch  fehlenden  aber 
von  merklich  verschwindender  W.,  so  dass  ein  imgeheures  //  nötig 
gewesen  sein  würde,  sollten  solche  ein  oder  das  andere  Mal  vor- 
kommen. 


232 


W.  fdr  zufUlige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


Aus  voriger  Tabelle  ist  folgende  Tabelle  der  empirischen   Q'', 
U,  V  im  Vergleicli  mit  den  theoretischen  Werten  abgeleitet. 


Q' 

u 

r 

jH 

7i 

theoretisch 

empirisch 

theoretisch 

empirisch 

0,674  49  V»'» 

empirisch 
Interpol. 

3 

2000 

3,00 

3,02 

1,50 

1,51 

1,17 

1,18 

10 

5000 

lO^OO 

10,13 

2,46 

2,49 

2,13 

2,19 

50 

1000 

50,00 

52,02 

S,6i 

5,71 

4,77 

4,76 

100 

600 

100,00 

101,68 

7,96 

8,05 

6,74 

6,94 

Die  nahe  Übereinstimmung  der  empirischen  Werte  mit  den 
tlieoretischon  ist  unstreitig  befriedigend  und  nur  auffällig,  dass  bei 
allen  AVeiten  von  m  sich  das  empirische  Q^  und  U  ein  wenig 
größer  als  da«  theoretische  findet,  was  wohl  nur  deshalb  der  Fall 
ist,  weil  die  Serien  für  die  größeren  ?u  größtenteils  durch  Zusammen- 
legen der  Serien,  welche  für  die  kleineren  m  erhalten  worden  waren, 
la'halten  wurden,  so  diuss  diese  ihren  Einfluss  auf  eretere  mit  erstrecken 
konnttni,  was  wegen  der  Quadrierung  des  u  bei  Bestinunüng  von  Q^ 
nKTklicher  w^erden  musste  als  bei  TT,  wo  sich  das  Entsprechende  in 
giMnngerem  Grad(»  zeigt. 

§  108.  Die  vorigen  Betrachtungen  und  Formeln  können  viel- 
fach von  nützlicher  Anwendung  bei  statistisclien  Untersuchungen  sein. 
Z.  B.  es  gelte  zu  untersuchen,  ob  der  Unterschied,  der  zwischen  der 
Zald  <ler  Geburten  oder  Todesfälle  oder  Selbstmorde  in  zwei  ver- 
schiedenen Jaluvszeiten,  oder  zwischen  der  Zahl  der  männlichen  und 
weiblichen  (reburten,  oder  zwischen  der  Zalil  der  Gewitter  an  zwei 
verschiedenen  Lokalitäten  besteht,  rein  zufällig  ist,  oder  ob  die 
Beschaffenheit  der  Jahix^szeiten,  des  G^scldechtes,  der  Lokalität  einen 
wesentlichen  Einfluss  auf  die  Gri*>ße  und  Richtung  des  Unterschiedes 
hat.  Sei  in  Summa  für  beide  unterschiedenen  Bedingungen  eine  sehr 
gn>ße  Zahl,  sagen  wir  ;w,  Fälle  beobachtet  worden  und  hierbei 
gefunden,  dass  auf  die  eine  Seite  u\  auf  die  andere  //,  Fälle  kommen, 
mithin  der  absolute  Unterschied  u  ist,  so  wird  es  darauf  ankommen, 
ob  der  gefundene  Unterschied  ?/  im  absoluten  Werte  den  walirschein- 
lichen    V  übei-steigt  oder  unterstoigt.   und  in  welchem  Verhältnisse 


W.  für  niftOige  Asymmetrie  hm.  des  wiliren  Jfittels. 


233 


dies  der  Fall  ist,   um  "Wahi-scheinlichkeitsschlüsse   folgender  Art   zu 
machen. 

"Wiii-e  die  W.  von  (i'  und  h,  gleich,  mitliin  der  gefundene  Unter- 
schied M  rein  zufäUig.  so  würde  es  eben  so  wahrscheinlich  sein,  dass 
er  den  für  diese  Voraussetzung  sj-mmetrischer  W.  nach  vorigen 
Formeln  bestimmten,  wahrscheinlichen  Unterschied  V  überstiege  und 
nnterstiege,  und  wenn  die  Beobachtung  mit  demselben  m  sehr  oft 
wiederholt  wilrde,  würde  er  im  Mittel  mit  F  merklich  gleich  gefunden 
werden;  hiergegen  wird  ein  bloß  zufälliger  Unterschied  natürlich  um 
so  unwahrscheinlicher,  in  je  gröBerera  Verhältnisse  er  den  unter 
Voraussetzung  bloßer  Zufälligkeit  bestimmten  wahrscheinlichen 
V  übersteigt;  hieraus  die  W.,  dass  er  nicht  bloß  zutälhg  sei,  mn  so 
größer,  in  je  größerem  Verhältnisse  dieses  Uliersteigen  stattfindet; 
und  sofern  die  Verhältnisse  rein  zufälliger  it  bei  großem  m  mit 
den  Verhältnissen  der  Beobitchtitngsfehler  nach  6.  G.  zusammen- 
stimmen, werden  auch  nach  einer  Tabelle  des  G,  G. ,  welche  die 
Wahrscheinlichkeitsverliältnisse  der  Fehler  als  Punktion  des  Verhält- 
nisses giebt,  in  dem  der  wahrscheinUche  Fehler  w  von  ihnen  über- 
stiegen oder  unterstiegen  wird,  sich  unter  Substitution  von  V  für  w 
noch  bestimmtere  Walirscheinhchkeitsrechnungen  in  vorigen  Be- 
ziehungen anstellen  lassen. 

Gegen  diese  allgemeinen  Sätze  dürft«  sich  meines  Erachtens 
kein  haltbarer  Einwand  erheben  lassen;  in  betreff  der  bestimmten 
Auslegung  aber,  die  ich  folgends  den  Verhältnissen  n :  V  im  Interesse 
ihrer  praktischen  Verwertung  gebe,  dürfte  bei  der  gi'oßen  Leichtig- 
keit von  Feldbegriffen  und  Fehlschlüssen  in  diesem  Felde  die  prinzi- 
pielle Revision  seitens  eines  mit  der  "WahracheinUchkeitsi-echnung 
vollkommen  vertrauten  Faclmiatbematikers  wohl  noch  erwünscht  sein. 

Seien  beispielsweise  m  =  looo  Gewitter  während  derselben  Zeit- 
periode an  zwei  Orten,  für  beide  zusammengenommen,  beobachtet,  am 
einen  ^'^530,  am  anderen  /(,  =  470,  also  m=6o;  so  ist,   nach 
I  Formel  [15),  der  wahrscheinhche  Unterschied  F",  den  wir  nach  bloßem 
I .  Zufalle  erwarten  imd,  unter  der  gleichen  Voraussetzung  symmetrischer 
"VV.  für  u  und  J,  für  das  w  der  Feblei-tabelle  einsetzen  können: 
U==  0,6745  Viooo  ^21,33  . 


1 


384 


Vf.  Btt  niftllige  ÄiymmetrU  bes.  dei  mliraa  ItCttcla. 


Dieser  Wert  21,33  ^'^'^  ii  beträchtlichem  Verhältnisse  vom  ge- 
fundenen Unterschiede  u  =^  60  überstiegen;  indem  60  =  2,81  V  ist, 
also  ist  es  erheblich  wahrscheinlicher,  als  das  Gegenteil,  dass  der 
Unterschied  nicht  rein  stutäUig  ist,  sondern  ein  lokaler  Einfluss  an 
seinem  Zustandekommen  Ajiteil  hat,  olme  es  aber  deshalb  über- 
wiegend wahrscheinlich  finden  zu  dürfen,  dass  er  bloß  auf  dem 
lokalen  Einfluss  beruht,  sondern  eben  nur,  dass  nin  lokaler  Einfluas 
Ton  bestimratei'  Richtung  vorhanden  ist,  welcher  über  den  bloß  nach 
Zufall  bei  sjiiiraetrischer  W.  zu  erwartenden  liinaustreibt.  Wäre 
andererseits  der  gefundene  Unterschied  «  kleiner  als  der  wahrschein- 
liche V,  z.  B.  ^('^505,  ^,  ^4[)5,  niitliin  u  =  10  =  0,47  T*  indes 
F=  21,33  bleibt,  so  würde  eine  überwiegende  W.  uicht  dafür  be- 
stehen, dass  bloß  ein  zufälliger  Unterschied  vorhanden,  sondern 
dass  der  zufällige  Elinfluss  groß  genug  ist,  um  einen  etwaigen  lokalen 
Einfluss  zu  Ubei-wiegen,  indes  keine  Wahrscheinlichkeitsrechnung  dafür 
besteht,  dass  der  gefundene  Unterschied  sei  es  bloß  zufällig  oder 
bloß  von  lokalem  Knflusse  abhängig  sei.  Kurz  es  handelt  sich 
liierbei  imi  die  W.,  ob  der  eine  oder  andei-e  Einfluss  überwiege,  nicht 
ob  bloß  der  eine  oder  andere  bestehe.  Wenn  aber  ibe  W.,  dass  der 
lokale  überwiegt,  sehr  groß  ist,  so  ist  damit  natürlich  zugleich  die 
W.  sehr  groß,  dass  ein  solcher  vorhanden  ist;  und  werden  dadurch 
Rechnungen  dieser  Art  von  Nutzen  für  den  Wahrscheinlichkeitsbeweis 
des  Daseins  anderer  als  bloß  zufälliger  Einflüsse.  Wenn  hiergegen 
die  W.  überwiegt,  dass  der  zufällige  Einfluss  den  nicht  zufäiligea 
überwiegt,  so  bleibt  es  zvreifelliaft ,  ob  ein  solcher  überhanpt 
hfmden  sei.  und  hat  man  bloß  einen  Wahrscheinlichkeitsbeweis  dal 
dass  er  überhaupt  klein  sei 

Lassen  wir  diese  Betrachtungsweise  gelten  und  gehen  damit  auf 
die  vorigen  Beispiele  rurttck,   so  findet   sich  erst^nfalls.   wo  der 
fnndene  Unterschied    i(=6o  und    U=2i.53,   mithin  n:rs=2,J 
ist.   nach  der  Tabelle  des  Ct.  G..   dass  die  W. ,  der  Unterschied 
werde   als  rein   zufaUig    unter   diesem  Werte  bleiben,   sich   zur 
des  Gegenteils    wie   0.942    gegen  0.058     verhält;    und    sofern   j 
Wert  II  doch  erreicht  ist.    wird   man  in  runder  Zahl  94  gegen 
wetten  können,    er  sei  nicht  bloß  zu^ig.     Ln  zweiten  Falle, 


W.  für  sufftllige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 


235 


t^=  10  =  0,47  ^j  findet  sich  nach  der  betreffenden  Tabelle,  dass 
die  W.,  der  Unterschied  u  werde  als  zufälliger  unter  diesem  Werte 
bleiben,  sich  zum  Gegenteil  wie  0,249  zu  0,751  verhält,  sofern  er 
aber  nicht  unter  diesem  Werte  geblieben  ist,  findet  die  entgegen- 
gesetzte W.  dafür  statt,  dass  er  als  zufälliger  diesen  Wert  erreicht 
hat,  und  wird  man  in  runder  Zahl  nur  i  gegen  3  wetten  können, 
dass  ein  lokaler  Einfluss  den  zufälligen  überboten  habe,  3  gegen  i 
aber  für  das  Gegenteil,  ohne  doch  wetten  zu  können,  dass  ein  lokaler 
Einfluss  überhaupt  nicht  vorhanden  gewesen  sei.  Ich  wüsste  wenig- 
stens nicht,  wie  diese  Verhältnisse  anders  zugleich  praktisch  und 
rationell  zu  fassen  seien. 

Sei  Wo,  die  W.,  dass  z/  oder  u  unter  Voraussetzung  symmetri- 
scher W.  unter  einem  gegebenen  Bruchteile  oder  Multiplum  von  w 
oder  V  bleiben  werden ,  so  hat  man ,  um  einen  kleinen  Auszug  aus 
der  hierher  gehörigen  Tabelle*)  des  G.  G.  zu  geben,  zu  einander 
gehörig: 


tl 

Wut 

0,10  r 

0,05378 

0,25  y 

o»i339i 

0,50  V 

0,26407 

0,75  y 

0,38705 

1,00  V 

0,50000 

1,25^ 

0,60083 

1,50  F 

0,68833 

1,75  y 

0,76214 

u 

^w 

2,25  V 

0,87088 

2,50  y 

0,90825 

2,75^ 

0,93638 

3,00  V 

0,95698 

3,25  y 

0,97163 

3,50  y 

0,98176 

4,00  V 

0,99302 

4,50  V 

0,99760 

5,00  V 

0,99926 

2,00  V    !    0,82266 

Man  hat  sich  aber  bei  Anwendung  voriger  Bestimmung  vor  einer 
fehlerhaften  Anwendung  derselben  in  folgendem  Sinne  zu  hüten. 
Gesetzt  man  hat,  sei  es  irgend  zwei  Monate  oder  irgend  z^^ei  Jahres- 
zeiten, ohne  die  übrigen,  in  betreff  der  Anzahl  von  Gewittern  in 
Untersuchung  genommen,  so  Tivird  nichts  hindern,  die  vorige  Be- 
stimmung in  betreff  der  Frage,  ob  der  Unterschied  der  beiden  Monate 


z)    [Diese  Tabelle   findet  man   im    Berliner  Astronom.  Jahrbuch    für   1834, 
S.  309  flgd.] 


ise 


V.  fBr  snftlUge  Atymme^ie  bm.  dei  wahren  Mitteli. 


oder  Jahreszeit«!!  einen  anderen  als  bloß  zufälligen  Einfluss  auf  di< 
Zahl  der  Gewitter  habe,  eben  so  in  Anwendung  zu  l)ringen,  als 
wenn  es  sich  um  dpn  lokalen  Einfluss  der  Ortliclikett  handelt.  Aber 
gesetzt,  man  habe  die  Beobachtung  dvr  Gewitterzabl  mit  gegebenem 
m  für  alle  it  Mo!mte  vorgenommen,  so  wird,  aucli  wenn  für  alle 
Monate  dieselbe  "W.  der  Gewitterzahl  besteht,  das  it  bei  Vergleich 
je  zweier  dei-selben  nach  Zufall  verscliieden  auafallen,  und  es  werden 
sich  darunter  zwei  Monate  finden  lassen,  die  das  größte  ti  geben, 
was  leicht  so  gi-oß  sein  köimte,  dass  nach  seinem  Verhältnisse  zu  V 
auf  überwiegende  W.  eines  wesentlichen  Einflusses  zu  schließen.  Aber 
dieser  Schhiss  würde  in  sofern  irrig  sein,  als  unter  einer  größeren 
Anzahl  von  Fällen  auch  bei  geringer  W.  doch  große  Abweichungs- 
unterschiede auftreten  können.  Jedenfalls  bleiben  dann  die  betreffen- 
den Monate  wegen  eines  spezifischen  Einflusses  verdächtig;  zur 
Sich  er  Stellung  aber  miisste  meines  Erachtens  an  ilmen  die  Beobachtung 
noch  besonders  erweitert  und  z.  B.  bis  zur  doppelten  Zahl  fortgesetzt 
wei-den,  um  zu  sehen,  ob  sieb  der  Walu'scheinlichkeitsschlus! 
stätigti). 

§  109.  Zunächst  scheint  nun,  dass  von  vorigen  Betrachtungen 
und  Formeln  auch  unmittelbai^  Anwendung  auf  rlie  Aufgabe  zn 
machen,  aus  der  Größe  des  Untei-schiedes  w,  der  zwischen  der  Zahl 
der  positiven  und  negativen  Abweichungen  -|-  ^  und  —  ^  bez.  des 
arithmetischen  Mittels  A  besteht,  nach  W.  zu  scliließen,  ob  der 
Unterschied  bloß  von  Zufälligkeiten  abhängen  könne,  oder  ob  in 
der  Natur  des  Gegenstandes  und  seiner  Existenzbedingungen  ein 
Einfluss  begründet  liegt,  der  am  Übergewicht  der  Zahl  der  einen  oder 
anderen  Abweichungen  wenn  schon  nicht  alleinige  doch  Mitschuld 
trägt,  oder  kurz,  ob  wesentliche  Asyninietrie  an  dem  Unterschiede 
Anteil  hat.  Und  in  der  That,  wenn  wir  von  vornherein  versichert 
wären,  dass  die  Abweichungen  der  Exemplai^  a  von  ihrem  an'th- 
metischen  Äßttel  A  dieselbe  symmetrische  W.  nach  beiden  Seiten 
zeigen,  als  die  weißen  und  schwarzen  Kugeln  bei  Ziehung  derselben, 
so   würden    die    vorigen    Betrachtungen    und  Foi-meln    ganz    darauf 


%t.  I 


I  dicHcm  Pam^Bplii 


Vf.  tat  «unUige  ABynunetrie  be*.  dci  wahren  Mittels 


237 


nawendltar  sein;  aber  das  ist  nacli  folgenden  Betracliliiiifi;eii  niciit 
der  FaU. 

Nennen  wir  im  Sinne  eines  bekannten  Öpraebgebruucbes  wahiVH 
Mittel  Ä^  das  Mittel  aus  einer  unendlicben  ZaJd  vun  Exemplaren, 
falsches  Mittel  A„  das  uns  nur  zu  Gebote  stebende  aus  einer  end- 
lidien  Zahl  m.  Setzen  wir  nun  sj-mnietriscbe  W.  der  Abweichungen 
bez.  des  wahren  Mittels  voraus,  so  werden  doch  sowohl  die  beider- 
seitigen Abweichungssummen,  als  die  beiderseitigen  Abweichungszahlen 
bez.  desselben  nach  Zufall  ungleich  sein  und  sich  normaler  Weise 
bei  Andern ng  der  G-esamtzahl  ni  der  Abweichungen  zwar  nicht 
einander  proportional,  aber  in  funktionalem  Zusammenhange  nach 
gleicher  Richtung,  d.  h,  in  Zunahme  oder  Abnahme  ändern ').  Wird 
nun  aus  einer  endlichen  Zahl  von  n  das  falsche  Mittel  gezogen,  so 
verschwindet  damit  der  Unterschied  zwischen  den  beiderseitigen  Ab- 
weichungssummen, da  das  ja  im  Wesen  des  arithmetischen  Mittels 
liegt;  man  macht  dabei  die  Summen  so  zu  sagen  künstlich  gleich, 
und  wenn  sich  Summen  und  Zahlen  einander  proportional  ändeiten, 
80  würde  mit  dem  Unterschiede  zn'ischen  den  beiderseitigen  Summen 
zugleich  der  Unterschied  u  zwischen  den  beiderseitigen  Zahlen  ver- 
schwinden, was  nicht  nur  erfahrungsniaßig  nicht  der  Fall  ist,  sondern 
auch  wegen  nicht  proportionaler  Änderung  nicht  zu  erwarten  ist 
Aber  jedenfalls  mindert  sieh  mit  Aufhebung  des  Untersdiiedes 
zwischen  den  beiderseitigen  Abweichungssummen  der  funktional  dajnit 
zusammenhängende  Unterschied  zwischen  den  beiderseitigen  Zahlen 
gegen  den  Fall,  dass  die  Abweichungen  vom  wahren  Mittel  genojmnen 
wurden,  für  welchen  die  obigen  Formeln  gelten,  und  Iäs.st  sich  also 
voraussehen,  dass  der  mittlere  und  wahrscheinliche  Wert  von  u  bez. 
des  falschen  Mittels,  von  dem  wir  sie  doch  nur  i^thnen  können,  bei 
gleichem  m  geringer  ausfallen  müKsen,  als  bez.  des  wahren,  und  das« 
obige  Formeln  also  nicht  mein-  dafür  maßgebend  sein  können. 

Inzwischen  lassen  sich  doch  aus  Vorigem  zunächst  folgende  zwei 
Folgerungen  ziehen:    i)  die  AV,  eines  wesentUchen  EiuHusses  ist  Iwi 


I)  Man  berOckuclitigc,  daig,  nftlirend  das  wahre  Mitlcl  immer  aus  eiuei 
unenilliclien  Zahl  vou  a  gezogen  zu  deukeu  ist,  doch  die  Zuhl  in  der  genommenen 
Abweichungen  eine  mehr  oder  weniger  große  endliche  sein  kann. 


238  W.  far  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 

Anwendung  der  obigen  Formeln  auf  den  Abweichungsunterscliied  u 
bez.  des  arithmetischen  Mittels  A^  bei  gegebenem  m  für  noch  größer 
anzunehmen,  als  es  nach  obigen  Formeln  erscheint,  weil  F,  im  Ver- 
hältnisse zu  welchem  u  in  Betracht  kommt,  bezügUch  A^  jedenfalls 
kleiner  als  bez.  A^  ist,  wofür  die  obigen  Formeln  gelten. 

2)  Lassen  wir  bez.  des  falschen  Mittels  A^  ebenso  wie  bez.  des 
wahren  A^  die  Voraussetzung  sjTimietrischer  W.  gelten,  nennen  aber 
dann  die  oben  bezüglich  des  ersteren  mit  w,  ©,  Z7,  F  bezeichneten 
Werte,  wenn  sie  vielmehr  bez.  des  letzteren  bestimmt  werden  resp. 
o,  (2,  5/*,  S>,  so  wird  es  nur  gelten,  diese  entsprechend  als  Funktion 
des  m  bez.  -4«,  zu  bestimmen  j  als  jene  in  Bezug  auf  A^  bestimmt 
wurden,  um  damit  Fonneln  zu  erlangen,  welche  zu  entsprechendem 
Gebrauche  dienen  können. 

§  HO.  [Erster  Zusatz.  Bestimmung  des  wahrschein- 
lichen Unterschiedes  F  mittelst  der  Summenformel  von 
Mac  Laürin  oder  von  Euler:] 

[Diese  Simuuenformel  lautet  >): 


f[a)  +  f[a  +  h)  +  f[a+2h]^ \-fia  +  W=-ih)  = 

l-ff(r)dx-{(f!h)-fla))-i-?^{f'(b)-r{a))- 


2-3-4 


{f"'ib)-r'ß:)  + 


(19) 


wo  i  s=  rt  +  ////  und  B,  =  ^;  £3=  3'-  •  •  •  die'BsRNOüLu'schen  Zahlen 
sind,] 

[Um  nun  ilie  lF[diM]  nach  dieser  Formel  zu  summieren,  ist 
nicht  die  lu'sprüngliche  Form  ^4  ■,  sondern  die  hieraus  auf  Grund  der 
^Jäherungsformel : 

n.'=  fi** '  exp  [ —  w]  •  V 2 /r n ,  20 . 

lulor ,   wenn  man  Glieder  von  der  Ordnung  1  :  //  berücksichtigt ,   auf 
(rrund  der  korrigierton  Formel: 


r  KiiEK  leitet  sie  ab  in  den  lustitutiones  calcuH  differentialiB,  Pars  post., 
Cap.  V.  —  Keproil.  r.  B,  in  Sculömilcu's  Kompendium  der  höheren  Analysis, 
xweiter  Uand,  S.  226/ 


W.  für  zufiHlige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels.  239 

nl  =  71**  •  exp  [ —  n]  •  Vz nn  1 1  H j  (21) 

resultierende  Fomi  zu  Grunde  zu  legen.] 

[Benutzt  man  zunächst  (20),   so  ist  für  w  =  2/*;    /i'=|[i-f-y; 
lü,=  ^  —  r;  11  =  2v: 

W[±2v]  =  :jL.exJ-^]',     Tr[o]  =  --=L^.  (22) 

Die  Summe  der  W[u]  zwischen  den  Grenzen  +  2  n  und  — 2/^,  oder 
die  Summe  der  Tr[iht/]  zwischen  den  Grenzen  o  und  211  wird  somit 
gegeben  durch: 


(23) 


Nun  ist  aber  nach  (19),  wenn  im  Einklänge  mit  der  durch  (20)  ge- 
gebenen Annäheining  Glieder  von  der  Ordnung  i  :  ^i  vernachlässigt 
werden : 


,=»-!  " 


•  '      o 

_l^(exp[_^]-x|. 


(24) 


Folglich  erhält  man: 


v=n  ♦» 


"^oYtt^i^^^V      ittj      ynu      \7TuJ   ^^^L       ^J    ^ 

*  '     o 

-^  exp  1^—  ~J  . 


+ 


(25) 


Der  rechten  Seite  giebt  man  eine  bequemere  Form,  wenn  man 
x""  =  uT^ ;  72^  =  f,i  r  ;  dx  =  rfrV/t  substituiert.  Man  getraut  als- 
dann als  Ausdruck  der  Wahrscheinlichkeit  Tf,  dass: 

—  2 1\ Li  <a  u  <  +  2  ty^L ;    oder    ±  ^^  <  2  ^  V^ 

die  Bestimmung: 


240  ^^'  ^  zuföllige  Asjuimetrie  bez.  des  wahren  Mittels. 

W=^  rexp[-ir-Jdr  +  -^exp[-n.  (26) 

o  • 

Dir  zufolge  wird  der  wahrscheinliche  Wert  von  ?/,   d.  i.   T',  ge- 
geben durch: 

v=2tyji,  (27) 

wenn  t  der  Bedingung: 

t 
^=  --L-  Texp  [—  t']  dr  +  -i=  exp  [-  H  (27a) 

o 

genügt.     Denn  es  ist  alsdann  die  W.,  dass  ±w<2fV|u  gleich   ^. 
Um  hieraus  t  zu  berechnen,  setze  man  f  =  c  -f-  y ,  und  bestimme  c  aus 


so  dass  es  sich  der  /-Tabelle  zufolge  gleich  0,476936  findet;  dann 
zerlegt  sich  das  Integi^al  zwischen  den  Grenzen  o  und  c  -J-  /  in  zwei 
Integi'ale  zwischen  den  Grenzen  o  und  c  und  zwischen  den  Grenzen 
c  und  c  -f-  y,  und  es  resultiert: 

o  =  -^  Axp  [—  z:"]  dv  +  -i=  exp  [-  (c  +  y;i 

c 

Da  aber  y  eine  Größe  von  der  Ordnung  i  :  V/i  ist,  so  erhält  man 
eine  genügende  Grenauigkeit,  wenn  exp  [ — r']  in  Ersti'eckung  des 
Integrals  konstant  gehalten  und  gleich  exp  [ —  [c  +  yY]  gesetzt  wird. 
Es  wird  somit,  nach  DiWsion  mit  exp  [ —  [c  +  yY]\ 

o  =  — ^  y  +  —j=^     oder    y  = =  • 

Vit         yit^i  zVfi 

Auf  Grund  dessen  erhält  uian*): 

V=  2cV^i  —  I  =  0,674489 Vm  —  I .  (28) 


I    [Eben  diese  Formel  giebt  auch  Meyer  in  den  Vorlesungen  über  Wahr- 
schciiilichkeitsrechmmg  bei  der  Behandlung  des  BERNOULLl'schen  Theorems,  S.107.' 


W.  fCbr  mifölligc  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels.  241 

Da  anfänglich  m  =  2^i  gesetzt  wurde,  so  könnte  es  scheinen,  dass 
diese  Formel  nur  für  geradzahlige  m  gelte.  Indessen  ergiebt  sich  für 
vi  =  2^t —  I  das  nämliche  Resultat,  wie  nicht  anders  zu  erwarten 
ist,  da  nur  Größen  von  der  Ordnung  i  :  Vm  berücksichtigt  werden] 

[AVill  man  aber  Größen  von  der  Ordnung  i  :  m  berücksichtigen, 
so  muss  man  statt  (20)  die  Näherungsformel  (21]  benutzen  und  den 
Fall,  dass  m  geradzahlig,  von  dem  Falle,  dass  m  ungeradzahlig  ist, 
scheiden.] 

[Ei-stenfalls  ist  von  [22)  auszugehen,  nachdem  den  dortigen  Be- 
stimmungen der  Faktor  (i  —  i  :  811)  beigefügt  ist.  Idian  findet  als- 
dann mittelst  (19)  unter  IVIitnahme  der  ersten  Ableitungen: 


1VI^(' "«'^)"'["3=vfe('~^)'^"'["Mh 


(29) 


I     /      r    n'l       \      inB^        r    wn 
|^(exp[--J-.)--p=exp[--J, 

wenn  Glieder  von  der  Ordnung  i  :  ^i  VJi  bei  Seite  gelassen  werden. 
Hieraus  resultiert,  wenn  n/'  =  ut*y  x^  =  fir*  gesetzt  wird,  als  Aus- 
druck der  Walirscheinlichkeit  TF,  dass: 


—  2#V/t<w<  + 2#ViM    oder    ifcw<2#V/i, 

o  • 

2B    t  j.  T 

— -^  exp  [-  t'] . 


(30) 


Um  hieraus   F  zu  gewinnen,    ist  W=^^  anzunehmen,  sodann  t 
aus  der  Gleichung: 


H  T^  (■  -  i^)/'-""-''!  "+vk.  ''»[-''1 


2  jÖ,  t  r  .0-1 

;L=.exp[— /'] 


(31) 


zu  berechnen  und 

V=2tyji:  (31a) 

zu  setzen.     Man  nehme  nun  wie   oben   f  =  c  +  y  an,    bestimme  c 

Fecuneu,  KoUektivraaOlelirc.  16 


242  W.  fQr  KuAlUge  Aiymmetric  bez.  des  wahren  Mittels. 

der  Art,  (liiHH  nach  Division  clor  Gleichung  (31)  mit  (i  — i:8|u) 
lulor,  witK  (ItiHHollx)  iHt,  nach  Multiplikation  mit  (i  +  i  :8juj 

o 

\nul  tindo  y  auw: 
o  =  -^  /;xp[-  r']  rf,  +  (-^  -  "^'-^ +-''>)  exp[- (c+y)'].  (33) 

Uit^o  (iloiclnii\g  nimmt  mit  Bücksicht,  dass  ;'  eine  kleine  GröBe  von 
der  Onlmin^  i  :  >  ii  ist,  nach  Division  mit  exp[— {c  + 7')'']  die  ein- 
fädle Form: 

^^=---r+- /--  Oilor  ;•  = --=  +  --i-        33a) 

I  .1  I  .Tjii       II I  ;i  2}  u  ." 

an»  \^omus,  da  /?,  =  i  :  6  und  2,11  =  m ,  als  wahrscheinlicher  Wert 
für  g\'rad4H)di|^^  m: 


V 


y  ^  jcl  II  —  1  H =  =  cl  ,2-liw4-f  —  1  34 

3 1 II 

fol^ijt, 

Ist  w  uu^^radc  =  -  u  —  i  *  so  ist*  wonn  ii'=  m  -f-  r :  «,=  11  —  r —  i : 
a  -^  ih'  -^  i  : 

I'-«)ttü"'{-'^]('-^I     I 

und  kU*^  A\\>üirA*h<*ittlichk^^i:.  ^Usi^  u.  nri?cbcii  dt»n  Grenzen  —  zr*  —  : 
uv,d  —   ,*«  —  :    sich  hülT.  wir\l  be>tT?t:^'*:  durch: 

, -     V\  .  .  . 

—        I  -^—  I  xw  —  ;   '  /  ■ -^  -ix*:  —  r     :  —  zB,       -- 


W.  fOr  zufällige  Aiymmetrie  bez.  dei  wahren  Mittels.  243 

dafür,  dass 

—  [ztVJi —  iXw<!  +  {^tVfj,  —  i)  oder  zbw<  2tyfi —  i  .     (37a) 

Bestimmt  man  nun  wieder  t  aus  der  Gleichung: 

o 

indem  man  wie  in  (32)  c  berechnet  und  ^  =  c  +  y  setzt,  so  resultiert 
aus: 

o  =  -i=  fexp[-T']  dv  +  ^-±Z  e^[-{c+yr]  (i  -  2B,)    (39) 

c 

mit  Vernachlässigung  der  Glieder  von  der  Ordnung  i  :  fxVfi  y 

folgUch 

und  schließlich: 

woraus  mit  Rücksicht  auf  fn^=^2^  —  i  als  wahrscheinlicher  Wert  für 

ungerade  m 

V=  cVl  Vw  — f  —  I  (40) 

sich  ergiebt.] 

§  1 1 1.  [Zweiter  Zusatz.  Den  Erörterungen  des  §  io8  liegt  das 
Problem  zu  Gmnde,  aus  einer  groBen  Zahl  beobachteter  Fälle  un- 
bekannt« Walu'scheinlichkeiten  zu  ermitteln.  Dasselbe  steht  zu  der 
XJmkehrung  des  BBRNOULn'schen  Theorems  in  Beziehung,  wonach  für 
die  unbekannte  W.  Grenzwerte  angegeben  werden  können  und  zugleich 
der  AVahrscheinUclikeitsgrad  berechnet  werden  kann,  mit  dem  die 
unbekannte  AV.  innerhalb  jener  Grenzen  zu  suchen  ist.  Hat  man 
nämlich  zwei,  einander  ausschließende  Ereignisse  Ä  und  B  in  einer 
großen  Zahl  m  von  Fällen  beobachtet  und  dabei  das  Ereignis  A 
^i'-mal,  das  Ereignis  B  ftrTnal  gefunden,  so  kann  man  zunächst  die 
W.  für  das  Stattfinden  des  Ereignisses  A  gleich  fi'un,  die  W.  für 

B   gleich   Uf'.ffi    setzen,    ohne    dabei    den   Zufälligkeiten,    die    der 

16* 


M4 


W.  Ar  snflUHge  Aiynunetrie  bea.  du  wihmi  IGtteli. 


BestimiHimg  von  fi'  und  u,  anh:iftf  n,  Reclinung  zu  tragen.  In  der  Thi 
kann  nian  ^' :  m  und  /t, :  m  nur  als  die  wahrsclieinlichsten  Wert 
der  unbekannten  W.  .r  und  i  —  x  auffassen  und  es  als  wabrschein 
licli  bezeichnen,  dass  bei  einer  Wiederholung  der  Beobachtungen  aui 
einer  anderen  Reihe  von  Fällen  die  nunmehr  sich  ergebenden  i 
scheinlichsten  Werte  in  der  Nähe  der  früher  gefundenen  liegen. 
Stelle  dieser  unbestimmten  Aufstellungen  giebt  nun  die  Umkelim 
des  BüBNOULLi 'sehen  Theorems  folgende  Bestimmungen.] 
[Es  besteht  die  W.: 


W= 


VnJ 


exp[— i"]d 


(4'» 


dufiir,   dass  die  unbekannte  WahrscheinlicIJseit  t   füi-  das  Eiutretea| 
des  Ereignisses  Ä  zwischen  den  Grenzen: 


m       m  '      »I  ni       m 

liegt;   die  entgegengesetzte  Walii'scheinlichkeit 
zeitig  zwischen  den  Grenzen 

/*'.  + 1.  i/lZK 

m       m  '       m 


V-'^  (4-^1 

i  —  X  ist  dann  gleich-d 


wird  (^^0,476936,  und  diö  I 
ahrscheinlichen  GrenzenJ 


zu  suchen;  wiilu-end  für  den  mit  der  W.    W  zu  erwartenden  Unter- J 
schied    u    zwischen    der   beiderseitigen    Anzahl    <ler   Fälle    die    Un- 
gleichung : 

,,-,,,-2c]/i^<»<,,'-,,,+  Jt  V'^      (4'«)1 

gilt.  Setzt  man  insbesondere  W^l,  s 
Substitution  dieses  Wertes  giebt  die 
für  j;  1  — X  und  u.] 

[Demnach  ergeben  sich  füi-  m  ^^  1000  Gewitter,  die  während  der 
nämlichen  Zeitperiode  an  üwei  Orten  beobachtet  wurden,  als  wahrschein- 
liche Grenzen  für  die  Werte  der  W,,  mit  denen  an  dem  einen  oder 
anderen  Orte  das  Stattfinden  eines  Gewitters  zu  erwarten  ist: 

1)  an  dem  einen  Orte  0,541  und  0,519,  an  dem  andei-en  Orte 
0,459  wd  0,481,  wenn  an  dem  ersteren  Orte  530,  am  letzteren  470 
Gewitter  beobachtet  wurden. 


W.  für  zufiKllige  Aiymmetric  bez.  des  wahren  Mittels.  245 

2)  an  dem  einen  Orte  0,516  und  0,494,  an  dem  anderen  Orte 
0,484  und  0,506,  wenn  die  beiderseits  beobachteten  Anzahlen  der 
Gewitter  505  resp.  495  betrugen.  Entsprechend  sind  die  wahrschein- 
lichen Grenzen  für  u  im  ersten  und  zweiten  Falle  60  ±  21,29  resp. 
10  ±21,33.] 

[Diesen  Bestimmungen  liegt  die  Voraussetzung  unter,  dass  die 
Zahl  der  beobachteten  Fälle  hinreichend  groß  sei ,  um  die  Annahme 
zu  gestatten,  der  beobachtete  Unterschied  u  sei  nicht  rein  zufällig, 
sondern  durch  die  Verschiedenheit  der  unbekannten  W.  x  und 
I  — X  bedingt,  und  zwar  wird,  wie  bereits  angegeben,  vorausgesetzt, 
dass  die  wahrscheinlichsten  Werte  von  x,  i — x  und  u  eben  die 
beobachteten  Werte  ^l  \m^  f.i,  :  m  und  ^i  — fi,  seien.] 

[Es  liegt  aber  kein  zwingender  Grund  vor,  gerade  diese  Werte 
als  die  wahrscheinlichsten  Werte  vorauszusetzen.  Denn  vor  Anstel- 
lung der  Beobachtungen  besaß  jede  Hypothese  über  die  wahrschein- 
lichsten Werte  von  x  und  u  die  nämliche  W.,  und  mit  Bücksicht 
auf  die  gemachten  Beobachtungen  kann  eine  dieser  Hypothesen  vor 
der  anderen  nur  durch  größere  W.  ausgezeichnet  sein,  nicht  aber 
eine  Ge'vvissheit  für  sich  beanspruchen.  Es  ist  somit  noch  der  Grad 
der  W.  zu  bestimmen,  den  die  Hypothese,  die  beobachteten  Werte 
seien  die  wahrscheinlichsten,  im  Vergleiche  zu  anderen  Hypothesen, 
die  andere  Werte  als  die  wahrscheinlichsten  einfühi-en,  besitzt.  Hierzu 
dient  das  Prinzip,  das  Encke  in  der  Abhandlung  über  die  Methode 
der  kleinsten  Quadrate^)  in  folgender  Form  giebt,  wobei  zu  beachten, 
dass  die  Abweichungen  beobachteter  Werte  von  den  wahrschein- 
Uchsten  Werten  als  Feliler  bezeichnet  werden.] 

[»Die  W.  zweier,  vor  den  gemachten  Beobachtungen  gleich  wahr- 
scheinlichen und  einander  ausschließenden  Hypothesen  verhalten  sich 
direkt  wie  die  W.  der  aus  ihnen  hervorgehenden  Fehler  oder  Fehler- 
systeme«.] 

[Zum  Vergleiche  soll  die  Hypothese  dienen,  dass  die  wahr- 
scheinlichsten Werte  von  x  und  i  —  x  einander  gleich ,  somit  gleich 
{  seien,   wonach  als  wahrscheinlichste  Differenz   1(^=0  zu  erwarten 


i;  [Berliner  Astron.  Jahrbuch  f.  1834  S.  258.] 


146  ^*  ^f  suflülige  Aiymmetrie  bez.  dei  wahren  Mittels. 

ist.     Es    besitzt   alsdann   die   thatsäclilich   beobachtete  Differenz   u 
die  W.: 


W[u]  =  T-rpTV-m  =  V-^  exp  \- -^1 .  (42) 

Auf  Grund  der  bisherigen  Hypothese,  dass  die  wahrscheinUchen 
Werte  von  x  und  1 — x  resp.  fi':m=p  und  fi,:7n  =  q  seien,  er- 
giebt  sich  dagegen  für  das  beobachtete  u  der  Maximalwert  der  W., 
niinilich : 

I^M]  =      J'*-'     j^«' . 5«.= L.^^  .  (43) 

(/*  )»(/'f)*  V2  7rp9fw 

Es  verhillt  sich  somit  die  W.,  dass  das  beobachtete  w  rein  zufällig 
sei ,  d.  h.  bei  Gleichheit  von  x  und  i  —  x  sich  ergeben  habe,  zu  der 
W.,  dass  das  beolwichtete  u  den  wahrscheinlichsten  Differenzwert  der 
beiderseitigen  Anzalilen  /i'  und  fn,  darstelle,  wie 

2  Ipq :  <*xp|  j^J  oder  vde  2  V^^i, :  m  expli*^  ~^^^    1 ;        44! 

und  will  man  wetten,  so  müssen  die  Einsätze  das  angegebene  Ver- 
hRltnis  auh\*eisen.] 

[Auf  aiuloren  Voraussetzungen  beruhen  die  WahrscheinHchkeits- 
iK'.'^timmungen  in  §  loS.  Zunächst  ist  zu  bemerken,  dass  dort  u  mit 
st>inem  al>soluten  Werte  in  Rechnung  genommen  wird,  es  mithin  un- 
onti^hieiien  bleibte  auf  welcher  Seite  die  überwiegende  Zahl  der  Fälle 
XU  suchen  ist,  Sotlaim  ist  zu  berücksichtigen,  dass  mit  der  Annahme, 
der  l>ooUÄchtoto  Unterschied  u  sei  nicht  rein  zufiLllig,  offenbar  vor- 
»usgt\«*tÄt  wini,  derselW  wonle  durchweg  diesen  Wert  besitzen,  viel- 
leicht auch  gnißere  Werte  aimehmen  ^wodurch  das  Fehlen  reiner 
Zufälligkeit  nur  ^-alirsoheinlicher  wird),  keinesfalls  aber  unter  diesen 
Wert  sinken,  kurz,  es  scheint  der  beobachtete  Wert  als  untere  Grenze 
7.U  gelten,  die  nur  bei  reiner  Zufälligkeit  nach  Maßgabe  des  G.  G. 
untorsohritten  wini  Setzt  man  nun  einerseits  voraus,  der  beobachtete 
Vntorsohietl  fi=±:  u^  —  u,  sei  rein  zu&llig.  so  besteht  nach  dem 
G.  G,   die   W.   11'  .  dass  dieser  Wert   nicht   erreicht,   und  die   W. 


W.  für  zufallige  Asymmetrie  bez.  des  wahren  Mittels.  247 

I  —  Woi ,  dass  er  erreicht  oder  überschritten  wird.  Setzt  man  an- 
dererseits voraus,  jener  Unterschied  sei  nicht  zufällig,  sondern  seiner 
Natur  nach  gleich  u  oder  größer  als  w,  so  ist  die  W. ,  dass  er  er- 
reicht oder  überschritten  wird  gleich  i  zu  setzen.  Es  überbietet 
somit  die  W.,  der  beobachtete  Wert  u  sei  seiner  Natur  nach  gleich 
oder  größer  als  u,  die  W.,  er  sei  bloß  zufällig,  um  TFio,  so  dass  die 
überwiegende  Wahrscheinlichkeit  Wu  für  das  Fehlen  reiner  Zufällig- 
keit der  Wahrscheinlichkeit  i  —  TF«  für  das  Bestehen  reiner  Zufällig- 
keit gegenübersteht,  und  in  diesem  Verhältnisse  wird  alsdann  gegen 
nnd  für  reine  Zufälligkeit  gewettet.] 


XVI,  Wahrscheinlichkeitsbestimmungen  für  den  vonl 

rein  zufälliger  Asymmetrie  abhäogigen  Unterschied  oj 

beim  Ausgange  vom  falschen  Mittel. 


§  112.     Gehen    wir   jetzt    an   die  Bestimmimg  der  Walirseheiit-  ] 
lichkeitsverhältnisse    des    zufälligeu   Unt^rfichiedes,    welcher   zwischrai  ■ 
der  Zahl  der  positiven  und  negativen  Abweichungen  von  einem  Mittel-' 
werte  aus  einer  endhchen  Zahl   von  Wertem   zu  erwarten  ist,  wenua 
die  Wahrscheinlichkeit  der  Abweichungen  vom  waliren  Mittel ,  wie  esl 
aus  einer  unendhchen  Zahl  von  Werten   folgen  würde,   nach  beidoon 
Seiten  gleich  gioB  ist.     Indem  der  falsche,  d.  i.   aus  dem  endlichenl 
m   gewonnene  Mittelwert   vom    wahren    um    eine    zufällige    (bei  ver^l 
schiedenen    Serien    bald    nach   einer,    bald    nach   der  anderen  Seite 
gehende j^GrÖBe  abweicht,  sind  auch  die  Abweichungen  ^  von  beiden 
Mitteln  in  jeder  Serie  verschieden;  und  es  bleibt  zwar  auch  bei  Hech- 
nung  vom   falschen  Mittel   die  gleiche  W.   der  +  ^  und  —  ^  be- 
stehen, wenn  sie  für  das  wahre  Mittel  bestand,  aber  die  Wahrschein- 
lichfeeitsverhältnisse  des  Unterschiedes  r  zwischen  der  Zahl  derselben 
ändern  sich.    Dies  begi-eift  sich  leicht  nach  der  in  §  109  angestellten  , 
Betrachtung,   da   das  falsche  Mittel   durch   die  Bedingung  bestimmt, 
wird,  dass  die  Summe   der  Abweichungen   davon  nach  beiden  SeiteuV 
gleich  gemacht  wird,   indes  sie  bei  Rechnung  von  dem  unbekannten   > 
wahren  Mittel  bei   endlichem  m  im  allgemeinen  als  imgleich  voraus- 
zusetzen ist.     Durch  diese  künstliche  Ausgleichung  der  Simuuen  der 
-|-  irf  und  —  ^  würden  auch  die  Zahlen  derselben  ausgeghchen  wer- 
den, wenn  Zahl  und  Summe  proportionale  Änderungen  erhtten,  was 
nicht    der  Fall   ist;    jedenfalls   aber  wird    der  Unterschied   v  durch  , 


.  Für  EuflÜlige  Aayrnmetrie  bct.  dei  faliohen  Mittels. 


249 


f  den  Übergang  vom  wahren  zum  falschen  Mittel  gegen  den  üntersthied 

[  M  verkleinert. 

Vm  zu  beurteilen,  in  welchem  Verhältnisse  diese  Verkleinerung 

[  nach  W.  zu  erwarten,  muss  ein  bestimmtes  Gresetz  der  Verteilung 
der  wahren  ^  nach  ZaJil  und  Größe  zu  Grunde  gelegt  werden,  weil 

f  hiervon  ilie  Walirscheinlichkeitsverhältnisse  des  Unterschiedes  zwischen 
wahrem  und  falschem  Mittel  abhängen,  hiervon  aber  wieder  die  Wahr- 
Bcheinlichkeits Verhältnisse  des  Unterschiedes  v.  Nun  ist  bekannt,  dasa 
für  die   Abweichungen,   welche   die  Einzelexemplai-e  von  K.-G.   bei 

I  nicht  zu  unregelmäßiger  Verteilung  bezüglich  ihres  Mittelwertes  zei- 
■gen,  das  durch  das  Integral  O  [s.  Kap.  XVU)  bestimmte  Gesetz 
der  Fehlei-wahi'scheinlichkeit  zu  Gmnde  gelegt  werden  kann,  wenn 
man  ein  großes  7n  und  approximative  Symmetrie  hat,  und  somit  wird 
dies  Gesetz  auch  im  Folgenden  zu  Grunde  gelegt  werden. 

§  113.  Eine  Untersuchung  über  diese  Verhältnisse  liegt  bisher 
überhaupt  weder  vor,  noch  reichen  die  mir  bisher  bekannten  Vor- 
untersuchungen hin,  die  Aufgabe  vollständig  danach  zu  behandeln, 
luzwisclien  findet  man  im  Ziisata  (§  116)  eine  Untersuchung  von  mir 
gefuhrt,  wonach  approximativ  das  mit  S'  zu  bezeichnende  mittlere 
Quadrat  des  Unterschiedes  c  gleich  m{i  —  2  :  n)  sich  ergiebt,   und 

L  nachdem  die  weiterhin  mitzuteilende  Erfalirungsprobe  gezeigt  hat,  dass 
diese  Bestimmung  selbst  bis  zu  einem  m  =  4  herab  sehr  approximativ 
genügt,  ließ  sich  fragen,  ob  aus  dem  Werte  von  c2  sich  die  übrigen 

^  Wahrsclieinlichkeitsverhältnisse    von   v  entsprechend    ableiten   lassen, 
L^i  der  Eecbnung  vom  wahren  Mittel  die  Wahrscheinlichkeits- 

f  Verhältnisse  von  u  aus    dem  "Werte  Q  =  Vni.     Auch  dies  hat  sich 

[  m.cli  Erfahri-ng  mit  genügender  Approximation  bestätigt.    Und  zwar 
ist  Sil-   den    wahrscheinlichen   Wert   von  v,   welcher  S>  heiße    [falls 
1  die  *»>terpclationsmäßige  Bestimmung  zum  Vergleiche  heranzieht], 

i  ebenso  wenig  eine  Korrektion  nach   dieser  Ableitung  nötig  als  für 

I  den  Wert  von  V  hei  Ableitung  von  Q;  für  das  einfach  mittlere  v 
aber,  welches  S/"  beiße,   eine  nur  etwas  größere  Korrektion,   als  für 

I  das  einfacli  mittlere  «,   welches  wir  U  nannten.    Endhch  berechnet 

[  sich  auch  die  Verteilungstafel  der  einzelnen  v  nach  Zahl  und  CrTÖße 
approximativ  genug  nach  dieser  Voraussetzung. 


Aiyumietri 

Die  (lemgemäßen  fundamentalen  Bcstiminungen  sind  folgende:^ 
»S'=li  — -|»H  =  0,363 38  w:  log  0,36338  =  0,56036—  I ;  {1^ 
4!  =  l'  ( ' )'»  =  0,602  8 1 Yni;     log  0,602 81^0, 780 18—1;     (dl 

Sf  =  Y~ii~-\lm±i,5}=o,^Sog7Vm±i^;\og=o,68zi2—i;  (3)* 

SJ  =0,40659]/»* ;    log  0,4065g  =  0,60g  16  —  1 .  (4] 

Zur  Bestimmung  von  TF[±f]  hat  man  dit>  Differenz  der  (D-Werte 
zu  nehmen,  welche  in  der  Tabelle  der  /  zu 


<»)/. 


i>5t/7 


gehören,  wo  für  ö  der  obige  Wert  zu  substituieren  ist;  für  W[v=o] 
insbesondei-e  aber  den  zu  (=  ii&yj  gehörigen  (D-Wert.  Tr,i,[i'], 
d.  i.  die  W,,"'da8s  der  gegebene  Wert  von  r  nicht  erreicht  wird, 
findet  man  als  den  (P-Wert,  welcher  zu  f  =  (r— i]:Ä|/2  und 
TFo[r],  d.  i,  die  für  r  selbst  und  die  unterhalb  r  gelegenen  Werte 
bestehende  W.,  als  den,  welcher  zu  (r-|- i] :  S]/!  gehört. 

In  der  Formel  fiii'  ^f  gilt  das  obere  Vorzeichen  der  Korrektion 
±1,5  für  ungerades,  das  untere  für  gerades  m,  und  eine  Folgerung 
dieser  Korrektion,  sowie  der  Grund  derselben  ist  das  erfahnings- 
mäßige  Datum,  wofür  jedoch  die  Theorie  noch  zu  suchen,  dass 
jeder  Wert  von  S/'  für  ein  gerades  m  merklich  übereinstimmt  mit 
dem  um  drei  Einheiten  kleineren  Werte  von  ?/  für  ein  ungerades  w , 
wozu  die  Belege  unten  folgen. 

Leider  stehen  bis  jetzt  zur  Kontrolle  für  diese  Approximations- 
formeln bezügbcli  V  nicht  ebenso  wie  bezüglich  deren  für  u  im  vor- 
hergehenden Kapitel  genaue  Formeln  für  kleines  m  zu  Gebote;  ein 
um  so  fühlbarerer  Mangel,  al§  die  theoretische  Begründung  und 
Ableitung  obiger  Formeln  im  Zusatz  ückenbaft  ist,  und  die  Kor- 
rektion fiii"  S*/  sogar  sonderbai-  e  len  kann.  Ivh  würde  daher 
dieselben  mit  wenig  Zutrauen  bt  durch  eine 
sehr  ausgedehnte  empirisc  '   insoweit 


ine  ^^1 

1 


W.  für  zuf&llige  Asymmetrie  bez.  dei  falBchen  Mittels.  251 

ersetzen  vermocht  hätte,  dass  man  sicher  sein  kann,  bei  Benutzung 
derselben  keinen  in  Betracht  kommenden  Irrtum  zu  begehen,  wenn- 
schon eine  genauere  Begründung  und  B^vision  der  Theorie  durch 
einen  Mathematiker  von  Fach  sehr  erwünscht  wäre. 

Die  empirische  Bewährung  beruht  wie  die  der  früheren  Funktions- 
werte von  u  auf  einer  Benutzung  von  Lotterielisten,  welche  aber  ohne 
Vergleich  imiständlicher  war  als  für  die  "Werte  des  vorigen  B^pitels. 
Denn  es  galt  da^u,  zuvörderst  die  Nummern  jeder  Liste  in  "Werte 
von  +  J  und  —  ^  in  der  Art  zu  übersetzen,  dass  für  die  ganze 
Liste  die  dem  Litegral  O  entsprechende  Verteilung  nach  Zahl  und 
Größe  bei  B^chnung  vom  wahren  Mittel  herauskam,  welche  durch 
die  f- Tabelle  im  Anhang  §  183  repräsentiert  ist;  dann  für  jede  zu- 
fällige Serie  solcher  Abweichungen  von  gegebenem  m  das  falsche 
Mittel  zu  bestimmen,  die  positiven  und  negativen  Abweichungen  von 
diesem  falschen  Mittel  zu  rechnen  und  den  Unterschied  zwischen 
der  Zahl  beider  als  v  zu  nehmen.  Etwas  ausführlicher  ist  hiervon 
im  Zusatz  (§117)  gehandelt  und  das  Beispiel  einer  Bestimmung  von  v 
für  eine  zufällig  genommene  Serie  mit  m  =  6  daselbst  gegeben. 

§  114.  Hiemach  lasse  ich  zuvörderst  in  einigen  Tabellen  die 
Gesamtheit  der  empirischen  Data  folgen,  welche  ich  bezüglich  unserer 
Aufgabe  direkt  erhielt,  imi  nachher  die  daraus  abgeleiteten  Haupt- 
werte zusanmiengestellt  mit  den  nach  obigen  Formeln  berechneten 
Werten  anzuschließen.  "Wenn  vielfach  Zahlenangaben  mit  einem  Bruch- 
werte 0,5  vorkommen,  so  rührt  dies  daher,  dass,  wenn  zufällig,  wie 
dies  mitunter  vorkam,  das  falsche  Mittel  mit  einem  wahren  Ab- 
weichungswerte genau  zusammentraf,  die  Abweichung  vom  falschen 
Mittel  mit  +0,5  und  — 0,5  nach  beiden  Seiten  gezählt  werden 
musste,  wodurch  ein  v  entstand,  was  in  die  Mitte  zwischen  die  um 
je  2  distanten  Werte  der  t;-Skala  fiel,  dann  aber  mit  je  0,5  auf  die 
beiden  Nachbarwerte  verteilt  wurde. 


252 


W.  für  zufi&llige  Aiymmetrie  bez.  des  fidschen  Mittels. 


I.   Zahl  z,  wie  oft  ein  Unterschied  v  zwischen  der  Zahl  der 

positiven  und  negativen  Abweichungen  vom  falschen  Mittel 

aus  m  "Werten  bei  7*-maliger  "Wiederholung  der 

Bestimmung  vorkam. 

a)  bei  ungeradem  m 


n 

m=5 

msa7 

ms=9 

mssii 

m  =  i3 

m=i5i) 

m  =  x7 

m=si9 

n  CS  2400 

naniyoo 

n=si320 

lies  820 

n  BS  840 

n  SS  800 

flaBÖOO 

n  =  6oo 

I 

2155,5 

1388,5 

966,5 

552 

562,5 

9 

• 

351 

327,5 

3 

244,5 

300,5 

324,5 

235,5 

231,5 

9 

• 

187 

197,5 

5 

II 

29 

32,5 

41,5 

? 

57 

63 

7 

— 

4,5 

? 

5 

IG 

9 

— 

2 

b)  bei  geradem  m 


« 

m  =  4 

m>=6 

m  =  8 

m=io 

ms=i2    m=3i4 

m  =  i6 

m=:i8 

m  =  20 

11=3000 

11=52000 

11=1500 

9i=i20o!n=iooo  na850 

n  =  75o 

yi=s66o 

n  —  600 

0 

1950 

IG4G 

648 

494 

379 

314 

247 

179,5 

176 

2 

1050 

905 

753,5 

588 

489 

382,5 

333 

325,5 

256,5 

4 

— 

55 

96,5 

112 

126 

127,5 

148 

120 

130,5 

6 

— 

2 

6 

6 

25 

20 

28 

33 

8 

— 

— 

I 

2 

7 

3 

IG 

— 

— 

— 

I 

i)   [Die  Werte   dieser  Kolumne   Tfaren  durch   unauf hebbare  Widersprüche 
entstellt.] 


W.  ftlr  zuftllige  Agymmetrie  bes.  dei  faUehen  Mittels. 


253 


n.  Dieselben  Angaben  für  einige  größere  "Werte  von  m. 


V 

m  =  30 

m  =  5o 

m=  100 

m:=  500 

n=:400 

n  =  240 

n  =s  120 

n  a3  24 

o 

94 

49 

19 

2 

2 

169 

84 

31 

2 

4 

90 

51 

13 

3 

6 

36 

32 

22 

3 

8 

8 

14 

18 

2 

lO 

3 

8 

9 

2 

12 

2 

5 

2 

14 

2 

5 

i6 

I 

0 

24 

— 

I 

28 

— 

— 

I 

34 

— 

— 

I 

Dieselben  Serien  mit  7w  =  io,  50,  100  hatten  bei  Bechnung  der 
Abweichungen  vom  wahren  IVCttel  folgende  Resultate  gegeben,  welche 
also  ganz  direkt  mit  den  vorigen,  vom  falschen  Mittel  gerechneten 
vergleichbar  sind,  indes  die  in  §  107  angeführten  Resultate  unter 
Zuziehung  noch  anderer  Serien,  daher  mit  größerem  w,  gefunden  sind. 

in.  Mit  den  vorigen  Tabellen  vergleichbare  Tabelle  für  den 
Unterschied  u  bei  Rechnung  vom  wahren  Mittel. 


u 

ms=  10 

m  =  5o 

m  =  ioo 

91  =  1200 

«  =  240 

n  =  120 

0 

301 

23 

IG 

2 

467 

52 

17 

4 

299 

44 

14 

6 

102 

42 

13 

8 

29 

28 

22 

10 

2 

16 

16 

12 

17 

IG 

14 

7 

2 

16 

IG 

5 

18 

0 

4 

20 

I 

2 

22 

4 

28 



I 

254 


"W.  für  lufXUige  Acymmetrie  bei.  de«  falHfaen  Mitteh. 


In  deu  beiden  Tabellen  für  Rechnung  vom  falschen  Mittel  ist 
die  Zahl  i,  wie  oft  ein  t'  das  gleiche  Voraeichen  mit  der  Abweichung 
des  falschen  vom  walu^n  Mittel  hatte,  und  die  Zalil  i, ,  ftie  oft  es 
das  entgegengesetzte  Voraeichen  hatte,  kurz,  wie  oft  ein  r  mit  dem 
falschen  Ä  gleichseitig  oder  ungleichseitig  war,  zur  Zahl  x  =  t'  +  x, 
zusammengezogen.  Geben  wir  jettt  die  Werte  «f=j' — x,  für  die 
Werte  von  m  =  6  bis  7»  =  30,  da  für  die  anderen  die  Sonderung 
von  x'  und  ^,  nicht  geschehen  ist.  Unter  —  {±  a)  ist  eine  Summe 
der  »  nach  absolutem  Werte,  unter  .^  a  mit  Rücksicht  auf  das  Voi 
zeichen  verstanden. 


rV.  Unterschied«^/  —  i,  zwischen  der  Zahl  j'  der  mit  dem 
falschen  Mittel  gleichseitigen  und  der  Zahl  x,  der  damit 
ungleichseitigen  Werte  von  v  gleicher  Größe,  welche  sich 
zum  1  in  vorigen  Tabellen  vereinigen,  von  m  =  t  bis  »»^30. 


a)  bei  ungeradem 

m 

m=7 

m  =  g 

ni  =  l7 

n=  1700 

H  =  i3aa 

n  =  84o 

n  =  8oo 

n  =  6oa 

»  =  600 

I 

+  33.5 

+  o,S 

—  33 

—  2S>S 

+  39 

+    I 

-20,S 

3 

+  46,5 

-4,5 

+    9,5 

+  ",5 

—     7 

—  10 

+  i',5 

5 

0 

+  1 

-    o,s 

-  s>s 

+    7,5 

—   5 

~'5    J 

7 

— 

— 

— 

+    0.5 

+    1,5 

+   3 

-  *4 

9 

— 

— 

— 

— 

— 

— 

-  '\ 

i|±,l 

80 

6 

43 

56 

45 

19 

53 1 

S{a) 

+  80 

-3 

—  24 

-  12 

+  31 

—  II 

-30 1 

b 

bei  geradem 

" 

m  =  6  1    ™  =  8 

m  =  io 

m=r2 

m  =  \\ 

>n  =  lö 

RI^lS 

m=20 

ni  =  3o 

B=JOOO'M=I500 

11  =  1100 

11  =  1000 

„  =  8so 

n  =  75o 

n  =  66o 

n  =  6oo 

.1  =  400 

3 

—  34 

+  4^.5 

+  20 

+    8 

+  1.5 

—  39 

—35,5 

— i6,s 

+  5 

4 

+  13 

+  ",5 

+   16 

+    8 

+  °,S 

—  14 

—  8 

+  ^5 

6 

0 

—    4 

0 

+  3 

+     3 

+   2 

—  I 

+  4 

8 

I 

— 

— 

z 

+  1 

4-  2 

+   I 

—  3 

—  I 

2-.:±i.i 

37 

54 

40 

16 

6 

47 

46,5 

23 

"J 

£1» 

-11 

+  54 

+  33 

+  16 

+  6 

—  39 

-4o,S 

—20 

+  »J 

W.  für  zuf&Uige  Asymmetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 


255 


Es  kann  etwas  auffällig  erscheinen,  dass  die  "Werte  von  a  und 
mithin  auch  'la  bei  den  kleineren,  namentlich  geradzahligen  "Werten 
m  fast  alle  positiv  sind.  "Wahrscheinlich  aber  hat  dies  denselben 
Grund,  der  für  eine  analoge  Erscheinung  (§  107)  geltend  gemacht 
wurde,  dass  nänüich  die  Serien  mit  kleinerem  /ti  in  die  Serien  mit 
größerem  m  mit  eingehen,  so  dass  die  Serien  mit  verschiedenem  m 
nicht  ganz  unabhängig  von  einander  sind,  indes  aber  nicht  nur  jede 
Serie  für  sich,  die  ein  v  gab,  sondern  alle  w-Serien  für  ein  gegebenes 
ni  zusammen  rein  nach  Zufall  geordnet  sind. 

§  115.  Aus  den  ersten  beiden  Tabellen  leiten  sich  folgende 
Hauptwerte  ab,  deren  Zusanmaenstellung  mit  den  beistehenden 
theoretischen  Werten,  nach  obigen  Formeln,  zur  Prüfung  dieser 
Formeln  dienen  kann. 


m 

beobachtet 

|3 
0,36338  »» 

beobachtet 

^Z 

beob.  1) 

^ 

;o,48o97ym±i,5 

o,4o659Vm 

4 

1,40 

1.45 

0,70 

0,76 

0,72 

0,81 

5 

1,82 

1,82 

1,20 

1,23 

0,89 

0,91 

6 

2,25 

2,18 

1,02 

1,02 

•    0,96 

1,00 

7 

2,57 

2,54 

1,38 

1,40 

1,03 

1,08 

8 

3,09 

2,91 

1,27 

1,23 

1,19 

1.15 

9 

3,49 

3,27 

1,58 

',56 

1,21 

1,22 

10 

zM 

3,63 

1,38 

1,40 

1,27 

1,29 

II 

4,25 

4,00 

1,73 

1,70 

1,36 

i»35 

12 

4,19 

4,36 

1.52 

1,56 

1,38 

1,41 

13 

4,65 

4,72 

1,78 

1,83 

1,37 

1,47 

14 

5^33 

5,09 

1,69 

1,70 

1,46 

1)52 

15 

• 

5.45 

? 

1.95 

? 

1)57 

16 

6,06 

5,81 

1,86 

1,83 

1,65 

^,^Z 

17 

6,17 

6,18 

2,05 

2,07 

1,64 

1,68 

18 

7,09 

6,54 

2,05 

1)95 

1,78 

1,73 

19 

7,22 

6,90 

2,21 

2,18 

1,80 

1)77 

20 

7,66 

7,27 

2,11 

2,07 

1,85 

1,82 

30 

10,06 

10,90 

2,27 

2,57 

2,14 

2,23 

50 

17.87 

18,17 

3.25 

3.35 

2,63 

2,88 

IOC 

37,87 

36,34 

4,87 

4,77 

4,64 

4,07 

500 

178,17 

181,69 

10,42 

10,74 

9,00 

9)09 

i)  [Wie  in  §106,  so  wurde  auch  hier  mit  Zuziehung  zweiter  Differenzen  interpoliert.] 
2;  [Vergl.  die  Bemerkung  zu  Tab.  I  a.] 


356 


W.  for  luftllige  Agymmetrie  bei.  des  MK&eti  Mitteli. 


Man  dürfte  die  durclischnittliche  Übereinstimmung  der  fm])b-iscW 
Werte  mit  den  berechneten  sehr  befriedigend  finden.  Wemi  aber 
hier  und  da  auch  nicht  unerhebliche  Abweichungen  vorkommen,  so 
kann  dies  bei  der  sorgfältigen  Rerisiou  dieser  Werte  nicht  auf  Ver- 
sehen geschrieben  werden,  sondern  es  hegt  in  der  Natur  der  Sache, 
dass  unter  vielen,  nach  ihrer  W.  berechneten,  zufälligen  Werten  auch 
zufällig  stärkere  Abweichungen  von  den  Norraalwerten  vorkommen, 
[Üherdies  können  die  verhältnismäßig  starken  Abweichungen,  die  sich 
unter  den  Werten  der  vier  letzten  Zeilen  finden,  auf  Hechnung  des 
geringen  n  derselben  gesetzt  werden.) 

[Berücksichtigt  man  neben  den  Tabellen  T  und  II  die  Vergleichs- 
tabelle m,  so  findet  man  folgende,  mit  einander  vergleichbare  Hai 
werte  für  den  Ausgang  vom  wahren  und  vom  falschen  Mittel 


m 

«■ 

ä' 

r 

SV 

r 

•S' 

lO 

">,3' 

},'>} 

=,495 

1,38 

!,I9 

■,!7 

5° 

5'.4S 

■7,87 

5i8=S 

3,"5 

S,=4 

«,63 

loo 

97.47 

37,87 

8,oo 

4.8, 

7,49 

4,64 

«v^M 


Dieselben  zeigen,  daas  der  IThergang  vom  waliren  zum  falschen 
Mittel  in  der  That  eine  VeiTingerung  der  mittleren  und  wahrschein- 
lichen Untei-schiede  mit  sich  führt,  die  in  genügender  Übereinstim- 
mung mit  der  theoretisch  geforderten  Verringerung  steht.  Es  ist 
nämlich: 


,„ 

ä':(i'       St:U 

v-.r 

50 

",31'    j    ",554 
'>,34>    1    0,558 
0,389    I    0,608 

o,S77 
o,5" 
0,619 

4 


Die  theoretischen  Verhältnisse  dagegen  sind  ohne  Berücksichtigung 
der  Korrektionen  für  5/"  und  U,  S' :  i?'  =  0,363;  ?^:  r=S':  T'= 
0,603.] 

Mau  kann  es  als  eine  Merkwüi'digkeit  unfülireu,  dass  der  Wert 
^/■,  welcher  für  Kechnung  vom  falschen  Mittel  gilt,  nahe  überein- 
konuiit  mit  der  einfach  mittlei-en  Abweichung  von  dem  für  Rechnung 


W.  für  zuftlllige  Agymmetric  bez.  des  falschen  Mittels.  257 

vom  wahren  Mittel  geltenden  U,  oder  dass  f/*  nahe  gleich  s  [U]; 
doch  nur  bei  so  großem  w,  dass  die  Korrektion  ±1,5  nicht  mehr 
erheblich  in  Betracht  kommt.  Dies  ergiebt  sich  sowohl  aus  dem 
Vergleiche  der  Formeln  für  beide  Weiie: 


J^/'rrr:  0,48097  Vm  ±1   1,5 

und'):  _ 

s  [U\  =  0,48262  Vm  , 

als  es  sich  empirisch  für  größeres  in  bestätigt. 

[Auf  Grund  der  obigen  Zusammenstellung  der  Werte  von  U 
und  ^f  insbesondere  ergiebt  sich  £[U]  für  ;w=io;  50;  100  resp. 
gleich:  1,64;  3,44;  4,40.  Es  ist  somit  in  der  nämlichen  Reihenfolge 
£  [U]  —  ^Z*  resp.  gleich:  0,26;  0,19;  —  0,47.] 

Auch  kann  man  nicht  versichern,  ob  der  Zahlenkoeffizient  für 
beide  Werte  nicht  wirklich  mit  Vorteil  als  gleich  anzunehmen  ist, 
da  ])eide  auf  verschiedenen  Wegen  abgeleitete  und  liieniach  etwas 
verschieden  sich  ergebende  Koeffizienten  beiderseits  überhaupt  nur 
Approximativbestniimungen  liefern,  mithin  keine  absolute  Gültig- 
keit haben. 

Wahrscheinlich  erstrecken  sich  dergleichen  Beziehungen  auch  auf 
die  anderen  Hauptwerte ,  und  die  mitgeteilten  Beobachtungsdata 
ge])on  die  Gel(»genheit ,  es  zu  prüfen;  doch  habe  ich  unterlassen, 
darauf  einzugehen,  teils  in  Ei'^^'artung ,  dass  sich  die  Theorie  erst 
dieses  Verfahrens  mehr  bemilchtigo,  teils  um  nicht  die  schon  so 
weitläutige  Untc^rsuchung  noch  weiter  auszudehnen. 

Endlich  folgt  hier  noch  der  Vergleich  einiger  Verteilungstafeln 
nach  Recthnung  und  Erfahrung. 


i:    Vcrgl.  §  120  im  fo\\i^.  Kap.    Da  iiacli  der  dortsclbst  <]jep;ebencn  Bestimmnnp^ 
e [  r/J  =  0,604 88  f/  und  da  andererseits  mit  Vcrnachlässij^ung  der  Korrektion: 


§>^=t^i/,_^ , 


so  folgt  auf  Grund   der  Übereinstimmung  von  b\U]  und  ??/*,  dass.   wie  au  jener 
Stelle  angegeben  wird,  ap])r()ximativ 

0,604  88  gleich  1/ 1 

gesetzt  werden  kann.] 

Fkcunkk,  KollektivmalUehri>.  |^ 


258 


W.  f&r  zufällige  Asrnmetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 


Vergleich  der  beobachteten  Zahlen  von  r  in  obigen  Tabellen 
mit  den  nach  §  113  berechneten  für  einige  Werte  von  m. 


r 

m  =  4 

m  = 

=  10 

Wl  = 

=  20 

m  = 

=  30 

Wl  = 

=  50 

beob.  '    ber. 

beob. 

ber. 

beob. 

ber. 

beob. 

ber. 

beob. 

ber. 

0 

1950 

'779 

494 

480 

176 

174 

94 

95 

49 

44,5 

2 

1050 

1182 

588 

581 

256,5 

267 

169 

159,5 

84 

80 

4 

38 

112 

128 

130,5 

121 

90 

93,5 

51 

57.5 

6 

6 

10 

33 

32 

36 

38,5 

32 

33,5 

8 

— 

3 

6 

8 

13 

14 

16 

10 

I 

3 

0,5 

8 

6 

12 

2 

2 

14 

— 

— 

0,5 

§  116.  [Erster  Zusatz.  Die  theoretische  Bestimmung  des 
mittleren  und  wahrscheinlichen  Wertes  von  r.l 

[Jedem  Systeme  von  in  positiven  oder  negativen  Größen  ^^ , 
^3  . . .  Jm  g<?hört  ein  Mittelwert  J^  und  ein  Differenzweii;  r  zu, 
welch  letzterer  angiebt,  um  wie  viel  die  Anzahl  v^]  der  oberhalb  J^ 
liegenden  Werte  die  Anzahl  it  der  unterhalb  J^  liegenden  Werte 
übersteigt.  Die  AVerte  von  r  =  v  —  u  können  daher  jeden  AV^ei-t  der 
Reihe :  m  —  2 ,  m  —  4  ....  4  —  m,  2  —  ;;/  darstellen ,  so  dass  es 
im  ganzen  ni  —  i  positive  oder  negative  /-Werte  giebt,  während  die 
entsprechende  Anzahl  der  w-AVei-te  w+  i  beträgt.  Hierbei  bedarf  der 
Fall ,  wo  ein  .^,  (/  =  i ,  2  . .  .  ?w)  mit  J^  zusammenfällt ,  keiner  be- 
sonderen liiicksichtnahme,  da  er  bei  der  vorauszusetzenden  stetigen 
Veränderlichkeit  dieser  Größen  als  ein  Grenzfall  anzusehen  ist,  der 
entweder  dem  Falle,  dass  j/,-  oberhalb  J^  oder  dem  Falle,  dass  Ji 
unterhalb  .7,,  liegt,  beizuzählen  ist.  So  ist  beispielsweise  für  v//  =  2 
der  Wert  von  r  stets  gleich  Null;  für  ;;/  =  3  dagegen  ist  r  entweder 
gleich  -\-  I   oder  gleich  —  i.] 

[Andererseits  gehr>rt  zu  jedem  v  =  v  —  fi  eine  Mannigfaltigkeit 
von  Systemen  J^,   z/^  ...  J,„,   die   man  wit'  folgt   bestinmien  kann.] 

[Bezeichnet  J^  den  zwischen  —  00  und  -}-  00  variierenden  Mit- 
telwert, stellt  ferner  d  eine  [)0sitive  Größe  dar,  die  alle  AVerte  von 
o  bis  00  annehmen   kann ,   und   repräsentieren  schließlich  a,  ,    «^  . . . 


I      r  lind  (Li  ersetzen  hier  //'  und  li, .] 


W.  filr  zuf&llige  Asymmetrie  bez.  des  falscheu  Mittels. 


259 


«u-i;   ßxj  ßa  "'  ßv-1  unabhängig  von  einander  die  positiven  "Werte 
von  o  bis  i,  so  setze  man: 


^U-X 

•              • 

•                               • 

—  (I 

—  a«   i)  a^-i . 

•a, 

a 

J, 

=  ^0 

U^. 

_,  «;,_, . .  a,  <J 

^."+1 

^n 

+(• 

-ß.)i 

^a+2 

•              • 

-^0 

•                              • 

+  (!• 

•                          • 

-  ß.)  ß.  S 

• 

(5) 


Man  erhält  so  zunäclist  alle  AVertensysteme  ^^  , , .  J^  j  deren  fi  erstell 
Worte  unterhalb  dos  jeweiligen  Mittelwortes  liegen,  während  die  v 
letzten  AVerte  denselben  übersteigen.  In  der  That  ist  auf  Ginind 
der  fostgosetzton  Variabilitätsboroiohe  J^,  J^  ,  ,  J^^  kleiner  als  J^ ; 
.^^,+j,  ^/i+2  .  .  .  -^m  gWißor  als  J^\  so  ist  femer  tlie  Summe  der  /£ 
ersten  J  gleich  n  J^  —  d  und  die  Summe  der  v  letzten  J  gleich 
1/  ^o  +  (J,  somit  die  Summe  aller  J  gleich  /;/  J^.] 

[Um  sodann  alle  AVertensysteme  ^, ,  J^  ...  J^  7m  erhalten, 
für  welche  irgend  welche  Weiie  in  der  Anzahl  ^  unterhalb  und  die 
übrigen  v  oberhalb  des  jeweiligen  Mittelwertes  liegen,  ist  nur  nötig, 
an  dem  Systeme  (5)  alle  möghchon  Vertauschungen  zwischen  den  /i 
ersten  und  den  v  letzten  J  vorzunehmen,  was  zu  ml:[^i!v!)  Glei- 
chungensystomon  von  der  Form  (5)  führt,  deren  jedes  die  nändiche 
Mannigfaltigkeit  von  AV^ortousystemon  J^  .  .  .  .r/,„  nur  mit  jedesmal 
veränderter  Reihenfolge  der  J  darstellt,  und  deren  Verein  die  (lO- 
samtmannigfaltigkeit  der  zu  r  =  v  —  u  gehörenden  Wertensysteme 
bestiimnt.  \ 

[Es  sollen  nun  die  z/,  (/  ==  i  .  .  .  7;/)  als  Abweichungen  vom 
wahren  Mittel  aufgefasst  werden,  für  welche  das  (4.  G.  gilt.  Dann 
ist  die  W.  für  das  Vorkommen  ehies  einzelnen  Wertes  J  gleich: 


h 


V7i 


exp  [—  A"  J'] . 


17* 


260  W<  för  zufällige  Asyrametrie  bez.  deg  falscheD  Mitteli. 

Es  ist  femer  die  W  für  das  Vorkommen  des  Systems  der  m  Werte 
J^  .  ,  ,  Jtn  gleich: 

--      --exp[-A»(^:+..^2,;-], 

da  —  nach  bekanntem  Satze  der  Wahrscheinliclikeitsreclinung  —  die 
W.  für  das  Zusammentreffen  mehrerer,  von  einander  unabhängiger 
Ereignisse  gleich  dem  Produkte  der  W.  für  das  Eintreffen  jedes 
einzelnen  Ereignisses  ist.  Es  ist  schließlich  die  W.  für  das  Vor- 
kommen irgend  eines  Systemes  J^  ..^m,  das  einer  wohl  definierten, 
stt»tigen  Mannigfaltigkeit  solcher  Systeme  angehört,  gleich: 

wo  das  Integral  über  das  Kontinuum  der  Wert^nsysteme  zu  ei-strecken 
ist,  in  dessen  Bereich  das  vorkommende  AVertensvstem  fallen  soll. 
Denn  die  AV.  dafür,  dass  irgend  eines  aus  einer  Reihe  einander 
ausschließender  Ereignisse  eintritt,  ist  —  wie  die  Wahi-scheinhch- 
keitsrechnung  lehrt  —  gleich  der  Summe  der  W.  der  einzelnen 
Ereignisse.] 

[Es  ist  aber  den  Gleichungen  (5)  zufolge: 

wenn  zur  Abkürzung  (a;  ß)  =  Aj^] 

dJ^  dd  du^  . .  .  dctu-i  d^^  .  . .  rf/:?,-i .  j 

Man  erhält  somit  als  Ausdruck  für  die  W.,  dass  von  m  Abweichun- 
gen J^,,.J,„  die  n  ersten  unterhalb,  die  v  letzten  oberhalb  des 
Mittelwertes  J^  hegen,  das  Integral: 

-^  f  exp  -  h^  (mJl  -h  d-  («;  ß^)]  •  1 

(Kr      J  >    (8. 

()'"-'«,"-=.  .  .  a,,-.{i,'--  . . .  ti.^^dJ^ddda^  .  .  .  d(i,  .  . .,       J 

wo  über  J^,  vcm  —  00  l)is  +  00,  über  d  von  o  bis  00  und  über 
jedrs  (b»r  a  und  ß  von  o  bis  i  zu  integineren  ist.  In  Übereinstini- 
imin«r  (hmiit  drückt  sich  die  \V..  dass  überhaupt  von  ///  Abweichungen 


W.  für  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  falscheu  Mittels.  261 

/i  unterhalb   und  v  oberhalb   des  Mittelwertes    liegen,    dass   mitliin 
V  =  y  —  f,i,  aus  durch : 


d"—' «,"-» . . .  /://-» . . .  dJ^döda,  ...d/i,...,  ) 


(9) 


WO  das  Integral  zwischen  eben  denselben  Grenzen  zu  nelunen  ist] 

Da  sich  die  Integration  über  J^  und  über  d  sofort  ausführen 
lässt,  indem: 

V7c 


fexj>[-h^mJl]dJ^  =  -^; 
J  h\  m 


und  für  gerades  m\ 

~     1.3.5...  (m  — 3). 


Texp  [-  li^  d^  (a;  ß)]  J'""»  d5  =:  Vtt 


m 


2 '.(AYa  ;/*)"'- 

für  ungerades  ni: 

Im  —  3\ 
'^  1.2.3...  I ^^1 

o 

so  erhält  man  für  TF^r]  den  vereinfachten  Ausdruck: 
TF[r]  =  C„.  .  r«r° •  •  •  «>-'f£;' •  •  •  <^'rUa,-.da,-,dli,  ■  •  .rf/*,..,  (lo) 
woselbst: 

+  (1  -  /tfj»+ /yj(i  -  ß^r  + . . . .  ^^ .  /^^, ; 

für  gerades  m:        C„,  =  -r-,'     .^  -   -„  —  •  i  •  3  •  5  ••'  ('^*  — 3); 

^e.-r.     2[V2jt) 

...                   ,                ^          /w/            V//2                                   A'^*  —  3\ 
für  ungerades  m  :    Cm  =  —, — > -7=-^ —  i  •  2  •  3  •  •  •  •  | | : 

und  wo  die  Integration  für  jedes  a  und  ß  von  der  unteren  Grenze  o 
bis  zur  oberen  Grenze  i  zu  erstrecken  ist] 

[Die  Formel  (10)  erprobt  sich  zunächst  in  den  einfachsten  Fällen 
für  m=2  und  3,   deren   W[ö\  resp.   W[i]  von  vornherein  bekannt 


262  W.  für  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 

ist.  Es  ist  nämlich,  da  für  7n  =  2  stets  7'  =  o  ist,  Tr[o]  =  i  und, 
da  r  für  vi  =  3  entweder  gleich  +  i  oder  gleich  —  i ,  und  beide 
Werte  gleich  wahrscheinlich  sind,  W[+  i]  =  W[ —  1]  =  i .  Und  in 
der  That  erhält  man  aus  (10)  für  m  =  2: 


\  2 


ferner  für  ;;/  =  3  : 


da  ^     n         i 


o 

[Aus  (10)  ergeben  sich  sodann  durch  Ausführen  der  Integrationen 
die  Werte  von  W[v]  für  größere  m.  Dabei  ist  zu  beachten,  dass 
die  Summe  aller  W[v\  für  ein  gegebenes  m  gleich  i ,  und  dass 

W\^  i<\=  W[- r],  (iij 

da   V  in   —  v  übergeht,  vom  u  mit  v  vertauscht  wird,  was  auf  den 
AVert  des  Integrals  keinen  Einfluss  hat.] 

[Hiernach  findet  man  für  7/»  =  4: 

w[6\  =  ^-:/. ;    Tr[+  2]  =  w[-  2]  =  ^  /, ; 


I    I 


j. I       /•  /»  da  dß 

'~7r2J  J  Ci-cc  +  a^-ti+ß^l- 


o  o 


=  2  arc  tgV2  —  arc  tg  2  V  2  =  0,2 1636  •  tt  ; 


1    <ar» 


dadß 


j. 1        /»/•  aaofi 

'~  2V7JJ    [i-a  +  a^-ß+ßy- 

O     I 

=  arc  tg  2  V  2  —  arc  tg  V  2  =  0,087  73  •  >t  . 
Daraus  folgt: 

ir[o.i  =  0,64908;  Tr[+2,=  ir[- 2]  =  0,17546; 

e5>/^==  1,40368;  5:Y=  0,701 84. 

In  ithnlicher  Weise  ergiebt  sich  für  ?n  =  5  : 

ir[+  1 ;  =  W\—  ii  ==  0,45 1 075 ;  w[+  3]  =-  w^[-  3]  =  0,048925 ; 

0^=1,7828;  ):Y=  1,1957, 


W.  für  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  falschen  Mittels.  263 

Für  (lic  beiden  Fälle  m  =  4  und  ;//  =  5  werden  so  die  exakten 
Werte  für  C^""  und  "-^f  geboten,  deren  Vergleich  mit  den  entspre- 
chenden Werten  des  §  115  die  Zuverlässigheit  der  dortigen  Bestim- 
mungen zu  beurteilen  gestattet.] 

[Um  al)er  auf  diesem  Wege  in  gleicher  Weise ,  wie  es  im  vorigen 
Kapitel  für  die  Abweichungen  vom  wahren  Mitt^d  geschah,  Foimeln 
für  fr[r]  und  hiernach  solche  für  <2%  iJ/'und^  Zugewinnen,  welche 
die  Abliängigkeit  dieser  Werte  von  ///  explicite  darstellen,  müsste 
das  [m  —  2) -fache  Integral  von  (10)  in  allgemein  gültiger  Ausfülinmg 
vorliegen.  Nun  lässt  sich  allerdings  eine  solche  Ausfülinmg,  am 
bequemsten  aus  (9),  durch  Entwicklung  in  Reilien  gewinnen.  Da 
dieselbe  jedoch  zu  Weitläufigkeiten  führt,  so  ist  es  angezeigt,  den 
AVert  von  dl'  direkt  zu  bestimmen,  um  sodann  —  mit  dem  Zuge- 
ständnis, dass  so  eine  für  die  hier  verfolgten  Ziele  unbedenkliche 
Lücke  bleibt  —  *^f  und  5>  daraus  unter  der  Voraussetzung  abzuleiten, 
dass  für  große  m  die  AVahrscheinlichkeitsverhältnisse  der  v  durch  das 
G.  G.  geregelt  werden.  Diese  Voraussetzung  ist  zulässig,  da  nach 
(11)  das  Wahi-sch(unlichkeitsgesetz  für  r  sjTnmetrisch  ist  bezüglich 
des  Maximalwertes  r  =  o,  und  da  ferner  die  aus  dem  G.  G.  folgen- 
den Beziehungen  zwischen  (5',  ^^  und  2^,  die  den  Foimeln  (i)  bis 
(4)  zu  Grunde  liegen,  eine  hinreichende  empirisclie  Bewährung  ge- 
funden haben.  Es  wird  dann  allerdings  auch  auf  eine  theoretische 
Begründung  der  für  "-^f  gegebenen  Korrektionen  verzichtet.] 

[Die  direkte  Bestimmung  von  <S''  lässt  sich  ^vie  folgt  erreichen. 
Man  beachte,  dass  für  ein  beliebiges  System  von  Abweichungen  J^ , 
J.^,..  J.n,  deren  arithmetischer  Mittelwert  J^  sei,  die  Differenz 
r  =:  V  —  u  zwischen  d(»n  Anzahlen  der  oberhalb  und  unterhalb  J^ 
liegenden  ^,  (/=  i,  2..///)  darstellbar  ist  durch: 

r  =  -„J    ..     "     +   -'      ^"      H -^'--     ^^ ;  (12) 

demi  jeder  Quotient  [Ji —  .7^) :  V(>7,-  — -  J^Y  ist  glcM'ch  +  i  oder 
gleich  — I,  je  nachdem  z/,  oberhalb  oder  unterlialb  J^  liegt.  Es 
ist  demzufolge: 


264 


W.  für  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 


&' 


—  J.V  1 


V{Jn.—  ^o) 


(13) 


»m 


\V';r) 


wo  die  Integration  über  jedes  Ji  von  — c»  bis  +00  zu  erstrecken  ist.] 
[Nun  ist  aber: 


J,n  —  ^ 


U,-z/J(z/,-^J 


wo  die  Siunniation  über  alle  /  und  k  aus  der  Reihe  der  Zahlen  von 
I  bis  tu ,  ausgenommen  die  Werthe  /  =  k ,  auszudehnen  ist.  Es  ist 
daher,  da 

-^  /'exi)[-A'(^/+  •   .  J^)]  dJ,  ■ .  dJ„==  I  , 
und  alle  ///(///  —  i)  Integrale: 

einander  gleich  sind: 


exp[- A=  (^.°  +  •  •  •  ^m')] dJ,  • .  äJ„ 


&'  =  ?n  +  r«  ( /«  —  I  ] 


Ä'« 


{j-j:)[j,-j„) 


(V^r)"  ■ 


./  VIJ.  — 


exp  [—/<=■  f^J  -I-  •  •  ^,°,)j  rf^,  •  •  •  d_/,„ , 


(H) 


wo  die  Grenzen  der  Integration,  wie  oben  angegeben,  zu  nehmen 
sind.] 

[Um  nunmehr  das  /«-fache  Integi'al  auszuwerten,  setze  man: 
^  m  —  2  - 


-^.  =  ^o-?:^  +  <5. 


?/^ 


'-'  m     I -^  o 


•^  tn         -J  r, 


()m-ij      . 


(15) 


W.  für  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 


265 


Dadurch  treten  an  Stelle  der  unabhängig  voneinander  z>\ischen  den 
Grenzen  —  oo  und  +  oo  variierenden  ^, ,  ^a  •  •  ^m  die  gleichfalls  un- 
abhängig voneinander  zwischen  den  nämlichen  Grenzen  variierenden 
^oi  ^11  ^2  •  •  •  ^m—i  7  und  man  erhält : 

fyif  1v^ 


wo:    ^  =  ,/^^^=+d/+(J/  +  (^L±^ 
Hieraus  gewinnt  man  durch  Ausf ülirung  der  Integration  bez.  J^,  d^, 


&-  =vi-[-m[m  -  i)  -  l/— —  . 


7t  ^   m 


J  VA 


ö.d. 


VÖ.'Ö., 


exp[-Ä'(cJ.'+<J/  +  i^±^)')]rfd.dd, . 


('7) 


Da  aber  d^d^iVd^^'d^'' =-{-i ,  wenn  d^  und  d^  gleichzeitig  positiv  oder 
negativ  sind ,  und  da  der  näraliclie  Quotient  den  Wert  —  i  darstellt, 
wenn  von  den  beiden  Größen  cJ^  und  d^  die  eine  positiv,  die  andere 
negativ  ist,  so  erhält  man  nach  einfachen  Umfonnungen: 


d^^  =  Nf  +  fu  [ni  --  1 ) 


r.  r 


o  o 


(i8) 


oder,  wenn  ^  =  1/    —     -hd^  ;    t^  =y  -  hd^ : 


m  —  2 


2ni 


(S=  =  m  +  --  yiriim  —  2) 

TT  ^  ' 


r.  jr 


00  .  .r 


(19) 


266  W.  far  zufällige  A83rimnetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 

Nun  ist: 


3(//i— i)^  '    '         i5(/M— i)5  '    » 
Folglich  resultiert  schließlich,  wenn  /,'=r,  und  t^^=^  r^  gesetzt  wird: 


2///        Vwir//  —  2  /•/•  r  , 

Ö  =  '/* ^ ^   /  /  exp[—  r^  —  r J 


o    o 


2  mV  mim  —  2)/'  2  8 


f20 


-2)/  2  8  \ 

Aus  diesem  Resultate  wird  aber  der  gesuclite  Weil  von  «5",  wie  ihn 
die  Eomiel  (i)  dai'stellt,  gewonnen,  wenn  Größen  von  der  Ordnung 
I  :  ///  vernachlässigt  werden.  Durch  Entwicklung  nach  Potenzen  von 
I  :  ///  erhält  man  nämlich : 

^2  2m  \  2  ,     , 

&^  =m ^-  •  .  •  ,  21; 

71        ^Tcm       ^Tcm 
somit  in  erster  Annäherung: 

CS'  =  //Ml    —   — I   •  122; 

Hieraus  folgen  dann  unmittelbar  die  Formeln  (3)  und  (4)  für  ^l*  und 
2>  —  jedoch  ohne  die  für  ^Z*  empii'isch  gefundene  Korrektion  — 
wenn  das  G.  G.  füi-  die  Wahi-scheinlichkeitsverhältnisse  der  r  bei 
gi*oBem  ///  in  Anspruch  genommen  wird.] 

§117.  [Zweiter  Zusatz.  Erläuterungen  zur  empirischen 
Bewährung  der  Wahrscheinlichkeitsbestimmungen  für  <S, 
^Y  und  'SP  mittelst  der  Lotterielisten.] 

Zunächst  könnte  es  überhaupt  uimiöglich  scheinen,  ein  Prinzip 
empirischer  Bewährung  dafür  zu  finden,  da  ja  die  Formeln  wesent- 
liche Symmetrie  und  Gültigkeit  des  G.  G.  zufälliger  Abweichungen 
voraussetzen ;  aber  an  welcliem  Gegenstande  man  auch  die  Bewährung 
versuchen  will,  man  kaini  für  die  Abweichungen  vom  Mittel  A  weder 


Vi'.  fQr  zufällige  ÄEymmetrie  bez.  de«  falschen  Mittela. 


267 


die  eine,  noch  die  andere  Bedingung  von  vornherein  sils  erfülll  vonuis- 
setzen.  Aber  mau  kann  sich  künstlicb  einen  Gegenstand  liei-stelk-n, 
der  diese  Bedingungen  erfüllt,  nacli  folgendem  Prinzip. 

Denke  man  weh,  uni  daa  Prinzip  zuerst  in  möglichst  fusslidioi- 
Form  zu  erläutern,  in  eine  Urne  eine  sehr  große  Anzahl,  ich  will 
sagen  15000  weiße  und  ebenso  viele  schwai-ze  Kugeln  gethan,  wovon 
die  ersten  als  jrositive,  die  letzten  als  negative  Abweichungen  zählen 
mögen;  es  sollen  diese  Kugeln  aber  mit  positiven  und  negativen 
Größenwerten  beschrieben  sein,  jede  Größe  in  solcher  Wiederholung, 
wie  es  der  W.  der  entsprechenden  FehlergröBen  nach  dem  G.  G. 
entspricht.  Als  richtiger  Mittelwert,  von  dem  die  Felder  ihren  Aus- 
gang nehmen,  gilt  hierbei  der  Nullwert.  Man  ziehe  uun  m  Kugeln 
und  nenne  jiositive  Summe  ^i/'  die  Summe,  die  man  erhält,  wenn 
man  jede  positive  Fehlergi-öBe  mit  der  Zahl,  wie  oft  sie  gezogen  ist, 
multipliziert;  entsprechend  mit  der  negativen  Smaime  ^^,.  Sofern 
nun  —  J'  und  i' J,  nach  Zufall  nicht  gleich  gefunden  sind,  erscheint 
der  Mittelwert  um  {^^'  —  — -^,) :  tn,  welcher  Wert  e  heiße,  vermehrt 
oder  veniundcrt,  je  nachdem  Sd'^SJ,  oder  umgekehrt.  Ber  falsche 
Mittelwert  ist  also  statt  o  gleich  ±e.  Hat  man  also  solchergestalt 
c  bestimmt,  so  kann  man  jetzt  zählen,  wie  viel  Fehler  größer  und 
wie  viel  kleiner  als  c  sind  und  hiernach  ein  dr(^(' —  i*,)  oder  r  für 
diesen  Fall  linden  und,  nachdem  man  n  Züge  gethan  hat,  liieraus 
sowohl  ein  mittleres  v  als  wahrscheinliches  r  finden ,  welches  letztere 
nur  eine  Interpolation  foitlert. 

Nun  würde  ein  solches  Verfalircn  mit  der  Urne  und  so  vielen 
weißen  und  schwarzen ,  mit  Größenwerten  beschriebenen  Kugeln 
praktisch  undurchführbar  sein;  abei-  man  kann  die  Urne  durch  das 
Lotterierad,  die  woißeu  und  schwarzen  Kugeln  durch  geradzahhge 
und  ungcradzftliligo  Nummern  ersetzt  halten.  Man  kann  femer,  um 
unter  den  30000  Nummern  Verhältnisse  herzustellen,  welche  den 
Wahrscheinlichkeitsverliiiltnissen  der  Fehler  entsprechen,  allen  Num- 
mern von  I  bis  inet.  338  die  Größe  o,2j  beilegen,  allen  von  da  bis 
incl.  1015  die  Größe  i,  allen  von  da  bis  i6qi  die  Größe  2,  allen 
von  da  bis  2366  die  Größe  3  a.  s.  w.  und  diese  tlbei-set/ung  in  eine 
Tabelle  bringen,   welche  bei  jeder  Lotterienummer,   auf  die  man  im 


1 


268  W-  fOr  mftlKge  Asyminetrie  bet.  des  fnlarhen  Mittel». 

Durchgehen  der  Liste  tiifft,  sofort  Auskunft  giebt,  weldie  Gmße  s 
repräsentiert. 

[Die  HeraU-üung    dieser  TabeUc   erfolgt  mittelst    der  /-Tabelli 
(§  '83)1  *'i*^  folgt.     ZuuLicIist  ist  eine  Entscheidung  zu  treffen, 
welchem  InteiTalle  die  zu  Gnmde  zu  legenden  /-AVerte  fortschreite 
sollen.     Im  Interesse  der   Bequeiuhclikeit  werde  da-'^  Intervall  0,03^ 
mit   dem  Änfanga-i  ^0,01,  gewäldt,     Da    nun   die   vora 
Anzahl  der  Lotterienunimem ,    die  als  ebenaoviele  Exemplare    einec 
K.-G.   zu  interpretieren  sind,   30000  i-st,   so  sind  die  den  Inter^'all-^ 
grenzen  entsprechenden  «D-Werte  mit  30000  zu  multiplizieren,  um 
ihren    successivon   Differenzen    die  Anzalilen    der  Abweichungen 
erhalten,  die  in  die  aufeinander  folgenden  Intervalle  fallen.    Die  1 
weichungen    selbst   aber  sind,    wie  das   für  unsere  K.-G.   durcliw 
geschieht,  in  der  Mitte  des  Intervallea,  in  das  sie  gehören,  vere 
zu   denken.     Es    wäre    somit,    da  t=  J:  tVjc ,    das  erste  J  gleici 
eV/c  ■  0,005  i  ^^'^  zweit«  gleich  eVjt  ■  0,02 ;  das  dritte  gleich  eVjr 
u.  s.  w.  zu  setzen ;   da  jedoch  die  Größe  der  mitlleren  Abweichung  ^ 
beliebig  festgesetzt  werden   darf,   so  kann  £  =  i  :  0,02 V?r  =  28,20. 
angenommen  werden,  wonach  das  erste  ^  gleich  0,25,  das  zweit«  1 
gleich   I ,    das    dritte  gleich   2  u.  s.  w.   gefunden  wird.     Um   endlii 
diesen  ^  die  Häufigkeit  des  Vorkommens,  wie  sie  das  G.  G.  gern 
der  (-Tabelle  verlangt,  zu  sichern,  sind  jedem  einzelnen  so  viele  Lotfc 
nummem  zuzuweisen,  als  die  Anzahl  der  zugehörigen  Abweichung 
beträgt.      Diese   Zuordnung   konnte    an    sich    ganz    willkürlich    vor- 
genommen werden,  da  jede  der  30000  Nummem  des  Glücksi-ades  die 
nämliche  W.  besitzt,   gezogen   zn    werden.     Selbstverständhch   wird 
jedoch  dabei  die  natürliclie  Keihcnfolge  der  Nummern  beobachtet^ 
es  werden  mitbin  dem  ersten  J  die  ersten  338  Nummern,  dem  zw« 
ten  J  die  677  folgenden  Nummem  u.  s.  w.,  wie  oben  angegeben,  1 
gesellt,    so   dass  eine  Tabelle   entsteht,   die  auszugsweise  folgendi 
maßen  lautet:] 


W.  fQr  zufällige  Asymmetrie  bez.  des  falschen  Mittels. 


269 


Größe 

Zahl 

O725 

I-  33^ 

I 

339     1015 

2 

1016 — 1691 

3 

1692—2365 

4 

2366—3038 

5 

3039—3708 

10 

6356—7005 

1 1 

7006  —  7650 

12 

7651-8289 

13 

8290 — 8922 

Größe 


Zahl 


14 

8923- 

-  9548 

15 

9549- 

-10167 

25 

15351- 

-15877 

26 

15878- 

-16393 

27 

16394- 

-16899 

28 

16900- 

-17394 

45 

23756- 

-24056 

46 

24057- 

-24346 

Größe 

Zahl 

47 

24347      24626 

74 

28872—28946 

75 

28947 — 29018 

100 

29854—29865 

143 

29998 

150 

29999 

160 

30000 

Eigentlich  freilich  ändern  sich  die  Abweichungen  kontinuierlich, 
während  liier  jede  Abweichungsgi'öße  um  i  von  der  folgenden  ab- 
weicht; dieses  Abweichungsintervall  ist  aber  im  Verhältnisse  zur 
einfachen  mittleren  Abweichung,  also  nach  dem  getroffenen  Ver- 
hältnisse I  :  0,02  V/f  =  28,2095  klein  genug,  um  ein  merklich 
übereinstimmendes  Resultat  mit  kontinuierlicher  Größenänderung  zu 
geben. 

Es  haben  mii*  nun  sächsische  Lotterielisten  von  10  Jahren  zu 
Gebote  gestanden,  jede  von  32000  bis  34000  Nummeni,  wovon  ich 
aber  die  Nummern  über  30000  in  den  Listen  als  nicht  vorhanden 
bei  Seite  gelassen  habe.  [Aus  diesen  10  Listen  wui'den  mittelst 
voriger  Methode  die  empirischen  Data  der  obigen  Tabellen  I  und  11 
und  liieniach  die  Bewährungen  der  Wahrscheinlichkeitsbestimmungen 
von  <^ ,  ^/^  und  9>  gewonnen.] 

[Es  gelte  z.  B.  die  Bestimmung  von  v  für  m  =  6 .  Man  hat 
dann  je  sechs  aufeinander  folgende  Nummern  der  Listen  zusammen- 
zunehmen, wobei  die  Nuimnem  über  30000  nicht  berücksichtigt 
werden;  also,  wenn  die  Nimunem  28904,  24460,  32305,  16 019, 
^57?  3708,  16928  getroffen  werden,  mit  Beiseitelassen  der  3ten, 
da  sie  30000  übersteigt,  die  übrigen  sechs  nach  obiger  Tabelle 
in   Al>weichiin^'s<;rößen   J  umzusetzen,    die   i)()sitiv   zu    nehmen   sind 


270  W.  filr  zufällige  Ag}nnmetrie  bez.  des  falgcheu  Mittels. 

für  geradzahlige  Nummern,  negativ  für  ungeradzahlige  Nummern. 
Es  stellen  somit  die  bezeichneten  Nummern  die  Größen  +'74, 
+  47,  —  26,  —  0,25,  +5,  +28  mit  dem  Mittelwert  +21,3  dar; 
mithin  ist  bezüglich  des  letzteren  i«'=/i,  =3  und  r  =  o.  Diese 
Bestimmung,  2000 mal  ausgeführt,  ergab  die  in  Tab.  T,  b  unter  w  =  6, 
n  =  2000  aufgeführten  Werte.] 


XVII.  Das  einfache  und  das  zweiseitige 

Qauss'sche  Gesetz. 

§  ii8.  Wenn  schon  das  einfache  G.  G.,  welches  wir  §  24—29 
erläutert  hal)en,  wegen  der  im  allgemeinen  bei  K.-G.  vorauszusetzenden 
asymmetrischen  W.  der  Kollektiva))weichungen  bez.  A  nicht  direkt  auf 
K.-G.  anwendbar  ist,  ist  doch  das  zweispaltige  G.  G.  (§  33)  für  sie  in 
Anspruch  zu  nehmen,  wonach  alle  Bestuumungen  des  einfachen  G.  G. 
auf  K.-G.  übertrag))ar  werden,  wenn  man  die  Abweichungen  von  I) 
statt  von  A  ninmit  und  die  nach  einfachem  G.  G.  gemeinsam  für 
beide  Seiten  bez.  A  geltenden  Werte  zfcz/,  tw,  r\^=^1/l\m^  bez. 
jeder  Seite  insbesondere  resp.  durch  d\  ^,  c*  =^9'  \fn  und  5,, 
nt,^  c,=  2^3,:  m,  ersetzt.  Mit  Kücksicht  hierauf  gehen  wii*  nach 
den  schon  im  V.  Kap.  gemachten  Angaben  über  das  einfache  G.  G., 
welche  hierbei  vorauszusetzen  sind,  noch  auf  folgende  Ergänzungen 
derselben  ein. 

Es  ist  schon  angeführt,  dass  die  bis  jetzt  vorliegenden,  ausge- 
fülirten  Vert(»ilungstafeln  des  G.  G.,  d.  i.  die  (^-Tafel  und  rjp-Tafel, 
nicht  bez.  .:/:*/,  wofür  sie  §  27  gegeben  werden,  s(mdern  l)ez. 
J '.  ri\\r  ^  kurz  ^,  aufgestellt  sind.  Eine  solche  Tafel  wird  im  An- 
hang (§  1831  mitgeteilt. 

l)ersell)en  liegt  die  fundamentale  GAuss'sche  Bestimmung  unter, 
dass  die  W.  oder  verhältnismäßige  Zahl  eines  einzelnen  Wertes  zb  J 
kurz  eine  bestimmte  Größe  sei,  gleich: 

worin  //  =  i  :  r,  }//f ,  J  r=  i^y  ~ä  t. 


272  ^M  einfache  und  das  zweiseitige  O.  O. 

Um  sie  zwisclien  gegebenen  Grenzen  von  J  zu  liaben,  hat  man 
vorigen  Ausdruck  mit  dJ  zu  nmltiplizieren  und  das  Integral  davon 
zwischen  den  betreffenden  Grenzen  zu  nelnnen;  giebt  allgemein: 

2k 


(2) 


oder  nach  Ersatz  von  h  durch  i  :>;}/7r,  ^  durch  /;y/r/,  dJ  durch 
7]  y7cdt: 

~.y*exp[-r].rf^  (3) 

und  die  W.  oder  verhältnismäßige  Zahl  der  J  zwischen  f=J:  rjy}r=o 
und  einem  gegebenen  /  ist  hiernach: 

t 

Y^,:  f  exp [-n-dt,    km-z=^0[t].  (4) 

o 

Diese  Wahrscheinlichkeit  (!}[/:]  Tsnrd  nun  e))en  für  die  vei-schiedenen 
Werte  t  durch  die  im  Anhang  gegel)ene  Tabelle  ausgedrückt.  Um 
die  absolute  Zalil  der  J  zwischen  den  Grenzen  /  =  o  und  einem 
gegebenen  t  zu  haben,  hat  man  0[t]  noch  mit  der  Totalzahl  ///  zu 
multiplizieren. 

Der  Integralausdruck  für  (l>[t]  Uusst  sich  bekanntlich  nicht  in 
endlicher  Form  integrieren,  wohl  aber  in  folgender  unendlichen  Reihe 
darstellen,  welche  so  lange  stark  konvergiert  und  mithin  zur  Be- 
rechnung von  0  brauchbar  ist,  als  t  =  J:iiy.v  kleiner  als  i,  mithin 
J  <  >;V^>f  j  d.  i.  <C  i?772  45  •  //  ist: 


Q> 


^J      |/,7\i         I      3    •    1-2     5        1-2.3      7  /       ^^ 


Da  die  (Z>  folgends  immer  bez.  t  genommen  sind,  kann  die  Zufügung 
[t]  übergangen  werden.  Alle  Potenzen  von  t  sind  positiv,  weil 
/  =  j/:/;}//r,   J  und  *;  aber  zugh»ich  positiv  und  negativ  werden. 

Nun  ist  wichtig  zu  bemerken,  dass,  wenn,  wie  vielfach  bei  unseren 
Anwendungen  der  Fall,  der  Wert  J,  welcher  in  /=.i/:i;|//r  ein- 
geht, sehr  klein  gegen  d(ni  ifittel fehler  /^ ,  mithin  t  selbst  sehr  klein 
ist,  alle  Glieder  der  Keihe  (5)  gegen  das  erste  v(»rnachlässigt  werden 
können;  wonach  approximativ: 


Das  einfache  und  das  zweiseitige  O.  O.  273 

0=  .t  =  ^~  (6) 

t^y^.O.  (7) 

2 

Docli  wird  bei  dieser  Vernachlässigung  der  liölieren  Glieder  nach 
Ansicht  von  (5)  der  Wert  O  um  eine  Kleinigkeit  zu  groß  bestimmt, 
und  haben  >vir  also  genauer  zu  setzen: 

0  =  .'.4t--io),  (8) 

wo  (ü  ein  sehr  kleiner  i)ositiver  Wert  ist     Aus  (8)  aber  folgt: 

t=y^-.(D+w,  (9) 

wonach  /  bei  Vernachlässigung  von  w,  d.  i.  nach  dem  appix)ximativen 
Wei-te  (7;,  etwas  zu  klein  gefunden  wird. 

§  119.  Uer  Wei-t  rj  hat  nach  dem  G.  G.  bestimmte  Nonnal- 
beziehungen  zu  manchen  anderen,  aus  den  Veiieilungstafeln  ableit- 
baren Werten,  insofern  sie  dem  G.  G.  unterliegen,  deren  Bestätigung 
um  so  approximativer  zu  erwarten  ist,  je  mehr  m  wächst. 

Sei  i]  =  y2:J'':  m  die  Wurzel  aus  dem  mittleren  Abweichungs- 
quadrat, welche  bei  den  Astronomen  als  mittlere  Abweichung  schlecht- 
hin gilt,  und  w  die  sogenannte  wahrscheinliche  Al)weichung,  d.  i.  die 
Abweichung,  die,  wenn  man  positive  und  negative  A))weichungen  beide 
nach  absolutem  Werte  nimmt,  eben  so  viele  größere  A))weichungen 
über  sich  als  kleinere  unter  sich  hat,  also  im  Grunde  der  Zentralwert 
der  Abweichungen,  nicht  zu  verwechseln  mit  unserem  Zentralwerte 
scldechtliin,  der  mit  C  bezeichnet  wird,  indem  dieser  nicht  eine  Ab- 
weichung J,  sondern  ein  a  ist.  Man  hat  nun  folgende  Normal- 
beziehungen : 

q  =  t-  y  '  -  =  1,253  3^4*'/»  ^^^^  merklich  =  J  t; : 


f,  =  Q  y  :    =  o?797  S^5  •  7  >  ^1^^*  merklich  =  t^f]  ] 

q  =  I  ^482  604  •  ?r  ;  tv  •=.  0,674  489  •  7 
*;=  1,182947  . /r;  /r  =  0,845  347  •  », 

pKriiNKK,  KülloktivinalUehrt'.  l>j 


(10) 


274  Dm  eiti&ebe  und  du  tireiMitige  O.  O. 

Durch  Substitution  der  vorigen  Ausdrücke  fiir  ij  in  /  =  Jiijl/^lc 
mau  also  aucL  ohne  Andenin;;  des  ziigt'liiirifjen  Ü>  setzen: 


'>iV' 


2,096718 


HieiTiiich   erscheint  es  zunächst   gleichgültig,   an   welchen   1 
dinick  fiir  I  man  sich  hält.     Xur  ist  es  nicht  ganz  gleichgültig, 
man   zunächst  q  aus  den   Quadraten   der  Abweichungen,   SJ',   b&»| 
stimmt,  um  danach  ij  oder  w  mittelst  der  vorigen  Formeln  zu  tindi 
oder  umgekehrt  ij  oder  «■  aus  den  einfachen  Ahweicliungen,  um  ai 
einem  dieser  Werte  die  anderen   zu  finden,   sondern  die  direkte 
Stimmung  von  q  aus  den  Quadraten  der  Abweichungen  hat  eine  e 
größere  Sicherheit,   als  die   von   i;   als   Äfittel   der   einfachen  Abwei- 
chungen, und  letztere  eine  nicht  unerheblich  größere,  als  die  von 
durch  Abzählen   der  Abweichungen,   was  sich  auf  die   nach  obigl 
Ponneln  daraus  abgeleiteten  Werte  übertmgt.     Daher  hält  man  si( 
in  der  physikalischen   und   astronomischen  Maßleliro   am  liebsten 
den  Welt  t^  J-.qYs,    nach   dii-ekter   Bestimmung  von   q   aus  d4 
Quadraten  der  Abweichungen;   gewönne  aber  auch   dieselbe  Sicher- 
heit durch  Anwendung   der  anderen  Ausdi-Ücke  füi-  /,  wenn  man   >j 
oder    w   darin   nach   obigen  Formeln   aus   dem   direkt  bestimmten  q 
abgeleitet   hat,    wogegen   die   Sicherheit  geringer  ist,    wenn  man    ij 
oder   gar   «;  im  Ausdruck   von  t  ilirekt   aus  den  einfachen   Abwei- 
chungen bestimmt,   und   man  gewinnt  nichts   durch  Anwendung  des 
Ausdruckes  f^J.qYz,    wenn   7  darin   durch  Anwendung   voriger 
Formeln  aus  deui  dii-ekt  bestimmten  i;  oder  »•  abgeleitet  ist. 

Obschon  nun  nach  Vorigem  ilie  Benutzung  des  Wertes  t^^-qy  2, 
nach  dii'ekter  Bestimmung  von  q,  einen  prinzipiellen  Vorteil  der  Sicher- 
heit vor  den  anderen  Bestimmungsweisen  von  l  voraus  hat,  wird  man 
sich  doch  in  der  Kolk'kti™iaßlelu-e  im  allgemeinen  lieber  des  Wer- 
tes t^  ^ :  fj y?r  nach  diiekter  Bestimmung  von  1;  aus  —  J  bedie- 
nen, weil  I}ei  der  großen  Menge  der  Abweichungen,  mit  welchen 
man  im  allgemeinen  in  dieser  Maßlehre  zu  thun  hat,  die  Quadrie- 
rung derselben  zu  umständlich  sein  würde,  der  Vorteil  der  Sieherhi 
bei  Anwendung  des  direkt  bestimmten  7  vor  der  des  direkt  bestimmten 


rhet^^ 

J 


Das  einfache  und  das  zweiseitige  O.  O.  275 

doch  nur  unbedeutend  ist,  und  bei  großem  rn  überhaupt  seine  Bedeu- 
tung merklich  verliert.  In  der  That,  während  der  wahrscheinliche 
Fehler  des  direkt  bestimmten  q  gleich 

_^o^476q36 

ist,  ist  der  des  direkt  bestimmten  i;  gleich 

_^  0,509^84 

und  der  des  direkt  bestimmten  w  gleich 

0,786716 


yvi 

§  120.  Alles  Vorige  sind  bekannte  Dinge.  Es  mag  aber  nicht 
ohne  Interesse  sein,  liiei*zu  noch  einige,  von  mir  sel))st  aus  dem  G. 
G.  abgeleitete  Sätze  zu  fügen. 

Man  muss  sich  hüten,  die  Summe  der  Abweichungsquadrate 
^/t^  mit  dem  Quadrate  der  AbwTichungssumme  (-^)'  zu  verwechseln. 
Wenn  man  sich  nun  die  Mühe  giebt,  außer  dem  letzteren,  einfach 
durch  Quadriening  von  ^J'iw  gewinnenden  Werte  auch  ersteren 
mühseliger  durch  Bestimmung  der  Abweichungsquadrate  zu  erhalten, 
so  kann  man  mit  Rücksicht,  dass  [^ ^J)"  =  (tn tj^  und  2J''  =  7nq'', 
aus  der  Gleichung: 


-  V  v~ 


1    .:  l 

leicht  die  interessante  Gleichung: 

oder,  wenn  man  den  Ausdruck  auf  linker  Seite"  P  nennt, 

P=7C  (12a) 

i)  [Die  Ableitung  dieser  wahrscheinlichen  Fehler  giebt  Gauss  in  der  Zeit- 
schrift für  Astronomie  Bd.  I  (Werke;  Bd.  IV;  S.  116,  117)  und  Enckk  in  der 
Abhandhing  über  die  Methode  der  kleinsten  Quadrate  (Berliner  Astron.  Jahrbuch 
für  1834  S.  293  und  298).  Es  ist  zu  beachten,  dass  der  Zahlenwert  für  ir ,  der 
sich  an  der  angegebenen  Stelle  bei  Gaiss  findet,  entstellt  ist.] 

Itj* 


276  I^AS  einfache  und  das  zweiseitige  O.  Q. 

ableiten,  wonacli  die  mit  2m,  d.  i.  der  doppelten  Abweichungszahl 
multiplizierte  Sunnne  der  Abweichungsquadrate,  dividiert  durch  das 
Quadrat  der  Abweichungssumme,  gleich  dem  Kreisverhältnisse  7C  ist. 
Kur/  mag  die  Fonuel  die  P-Fonuel  heissen. 

Andererseits  erhält  man  nach  voriger  Fonnel  die  direkt  mühsam 
zu  berechnende  Sunnne  der  Abweichungsquadrate  aus  dem  leichter 
zu  bestinnnenden  Quadrate  der  Abweichungssumme  nach  der  Formel: 

2:J'=  "'-.(2'^)%  (13) 

nur  djuss  die  direkt  bestimmte  Summe  2lJ^  etwas  sicherer  bestimmt 
ist  als  die  nach  voriger  Formel  aus  (-^)''  abgeleitete. 

Zu  den  beiden  Mittelfehlern,  dem  einfachen  i]:=^J:m  und 
quadratischen  7  =^  V-^""  : /// ,  lässt  sich  noch  ein  dritter 

fügen,  den  ich  den  Kreismittelfehler  nennen  will,  und  der  gemäß 
obigen  Ausdruckes  dadurch  erhalten  wird,  dass  man  die  Summe  der 
Abweichungsquadrate  mit  der  Sunnne  der  Abweichungen  oder,  wa« 
auf  dasselbe  herauskonnnt,  das  Quadrat  des  quadratischen  Mittel- 
fehlers mit  dem  einfachen  Mittelfehler  dividiert. 

Ich  gebe  ihm  obigen  Xamen,  weil  er  in  Bezug  auf  das  durch 
die  7*- Gleichung  ausgedrückte  Kreisverhältnis  /r  einen  Wendepunkt 
in  folgendem  Sinne  daiNtellt.  Setzen  wir  zuei>5t,  die  Gleichung  sei 
genau  durch  die  vorhandenen  Abweichungen  erfüllt,  so  wird  in  dem 
Falle,  dass  Al)weichungen,  welche  größer  als  i^.,  sind,  wachsen,  P 
größer  als  ;r;  hingegen  wird  /*  kleiner  als  ;r.  wenn  Abweichungen,  die 
kleiner  als  /^ ,  sind,  wachsen.  Die  Änderung  ist  dem  Abstände  der 
betretYeuden  Abweichung  von  1^,  proportional.  Den  Beweis  hiervon 
ül>ergelie  ich*  . 


1      !•>   l'oliit   dar:\us.    dass  1*  in   soiniT  Abhanpijjkoit   von   einem  beliebipren 

oin/.olnrn   Abnoii'luniiTsworto   _/,    sein  Minimum    orroirbt,    wenn    -/,  =  ^^.        oder 

»  .  .      Zuirloirh    orbollt,    dass    /'   soin    absi>bitos    Miniminn    mit    dem    Werte   2 
orroirlu.  ammui  jrdts  dor  -/  -    /  ,    >xird. 


Das  uiutachü  und  das  zweiseitige  G.  G.  277 

Ich  lial)e  die  7^- Gleichung  an  vielzaliligen  reinen  Fehlem  nach 
der  psychophysischen  Methode  der  mittleren  Fehler  vortrefflich  be- 
währt gefunden. 

Nacli   den    gegebenen  Ausdrücken  haben  die    drei  Mittelfehler 

folgendes  Verhältnis : 

l/yr   7t 
^:7:';;t=i  T  7' J»  (^5) 

lind  es  lässt  sich  zeigen,  dass  die  A))weichungssunuin»n  oberhalb 
dieser  Mittelfehler  zur  Totalsmmne  der  Abweichungen  nach  Kap.  XVIII 
folgende  Verhältnisse  ha])en,  wo  e  wie  immer  die  Grundzahl  der  na- 
türlichen Logarithmen  bedeutet: 

exp  I  —  -     ==  0,727  38  bez.  l^ ;     exp  I  —     1  =  0,606 53  bez.  7; 


exp  I  —  ^1  =  0,455  94  hez.  iy.t ; 


wovon  die  beiden  erst(?n  Werte  sehr  nahe  das  Verhältnis  7  :  6  haben. 

Das  entsprechende  Verhältnis  der  unteren  Abweichungssummen 
wml  natürlich  durch  Abzug  voriger  Zahlen  von  i  erhalten,  und  es 
zeigt  sich  dann,  dass  die  untere  und  obere  Abweichungssumme  sich 
bez.  (j  sehr  nahe  wie  2  :  3  verhält. 

Bezüglich  w  ist  das  betreffende  Verhältnis  der  oberen  Abwei- 
chungssunmie  0,79655;  der  Wert  a))er,  bezüglich  dessen  die  obere 
Ab  weich  ungssumme  gleich  der  unteren  ist,  ist  1,17741  -  q. 

Dw  oberen  Al)weichungszahlen  haben  zui*  Totalzahl  der  Ab- 
weichungen folgende  Verhältnisse: 

0,42494  bez.  ry;    0,31731  bez.  7;    0,21009  bez.  1^,^;    0,5  bez.  u:\ 

wonach  diese  Verhältnisse  für  zr,  *;,  7,  i;,^  selu*  nahe  mit  5:4:3:2 
stimmen. 

]S'och  kann  man  als  eine  mitttere  Abweichung  zweiter  Ordming 
das  mit  /;,.  zu  bezeichnende  Mittel  aus  den  Differenzen  der  einzelnen 
J  vom  ]Mitlel  *;  dersell)en  definieren,  d.  i.  [wenn  —  j/,/  die  Summe 
und  iL„  die  Anzahl  <ler  -7,  welche  kleiner  als  r^  sind,  entsin*echend 
2iJ"  und  //"  die  Sunmie  und  Anzahl  der  J^  welche  größer  als  i;, 
bezeichnen,  so  dass  //„/;  —  ^J„  =  -z/"  —  fi' tj  =  ^m  r^^]: 


Om  einfiiphe  und  da»  xweiaeiti)^  G.  G. 


V'-: 


stinimeml. 

So  wie  man  di-ii  Wert  .t   diircli  t-iiie  Ftiiictiim  dfr  Abwi-icliimi 
nach  (.f.  G.  darstelleii  kann,  so  auch   den  Wert  e.     Sofern  nämlii 
iiaoli  obiger  ÄngaLe  die  Äbweicbungssuninie  oberhalb  1/  tUvidiert  di 
die  totale  AbweichungsBumnit'  gleich  csp  [—  j]  ist,  ist  umgekehrt 
tottiKi  Abweicliiuigssumme  dividiert  durfli  die   obere  bez.  *;  und  dl 
Quotient  quadriert  gleich 

§  i'i.  Alle  vorigen  Sätzu  über  das  G,  G.  setzen  zu  ihrer  ^-oll» 
Gültigkeit  eine  gi'oße.  sti-eng  genommen  unendlichu  Zalü  der  Ahwe» 
chungen  voraus,  ans  denen  die  beti-effpnden  Größen  abgeleitet  werd< 
was  doch,  wie  schon  hüber  bemerkt,  iiirlit  hindert,  dass  schon 
einer  sehr  mäßigen  Znhl  von  Abweichungen  eine  sehr  angenäherte 
empirische  Beätütigung  der  vorigen  Sätze  ku  finden  sei;  und  da  zur 
erfolgreichen  Bt-handlung  eines  K.-G.  jedenfalls  eine  nicht  unl>eträrhtr 
liebe  Zahl  m  von  Exemplaren  a  und  mithin  Abweichungo 
luicfa  beiden  Seiten  von  D  gehört,  so  kann  man  nicht  nur  [nuch 
satz  des  einfachen  6.  G.  durch  Aas  z«-ei8paltige]  eine  sehr  angenäht 
Bestätigung  der  bisherigen  Sätze  dadurch  erwarten,  sondern 
Anden.  Inzwischen  verdienen  die  Abweichungen  von  den  sog.  wahrai 
Werten,  d.  h.  welche  aus  einem  unendhehen  m  folgen,  oder 
Fehler,  welche  je  nach  der  Größe  des  endlichen  ni  nach  beii 
Seiten  und  des  m"  und  tu,  nach  jeder  Seite  insbesondwv  noch  übrig' 
bleiben,  immerhin  wesentliche  Be4whtung;  und  es  iH'zieht-n  ddi  ilnrauf 
teils  die  sog,  wahrscheinlichen  Fehler,  teils  die  Korrektion«! 
der  Bestimmung  aus  endlichem  m,  je  nat^'hdem  die  Fehler  den  »1 
Wert  gleicligültig  und  zurdllig  ins  Positive  oder  Xegatirc 
oder  in  bestimmter  Richtung  um  einen  von  der  Größe  des 
hängigvn  Wert  sei  es  vergniBem  oder  verkleinern  'l 

t     Die  Konrktiiinm  für  die  mitücrm  Abwciciiunf^WFrlc  «nirdai  in  $44 
■dtgetcOl :  die    •ahtactwinUrhen  Fehler   Blr  ^ .  f   und  k-   6ndm   ÖA  oben  S 


Das  einfache  und  das  zweiseitige  G.  G.  279 

§  122.  [Um  nun  die  Triftigkeit  des  zweiseitigen  G.  G.  im  Ver- 
gleich mit  dem  bisher  allein  als  Verteilungsgesetz  der  K.-G.  in  An- 
spruch genommenen  einfachen  G.  G.  zu  erproben,  sollen  auf  Gi-und 
der  Tafeln  I  und  III  des  VIII.  Kapitels  Vergleichstabellen  zwischen 
den  beobachteten  und  berechneten  ::;: -Werten  hergestellt  werden.  Es 
eignen  sich  jene  Tafeln  zu  einem  solchen  Vergleiche,  da  sie  eine  bloß 
schwache  Asymmetrie  besitzen  und  somit  zu  der  Ei'wartung  berech- 
tigen, dass  ein  durch  die  Anwendung  des  zweiseitigen  Gesetzes  ge- 
botener Vorteil  bei  stärkerer  Asjnnmetrie  sich  in  verstärktem  Maße 
wiederfinden  werde.] 

[Aus  den  5  Reduktionslagen  der  Tafel  I  §  64)  wähle  ich  die 
Lage  i?,  =  368  und  aus  den  4  Reduktionslagen  der  Tafel  III  (§65) 
die  Lage  E,  =  6o  mit  dem  Bemerken,  dass  die  erstere  die  relativ 
schwächste,  die  letztere  die  relativ  stärkste  Asymmetrie  im  Vergleiche 
mit  den  übrigen  Lagen  aufweist.  Für  beide  Tafeln  werden  nun  so- 
wohl mit  Bezug  auf  A  die  Werte  t=J:r]y7t  und  hiernach  0[f] 
als  auch  mit  Bezug  auf  D^  die  Werte  f  =  d'  icVtv  und  t,  =  d,:  c,  Vtc 
und  hiernach  <Z>  [^']  und  (D[t,]  berechnet,  wo  die  Jj  d\  d,  von  A 
oder  I)^,  aus  bis  zu  den  jeweiligen  Intervallgrenzen  a  ±  *  /  (nicht  bis 
zu  den  a  selbst)  sich  erstrecken.  Es  werden  sodann  die  Differenzen 
der  aufeinanderfolgenden  (Z> -Werte,  die  als  r/) -Werte  zu  bezeichnen 
sind,  gebildet  und  die  gefundenen  (p[t]  mit  ^/a^,  die  (p[t'\  resp. 
fp  [/,]  mit  in  resp.  in,  multipliziert.  Auf  diese  Weise  resultieren  die 
nach  dem  einfachen  und  nach  dem  zweiseitigen  G.  G.  berechneten 
;i -Werte  im  Vergleich  mit  den  beobachteten  Tafelwerten  in  den 
beiden  folgenden  Tabellen.  Hierbei  sind  die  Zahlenwerte  von  /•,  c 
und  c%  ohne  Korrektion  zu  Grunde  gelegt,  da  die  Anbringung  der- 
selben bei  der  Größe  des  )n  und  dem  angestrebten  Genauigkeitsgrade 
belanglos  ist: 


9 

angegeben.  Erwähnenswert  ist  auch  der  wahrscheinliche  Fehler,  der  bei  Bestim- 
mung des  arithmetischen  Mittels  A  aus  m  Werten  zu  erwarten  ist,  und  der 
gleich  w.\'m  zu  setzen  ist,  wenn  »r,  wie  üblich,  den  wahrscheinlichen  Fehler 
d.i.  die  wahrscheinliche  Abweichung  der  Einzelwerte  is.  oben  initer    10))  vorstellt. 


280 


Das  eüifache  und  das  zweiseitig  G.  G. 


V(*rgleicli    der   empirisclieii  x-   von  Tafel  I   (Vertikalunifang 
des  Schädels)    mit   den    theoretischen    nach    einfachem   und 

zweiseitigem  G.  G. 


S      I  nun ;  /       5 : 

yl  =  408,2: 

.  /^^i»  — 409,7;  ^i  —  ii,i 

',  c'=io,4; 

C%=:^II, 

q;  m  —  45c 

>;  fn — 210 

;  m,  =  240 

• 

« 

a 

empirische  z 

theoretische  s            j 
bez.  A            bez.  Dp 

Differenz 
bez.  A            bez.  Dp 

3^3 

0,5 

0,5       ! 

+  0,5 

+  0,5 

368 

I 

I 

I 

1 

0 

0 

373 

2 

3 

1 

3 

+  1 

+  1 

378 

5 

6 

7 

+  1 

+  2 

3^3 

17 

13 

13 

4 

—  4 

388 

24 

22,5 

22,5 

1,5 

1,5 

393 

36 

35»5 

34,5 

—  0,5 

—  1,5 

398 

41 

49 

47          1 

+  8 

+  6 

403 

59 

60 

58 

+  1 

I 

408 

65 

64 

64 

—  i 

I 

413 

65 

60 

62 

5 

—  3 

418 

51 

50 

52 

—  1 

+  I 

423 

40 

37 

38 

—  3 

—  2 

428 

17 

24 

24 

+  7 

+  7 

433 

19 

13 

13 

—  6 

—  6 

438 

4 

7 

6 

+  3 

+  2 

443 

2 

3 

3 

+  1 

+  1 

448 

'> 

I 

1 

1 

—  I 

—  1 

453 

0.5 

0'5   _ 

+  0.5 

+  °:5  ._ 

Summe 

450 

450 

450 

46 

42 

Das  einfache  imd  das  zweiseitige  G.  O. 


281 


Verf?loicli    der  empirischen  a   von  Tafel  III  (Rekruten)  mit 
den  theoretischen   nach  einfachem   und   zweiseitigem  G.  G. 

S=i  Zoll;  i=\\  /!==  71,75;  Z>p  =  71,99;  r;  =  2,o4;  <?' =  1,92; 
c%  =  2,i6;  //*=2047;  w'=  963,5;  ^;^,  =  1083,5. 


a 

empirische  z 

theoretische  z 
bez.  A            bez.  i>p 

Differenz 
bez.  A            bez.  Dp 

60 

I 

1 

—    I 

—   I 

61 

0 

— 

0 

0 

62 

0 

0,5 

0 

+  o,s 

63 

0 

I 

1.5 

+    I 

+   1,5 

64 

2 

3,5 

4- 

+   1,5 

+  2 

65 

15.5 

10 

12 

—  5,5 

3,5 

66 

26 

26 

28 

0 

+  2 

67 

54 

58 

59 

+  4 

+  S 

68 

108 

HO 

108 

+   2 

0 

69 

172 

179 

174 

+  7 

+  2 

70 

253 

252 

243 

—    I 

— 10 

71 

290 

304 

298 

+  14 

4-  8 

72 

330,5 

315 

318 

15,5 

12,5 

73 

296 

282 

291 

14 

5 

74 

223,5 

217 

226 

-  6,5 

+    2,5 

75 

142 

143 

145.5 

+   I 

+  3,5 

76 

75 

81 

80,5 

+  6 

+  5,5 

77 

38 

40 

37 

+   2 

—   I 

78 

13 

17 

15 

+  4 

+  2 

79 

3,5 

6 

S 

+     2,5 

+   1,5 

80 

2 

2 

I 

0 

I 

81 

I 

0.5 

0,5 

I 

82 

0.5 

—  o,s 

0,5 

^L 

__   _Oo_ 

_-.      _.-. 

.        , 

o,S 

._ 0,5 

Summe 

1      2047 

2047 

2047 

;           90 

72 

Wie  man  sielit,  ist  in  beiden  Tabellen  die  Gesamtsumme  der  Ab- 
weiclmngen  zwischen  beobachteten  und  bereclineten  Werten,  dem 
absoluten  BetrajL^e  nach  genonunen,  für  das  zweiseitige  Gesetz  kleiner 
als  für  das  (nnfache,  wenn  schon  der  ünterscbied  namentlicli  für  die 
erste  Vergleichstabelle  unbedeutend  ist.    Was  aber  mehr  ins  Gewicht 


282  Da«  einfache  und  das  zweiseitige  G.  G.  • 

fällt,  ist  clie  größere  Treue,  die  durch  das  zweiseitige  Gesetz  im 
Vergleiche  zum  einfachen  in  der  Dai-stellung  des  Kernes  beider  Tafeln, 
den  Endabteilungen  gegenüber,  er/ielt  wird.j 

j^Übrigens  zeigt  der  Vergleich  der  ::;^ -Weile  des  zweiseitigen  Ge- 
setzes mit  den  entsprechenden  -^t -Werten  des  einfachen  Gesetzes  in 
beiden  Fällen  übereinstimmend,  dass  von  der  Tafelmitte  aus  für 
w^achsende  a  jene  zuerst  größer  und  dann  kleiner,  für  abnehmende 
a  jene  zuerst  kleiner  und  dann  größer  als  chese  sind.  Der  Grund 
hierfüi'  hegt  in  der  beiden  Tafeln  gemeinsamen  Richtung  der  Asym- 
metrie, und  es  würden  sich  diese  Verhältnisse  gerade  umkehren, 
wenn  die  Asynuuetrie  die  entgegengesetzte  Richtung  erhielte.] 


XVIII.  Das  Summengesetz  und  das  Supplementär- 
verfahren. 

§  123,  Bisher  ist  das  (J,  G,,  soviel  mir  bekannt,  Uluß  zur 
Bestimmung  der  verhÜltnismäBigen  oder  absoluten  Ziihl  dir  Ali- 
wüicliungen  ^  von  A  zwischen  gegebenen  Grenzen  der  Aliweit.hung 
benutzt  worden;  aber  es  lassen  sieh  in  Zusammenhang  damit  \in<l 
gewissermalien  als  Korollar  davon  auch  Formeln  für  die  verhältnis- 
mäßige und  absolutf  Summe  der  Abweichungen  von  Ä  zwischen 
gegebenen  Grenzen  der  Abweichung  entwickeln,  welche,  wie  die  For- 
meln bez.  des  G.  G.  überhaupt,  so  lange  gültig  und  für  die  beiderseitigen 
Abweichungen  gemeinsam  anwendbar  bleiben,  als  eine  symmetrische  W. 
der  Abweichungen  bez.  A  besteht;  im  Falle  der  asyminetrischeii  W. 
aber  wiedenun  nach  dem  zweispaltigen  G.  G.  ihre  Gültigkeit  für  jede 
Seite  insbesondere  in  Anspruch  nehmen,  wenn  man  die  Abweichungen 
bez.  D  statt  bez.  A  nimmt,  und  /«,  ^J,  ij,  t  für  jede  Seite  insbeson- 
dere respektjv  durth  m,,  ~d,,  e, ,  t,  und  #»',  ^d\  ß',  ('  ersetzt. 
Es  verilienen  aber  die  Ergebnisse  in  Bezug  auf  die  Summe  der 

I  Abweichungen  um  so  mehr  Beachtung,  als  sie  den  Naciiteil  der 
Ergebnisse  bezüglich  der  Zahl  der  Abweichungen  nicht  teilen,  nur 

I  durch  ein  auf  einen  endliclien  Ausdmck  nicht  zurückfübrbai-es  In- 
tegral oder  eine  unendliche  Reihe,  hiernach  tabellarisch  dargestellt 
werden   zu  können,   da  sie   vielmehr  in  endlicher  Form  ausdi-ückbar 

[  sind,  außerdem  durch  das  Supplemcntar\*erfahren  (§  128),  das  sie  er- 

I  möglieben,   wichtig  werden.     Es  gilt  nändich   nach   dem   unten  aus- 

I  einander  zu  setzenden  Gange  folgendes, 

§  124.     Um  die  Summe  der  Abweichungen  bis  zu  einer  gewissen 

k  Abweichungsgrenze  vom  dichtesten  Werte  aus  nach  einer  Seite,  sagen 

i-Trir  der  positiven,  also  bis  zur  Grenze  <?',  zu  bestimmen,  wovon  das 


2S-1  ^As  Siimracngesetz  uud  das  Supplementarverfahren. 

Enisprochonde  für  die  negative  Seite  gilt,  nehme  man  die  Totulsumme 
d(»r  Abweichungen  nach  dieser  Seite,  d.  i.  ^d',  bilde  hieraus  die 
(»infache  mittlere  Abweichung  c'=  ^d' :  m-,  nehme  t  =  S':c'  ^n^  bilde 
daraus  nach  unten  folgender  Regel  den  Wert  exp  |^ —  /'' ,  dann  ist 
die  absolute  Summe  der  Abweichungen  von  5'=o  bis  zum  gegebenen  d* 
gliMch:  3i?'(i  —  exp[ —  T])  und  die  darüber  hinaus  von  d'  bis  oo  liegende 
gleich:  ^^'^exp  [—/'];  die  verhältnismäßige  Summe  bis  ^' aber,  d.i. 
die  vorige  absolute,  dividiert  durch  die  Gesamtsumme  -<?',  welche  mit  T 
bezeichnet  werde,   gleich  i  —  exp  [ —  i'^\   daiüber  hinaus  exp  j^ —  T]. 

Anstatt  die  absolute  und  verhältnismäßige  Summe  bis  zu  einer 
gewissen  Grenze  d*  und  darüber  liinaus  zu  bestinmien,  kann  man 
diese  Bestinnnung  auch  bis  zu  einer  gewissen  Zahl  der  Abweichungen, 
welche  :'  heiße,  vornehmen,  sofern  bei  großem  ^t\  wie  es  hier  vor- 
ausgesetzt ist,  x'\tn  nach  dem  in  voriger  Weise  bestimmten  i  und 
unigekehrt  als  (/>  in  der  /-Tabelle  gefunden  werden  kann.  Sei  also 
\\m'  gegeben,  so  sucht»  man  in  der  /-Tabelle  das  /  und  verwende 
es  in  voriger  Weise  zur  Summenbestimmung. 

Insofern  jeder  Wert  u  in  der  ^-Spalte  der  Verteilungstiifel 
tMgentlich  ein  ganzes  Intervall  /  n^pnisentiert.  in  welchem  sich  die 
auf  fi  geschriebenen  ;- Werte  verteilen,  was  wir  das  Umkreisintervall 
des  betivffenden  a  nennen,  so  ist  die  Gnnize,  bis  zu  welcher  wir  die 
Summe  wie  Zahl  der  Abweichungen  zu  nt^nnen  haben,  nicht  dui'ch 
ein  f?  der  n- Spalte  selbst,  sondern  durch  die  Grenze  von  dessen 
Umkivisintenall,  woduivh  es  sich  an  das  rmkreisintenall  des  benach- 
barten a  anschließt,  als  bestimmt  anzusehen. 

Anst^^tt  die  Summe  bis  zu  gegebent^n  Gn^nzen  von  D  aus  jeder- 
siMts  zu  bestimmen,  kann  man  sie  auch  zwischen  beliebigen  Grenzen 
jedorseits  ganz  in  dri-selben  WoIm*  als  dir  Zahl  jederseits  bestimmen, 
inilom  man  die  den  (iivn/cn  nach  erstcivr  Bestinunmigsweise  zuge- 
lioriiTon  Summen  von  einander  abzielit. 

^  1:5.  Um  exp  ^ —  /'*  2\\  tinden.  addioiv  j  log  /  zu  0,03778  —  i , 
^\u!n  liierzn  die  Zahl  :n  den  l-ogarithnuntafiln.  nimm  sie  negativ, 
il.  li.  /irlu  >iv  \on  diT  iiiiili^t  ::rößrivn  ganzen  Zahl  ab  und  füge 
d:ov,  !:;nun  rnit  i-irgaiivi-m  Vor.riolu ii  hhiyu:  hierzu  suche  wieder 
»iu    Z;iiri.  >•    >:   dit  >  o\]>    —  r\ 


Das  Summengesetz  und  das  Supplementarverfahren. 


285 


Diese  Berechnung  hat  an  sieh  natürlich  keine  Schwierigkeit, 
ist  aber,  wie  man  sieht,  etwas  umständlich,  und  um  sie  für  die  ein- 
zelnen Fälle  zu  ersparen,  kann  man  dann  allerdings  für  äquidistante 
t  =  J:ri  ^'7r  oder,  um  die  Multiplikation  von  i/  mit  \7f  zu  einsparen, 
für  solclu?  von  J :  1/  die  zugehörigen  Weiie  von 


exp[-n=.exp[-^f,J 


und  hiernach    i  —  exp  [ —  V]   angeben  und  die  äquidistanten  Werte 

einander  nahe  genug  nehmen,   um  dann  dazwischen  zu  interpolieren. 

Hier  folgt  eine  solche  Tabelle,  deren  Werte  fi*eihch  noch  einander 

näher  liegen  müssten,  um  eine  selir  genaue  Interpolation  zu  gestatten. 


Tabelle  über  die  Abweichungssummen  von  J  bis  00,  die 
Totalsummme  als  Einheit  gesetzt  |^=    -,— I  • 


J 

exp  [—  r  1 

J 

exp  [—  <*1 

J 

exp  !—  <'] 

0,00 

1,00000 

1,00 

0,72738 

2,00 

0,27992 

0,05 

0,99920 

1,05 

0,70403 

2,05 

0,26245 

0,10 

0,99682 

1,10 

0,68035 

2,10 

0,24568 

0,15 

0,99286 

1,15 

0,65641 

2,15 

0,22961 

0,20 

0.98735 

1,20 

0,63232 

2,20 

0,21425 

0^25 

0,98030 

1,25 

0,60813 

2,25 

0,19960 

0,30 

0,97176 

1,30 

0,58395 

2,30 

0,18566 

0,35 

0,96176 

Ir35 

0,55983 

2,35 

0,17241 

0.40 

0,95034 

1,40 

0,53586 

2,40 

0,15986 

0^45 

1    0,93757 

1,45 

0,51210 

2,45 

0,14798 

0,50 

'   0,92350 

1,50 

0,48861 

2,50 

0,13677 

0^55 

!    0,90820 

1,55 

0,46545 

2,55 

0,12621 

0,60 

,    0,89173 

1,60 

0,44270 

2,60 

0,1 1628 

O765 

1    0,87417 

1,65 

0,42038 

2,65 

0,10696 

0,70 

1    0,85558 

1,70 

0,39855 

2,70 

0,09823 

0,75 

1    0,83606 

1,75 

0,37726 

2,75 

0,09006 

0,80 

0,81569 

1,80 

0,35654 

2,80 

0,08245 

0,85 

0^79455 

1,85 

0,33641 

2,85 

0,07536 

0,90 

0,77273 

1,90 

0,31692 

2,90 

0,06877 

0,95 

0.75031 

1-95 

0,29809 

2,95 

0,06266 

286 


Da«  Sununeiigesetz  und  das  Supplementan-erfahren. 


n 

exp  [—  <' 

exp  [- 1\ 

J 

V 

exp ;-  <•; 

3»oo 

0,05700 

4,00 

0,00614 

5,00 

0,00035 

3,05 

0,05176 

4,05 

0,00540 

5,05 

0,00030 

3,10 

0,04694 

4,10 

0,00474 

5,10 

0,00025 

3,15 

0,04249 

4,15 

0,00416 

5,15 

0,00022 

3,20 

0,03841 

4,20 

0,00364 

5,20 

0,00018 

3,25 

0,03466 

4,25 

0,00318 

5,25 

0,00015 

3,30 

0,03123 

4,30 

0,00278 

5,30 

0,00013 

3.35 

0,02809 

4,35 

0,00242 

5,35 

0,00011 

3»40 

0,02523 

4,40 

0,00211 

5,40 

0,00009 

3,45 

0,02263 

4,45 

0,00183 

5,45 

0,00008 

3,50 

0,02026 

4,50 

0,00159 

5,50 

0,00007 

3,55 

0,01811 

4,55 

0,00137 

5,55 

0,00006 

3,60 

0,01616 

4,60 

0,001 19 

5,60 

0,00005 

3,65 

0,01440 

4,65 

0,00103 

5,65 

0,00004 

3,70 

0,01281 

4,70 

0,00088 

5,70 

0,00003 

3,75 

0,01138 

4,75 

0,00076 

5,75 

0,00003 

3,80 

0,01009 

4,80 

0,00065 

5,80 

0,00002 

3^85 

0,00893 

4,85 

0,00056 

5«85 

0,00002 

3*90 

0,00790 

4,90 

0,00048 

5*90 

0,00002 

3*95 

0,00697 

4.95 

0,00041 

5-95 
6,00 

0,00001 
0,00001 

• 

6,15 
6,20 

0,00001 
0,00000 

§  126.  Die  Ableitung  des  Suinmengesefzes  in  Abhängigkeit  von 
.1  naeh  einfachem  G.  G.  ist  diese. 

Nach  dem  einfaeh(»n  G.  G.  ist  die  beidei*seits  zusammengenom- 
mene absohlte  Zahl  der  Abweichungen  zwischen  /  =  o  und  einem 
gegebenen  Werte  von  t  =  J  :  t;  }\i  : 

t 
^  /*  oxp  [—  r  (U :    km-z  m  (irr.  I  ^ 


V\n  die  zugehörige  Summe   zu   haben,   hat   man  vorigen  Wert  unter 
dem   Integralzeichen  mit     /  zu  multiplizieren.  waN  giebt: 


Das  SiimmcDgesetz  und  das  Siipplementarverfahren.  287 

t 

—.  f  Jex^[-n  dt.  (2) 

o 

Da  aber  t=J:tjV7r,  mithin  J=tr}y7tj  so  hat  man  durch  Sub- 
stitution dieses  Wertes  für  J  in  voriges  Integral: 

2mr]   r  texi)[—  ^Jrff.  (3) 

o 

Das  allgemeine  Integral  von  2/tex\)[—t^]  dt  ist  mit  Rücksicht, 
dass  tdt=  d'^t^  ,  in  endlicher  Form  integiierbar,  nämlich  gleich 
—  exp  [—/'']  und  mithin  zwischen  den  Grenzen  /=o  und  t=t  gleich 
(i  —  exp[— r]),  was  mit  7?iti  =  2J  multipliziert,  giebt: 

:?z/(i-exp[-r]),  (4) 

als  Summe  der  J  zwischen  t  =  o  und  einem  gegebenen  t . 

Sei  kurz 

i-expr-ri  =  r    .  (5) 

gesetzt,  so  ist 

:^j .  T  (6) 

der  verlangte  Wei-t. 

Nun  ist  in  unendlicher  Reihe  ausgedrückt: 

/'        f*  t^ 

exp  [_  r]  =  I  _  L  +  i '- h  •  •  •  • ,  (7) 

■•  11.2       1.2.3 

wovon  es  bei  sehr  kleinem  t  d.  i.  z^ :  1;  ]  yr  hinreicht,  die  beiden  ersten 
Glieder  beizul)ehalten,  was  l)ei  sehr  kleinem  /  merklich  giebt: 

:^J  'T=r  'IJ.  (8) 

Ln  Falle  der  AsMumetrie  hat  man  von  D  statt  von  A  auszu- 
gehen  und  das  zweispaltige  G.  G.  anzuwenden,  d.  i.  statt  -z/  zu 
setzen  -<?'  oder  ^9,  und  t  jederseits  ebenso,  von  c'  oder  c,  abhängig 
zu  machen,  wie  vorliin  von  /;. 

§  127.  Um  Beobachtung  mit  Rechnung  zu  vergleichen,  gilt  es 
natürlich,   die  Abweichunirssumme  selbst    bis  zu   ffeirebenen  Grenzen 


i^.^-^mAiiixv        o*,i./.^t         .»10       *ii.i       ;.^^-^' 


288  ^AS  Summeu^esetz  und  das  Supplementarverfahren. 

ZU  bestimmen.     Nun  gilt  für  die  empiiische  Bestimmung  der  totalen 
^S  jeder  Seite  (nach  §  74): 


2ff  =  2a'-m'  D\ 


(9) 


Formeln,  die  sich  für  die  Bestimmung  bis  zu  gegebener  Grenze  9, 
oder  d'  jeder  Seite  bloß  insofern  ändern,  als  unter  m,  und  ^n'  nicht 
mehr  die  Totalität  der  Abweichungszahlen  jeder  Seite,  sondern  bloß 
die  Abweichungszahlen  bis  zur  betreffenden  Grenze,  und  unter  —  flr, , 
2a'  nicht  die  Totalität  der  a  jeder  Seite,  sondern  wieder  nur  bis 
zur  gegebenen  Grenze  zu  verstehen  sind,  wonach  wir  die  betreffenden 
Werte  mit  zwei  Strichelchen  unten  und  ol)en,  statt  bezüglich  der 
Totalität  bloß  mit  einem  Strichelchen  bezeichnen.  Sofeni  nun  D  im 
allgemeinen  in  ein  gewisses  Intervall  hineinfällt,  ist  der  Teil  von  ^/i„, 
W,  2a,,^  2a\  der  in  jenes  Intervall  hineinfällt,  wie  früher  [§  72  u.  73) 
angegeben,  durch  Interpolation  zu  l)estinnnen,  indes  der  übrige  Teil 
durch  die  Beobachtung  selbst  gegeben  ist. 

Erläutern  wii-  dies  an  der  Tafel  I  der  450  Schädel.  [Für  die 
Reduktionsl.'ige  E,  =  368  (§  64)  fällt  Dp  =  409,7  in  das  Intenall 
405,5  —  410,5.  Es  ist  somit  a^  =  408;  ;^  =  65  ;  i  =  5;  (7,  =  405,5*^ 
X  =  4,2,  und  man  erhält  für  das  von  Dp  bis  zur  ersten  Intervall- 
grenze 405,3  reichende  2S„  d.  i.  für  y  Dp —  Y,  wo  //  die  Zahl  und 
F  die  Summe  des  Eingrift'sintervalles  angiebt,  nach  den  Fonueln  (13) 
und  (8;  des  TX.  Kapitels: 

//  = —-•65  =  55;     r=  55  -407,6;     y  Dp  —  r=55  •  2,1  =  116. 

Man  erliält  demgemäß  folgende  Vergleidistabelle  zwisdien  Tlieorie 
und  Erfahrung   für  die  unteren  Abweichungssummen  der  Tafel  I: 


Das  Summengesetz  und  das  Supplemeutan'erfahren. 


289 


Vergleich  der  empirischen  ^S„  mit  den  theoretischen 
für  Tafel  I  (Vertikalumfang  des  Schädels). 

<^=inun;  ?'=5;   /)«  =  409,7;  C;  =  ii,9;  J5;  =  2840. 


3 


ft 


116 

III 

—     5 

511 

491 

—  20 

991 

1034 

+  43 

1592 

1599 

+     7 

2II3 

2079 

34 

2566 

2423 

M3 

2725 

2636 

-   89 

2798 

2749 

1      _   50 

2840 

2806 

:    -  34 

empir. 

theor. 

Differenz 

0,041 

0,039 

—  0,002 

0,180 

0,173 

—  0,007 

0,349 

0,364 

+  0,015 

0,561 

0,563 

+  0,002 

0,744 

0,732 

—  0,012 

0,904 

0,853 

—  0,051 

0,960 

0,928 

0,032 

0,982 

0,968 

—  0,014 

1,000 

0,988 

—  0,012 

bis  4,2 

•  9,2 

^  14,2 

>  19,2 

>  24,2 

>  29,2 

'"  34.2 

■'■  39?2 

»  44,2 


Hieraus  ist  zu  ersehen,  mit  welcher  Annäherung  die  absoluten 
und  rehitiven  Ahweichungssummen,  wie  sie  die  Tafel  hergiel)t,  durch 
das  Summengesetz  dargestellt  werden.  Dabei  ist  in  Rücksicht  zu 
ziehen,  dass  die  empirischen  Werte  unter  der  Voraussetzung  einer 
gleichmäßigen  Verteilung  der  a  resj).  S  innerhall)  der  einzelnen  In- 
tervalle bestimmt  wurden,  während  der  theoretischen  Berechming  die 
Annahme  zu  Grunde  liegt,  dass  die»  Verteilung  auch  innerhalb  der 
Inten-alle  dem  G.  G.  entspreche.] 


§  128.     Zusatz.     Das  Supplementarverfahren. 

Wenn,  wie  allgemein  üblich,  in  einer  Verteilungstafel  bloß  di(^ 
Gesamtzahl,  aber  nicht  die  Gesamtsuumie  der  n^  welche  über  und 
unter  einen  gewissen  Wert  fallen,  kurz  bloß  die  Vorzahl  r  und  Xach- 
zahl  71,  aber  nicht  die  Vorsumme  V  und  Nachsunune  X  gegeben  ist, 
so  lässt  sich  zwar  C,  aber  weder  A  noch  IJ^,  direkt  erhalten,  ebenso- 
wenig die  Abweichungsfunkticmen  bezüglich  dieser  Werte,  also  wird 
auch  keine  Verteilungsrechnung  möglich  sein.  Inzwischen  kann  num 
dazu  nach  folgendem,  freilich  etwas  mühsamem,  Verfahren,  welches 
ich  da,s  Suppl(»menta  rver fahren  nenne,  gelangen. 

FKriiNKi:.  Kolli'ktivraalUehn*.  pj 


290  I)a8  Siimraengesetz  und  das  SiipplementarTerfahren. 

Man  bestimmt  statt  Dp  vielmehr  A,  welches  in  der  Regel  von 
Dp  so  wenig  abweicht,  um  dafür  substituiert  werden  zu  können,  lässt 
zunächst  eine  Rücksicht  auf  r,  F,  n^  N  bei  Seite,  sondern  bestimmt 
die  noch  unvollständigen  Abweichungszahlen  fn,,-,  -m'  und  Abwei- 
chungssummen  -5,,,  2'^'  nach  bekannter  scharfer  Methode  bloß  aus 
dem  ausgeführten  Teile  der  Tafel.  Man  bestimmt  aber  auch  die 
totalen  Abweichungszahlen  ^/i,  =  fft„  +  v  und  m'  =  in"  +  w,  hier- 
nach V  :  -m,  und  n  :  m.  Diesen  Werten  zugehörig  kann  man  in 
folgender  Tabelle  Weite  a  finden,  deren  Berechnungsweise  nacliher 
angegeben  wird,  durcli  die  Tabelle  aber  soll,  wenigstens  für  einige 
Werte,  die  Mühe  der  Berechnung  einspart  werden.  Die  Tabelle  ist 
bloß  auf  kleine  Werte  v  :  m,  und  n  :  fft'  ausgedehnt,  da  es  sich  in 
weit  den  meisten  Fällen  nur  um  solche  handelt ;  wo  die  Tabelle  nicht 
ausreicht,  nmss  a  direkt  berechnet  werden. 

Hiernach  findet  man  die  volle  Summe  der  unteren  und  oberen 
Abweichungen  von  Di  wie  folgt: 


1  —  a  I  —  «  '     ' 


Hieniach  *) : 


^9  ^9'      \ 

C  =  C  =  • 


A  =  />,  + 


/// 


(n) 


i;  [Da  die  hierbei  voraiisziisetzeude  Gültigkeit  des  zweispaltigen  G.  G.  bezüg- 
lich Di  das  Bestehen  des  Proportionalj^esetzes :  c' :  c,  =  w' :  w,  zur  Folge  hat,  so 
kann  mit  Rücksicht  darauf  statt  der  ubiy^en,  ohne  Berücksichtiginig  dieses  Gesetzes 

geltenden  Formel  auch  direkt: 

A  =  Di  -f  .'  -  c, 

gesetzt  werden,  was  verglichen  mit  der  obigen  Ableitung  von  A  einen  Anhalt  für 
die  Sicherheit  der  Bestimminig  gewährt. 


Das  Siimmengesetz  und  das  Supplementär  verfahren. 


291 


Einige  zu  den  Zahlenwerten  r  :  m,j  n:in   zugehörige 
Summenbruchwerte  a  der  Abweichungen  jeder  Seite 

bezüglich  Z). 


oder  -  : 

a 

0,1626 

0,37726 

0,1105 

0,27992 

0,0726 

0,19960 

0,0461 

0,13677 

0,0282 

0,09006 

0,0167 

0,05700 

0,0095 

0,03466 

0,0052 

0,02026 

0,0028 

0,01138 

0,0014 

0,00614 

0,0007 

0,00319 

0,0003 

0,00159 

0,0002 

0,00076 

0,0001 

0,00035 

Die  Berechnung  von  a  geschieht  so:  Man  suclic  zu  fn„  :  m,  oder 
zu  ffi"  :  f//'.  je  nai.'lideni  es  sich  um  die  negative  oder  positive  Seite 
handelt,  als  (/>  [/]  genommen,  den  Wert  /  und  nehme  «  =  exp  [—  V]. 

Diese  Bestimmungsweise  ist  davon  abhängig,  dass  man  für  jede 
Seite  der  Abweichungen  von  7>,  aus  das  einfache  G.  Gr.  nach  der 
insbesondere  für  diese  Seite  gefundenen  Zahl  und  mittleren  Abweichung 
für  gültig  hält,  kurz  das  moditizirte  G.  G.  für  die  Totalität  statuiert, 
und  hängt  an  dem  in  folgendt^r  Einsi'haltung  entwi('kelten  Prinzip. 

[Die  drei  Werte:  1)  die  relative  Zahl  der  Abweichungen,  2)  die 
relative  Sunuue  der  Abweichungen,  3]  der  Quotient  aus  der  Ab- 
weichung selbst,  bis  zu  welcher  von  //,  aus  die  relative  Zahl  und 
Summe  bestimmt  werden,  imd  aus  der  mittleren  Abweichung,  stehen 
in  solcher  Abhängigkeit  v(m  einander,  dass  je  zwei  aus  dem  dritten 
berechnet  werden  können.  Es  ist  nändich  auf  Grund  des  G.  G.  für 
die  Abweichungen  einer  Seite,  beispielsweise  der  i)Ositiven: 

19* 


Das  SiiiBinengpBeti  iiiM  dna  8"]>plemeBtnrverfahreti. 


H']; 


SS' ' 


-i!xii[—  /'); 


!■!.. 


<'1 


wo  *rt'  und  2^'  (lie  gesamte  Zahl  und  Summe  der  Abweichtti 
dieser  Seite  vorstellen,  S"  aber  die  Abweichung  bedeutet, 
welelier  die  unvollständige  Zahl  *»"  und  die  unvollständige  Sui 
^^"  erstreckt  werden.  Es  kann  daher,  in  der  oben  angegebei 
Weise,  zu  *»"  :  «('  resp.  ♦»„  :  «*,  durch  Vermittelung  von  t  der  Wi 
SS":—$'  resp.  ^ff„:!SS,  berechnet  und  hieraus,  wenn —^' resp.  ^i 
empirisch  gehinden  ist,  -5'  resp.  ^B,  nach  (lo)  bestimmt  werden. 

Um  diese  Bestimmung  an  einem  speziellen  Beispiele  zu  erlüutei 
80  ist  in  Qurtblkt's  Tafel  der  französischen  Rekruten']  »'=286; 
»==3490;    )«  =^  100000.      [Man    findet    nun    Di^  ifiiy^  m, 
"»'^5595'!   »»'^44049;   -w,,:  m,  =  0,48848;   *m":  «f':=  0,9434' 
hiemach  aus  der  /-Tabelle  eretenfalls  i  ^=  0,464  zo  lind  1  —  exp  [ — 
^=0,19385;  zweitenfalls  (1=1.34843  und  1  —  exp  [ — ^"1=0,83761 
Folglich  erhält  man  aus  (10)  die  Totidsummc  ^S,  =  3740,5;  SS' 
2410,7,    da  i'^„  =  725,1    und    2^'=  2019,4.      Schheßlich   ergii 
sich  auf  Gruml  von  [11)  c,  =  0,0669;  '^  ^  °fib\l\  -^  ^  r,6i40. 
ist  somit  D  —  ^4^0,0133,  wälurnd  c,  —  e'  -^  0,0121;  beide  Werts' 
sollten  einander  gleich  sein,   ihr  Äuseinanderweichen  aber  hat  di 
seinen  Grund,  dass  der  Ausgangswert  D,  von  dem  proportional 
stimmten  D,,  etwas  abweicht.    Quetklet  selbst,  der  durch  absclmtzei 
Vergleichung  der  beobachteten  Wahrscheinlichkeitswerte  mit  den  theo- 
retischen Werten  seiner  Walirscheinüchkeitatafel  zur  Aufstellung  einer 
durchgeführten  Verteihingstafel  gelangt,  sagt:   »la  taille  raoyonne  est 
de  1,62  m  cnviron».] 

Man  könnte  nun   meinen,   dass   auch   in   Füllen,   wo  eine  vol 
ständige   Reihe  vorliegt,   die  beobachteten   Werte  .iber   nach    unten 
abnoiTii  zu  klein  werden,   wie  es  hei   den  Leipziger  und  Annaherger 
Rekrutenmaßen   der  Fall  ist,    man   nur  das   Supplementarverfahren 
auf  den  höheren  Teil  iler  Reihe,   der  aber  noch   auf  derselben  Seil 


■   lii  Ihforie    Oes   [irnlwibilitPB,    p.  401.     •THilIe    ili 


ler 

.!>■ 
«n  I 


Das  Summengesetz  und  das  Supplementarverfahren.  293 

von  D  liegt,  anzuwenden  brauche,  um  ein  ^d,  zu  erhalten,  wiis  am 
Einflüsse  der  Abnormität  nach  unten  unbeteiligt  oder  so  beschaffen 
ist,  als  wenn  das  normale  Verhältnis  zwischen  Zahl  und  Größe  der 
Abweichungen,  was  man  nach  oben  voraussetzt,  auch  bis  zum  unteren 
Ende  reichte.  Aber  dies  ist  nicht  der  Fall,  vielmehr  kann  man  vom 
Sui)plementarverfaliren  nui-  insoweit  ein  brauchbares  Ergebnis  ei-warten, 
als  der  bei  der  Berechnung  ausgeschlossene  untere  Teil  der  Reihe, 
welcher  b  heisse,  ebenso  normal  ist,  als  der  bei  der  Berechnung  zu- 
gezogene, welcher  a  heisse.  In  der  That  nehmen  wir  an,  die  ver- 
hältnismäßige Zahl  der  Abweichungen  von  einem  gewissen  Abwei- 
chungswerte bis  zum  Ende,  d.  i.  im  Teile  6,  sei  zu  groß,  so  wird 
die  verhältnismäßige  Zahl  darüber,  im  Teile  a,  abnorm  zu  klein  sein; 
l)eim  SupplementaiTerfahren  aber  setzt  man  voraus,  dass  sie  normal 
sei,  was  sich  widerspricht.  Daher  kommt  man  auch,  wenn  man  doch 
nach  dem  Supplementarverfahren  bei  solch  abnormen  Reihen  verfährt, 
zu  absurden  Folgerungen.  Natüi'lich  veimindert  sich  in  solchen 
Reihen  duixh  das  Supplementarverfahren  der  direkt  erhaltene  Wert 
^df ,  und  steigt  der  Wert  von  Ä,  —  So  habe  ich  bei  den  Leipzigern 
als  a  nach  negativer  Seite  den  Teil  genommen,  der  von  Z)  =  69,71 
bis  66,5  reicht,  als  b  den  Teil  von  da  bis  zu  Ende,  wobei  man  sich 
(nach  §  15)  erinnern  kann,  dass  66  der  Wert  ist,  unterhalb  dessen 
die  Untermäßigen  fallen.  Der  aus  der  Totalität  abgeleitete  Wert 
von  ^9f  war  9935,  der  nach  dem  SupplementaiTcrfalu^en  abgeleitete 
9097,  merklich  gleich  mit  dem  Werte  von  ^d'  =  9070,  welcher  aus 
dem  als  nonnal  angesehenen  positiven  Teile  der  Reihe  folgt.  Der 
aus  der  Totalität  der  Reihe  direkt  abgeleitete  Weil  von  -^i  war 
69,62,  der  nach  dem  SupplementaiTerfahren  gewonnene  69,70,  also 
dem  Werte  D  merklicli  gleich.  Wäre  nun  aber  I)  wirklich  der 
Mittelwert,  so  müsste  auch  der  Zentralwert  damit  zusammenfallen, 
also  fft'  =  ffif  sein,  wogegen  ///,  =  4257;  W  =  4145  ist. 


XIX.  Die  Asymmetriegesetze. 

§  12g.  [In  den  beiden  vorhergehenden  Kapiteln  wurde  das 
G.  G.  so  weit  entwickelt,  dass  es  als  geeignetes  Instrument  für  die 
Verteilungsrechnung  der  K.-G.  ebensowohl  bei  wesentlicher  SjTnmetrie 
als  bei  wesentlicher  Asynnnetrie  der  Abweichungen  zur  Benutzung 
bereit  steht.  Da  nun  die  Erfahrung  lehrt,  dass  in  der  That  das 
GAuss'sche  Fehlergesetz  bei  geringer  Schwankung  der  Einzelwerte 
um  ihren  Mittelwert  das  zutreff(nule  Verteilungsgesetz  dai*stellt,  und 
dass  sel])st  ])ei  schwacher  Asymmetrie,  bei  der  es  zweifelhaft  bleibt, 
ob  nur  eine  Störung  wissentlicher  S}inm(;trie  oder  wesentliche  Asym- 
metrie vorliegt,  das  zweiseitige  Gesetz  Vorteile  dem  einfachen  Gesetze 
gegenüber  gewährt,  so  kann  man  das  zweiseitige  G.  G.  als  das 
hinreichend  sich  bewährende  Verteilungsgesetz  der  K.-G.  mit 
schwacher  vei'hältnismäßiger  Schwankung  aufstellen.  Dieses  Grund- 
gesetz der  Verteilung  für  K.-G.  stützt  sich  alsdann  lediglich  auf  die 
Erfahrung  und  bedarf  keiner  theoretischen  Begründung.  Es  bleibt 
daher  von»  emi)irischen  Standpunkte  aus  bloß  noch  die  Aufgabe,  die 
bereits  früher  [im  V.  Kap.  vorgreiHich  aufgeführten  Spezialgesetze 
wesentlich  asynmietrischei*  Verteilung  als  Folgerungen  des  Grund- 
gesetzes abzuleiten.] 

iWenn  aber  auch  rlicsi's  (Trundgcsetz  durch  die  Krfahrung  hin- 
l;iii«rlic}j  ;:cstüt/t  winl.  s<»  ist  es  «Incli  wohl  von  Interesse,  theoretische 
\  «»raussetzun^'en  l>etietfs  ilerK.-(I.  /n  entwickeln.  unMhis  zweiseitige 
(i.  fi.  in  ähnlicher  Weise,  wie  es  für  dns  einfache  Gesetz  in  der 
Fehlertheone  geschehen  ist.  theoretisch  zu  begi'ünden.  Dies  soll 
nach  Ab](M'tung  der  Spezialgesetze  in  dem  Zusätze  zu  diesem  Kapitel 
iroschehen. ' 


Die  Asymmetriegesetze.  295 

§  130.  [Die  Spezialgesetze  wesentlich  asymmetrischer  Verteilung 
zerfallen  in  zwei  Gruppen.  Die  erste  enthält  Bestimmungen  des 
Ausgangswertes,  denen  zufolge  letzterer  i)  der  dichteste  Wert  ist, 
d.  h.  das  Maximal-;i  aufweist,  2)  die  in  dem  Proportionalgesetze  aus- 
gesprochene Eigenschaft  besitzt.  Die  zweite  Gruppe  giebt  Beziehungen 
zwischen  den  Hauptwerten,  dem  arithmetischen  Mittelwerte  A,  dem 
Zentralwerte  C  und  dem  dichtesten  Werte  2>,  insofern  die  Abstände 
dieser  Werte  und  ihre  relative  Lage  theoretisch  bestimmt  und  Eigen- 
schaften der  zu  A  und  D  gehörigen  Abweichungszahlen  entwickelt 
werden ').] 

[Zur  Ableitung  dieser  Gesetze  ist  das  zweiseitige  G.  G.  zu  Gininde 
zu  legen,  das  als  Verteilungsgesetz  der  Exemplare  eines  K.-G.  folgende 
Form  erhalten  soll: 


}  7C 


(•) 


Hier  bedeuten,  wie  üblich,  fßt^'  und  fn,  die  Anzahlen  der  oberhalb 
und  unterhalb  des  Ausgangswertes  D  gelegenen  Abweichungen,  3' 
und  3,  die  ihrem  al)Süluten  Werte  nach  genommenen  Abstände  der 
Abweichungen  von  />,  h'  und  h,  schließlich  die  reziproken  Werte 
von  c'Vji  und  c,  V/r ,  wo  c'  und  c,  die  Mittelwerte  der  9'  und  3, 
sind.  Es  soll  aber  dabei  der  Ausgangswert  D  nicht  von  vomlierein 
als  dichtester  Wert  noch  auch  als  der  durch  das  Proportionalgesetz 
bestimmte  Wert  gelten,  da  ja  beide  Eigenschaften  erst  bewiesen 
werden  sollen.  Es  ist  vielmehr  D  als  ein  vorei^st  willkürlich  ge- 
wählter Ausgangswert  anzusehen,  der  erst  auf  Grund  des  Gesetzes 
(ij  als  der  mit  jenen  beiden  Eigenschaften  behaftete  Wert  nachzu- 
weisen ist.  Noeli  ist  zu  l>emerken ,  djiss  'C  und  L,  keinf^  Anzalilen 
bpcleiitt'ii .    sdinlfrn    Ihm    ;::i*nniftrisch<'r    lnt<M*|M«»t;ition    mn*    di«»    /n    S' 


i  Alliier  diesen  Geselzfii  \Mirdeij  in  «533  anrh  noch  die  KxtremgesetÄP  auf- 
geführt. Dieselben  haben  jedoch  ebensowohl  bei  Symmetrie  als  bei  A8>'mmetrie 
der  Ab'v^eichnnp;8 werte  Geltung  und  sind  somit  keine  Gesetze  wesentlich  asym- 
metrischer Verteilung.  Da  sie  überdies  zu  a\isführlichercn  Erörterungen  Anlass 
geben,  so  werden  sie  im  folgenden  Kapitel  eine  besondere  Behandhing  erfahren.^ 


296  Die  Asymmetriegesetze. 

rosp.  Bf  als  Abscissen  gehörigen,  auf  letzteren  senkrecht  stehenden 
Ordinaten  des  Verteilungsgesetzes  vorstellen.  Die  Anzahlen  der  Al)- 
weichiingen  dagegen  beziehen  sich  stets  auf  Intervalle  und  werden 
durch  Flächenstreifen  repräsentiert,  so  dass  die  Gleichungen 

X   =  rrf5' ;     ;:;:,  =  tfddf  (2) 

angeben,  wie  viel  Abweichungen  dem  Gesetze  (i)  zufolge  z^vischen 
den  unendhch  nahen  Grenzen  d*  und  d'  -\- dd'  resp.  d,  und  3f-\-dd, 
auf  dius  von  letzteren  eingeschlossene  Intervall  von  der  Größe  dd' 
i-esp.  dS,  fallen.  Entsprechend  bestimmt  sich  auch  die  W.  W  und 
W, ,  dass  eine  Abweichung  zwischen  den  angegebenen  Grenzen  sich 
findet.     Sie  wird  durch: 


W  =  :i7  =  -Aexp  r— //-^»J  dff 


(3) 


bezeichnet.] 

[Durch  die  Gleichungen  (1)  ist  für  jeden  endlichen  Wert  von 
<?'  und  c?,  der  zugehcirige  Wert  von  T  und  Z,  und  damit  auch  der 
zugehörige  Wert  von  x*  und  v,  oder  von  W^  und  W,  in  eindeutiger 
W(Mse  bestimmt.  Für  den  Ausgangswert  selbst  jedoch,  dem  die  Ab- 
weichungswerte <?*  =  o  und  d,=  o  zugehören ,  fehlt  diese  Eindeutig- 
keit, es  sei  denn,  dass 

}f'  t9P*  =  hfi9tf     oder     — ^=     -.  (4) 

Denn  es  wird  für  diesen  Wert: 

..,       2//  in'        ^       2  hf  nt, 


1         '      -'  1 


(5) 


so  dass  ein  ununterbrochener  l'bergang  der  beiden  Cunenzüge, 
welche  die  Gleichungen  (1  dai-stellen  in  der  That  nur  bei  Ei'füllung 
der  Bedin^ungsgleichung  (4)  stattfindet.  Dass  aber  diese  Bedingungs- 
glcichung  notwendig  erfüllt  werden  nuiss,  erhellt  aus  folgender  Über- 
legunir.^ 

[Es   ist    selbstverständlich,    dass   einem  Intervalle   vcm  gegebener 
Größe   unil   gegel)ener   Lage  nur    eine   ganz    bestimmte   Anzahl   von 


Die  Asymmetriegesetze.  297 

Abweichungen  angehören  kann.  Dies  hat  zur  Folge,  dass  auch 
einem  unendlich  kleinen  Intervalle,  das  als  Grenze  eines  endlichen 
Intervalles  zu  betrachten  ist,  die  nämliche  Anzahl  zukommen  muss, 
mag  es  als  Grenze  eines  in  den  oberen  oder  eines  in  den  unteren 
Teil  der  Verteilungstafel  sich  erstreckenden  Intervalles  angesehen 
werden.  Ist  aber  für  den  Ausgangswert  T  verschieden  von  C,,  so 
ist  auch  die  Anzahl  der  Abweichungen  für  das  dem  Ausgangswerte 
zugehörige  Intervall  davon  abhängig,  ob  das  letztere  von  Seiten  der 
oberhalb  oder  von  Seiten  der  unterhalb  des  Ausgangsweiles  gelegenen 
Abweichungen  en^eicht  gedacht  wird.  Da  dies  nicht  zulässig  ist,  so 
muss  r  =  l,  sein  und  somit  die  Bedingungsgleichung  (4)  erfüllt 
werden.] 

[Untriftig  wäre  es,  dem  entgegenzulialten,  dass  man  so  zwar  für 
die  Anzahlen,  nicht  aber  für  die  W.  der  Abweichungen  die  Ein- 
deutigkeit erziele.  Denn  die  Walirscheinlichkcitsbestinunungen  (3) 
beziehen  sich  auf  jede  Seite  der  Abweichungen  besonders,  ohne  da- 
bei die  andere  Seite  zu  berücksichtigen  oder  von  ihr  in  Mitleiden- 
schaft gezogen  zu  werden.  Will  man  eine  beide  Seiten  gemeinsam 
berücksichtigende  Bestimmung  der  W.,  so  muss  dieselbe  auf  die  Ge- 
samtanzahl ?n  =  m  +  ftif  der  Abweichungen  Bezug  nehmen,  und  es 
ist  alsdann  zu  setzen: 


V 


»r  =  -  =  -  *'  -*"^'  exp  [—  K^d'^\  äff 


(6) 


SO  dass,  wie  es  sein  muss,  für  d'  =  3,  =  o  die  Eindeutigkeit  der 
Wahrscheinlichkeitsbestimnuing  auf  Grund  von  (4)  sich  ergiebt.] 

[Es  ist  somit  bei  Aufstellung  des  Verteilungsgesetzes  (i)  die  Be- 
(lingungsgleichung  (4)  beizufügen.  Damit  wird  aber  von  dem  Aus- 
gangswertc  die  Erfüllung  des  Proportionalgesetzes 

c' :  c,  =  ffv  :  ftif  (7) 

gefordert.  Zugleich  giebt  sich  dieser  Wert  als  dichtester  Wert 
zu  erkennen,  da  sowohl  T  als  auch  t,  für  den  Nullwert  der  Ab- 
weichungsgrüße  d'  und  <?,  das  Maximum  erreicht.] 


298 


£ie  As^mmctriegesetze. 


Zur  Veranschaulichung  dieses  Verteilungsgesetzes  mögen  die 
heiden  folgenden  Curvenziige  dienen,  von  welchen  der  erste  den 
Verlauf  der  oberhalb  D  gelegenen  Werte  mit  Angabe  der  walirschein- 
lichen  und  mittleren  Abweichungen  u'  =  DW:  c'  =  DE'\  q  =  DQ\ 
der  zweite  den  Verlauf  der  beiderseits  von  D  gelegenen  Werte  mit 
Angabe  der  beiden  Haupt  werte  A  und  C  neben  D  und  der  beiden 
einfachen  mittleren  Abweichungen  e'  =  DE':  c,  =  DE,  vor  Augen 
stellt. 


Fig.  2. 


AC      J)  E' 

5*%  3- 


Hierzu  ist  zu  bemerken,  dass  die  Ordinaten  relative  WerteVorstellen, 
indem  an  Stdlp  rlor  Werte  ,"  und  1,  der  Formel  r'  die  durch 
'h'm'  2h,ffi,  (lividifvtrn  \\'«*itf  1  .  ih' ni'  mul  l,\Jih,ni,  ^esptzt 
NN  iii<l«'?i.  K.N  Nviinlr  frinn-  //' —  i;  //,  =  |  ;iii;:('n4iuiiiH.'ii.  DhIhm*  ist 
•  l«'r    MiixiuuilNVJMt    hll   in    lK»iilrn    ( 'iirv»'n/ü;^'fMi    ;:l«*irli    i:].*:   f»'nn»r: 

t'it',  =  2:3;     c'' ;=  (;,564:     c*,  =  0,846;     D  —  .1-— 0,282; 


I)      f.'— 0,2 


T   1    >  • 

—    • 


J>  -u  _.j-   -^7S7  • 


Die  Asymmetriegesetze.  299 

Die  Maßeinheit  ist  für  den  ersten  Curvenzug  gleich  5,6  cm,  für  den 
zweiten  gleich  3,2  cm.] 

§  131.  [Nur  ausnahmsweise  werden  die  Anzahlen  fti!  und  nv, 
der  oherhalb  und  unterlialh  des  Ausgangswertes  1)  gelegenen  Ab- 
weichungen einander  gleich  sein.  In  diesem  Ausnahmefalle  liegen 
der  Zentralwert  C  und  der  arithmetische»  Mittelwert  A  mit  1)  vereint. 
Denn  es  ist  ja  m'  =  m,^  so  dass  die  den  Zentralwert  charakterisie- 
rende Bedingung  erfüllt  ist;  aus  der  Gleichheit  von  fn  und  ^/i,  folgt 
aber  weiterhin  auf  Grund  des  Proportionalgesetzes,  dass  auch  e'  =  e, 
imd  mithin  in'  c  =^  m^c, .  Dies  besagt,  dass  auch  die  beiderseitigen 
Abweichungssummen  einander  gleich  sind,  wodui'ch  der  arithmetische 
Mittelwert  bestinmit  wird.] 

[Ist  j(»doch,  wie  in  der  Kegel  vorauszusetzen,  ni^  von  m,  ver- 
schieden, so  liegen  die  beiden  Hauptwerte  A  und  C  niemals  mit  D 
vereint,  und  es  lassen  sich  ihre  Abstände  von  1)  aus  dem  G.  G.  wie 
folgt  ableiten.] 

[Man  l)ezeichne  die  größere  d(»r  beiden  Anzahlen  in  und  ifp, 
durch  W,  die  kleimM-e  durch  ///„  uud  kennzeichne  die  auf  Seite  der 
///"  liegenden  Werte  3,  c^  h  und  /  im  Einklänge  mit  den  früher 
(§  33)  getroffenen  Bestimnumgen  durch  zwei  Strichelchen  oben.  Dann 
ist  der  Zentralw(»rt  C  als  derjenige  Wert  zu  suchen,  der  im  Vereine 
mit  D  ein  Intervall  al)grenzt,  das  ,^(W— w„)  Abweichungen  ent- 
hält; denn  es  ist: 

,   ni  —  m„  n       tn  — iti„      m  ,.. 

m„  H =  f/i- =  —  ,  \%) 

mm  >  ^>  *« 

so  dass  oberhalb  und  unterhalb  des  der  Art  bestimmten  Wertes 
gleich  viel  Abweichungen  liegen,  wie  es  für  den  Zentralwert  zu  for- 
dern ist.  Ans  d^m  V(']'tpilim^s«rrsptze  folgt  ;d)er.  wenn  ;' =  C — l) 
den  Abstand  i\vY  \V<'it<'  i'  und  />  <>hn<'  Hi'nksirht  ;inf  ihro  ;jegf»n- 
>eiti;:<'   L;«;:«*  ;in;:i«*l»t: 

=^     _  I  exp^— //    cy  ■  i  atT   ,  '9; 

-  \  u     J 

oder,  wenn  h"3'=t\    h"y=^t"  gesetzt  wird: 


300  Die  Asymmetriegesetze. 


=  — ^r-  \   exp[ — t^\dt^=m'Ot\,  (lO; 

o 

Man  findet  somit  mit  Rücksicht,   dass  h"=  i  :e"yjt  ^ 

C-D  =  y^rc"y7c  ,  (ii) 

wo    entweder  y  direkt    aus  (9)  zu  berechnen    oder    /"  mittelst    der 
/-Tabelle  auf  Grund  von  (10)  als  derjenige  Wert  zu  bestimmen  ist, 


fn"  —  ffh 


der  zu  </>  =  ,r-^ ,  kurz  zu  (7>"  gehört.] 

2  f /i- 

[Der  Abstand  C  —  D  ist  demnach  wesentlich  von  dem  Quotienten 
fw' — tn,]'.tpp"  abhängig.  Ist  der  letztere  gleich  Null,  so  wird  auch 
y  gleich  Null,  und  C  fällt,  wie  schon  bemerkt,  mit  D  zusammen. 
Ist  jedoch  dieser  Quotient  zwar  nicht  gleich  Null,  wohl  aber  hin- 
reichend klein,  so  dass  seine  zweite  Potenz  vernachlässigt  werden 
kann,  so  ist  es  erlaubt,  0[t"]  als  Größe  der  nämlichen  Ordnung 
angenähert  durch: 

2     .,,       ,          2      C-D  .     , 

-  _  /      oder     -r- jz^  (i2j 

darzustellen  und  mithin: 


2  Yji      c"  Ytv 

oder : 


(Uj 


tn"  —  fft, 


C — Z>  = jf-^c  ji  (14) 

zu  s(;tz(*n.  Andererseits  eiTeiclit  C  —  D  den  gi'ößtmöglichen  Wert, 
wenn  [m  — m„):in'  den  Wert  1  anniimnt,  d.h.  wenn  ;//„  =  o  und 
///"  =  yy/,  wenn  also  die  Gesamtheit  der  Abweichungen  auf  einerund 
derselben  Seite  des  Ausgangswertes  liegt,  und  die  Asymmetrie  infolge- 
dessen unendlich  groß  wiid.  Es  wird  in  diesem  Grenzfalle  aus  (10) 
die  einfachere  Gleichung: 

t" 

(•5) 


\  =  ^^f  <^xi,[-f\dt=0[f'], 


Die  Asymmetriegesetze.  301 

80  dass  f=w:c"Y7t^  wo  w  den  wahrscheinlichen  Wert  der  Ab- 
weichungen darstellt,  der  nach  §  119  gleich  0,845347  •  c"  zu  setzen 
ist.     Für  den  Abstand  C—D  erhält  man  sonach  die  Gleichung: 

C  -  2>  =  %'  =  0,845  347.  <^".]  (16) 

[Diese  Bestimmung  von  C  ^  D  ist  ebenso  im  allgemeinen  Falle 
(11)  wie  in  den  beiden  Grenzfällen  (14)  und  (16)  durchaus  auf  das 
ZAveiseitige  G.  G.  als  Verteilungsgesetz  gegründet.  Es  wird  darum 
die  empirische  Bestimmung  dieses  Abstandes  in  einer  vorgelegten 
Verteilungstafel,  die  am  einfachsten  nach  direkter  Berechnung  von 
C  und  A  mittelst  der  Gleichung  (26)  oder  (29)  des  XL  Kapitels 
geleistet  wird,  im  allgemeinen  einen  von  der  hier  gefundenen  theore- 
tischen Bestimmung  abweichenden  Wert  ergeben.  Anders  ist  es  be- 
züglich des  Abstandes  A  —  D  zwischen  dem  arithmetischen  Mittel- 
werte A  und  dem  Ausgangswerte  D,  da  die  Aufstellung  der  Fonneln 
für  diesen  Abstand  lediglicli  auf  den  Eigenschaften  von  A  und  D 
fusst,  die  auch  der  empirischen  Berechnung  zu  Grunde  liegen, 
v;ährend  zu   einer  Venvendung  des  G.  G.   kein  Anlass  sich  bietet.] 

[Beachtet  man  nämlich,  dass  die  größere  der  beiden  Abweicluings- 
summen  29'  und  2:  ff,  infolge  des  Proportionalgesetzes  auf  der  näm- 
lichen Seite  von  D  sich  findet,  auf  der  die  größere  der  beiden  Ab- 
weichungszahlen, nämlich  fn\  zu  suchen  ist,  wonach  die  größere  der 
beiden  Summen  durch  ^^',  die  kleinere  durch  2^ff„  bezeichnet  wird, 
so  kann  man  setzen: 

:sff,.  =  m„D  —  :^a„  . 


in) 


Hieraus  folgt  durch  Subtraktion: 

2'c5"—  2ff,,=  2V/"+  :?rr„-  (w"+  m,,)  D  =  2a  —  mJ), 
und  man  erhält   nach  Division  mit  m  unter  Berücksichtigung,  dass: 


die  Gleichung: 


A  = , 

m 


A-I)  =  ^^'-^^".  '-«] 


m 


302  Die  Asmmetriegesetze. 

die  jedoch  die  Eigenschaft  von  i),  das  Proportionalgesetz  zu  erfüllen, 
noch  nicht  berücksichtigt.     Zu  diesem  Zwecke  setze  man  in  (18): 

oder,  was  dasselbe  ist,  da  W=/w  —  in„  und  m„=  m  —  in': 

^^'  =  m c*  —  m„ c" ;     ^9„  =  m c„  —  in" c„  . 

Man  gelangt  so  zu  der  Gleichung: 

A  —  I)  =  c  —c„ ,  19 

m  ' 

in  welcher  dem  Proj)ortionalgesetze  zufolge: 

in„<!"  —  fft"c„=^  o 
ist,  so  dass  schließlich: 

A  —  D  =  c' —  e„  (201 

resultieii,  eine  Beziehung,  die  schon  im  XI.  Kap.  aufgestellt  wurde, 
als  es  sich  um  die  Verwertung  der  Eigenschaften  von  1)^  im  Interesse 
seiner  Bestiunnung  aus  den  empirisch  gegebenen  Tafel  werten  handelte.] 
Dil  nach  dem  Propoilionalgesetzt»: 


ff 


c  —c„=(in   —  in„] 


c 
in"' 


so  kann  die  Gleichung  (20)  auch  in  die  Form: 


/// "  —  in 


A-D^- --C"  (21) 


/// 


oder,  wenn  wie  ()l)en: 


n 


f/>"='— ""    '''" 


ff 

2  m 


gesetzt  wird,  in  die  Form: 

^1-  D  =  2(ir   c"  [22) 

gel)racht  worden.] 

[I)i(»  Bestimmung  des  Abstandes  A  —  D  ist  somit  in  der  That 
von  dem  Bestehen  des  G.  G.  unabhängig,  so  dass  für  jede  Ver- 
teilungstafel die  Gleichung  20)  bestehen  muss.  wenn  anders  A  als 
Mittelwert  und  D  als  D^,,  d.  i.  dem  Proportionalgesetz  gemäH,  be- 
rechnet worden  sind. 


Die  AsymmetriegcBetze.  303 

[Aucli  für  A  —  D  lassen  sich  die  Grenzwerte  angel)en.  Ist 
in"=^n„)  so  folgt  aus  (21),  dass  auch  Ä  =  Dj  im  Einklang  mit  der 
bereits  gemachten  Bemerkung,  wonach  C  und  Ä  gleichzeitig  mit  I) 
zusammenfallen.  Ist  dagegen  in"=ni  und  iit^„=o^  ist  mithin  die 
Asymmetrie  unendlich  groß,  so  wird 

A-D  =  c'\  (23) 

also  gleich  der  einfachen  mittleren  Abweichung,  während  nach  (16) 
C  —  T)  die  wahrscheinliche  Abweichung  darstellt.  Für  den  Fall 
ferner,  dass  nt" —  m„  \  m  eine  kleine  Größe  ist,  deren  zweite  Potenz 
vernachlässigt  werden  darf,  treten  die  Formeln  (12),  (13)  und  (14)  in 
Kraft,  so  dass  aus  (21)  oder  [22)  die  Gleichung: 

A  —  B^^iC-B)  (24) 

abgeleitet  werden  kann.] 

§  132.  [Auf  Gnmd  obiger  Bestimmung  der  Abstände  C — D 
und  A  —  D  lässt  sich  auch  A—  C  als  Differenz  der  beiden  vorigen 
Abstände  finden,  wonach  die  Al)standsgesetze  für  die  drei 
Hauptwerte  yl,  C  und  1)  in  folgender  Form  gegeben  werden 
können: 

i)  für  ganz  beliebige  Werte  m  und  ffi„,  d.  i.  für  einen  ganz 
beliebigen  Grad  der  Asymmetrie,  hat  num  nach  den  Formeln  (11) 
und  (20)  resp.  {22]', 

A  -  D^c"--  c„=  2  0".  c"  \         ^25: 

A  -  C^{A  -  D)  -  [C-D)=={20"-  n  77  c'";l 

2)  für  ^/i„=o  und  fn'=m,  d.  i.  für  den  Fall  unendlich  großer 
Asymmetrie  bestehen  die  Beziehungen  (16)  und  (23);  es  ist  scmiit: 

r—Z>  =  0,845347  -c"  j 

A  —  T)  =  c"  >  (26) 

A  —  C^^  0,154653  -c'";) 

3;  wenn  [in!' —  iPt „] :  iu"  eine  kleine  Größe  vorstellt,  deren  zweite 
Potenz  vernachlässigt  werden  kann,  wenn  also  die  Asymmetrie  sehr 
klein  ist,  kann  man  nach  den  Formeln  -14;  und    24.  setzen: 


304 


Die  Asymmetriegesette. 


C-D  = 


ftP    —  fft 


"   Ji 


4^n 


n 


C    JC 


n 


A--D'=(C^D)^  = 


4       ^n  —  np„   „ 


7t 


ifp 


A-C  =  [Ä-D)[.-^^  = 


ft 


fn  —  ffp 


fft 


n 


-M'-4)'l 


(2  7) 


4)  für  don  Fall,   dass  gar  keine  As}inmetrie  vorhanden  ist,  in 
welchem  Falle  m'=in,  ist,  wird  schließlich: 


28I 


Dabei  ist  zu  beachten,  dass  zwar,  wie  die  Herleitung  der  Abwei- 
chungen für  A  —  D  und  C  —  D  unmittelbar  erkennen  lässt,  A  und 
C  zugleich  auf  der  Seite  der  m'  liegen,  dass  aber  nur  die  al>- 
soluten  Werte  dieser  Abstiinde  bestimmt  werden,  und  es  mithin  da- 
hingestellt bleibt,  ob  A  und  C  in  der  positiven  oder  in  der  negativen 
Richtung  von />  abweichen.  Das  ei*stere  ist  der  Fall,  wenn  m^  m,\ 
das  letzt eiv,  wenn  m,'^tri\ 

}5  133.  [Aus  diesen  Abstandsgesetzen  lassen  sich  die  Abstand s- 
V  e  r  h  ä  1 1  n  i  s  s  e  und  insbesondere  die  ,  1  -  (t  e  s  e  t  z  e  durch  Division 
gewinnen,     ifan  erhält: 

I  für  den  allgemeinen  Fall,  in  welchem  der  Grad  der  Asym- 
metrie keiner  Bedingung  untenvorfen  ist: 


.1  —  />  c" —  i.\.  ///"—  //!„  2  (/>" 


r 

I> 

f•^ 

.1 

A 

r" 

2  0'  — 

riT 

A 
A 

:  '//'- 

-  r  1 .1 

•t 
0    - 

-^9) 


r=     j(/>     -n   .1 


//f 


1  — 


*.'.. 


n 


/«   — m, 


-</> 


für  tlon  Füll  <»*lir  si-li\v:u-lioi'  A<.viimietrie: 


Die  Asymmetriegesetze. 


305 


A-D 
C-D 

A--C 
A^D 


7t 


-7  =  0,785398 

4 


7t 


4  —  7t 
4 7t 


=  3,659793 


=  0,214602; 


(30) 


3)  für  den  Fall  unendlich  großer  Asymmetrie: 

C-D 

-jZZd  =  °'^'^5  347 

C-D  ^^   „ 

2^—^=5,466089 


=  0,154653. 


A-D 


(31) 


Die  unter  2)  und  3)  mitgeteilten  Werte  stellen  die  Grenzen  dar, 
zwischen  welchen  die  für  den  allgemeinen  Fall  geltenden  Bestim- 
mungen variieren.  Insbesondere  sind  die  für  schwache  Asymmetrie 
geltenden  Relationen  von  Interesse,  da  dieser  Fall  bei  der  hier  vor- 
auszusetzenden geringen  Schwankung  der  Exemplare  der  K.-G.  so 
häufig  vorkommt,  dass  er  als  Regel  bezeichnet  werden  kann.  Aus 
diesem  Grunde  erhalten  die  Relationen  (30)  einen  besonderen  Namen 
und  heißen  die  tt- Gesetze.] 

[Von  den  drei  Quotienten  wird  gewöhnlich  der  an  erster  Stelle 
stehende  berücksichtigt  und  darum  der  Einfachheit  wegen  durch  einen 
besonderen  Buchstaben,  nämlich  durch  p  bezeichnet.  Es  ist  somit  zu 
erwarten,  dass  j?  oder  (C — D) :  (^  —  D)  nicht  kleiner  als  0,785  und 
nicht  größer  als  0,845  wird,  wofern  nicht  Unregelmäßigkeiten  den 
Gang  der  empirischen  "Werte  einer  Verteilungstafel  stören  und  die 
Übereinstimmung  mit  der  Theorie,  die  allein  für  die  obigen  Be- 
stimmungen maßgebend  ist,  beeinträchtigen.] 

§  134.  [Dass  C  und  A  auf  der  nämlichen  Seite  von  D  liegen, 
wurde  schon  bemerkt;  dass  aber  C  zwischen  A  und  D  liegt,  erhellt 
aus  folgender  Darlegung.] 

[Nach  Formel  (29)  ist  ganz  allgemein: 


A--D 


2  0 


ff    7 


(32) 


Ikchseb,  KollektiTmaßlehre. 


20 


30« 

wo  I' 


'  dfr  zu  0'  in  der  /-Tabelle  gehörige  Wert  ist.    Beachtet  i 
dass  fit"  nur  Werte  zwischen  o  und  \  darstellen  kann,  da 


so  lelirt  ein  Blick  auf  die  (-Tabelle,  dass  durchweg 

demi    ei-st    von    dem    Wert*   (P  =  0,6209    ''■b    sind    die    dreistelligeaJ 
i-Werte  großer  als  die  zugehörigen  ©-Werte,  um  bis  zum  Schlui 
der  Tabelle  größer  zu  bleiben.     Da  überdies: 

und  somit  um  so  mehr: 

rv;T<2a>", 

80  ist  in  der  That: 

E-T><A-D.  (34) 

Dies  Gesetz,   nach  welchem  C  stets  zwischen  A  und  D  liegt,  heißt 
das  Lagengesetz.] 

[Das  Lagengeeetz  hat  zur  Folge,  dass  die  Asymmetrie  der 
weichungen  bez.  D  das  entgegengesetzte  Vorzeichen  liat  als  die  der 
Abweichungen  bez.  Ä.  Da  nämlich  bezüghch  C  die  beiderseitigen 
AbweichungszaUen  einander  gleich  sind,  so  besteht  fiii-  jeden  Wert 
oberhalb  C  die  Ungleichung  «»'■<»«,  und  für  jeden  Wert  unterhalb  C 
die  Ungleichung  m^m,,.     Es  ist  somit,  wenn  A   oberhalb  C  liegt, 

u'  <C  /*,  d.  h.   ^  —  \i,  negativ. 
Dann  liegt  aber  D  unterhalb  C,  so  dass: 

»I.'  >  »K-,  d.  h.  W-'  —  *«■,  positiv  ist, 
Umgekelu-t  ist  es,  wenn  A  unterhalb  und  7>  oberhalb  C  liegt.  Diese 
Umkehrung  der  Asj-mmetrie  bezüglich  .i  und  ü  wird  das  Umkehr- 
gesetz genannt,  das  mithin  ein  Ausflusa  des  Lagengesetzes  ist.] 

[Zusatz.  Die  theoretische  Begründung  des  zweisei- 
tigen G-Auss'schen  Gesetzes.]  A 

§  135.  [Bisher  wurde  das  zweiseitige  G.  G.  auf  Grund  del( 
Erfahrung  als  das  hinreichend  sich  bewährende  Wahrscheinlichkeita-' 
gesetz  der  K.-G.  aufgestellt.    Will  man  nun  neben  der  empirischen 


■rt 


Die  AHynunetne^Betie. 


307 


Bewälirung  noch  eine  theoretische  Begründung  dieses  Gesetzes, 
so  müssen  Hj-pothesen  betreffs  der  K.-G.  entwickelt  werden,  die  eine 
Ableitung  jenes  Gesetzes  gestatten.  Die  Aufstellung  solcher  Hj'po- 
tliesen  findet  ihre  Berechtigung  eben  darin,  dass  sie  zu  dem  abzu- 
leitenden Gesetze  hinführen  und  dasselbe  wie  im  Keime  enthatten. 
und  wenn  auch  die  Erfahrung  allein  die  ßichtigkeit  des  aufgestell- 
ten Gesetzes  entscheidet,  so  «-ird  doch  durch  eine  solche  nachträg- 
liche theoretische  Begründung  die  Einsicht  in  die  Natur  der  K,-G. 
gefordert.] 

[Zunächst  weise  ich  nach,  dass  es  genügt,  den  nach  dem  Pro- 
portionalgeset^e  bestimmten  Wert  Dp  als  den  wahrschemlichsten  Wert 
vorauszusetzen,  um  das  zweiseitige  G.  G.  in  der  nämlichen  Weise 
abzuleiten,  wie  in  der  Fehlertheorie  das  einfache  G.  G.  aus  der  An- 
nahme, das  arithmetische  Mattel  sei  der  wahi-scheinlichste  Wert,  ge- 
folgert wird.  Der  Hypothese  vom  arithmetischen  Mittel  in  der  Fehlei'- 
theorie  steht  somit  in  der  Kollektivmaß  lehre  die  Hypothese,  dass  das 
Proportionalgesetz  den  wahrscheinlichsten  Wert  unter  den  Exemplaren 
eines  K.-G.  bestimme,  völlig  gleichwertig  zur  Seite.] 

[Um  dies  zu  beweisen,  werde  angenommen,  dass  m  Exemplare 
0  eines  K.-G.  vorliegen,  für  welche  ein  nacb  dem  Proportionalgesetze 
bestimmter  Wert  D^  =^  a„   existiert.     Es  liegen  dann   m,  Werte  a, 

nämlich  a,,  a, ,  n, ,  unterhalb  D^  und  m  Werte  a ,  nämlich  a',  a", 

a"'  . . . ,  oberhalb  Z),,  und  es  besteht  für  die  Abweichungen  dieser 
Werte  von  D^^=a„  dem  Proportionalgesetze  zufolge  die  Gleichung: 


'fl.- 


-  Oo)  +  (a"  —  «„)  -f  («'" 


h)  +  K  -  «3)  +  ■ 


oJ+- 


135) 


oder,   wenn  die  unteren  Abweichungen  durch  S,,  9, 
durch  3' ,  $",■■■  bezeichnet  werden: 


Eb  mögen  nun  die  W.  der  Abweichungen  d^,  d,  ■  ■  $' ,  8'' ■  ■  durch 
'/(^i)'  9'(^i)  ■  ■  yt^'))  ff{^)-'  bezeichnet  werden.  Dann  wird  die 
W.  f&r  das  Zusammentreffen  aller  m  Abweichungen  durch  das  Pro- 
dukt der  m  W.,  also  durch: 


Ibh 


308  ^ie  Asymmetriegesetze. 

g>{9,)  ■  <pid,)  -(pid,)----  <p{d-)  ■  tpid")  ■  (p[d-")  .... 

ausgedrückt] 

[Da  aber  a^  nach  der  zu  Grunde  gelegten  Hypothese  den  wahr- 
scheinlichsten "Wert  darstellen  soll,  so  muss  nach  den  bekannten  Prin- 
zipien der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  auch  das  Produkt  der  W.  für 
die  Abweichungen  der  vorgelegten  Werte  a  von  a^  größer  sein  als 
für  die  Abweichungen  von  irgend  einem  anderen,  von  a^  verschiede- 
nen Werte.     Es  muss  daher 

ein  Maximum  sein.     Setzt  man  nun  der  Kürze  wegen: 

so  ist  demnach: 

(p'(5j  +  y'(5J  -f  . .  .  cp'[9']  +  cp'iff')  -f  .  .  .  =  o  (36) 

zu  setzen.] 

[Diese  Gleichung  muss  mit  der  Gleichung  (35)  zugleich  bestehen. 
Bringt  man  daher  (36)  in  die  Form: 

fftf    O 

SO  erhellt,  dass: 

wo  k  eine  beliebige  Konstante  ist.     Aus: 


nfcf 
folgt  aber 

und  hieraus  durch  Integration: 

9)(a)  =  c.exp[|Ä;w'5"].  (38) 


Die  Asymmetriegesetze.  309 

Zugleich  erkennt  man,  dass  Ä:  einen  negativen  Wert  vorstellen  muss, 
wenn  (p[d)  für  d  =  o  sein  Maximum  erreichen  soll.] 

[Es  ist  somit  für  die  unterhalb  D  =  a^  gelegenen  Abweichungen, 
die  jetzt  unterschiedslos  durch  d,  bezeichnet  werden  sollen: 

<p  [d,)  =  c, .  exp  [—  h,^ d,^] ,  (39) 

wo  c,  eine  noch  näher  zu  bestimmende  Constante  und  — h,^=^kfrp'^ 
ist.  Für  die  oberhalb  D  =  a^  liegenden  Abweichungen  dagegen,  die 
unterschiedslos  durch  d'  repräsentiert  werden  mögen,  findet  man: 

cp  [d')  =  c' .  exp  [—  h' '  5' »] ,  (40) 

wo  wiederum  die  Bestimmung  von  c'  noch  aussteht,  während  —  ä'* 
=  ^km,"*  ist.] 

[Um  schließlich  die  Konstanten  c'  und  c,  zu  bestimmen,  ist  die 
W.,  dass  von  den  tn'  oberen  und  den  tn,  unteren  Abweichungen 
irgend  eine  zwischen  o  und  00  liegt,  —  wie  sich  von  selbst  versteht  — 
gleich  I  zu  setzen.     Es  muss  daher: 

Vi 

c,  I  exp  [—  h,^  d,^]  ddf  =  i 

o 

imd: 


jr 

c'rexf[-h"'d"]dd'=i 


sein.     Dies  führt,  da: 


fexT^[-h'9']dd  =  '^ 


zu: 

2/1, 

.       2h' 

C  =  -j=  . 

Yjv     / 
Daher  ist  schließlich: 


(41) 


fp{d')=^exp[-h"'3''']  ) 


2h' 


(42) 


IKe  'Äiymmetriegtsetie. 


mit   der  aus   ilt'ii   angegebene 
dingimg: 


Werten   fiu-  h'  und  h,  folgenden  ] 


§  136.    (Bei  dieser  Begründung   des  zweiseitigen  G,  G. 
als  ein  Mangel  emphmdeti  werden,  dasa  die  zu  Gnmdi 
potliese  des  ProportioDalgesetzeK  der  Hypothese  des  arithmetiscl 
Mittels  in   der  FeUertbeorie  an  Einfacblieit  und  Evidenz  nächst« 
Denn  man  kann  zunächst  nur  in  der  Erfalirung  eine  Stütze  für 
selbe  suchen,  wie  ea  denn  auch  in  g  42  als  eine  fundamentale  That- 
»ache  der  Erfahrung  bezeichnet  wurde,   dass  die  K.-G, 
mung  eines  dichtesten  Wertes   gestatten,   der  him-eichend  nahi 
dem  durch  das  Proportionalgesetz  definierten  Werte  zusammenfällt 

[Es  ist  darum  von  Interesse,   dass  eine  andere  Hypothese 
gestellt  werden  kann,  die  sich  auf  einfache  und  nahe  liegende 
legungen    über    die  Entstehungsweise    der  K,-G.   stützt.      Sie 
Torei-st  zu  einem   einheitlichen   Verteüungsgesetz;    indem  jedoch 
letztere  die  Bestimmung  eines  dichtesten  Wertes  gestattet,  der  appi 
ximativ  dem   Proportionalgesetze  genügt,   stellt  sich  auch 
seitige   G.   G.   als  Approximation  an  jenes  einheithche   Gesetz  dar. 
Man   gelangt  so  zu  der  Erkenntnis,    dass  die  Zweiteilung  des  Ver- 
teilungsgesetzes, wie   sie   durch   die  Verwendung  des  G.  G.   bedingt] 
ist,    nicht    durch    die  Natur    der  K.-G.   gefordert  wird,  wohl 
durch  das  Bedürfnis  motiviert  werden  kann,  das  aus  der  ai 
lenden  Hypothese   folgende  Gesetz    einer  bequemen,    den 
ningen    der  KoIIektivmaßlelu^    genügenden   Verwendung   zu^ng] 
zu  machen.] 

[Um  die  wesentlichen  Punkte  in  der  Entwicklung  dieser  HypoJ 
these  klar  hervortreten  zu  lassen,  werde  zunächst,  entgegen  den  that^ 
sächhch  bestehenden  Verhältnissen,  ein  K.-G.  vorausgesetzt,  dessen 
Exemplare  nur  eine  kleine  Anzahl  äqmdistanter  und  endlicher  Ab- 
stufungen bezüglicli  der  Grüße  unterscheiden  lassen.  Beispielswt 
mögen  fünf  GröBenstufen  existieren,  und  die  Größen  selbst  der 
nach  gleich: 

a,    a-\-i,    a  +  2i,    1  +  3*",    a -i- 41  [4; 


Die  AsyiniiietrieReseU«. 


311 


sein.  Daim  liegt  es  aalie,  die  Verschiedenheit  der  Größe  dem  Spiele 
besonderer  Kräfte  zuzuschreiben,  von  welchen  jede  im  Falle  ihres 
Wirkens  den  Zuwachs  *  erzeugt.  Man  wird  daher  vier  Kräfte  K, , 
K, ,  A'j ,  K,  anneluuen,  der  Art,  dass  jede  ebensowohl  mrken  als  auch 
nicht  wirken  kann.  Tritt  keine  der  vier  Kräfte  in  Wirksamkeit,  so 
entsteht  ein  Exemplar  von  der  Größe  a;  wirkt  nur  eine  der  vier  Kräfte, 
so  erhält  das  Exemplai-  die  Größe  a-\-i;  wirken  aber  zwei,  drei 
oder  alle  vier  Kräfte,  so  wird  die  Größe  a-\-  zi,  a  +  3*  oder  a-\-  ^i 
erzeugt.  Von  der  W.,  die  für  das  Wirksamwerden  jeder  einzelnen 
Kraft  besteht,  wird  dann  die  Häufigkeit  des  Auftretens  der  Exem- 
plare einer  beHtiimnten  GröBenstufe  abhäugen  und  hierdurch  das 
Verteilungsgesetz  bedingt  sein.  Man  erhält  uämUch,  wenn  die  Kräfte 
unabhängig  von  einander  mit  den  W.  p,  ,  p^ ,  p^ ,  p^  wirken  und 
entsprechend  die  W.  für  das  Ausbleiben  ilirer  Wii-kung  durch 
5,^1  — p,,  5,  =  1  — i*,!  9j  =  '  — 1*3  1  54=  '  — Pt  iingegeben  werden, 
folgende  Dai-stellungen  für  die  W.  der  verschiedenen  Größenstufen: 

W[a  +  (]    =p,q,q^q,-\-q,p,q,<h  +  9.  lAhl*  +  7.  'hq^P*  '• 
W[a+  2i]^p,p,q^q,  +  p^q,p^q^+p,q^q,p,  +  q,p,p,q, 

+  q,p,q,P4-^q,q.P3P,\ 

Wla  +  3i]=p,p,p^q^  +  p,p,q.^p,-\-p,q,p^p,+  q,p^p^p,; 
W[a+4i]=p,p,p^p,. 

Hieraus  ist  zu  ersehen,  daas  eine  symmetrische  Verteilujig  der  Exem- 
plare auf  ^e  verschiedenen  Grüßenstufen  nur  dann  möglich  ist,  wenn 
z.B.  Pt+p^^p^+pt'^i,  oder  wemi  für  das  Auftreten  der 
Wirkung  jeder  einzelnen  Kraft  die  nämliche  W.  wie  fiir  daa  Aus- 
bleiben der  Wirkung  einer  der  anderen  Kräfte  besteht.    Df,nn  wird: 

W[a]         =p,p,q,q. 

W[a-i-t]   ={p,p,  +  q,q,]{p,q,+p,q,) 

Wia  +  21"]  =  [p.p.  +  7,7,)"  +  (p^q^  +p,qj-  —  2p,p,q,q, 

W[a  +  3*1  =  {p.p,  +  q,q,){p.q,+p,q,] 

W[a  +  ^i]=p,p,q,q^  . 
Jede    andere   Bestimmung    der  W.    führt    zu   einer    asjTmiietrischen 


(441 


312 


Die  AsTnunetriegeaet». 


Verteilung  der  Exemplare  auf  die  verscliiedenen  Größenstufeu. 
erhält  beispielsweise  i.  für  p,  =  /*,  =  p,  :=  ;>,  ^=  /* ,  2.  für  ^,  =  j 
=  ^'3  — ii  Pi=^Pi  ^0  P  "1*1  '/=  I  —p  ™n  i  verschiedeB  seien: 


W[a]            =  ,' 

i? 

Wla  +  i]    =ipq' 

j(3?+i>l 

W[a  +  2i]  =  bp'q' 

i(3?  +  3» 

H'[a  +  3.-]  =  4?'9 

j(9  +  3P) 

TF[a+4iT=j,' 

i;' 

Man  kann  so  immor  wieder  andere  asj-mmetrische  Verteüungsweisen 
als  Spezialisierungen  des  allgemeinen  Schemas  (44)  angeben,  während 
nur  auf  obige  Art  eine  symmetrische  Verteilung  möglich  ist.  Aber 
jede  derselben  beruht  in  gleicher  Weise  auf  der  Hypothese,  tli 
von  einander  unabhängige  Kräfte  vorhanden  sind,  von  welchen  jedft' 
eine  bestimmte  W.  für  ihr  Wirksamwerden  besitzt  und  im  Falle  ihresc 
Wirkens  den  Größenzuwachs  *  erzeugt.l 

[Nun  giebt  es  allerdings  in  Wirkliehkeit  keinen  K.-G.,  der 
fünf,  durch  endliche  und  konstante  Intervalle  getrennte  GröBenstufen 
unterscheiden  lässt.  Vielmehr  verteilen  sich  die  Exemplare  stetig 
auf  das  durch  die  exti-enien  Werte  begrenzte  Größengebiet,  so  dass 
man  auch  durch  eine  Vermehrung  der  Größenstufen,  wo  dann  s1 
fünf  eine  größere  Zahl  zu  [wälden  wäre,  nichts  gewinnt.  Wohl  a1 
lässt  sich  der  GröBenbcreich ,  den  die  Exemplare  des  K.-G. 
erfüllen,  in  Inten-alle  von  konstanter  Größe  i  abteilen  und  die  Intei^ 
■vaJlgi'oße  der  Ai-t  bestimmen,  daß  innerhalb  jedes  einzelnen  Intervalles 
die  Verteilung  der  Exemplare  als  gleichmäßig  und  das  Verteilungs- 
gesetz als  konstant  angenommen  werden  darf.  Dies  ist  der  Fall. 
wenn  i  eine  kleine  Größe  vorstellt,  deren  zweite  Potenz  im  Vergleiche 
zu  endlichen  Größen  vernachlässigt  werden  darf.  Dann  ist  es  auch 
gestattet,  die  auf  das  Intenall  fallenden  Esemplai-e  in  der  Intervall- 
mitte  vereinigt  zu  denken,  so  dasa  man  auf  diesem  Wege  zu  der 
Vorstellung  der  GröBenstufen  mit  konstanten  Intervallen  zurückge- 
führt wird.  Die  anfängliche  Vorstellungsweise  ist  jedoch  jetzt 
fem  modifiziert,  als  die  Exemplare  nicht  mehr  den  einzelnen  Gröl 


Aber 

s  vier   >^^J 
jed6>^H 

r  msr^^H 

tufen    ^^^ 

etig 

dass  I 

stat^^d 

abe^H 

jitei^  T 


infio-  ^^^ 


Die  ABynmiebriegeietie. 


313 


stufen  selbst,  sondern  den  zugehörigen  Intervallen  angehören,  und  die 
Größenstufen  nur  als  Repräsentanten  der  Intei-valle  dienen.] 

[Mit  Berücksichtigung  dieser  Modifikation  kann  nun  der  von  den 
Exemplaren  des  K.-G.  erfüllte  GröBenbereich  dui'ch  eine  unbestimmt 
große  Anzalil  von  GröBenstufen  ersetzt  werden,  so  dass  die  auftre- 
tenden Größen  selbst  durch 

a,  a-j-t,  o-i-2/,  ....  a~i-ni  (45) 

darstellbar  sind.  Man  hat  daher  nur  nötig,  an  Stelle  der  im  obigen 
Beispiele  gewählten  beschi-änkt«n  Anzahl  von  Wer  Kräften  eine  un- 
bestimmt große  Anzahl  n  solcher  Kräfte  vorauszusetzen  und  jeder 
eine  bestimmte  W.  für  ihr  Wirksamwerden  beizumessen,  um  für  jede 
Größenstufe  eine  wie  oben  zu  bestimmende  W,  und  damit  eine  be- 
stimmte Verteilung  der  Exemplare  auf  das  ganze  Größengebiet  zu 
erhalten.  Zugleich  erhellt,  dass  diese  Verteilung  nur  dann  s)'mmetriach 
ist,  wenn  sich  die  n  Kräfte  paanveise  zusammenfassen  lassen  und  für 
jedes  Paar,  dessen  W.  gleich  pi  und  ji»  seien,  J)<  -[-  JJ»  =  i  ist.  Jede 
andere  Bestimmung  dieser  W.  führt  zu  einer  asymmetrischen  Verteilung. 
Soll  aber  die  letztere  in  ihrer  Gesetzmäßigkeit  verfolgt  werden  können, 
so  darf  nicht  regellos  jeder  wirkenden  Kraft  eine  ganz  wiHkiirlich 
gewählte  W.  zuerteilt  werden.  Es  möge  darum  im  Interesse  der 
Durchführbarkeit  der  mathematischen  Behandlung  jeder  Kraft  die 
nämhche  W.  für  ihr  Wirksam  werden  beigemessen  werden.] 

JMan  wird  so  zu  folgender  Hj-pothese  geführt: 

i)  Es  wird  eine  unbestimmt  große  Anzahl  «von  Kräften') 
K,,E,,..  K., 
vorausgesetzt,  die  unabhängig  von  einander  an  derErzeugung 
der  Exemplare  eines  K.-G  sich  beteiligen. 

2)  Es  besteht  die  W.  p  für  das  Auftreten  und  die  W. 
f/=  1  — ji  für  das  Ausbleiben  der  Wirkung  jeder  einzelnen 
Kraft. 


i]  [Die  Be»e»chming  »KrÄfte«  wird  bluß  der  Küne  halber  gewählt;  es  mögen 
darunter  lüle  die  BeBODderheiteo,  welcher  Art  aie  nuch  seleu,  verstanden  werden, 
die  eiaen  äudemden  EiufliiBB  auf  die  OröDc  der  Exemplare  eines  E.-O,  aiiszuabeii 
im  staade  find.] 


314  ^ic  Asymmetriegesetxe. 

3)  Jede  Kraft  erzeugt  im  Falle  ihres  Wirkens  den  Zu- 
wachs iy  wo  i  eine  so  kleine  Größe  vorstellt,  dass  ihre  zweite 
Potenz  neben  endlichen  Größen  vernachlässigt  werden  darf.] 

[Hiemach  erhält  ein  Exemplar,  an  dessen  Erzeugung  sich  keine 
der  71  Kräfte  beteiligt,  die  Größe  a,  deren  W.  W[a]  =q^,  währe;nd 
bei  Auftreten  aller  Kräfte  die  Größe  a  +  ni  entsteht,  für  welche 
M^a-\-7ii\=p*^  ist.  Beteiligen  sich  aber  an  einem  Exemplare  x  Kräfte, 
80  wird  die  Größe  desselben  a  +  xi\  und  da 

71. 


r.'(n  —  x)! 

verschiedene  Systeme  von  je  x  Kräften  gebildet  werden  können,  für 

jedes  System  aber  die  W. 

px.  qH-x 

besteht,  so  ist: 

W[a  +  xi]  =     ,    '        .tlfq"-'  (J-  =  o,  i ,  2,  ...»).      (46) 

Nun  gelten  für  große  w,  x  und  n  —  x  die  Formeln: 


fl  /  =  W"  exp  [  —  7i]  y  2  :t  7i 

x[  =  x^exp[ — x]}  z.TX 


■M  —  x^/  =  \n — r)"-'exp[ —  [ti  —  x]]V2Ti{ti  —  x] 
Mit  Rücksicht  hierauf  erhält  man: 

W[a  +  xf  =  ^""        .  (^'  f.  {-2IL.Y-' 

]2,tj-(m-j-)    XJ-  '    U—JrJ 

^  2:ipqn  \ -r  /        V'—Jrl 


(47) 


Setzt  man  liier  pn  und  qn  als  ganze  Zahlen  voraus,  nimmt  man  also 
an.  dass  //  durch  den  gemeinsamen  Xenner  der  Brüche  p  und  q 
teilbar  sei,  wodurch  ilie  Allgemeinheit  der  folgenden  Entwicklung 
nicht  beschninkt  winl,  so  kann  man  statt  x  und  ;i — x  mit  Vorteil 
pti  +  j"  und  qti  —  X  schreiben,  wo  nunmehr  x  alle  positiven  Zahlen 
von  o  bis  +  n  q  imd  alle  nejjativen  Zahlen  von  o  bis  —  np  zu  durch- 
laufen hat:    zufirleich    ist    a^xi   durch  a  -rpni  +  xi  oder,    wenn 


Die  Asymmetriegesetze. 


315 


a  +  pwi  kurz  durch  a^  bezeichnet  wird,  durch  a^-^-xi  zu  ersetzen. 
Man  findet  so: 

pn)  \  y      qn) 

o,  +  I  ,  ...  +nq) 


W[a,+x%\=, 


V2  7tpqn\ 

[X=     —     71P    ,       np^      l      y 

Hieraus  gewinnt  man  mit  Rücksicht,  dass: 


(48) 


•    •    • 


1  + 


^  =  exp[log(.+^)];     i-^  =  exp[log(i-^)] 


ip^ri^ 


\        P'^1      P'^      ip^n^ 

,      /  x\ X  x^  x? 

\         qn)  qn      iq^n"      ^q^n^ 


folgende  Darstellungsform: 

W[a,  +  xi]  = 


exp  [(p  +  ip] 


VzTcpqn 
^       ^^  *'  \qn       2q^n* 


X' 


zp^n^ 


ip^n^ 

3 


•    •    • 


) 


x 


iq^n^ 


) 


(49) 


[qn       2q 

Dieselbe  ist  gültig,  solange  x\pn  und  x\qn  kleiner  als  i.] 

[Soll  dieses  Gesetz  die  W.  für  die  endlichen  Werte  der  Ab- 
weichungen xi  von  «o  darstellen,  so  muss  x  als  Größe  von  der  Ord- 
nung I :  i  vorausgesetzt  werden.  Es  ist  dagegen  n  eine  Größe  höherer 
Ordnung,  wenn  die  extremen  Abweichungen  pni  und  qni  im  Ver- 
gleich zu  den  in  Betracht  gezogenen  Werten  xi  sehr  groß  sind.  Dies 
trifft  aber  in  der  That  zu,  da  die  extremen  Abweichungen  mit  der 
Zahl  der  Exemplare  beiderseits  wachsen  imd  somit,  vom  Ständpunkte 
der  Theorie  aus,  als  ins  Unbegrenzte  wachsend  anzunehmen  sind. 
Es  werde  darum  n  als  eine  Größe  von  der  Ordnung  1:2'  voraus- 
gesetzt. Alsdann  repräsentiert  der  Quotient  x' :  n  eine  endliche 
Größe  und  der  Quotient  x :  n  in  gleicher  Weise  wie  der  Quotient 
x^ :  n^  eine  Größe  von  der  Ordnung  /.  Man  kann  somit,  wenn 
Größen  von  der  Ordnung  i'  und  höherer  Ordnung  in  der  Reihen- 
darstellung von  (f  und  \\)  vernachlässigt  werden,  das  Wahrschein- 
lichkeitsgesetz (49)  in  folgende  einfache  Form  bringen: 


Die  ÄsfmmetnegsBetie. 


W[a, 


^eiVltp  +  if] 


Ai—p) 


W[a,+J\  = 


\2!tkpq 


eip 


'l'PI 


J(il-t)   ,   ij'[q-pr 


2kpq 


'  + 


bk^p'ij' 


'].M 


wenn  xi=  J  und  ni'^k  gesetzt  wird.] 

[Bei  der  Ableitung  dieses  Gesetzes  wurde  vorausgesetzt,  dass  die 
Exemplare  des  K.-G.  in  den  Mitten  a^-\- xi  der  durch  die  Werten- 
reihe  (45)  repräsentierten  Intervalle  vereinigt  gedacht  werden  dürfen. 
Es  verteilen  sich  aber  in  Wirklichkeit  die  Eseniptare  stetig  innerhalb 
der  Intervalle,  so  daas  auch  die  "Waliracheinlichkeitsfunktion  als  eine 
stetige  Funktion  der  Abweichungen  J  anzunehmen  ist,  deren  Inte- 
grale zwischen  den  Grenzen  der  Intervalle  durch  die  W\a„+  ^  an- 
gegeben werden.  Bezeichnet  man  demnach  die  Wahrscheinlichkeits- 
funktion durch  w[a^-\-J']  so  ist: 

oder  mit  Rücksicht  auf  den  Kleinheitsgrad  von  i: 


Man  findet  daher  zunächst  für  die  Intervallmitten: 


4 


w\a^-{-J\  = 


sBXp 


-+- 


6t"j 


-,  ISil 


1 


y2  7c}{pq'"''''\.       -'•PQ  ^l'PI 

da  aber  iv  eine  stetige  Funktion  von  J  ist,  so  hat  diese  Darstellung 
für  beliebige  ^  zu  gelten.] 

[Hiemach    findet   man    durch  Differentiation    den   Maximalwert 
von  w  aus  der  Gleichung: 


dw 


vpt 


2kptl 


•j'ii-zPh 


d 


Die  Asymmetriegesetze.  317 

oder  (mit  Rücksicht,  dass  einesteils  w  nicht  verschwindet,  anderen- 
teils J  hier  eine  Größe  von  der  Ordnung  ?',  und  folglich  i^*  zu  ver- 
nachlässigen ist)  aus: 

2 

Somit  fäJlt  der  dichteste  Wert  D  auf: 

2 

Wird  dieser  Wert  als  Ausgangswert  für  das  Wahrscheinlichkeitsgesetz 

gewählt,  wird  also  «o  =  -^  +  ¥*  (9  —  JP) »  ^  =  d  —  I*  (9  —  JP)  gesetzt, 
so  resultiert  schließlich,  wenn  w[D  +  d]  durch  (p{d)  ersetzt  wird: 

V27rÄ:jp?\  6A*j>"?^   /      ^L      2kpq\ 

als  endgültige  Form  des  abzuleitenden  Gesetzes.] 

pEs  handelt  sich  nun  noch  um  den  Nachweis,  dass  der  Aus- 
gangswert D  auf  Grund  des  Gesetzes  (52)  approximativ  das  Propor- 
tionalgesetz erfüllt.     Zu  diesem  Zwecke  werde: 

d  ■=  Vzkpq  •  t 
gesetzt,  so  dass: 

9,(5)=-^=i^(x  +  iÜ^^ä^\exp[-n.  (53) 

y27tkpq\  ^Vzkpq  / 

Nim  ist,  wenn  ftt'  die  oberhalb  D  gelegene  Anzahl  imd  m  die  G^ 
samtzahl  der  Abweichungen  angiebt: 


ur  00 


o  o 

=  1^     *'(9— JP) 


2        ^VzTckpq 

Entsprechend  ist  für  die  unterhalb  D  gelegene  Anzahl  tn, : 

fn,^i         i(q—p) 
^'^        2        ^VzTikpq 


318  ^^c  Asymmetiiegesetze. 

Bezeichnet   man   femer   die   oberhalb   und   unterhalb   D   gelegenen 
Summen  der  Abweichungen  durch  ^d"  und  ^d,y  so  wird: 


J^ 


ni 


fa^iS)äa  =  y'M+iSi^ 


^d,  ^  -l/kpq  _  i(q  —  pi 

tu.  f  -9  TT  A 


m  ^  2  7t 

Man  findet  hieraus: 


Somit  ist: 

(5^)  =  (2")  '  ^^^^  /*  =  4^^  =  ^'356  a  .  (55) 

In  erster  Annäherung  kann  man  demnach 

setzen,  so  dass  in  der  That  approximativ: 

wie  das  Proportionalgesetz  es  verlangt.] 

[Gilt  aber  das  Proportionalgesetz,  so  kann  mit  entsprechender 
Approximation  das  zweiseitige  Gr.  G.  an  Stelle  des  einheitlichen 
Walirscheinlichkeitsgesetzes  (52)  treten.  Dasselbe  ist  in  der  Form 
(6),  welche  sich  auf  die  beiderseitigen  Abweichungen  bezieht,  voraus- 
zusetzen, da  auch  das  Gesetz  (52)  die  oberen  und  unteren  Abwei- 
chungen zugleich  berücksichtigt.    Es  sei  also: 


YTtm 


(56) 


f  Grund  der  berechneten  Abweichungszahlen  und  Abwei- 
n: 


Die  Agymmetriegesetze. 


319 


i{q—p)  iTt 


c'yn       Vzkpq       zkpqYTC 

i{q—p)  iTi 


n\2        3/ 


h, h=  = 


+ 


(?-f) 


(56a) 


CfVrt       Yzkpq      ikpqyjt 

2V  fn! I  i  [q — p)  irt 4  \ 

V^'m~yJ7rkpiq      2  7ikpq\2        3/ 

VTt'm      \27ikpq      27tkpq\2        3/* 

Da  jedoch  die  approximative  Geltung  des  Proportionalgesetzes  ver- 
langt)  dass  f/r  auf  den  ganzzahligen  Wert  2  abgerundet  wird,  so  ist 
auch  hier  {n  und  ~  für  gleichwertig  anzusehen  und 

2  h' in!      2  h,ift,  I  /,1V 

—  __^^ — =  =  (56b) 

Vn-m       Yii'm      y2  7tkpq 

zu  setzen;  auch  kann  mit  der  nämlichen  Berechtigung  in  der  Dar- 
stellung von  A'  imd  h,  statt  ^tc  —  f  ebensowohl  ^/r  als  auch  f  ge- 
setzt werden.] 

[Die  Ersetzung  des  einheithchen  Gesetzes  (52)  durch  das  zwei- 
seitige G.  G.  hat  demnach  zur  Folge,  dass  an  Stelle  des  Gliedes 

id^(q  —  p) 


das  Glied 


iS^^iq  —  p)   (Tt       2\ 

7/ 


kpqV2  7zkpq\2       3 

tritt,   das  für  positive  d  ein  positives,  für  negative  d  ein  negatives 
Vorzeichen  erhält.] 

0  [Sowohl  (52)  als  auch  (56)  stellt  für  p  =  q  das  einfache  G.  G. 
dar,  das  somit  als  Spezialfall  zugleich  mit  jenen  allgemeinen  Gesetzen 
aus  der  aufgestellten  Hypothese  entwickelt  wird.  Wird  letztere 
diesem  Falle  von  vornherein  angepasst,  so  unterscheidet  sie  sich  nicht 
wesentlich  von  der  Hypothese,  die  Hagen  ^)  zur  Ableitung  des  ein- 
fachen G.  G.  für  die  Fehlertheorie  aufgestellt  hat.] 


I)  [Gnindzüge  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  Berlin  1837.  S.  34.  —  Die 
Hypothese  Hägen's  lautet:    »Der  Fehler   im  Resultate    einer  Messung  ist   die 


320  ^^c  Asymmetriegesetze. 

[Beachtung  verdient  es,  dass  die  Asymmetrie  hier  durch  Größen 
von  der  Ordnung  i  repräsentiert  wird.  Sie  wird  daher  unendlich 
klein,  wenn  i  unendlich  klein  wird.  Bei  der  obigen  Ableitung  wurde 
aber  i  nicht  als  unendlich  klein,  sondern  nur  als  so  klein  voraus- 
gesetzt, dass  i^  gegen  endliche  Größen  vernachlässigt  werden  darf.] 

[Noch  ist  zu  erwähnen,  dass  für  das  einheitliche  Wahrschein- 
lichkeitsgesetz  an  Stelle  des  dichtesten  Wertes  D  ebensowohl  ein 
anderer  Wert  als  Ausgangswert  gewählt  werden  kann.  In  der  Dar- 
stellungsform (51)  ist  es  beispielsweise  der  arithmetische  Mittelwert, 
der  zum  Ausgangspunkt  der  Abweichungen  gemacht  ist.  Man  findet 
nämlich  bezüglich  a^  die  Summen  der  beiderseitigen  Abweichungen 
einander  gleich,  so  dass  a^  in  der  That  das  arithmetische  Mittel  A 
darstellt.] 


algebraische  Summe  aus  einer  imendlich  großen  Anzahl  elementarer  Fehler,  die 
alle  gleich  groß  sind,  imd  von  denen  jeder  einzehie  ebenso  leicht  positiv  wie 
negatir  sein  kann.€.] 


XX.  Die  Extremgesetze. 

§  137.  Zu  den  gewöhnlich  berücksichtigten  Elementen  eines 
K.-G.  gehören  die  extremen  Werte,  welche  die  Verteilungstafel  des- 
selben bietet,  d.  i.  das  Maß  des  größten  und  kleinsten  Exemplares; 
auch  hat  es  ein  mehrfaches  Interesse,  sich  damit  zu  beschäftigen. 
Schon  aus  bloßer  Kuriosität  kann  man  sich  dafür  interessieren,  wie 
groß  der  größte  Biese  und  der  kleinste  Zwerg  ist,  die  in  einem  ge- 
gebenen Lande  oder  überhaupt  vorgekommen  sind,  welches  die  größte 
Hitze  oder  Kälte  ist,  bis  zu  der  die  Temperatur  an  einem  gegebenen 
Orte  angestiegen  und  herabgesimken  ist,  u.  s.  w.  Aber  die  Angabe 
der  extremen  Werte  eines  untersuchten  Gegenstandes  hat  auch  einen 
wissenschaftlichen  Wert  für  die  Kenntnis  desselben,  indem  sie  mit 
Eücksicht  auf  die  Zahl  der  Exemplare,  unt^r  welchen  diese  Extreme 
beobachtet  sind,  zur  Charakteristik  desselben  beiträgt;  auch  kann  die 
nach  den  beobachteten  Extremen  gestellte  Erwartung,  zwischen  wel- 
chen Grenzen  ein  künftiges  Exemplar  zu  suchen  sein  wird,  worüber 
hinaus  es  voraussetzlich  nicht  steigen,  worunter  es  nicht  sinken  wird, 
mitunter  praktisch  werden.  So  kann  der  höchste  zu  erwartende 
Wasserstand  eines  Flusses  die  Höhe  des  schützenden  Dammes  oder 
die  Höhe  von  Anlagen  an  seinen  Ufern  bestimmen^  die  größte  zu 
erwartende  Kälte  eine  Grenze  für  die  Anpflanzung  gewisser  Gewächse 
setzen,  u.  s.  w. 

Man  darf  nur  nicht  vergessen,  dass  die  Größe  der  Extreme  mit 
abhängig  von  der  Zahl  der  Exemplare  ist,  welche  der  Beobachtung 
unterliegen,  und  wenn  z.  B.  die  Höhe  eines  Flusses  binnen  100  Jahre 
ein  gewisses  Maß  nicht  überstiegen  hat,  so  kann  man  nicht  darauf 
rechnen,  dass  es  nicht  in  1000  Jahren  einmal  der  Fall  sein  sollte^ 
da  hiermit  gi-ößerer  Spielraum  zur  Entwicklung  der  Extreme  geboten 

Fechneb,  EollektiTmaüIehre.  21 


wird,  woraus  sofort  das  Interesse  einleuchtet,  ein  Oesetj!  der 
hängigkeit  der  Größe  der  Exti-eme  von  der  Zahl  der  Exemplare 
finden,  ein  Interesse,  was  mit  dem  |)raktischen  zugleich 
scliaftliches  ist.  Unmittelbar  hat  jede  empirische  Bestimmung 
Extreme  nur  für  die  Zald  von  Exemplaren  Bedeutung,  aus  wel( 
die  Bestimmung  erfolgt  ist;  kann  aber  mit  zu  den  empirischen  Uni 
lagen  für  die  allgemeine  Bestimmung  der  Extreme  mit  abgeändei 
ZaJü  dienen. 

Bisher  hat  man  diesen  Punkt  mehi-fach  übersehen,  indem  ich 
mehi'  als  einem  Orte  die  Öi-öße  der  absoluten  oder  relativen 
weichung  zwischen  den  Extremen:  E' — E,  oder  \E'  —  E.r.A 
aus  verschiedenen  tn  bei  verschiedenen  K.-G.  erhalten  wurdi 
zum  Vergleiche  der  absoluten  oder  relativen  VariabiUtät  der  betreff« 
den  Gegenstände  verwendet  finde,  was  ganz  irrige  Folgerungen 
führen  kann. 

Hierbei  scheint  das  Aperru  zu  Grunde  gelegt,  dass,  wenn 
nur  die  Extreme  aus  einer  großen  Zahl  bestinmie,  man  darauf  rech- 
nen könne,  wenn  nicht  die  absolut  möghchen  Extreme,  doch  solche, 
die  sich  ilinen  sehi-  nähern,  zu  erhalten,  und  in  Ermangelung  anderen 
Anhaltes  sich  bei  den  gefundenen  begnügen  könne.  Aber  diese  An- 
nahme einer  approximativ  erreichbaren  Grenze  der  Extreme  ln-i 
wachsendem  m  hat  weder  empiiisch,  noch  theoretisch  etwas  für  sich: 
sondern  wahr  ist  nur  nach  beiden  Gesichtspunkten,  dass  die  Größe 
der  Extreme  in  sehr  viel  kleinerem  Verhältnisse  als  die  Größe 
des  m  wächst,  aber,  wenn  m  bis  ins  Unendliche  steigend  gedi 
wird,  immer  in  angebbarer  Weise  mit  fortwächst. 

§   138.     [Indessen  steht  der  Aufstellung   einer  gesetzlichen 
Ziehung  zwischen  der  Größe  der  Extreme  und  der  Anzahl  der  Werte, 
unter  denen   die  Exti-eme  vorkonmien,   eine  beispielsweise  von  Düvk 
und  von  Encke  vertretene  Auffassungsweise   entgegen,   dei 
die  Extreme  jedweder  Gesetzlichkeit  sich  entziehen  wüi-den. 

DovK,  nachdem  er  in  seiner  ersten,  >die  geogi-aphische  Verhrei 
gleichartiger   Witt  er  imgserschein  ungern     betreffenden    Abhandlung' 


röBe I 


1)  Abhmidliuigeii  der  Kgl.  Akademie  der  Wisteusthaiteu 
Jahre  1S4S. 


Die  ExtremREsette. 


323 


I 


■  Über  die  nicht  periodischeu  ÄJidemngen  der  Temperatiirverteilunf< 
auf  der  Oberfläche  der  Erde«,  die  extremen  Abweichungen  angegeben, 
welche  von  monatlichen  und  jährlichen  Tempei-aturmitteln  während 
einer  gegebenen  Anzahl  Jahre  an  vei-schiedenen  Beobachtungsorten 
stattgefunden,  bemerkt  ausdrücklich  iS.  3511:  'tlie  hier  gegebenen 
Zahlen  haben  noch  etwas  sehr  Willkürhches,  da  ein  einziger  ungewöhn- 
lich strenger  Winter  oder  ein  sehr  heißer  Sommer  die  aus  einer  langen 
Beihe  vorhergehender  Jahre  ermittelten  Unterschiede  vielleicht  ver- 
doppeln kann',  eine  Bemerkung,  der  sich  auch  Schhid  in  seinem 
gi-oßen  meteorologischen  Werke '1  tinschlieBt.  Desgleichen  bemerkt 
Encke  in  seiner  Abhandlung  über  die  Methode  der  kleinsten  Quadrate*' 
S.  275)  auf  Grund  dessen,  dass  in  den  bekannten  BBssBL'sehen 
Fehlerreihen  die  extremen  Beobachtungsfelder  etwas  zu  groß  gegen 
die  theoretische  Forderung  ausfallen:  Ȇbrigens  ist  diese  Abweichung 
leicht  aus  dem  Umstände  erklärhch,  dass  giöBere  Fehler  in  der  Regel 
eine  ganz  ungewöhnliche  Vereinigung  von  nachteiligen  Einwirkungen 
voraussetzen,  ja  selbst  häufig  durch  ein  so  isoliert  stehendes  Ereignis 
herbeigeführt  werden,  dass  keine  Theorie  sie  der  Rechnung  wird 
unterwerfen  können.« 

Demgemiiß  ist  in  der  Tliat  bisher  weder  von  einer  theoretischen, 
noch  erfahj'ungsmäBigen  Untersuchung  und  Feststellung  gesetzhcher 
Verhältnisse  dieser  Werte  die  K«de  gewesen,  und  so  dürfte  nicht 
nur  eine  gewisse  Lücke  in  dieser  Hinsicht  durch  die  folgende  Unter- 
suchung ausgefüllt  werden,  sondern  auch  die  faktische  Beseitigung 
des  Verdachtes,  dass  die  extremen  Werte  überhaupt  keinen  gesetz- 
lichen Verhältnissen  unterliegen,  an  sich  ein  geivisses  Interesse  iu 
Anspruch  nelunen. 

Nun  ist  es  allerdings  richtig,  dass  mitunter  Extreme  oder  extreme 
Abweichungen  aus  exceptionellen  Urwicheu  herrühren  können,  die 
aus  der  Reihe  der  Bedingungen  herausti'e'ten ,  unter  welchen  ein 
K.-Ö.  als  bestellend  aufgefasst  und  der  Untersuchung  untem-orfen 
wird",  2,  B.   fassfijnnig  aufgetriebene   oder   entscliieden   mikrocephale 


I)  Lehrbuch  der  Meteorologie.     Leipüg  1860. 

zj  Berliner  Astronom.  Jahrhtich  für  1S34.  S.  149  S^d. 


334 

Schädel,  wo  es  aicli  um  gesunde  Schädel  handelt.  Solche  Exti 
sind  in  der  That  unberechenbar.  Aber  da  sich  die  aufEUsteUendeiT 
Gesetzmäßigkeiten  nur  auf  solche  K.-6.  beziehen,  die  den  früher 
(Kap.  IV)  angegebenen  Requisiten  genügen,  so  kann  ein  Heraustrete) 
der  Extreme  aus  den  gesetzlichen  Beziehungen  geradezu  als  ein 
zeichen  dafür  gelten,  dass  diese  Exti-eme  abnorm  sind,  die,  wo 
sich  imi  normale  Verbältnisse  handelt,  auszuschließen  sind. 

§  1 39.    Empirisch  kann  man  sich  von  der  Änderung  der  Exl 
mit  der  Größe  des  m  leicht  in  folgender  Weise  überzeugen. 

Mau  bestimme   aus  der  Totalität  einer  Urliste  von   gegebi 
m,   in  welcher  die  Maße   in   zufälliger  Ordnung  enthalten  sind, 
beiden  Extreme  E'  und  E, ,  teile  dann  ohne  Andemng  der  zufälligen 
Ordnung  der   Maße   die  Gesamtheit  derselben   in   eine   Ajizabl   von 
gleichen  Fraktionen   z.  B. ,    wenn   das  totale 
Fraktionen  von  je  m=  100,  und  bestimme  nun   auch  die  Ex; 
dieser  Fraktionen.    Wenn  nicht  zufälligerweise,  was  doch  hei  grol 
Total-wi   nur  ausnahmsweise  der  Fall  sein  kann,   dieselben  Exi 
schon  in   der  Totalität  mehrfach  vorkommen,   wird   man 
Fraktionen  nicht  wiedei-finden,  sondern  tliese  werden  durchschnitt 
lieh  nur  kleinere  £"  und  größere  E,  geben;  und  wiederholt  man 
jeder  Fiiiktion  von  j/(  =  100  das  Verfahren,  indem  man  sie  z.  B. 
10  Fraktionen  von  m  =  10  teilt,  so  wird  natürlich  der  entsprecheni 
Erfolg  eintreten.     Nun  kann  man  die  Totalität  der  Maße  von 
gebenem  m ,  die  man  zuerst  vor  sich  hatte,  selbst  als  Fraktion  ei 
Totalität  von  größerem  m  betrachten  und  scbliefien,  dass,  wenn 
mehrere  solcher  Fraktionen  von  demselben  m  vor  sich  hätte,  die 
und  E, ,    die  man  aus   denselben  erhält,   auch  durchschnitthch 
dem  E'  und  E.  der  größeren  Totalität  aller  Exemplare  in  Plus  und 
JCnus  Überboten  werden  würden. 

jVfan  kann  bemerken,  dass  die  E,  welche  aus  den  gleichzahlij 
Fraktionen    derselben    Totalität    erbalten    wei-deu,    eine    etwas 
weichende  Größe  haben,  und  indem  man  die  Totalität  selbst  als 
Fraktion    unter   anderen    gleichzahhgen    Fraktionen    einer   größei 
Totabtät  mit  gegebenem  m  betrachten  kann,  würde  man  noch  zwiscl 
t  E  dieser  größeren  Fraktionen  Vei-schiedenheiten  finden, 


man  abo  überhaupt  nicht  darauf  reclmeu  kann,  ein  vou  gegeheuem 
m  abhängiges  ganz  bestimmtes  E'  und  E,  zu  finden;  wold  aber  kann 
man  erstlich  bestimmt  sagen,  daas  normalerweise  in  dem  oben  dafür 
eingeführten  Sinne  die  von  gegebenem  m  abhängigen  E  durch- 
schnittlich um  so  weiter  in  -\-  steigen  und  in  —  abnehmen,  je 
größer  tn  ist;  zweitens  kann  man  ihre  Variation  bei  gegebenem  tu 
als  Sache  einer  Unsicherheit  wegen  unausgeglichener  Zufälligkeiten, 
die  sich  einer  näheren  Untersuchung  fügt,  betrachten,,  worauf  unten 
zarü  ckzukommen. 

Erläutern  wir  das  Vorige  an  der  Studentenmaßtafel ')  mit 
«/  =  2047,  deren  Elemente  in  §  65  gegeben  sind,  wonach  A,  der 
primären  Tafel  =  71,77;  Dp  nach  Reduktion  auf  1  =  1  Zoll  aber 
im  Mittel  von  4  Lagen  ^71,96  ist.  Da  jedoch  die  Benutzung  des 
ganzen  »7*^2047  iingeheuer  umständlich  sein  würde,  benutze  ich 
nur  360  Werte  wie  folgt. 

Aus  der  Urliste,  in  welchei'  die  Maße  sich  ganz  zufällig  folgen, 
wurden  von  jedem  der  20  Jahrgänge  die  ersten  18  Maße  in  iluvr 
zufälligen  Folge  ausgeschi-ieben  und  zur  Totalität  von  360  Maßen 
vereinigt.  Hierin  wurde  E'^77,5,  £",^64  Zoll  gefunden.  Hier- 
nächst  wurden  diese  360  Maße  in  180  Fraktionen  mit  einem  »(=  ; 
geteilt,  in  deren  jeder  natürlich  das  eine  Maß  unmittelbar  als  E'. 
das  andere  als  E,  auftritt,  und  durch  Division  der  Summe  der  so 
erhaltenen  E'  und  E,  mit  180  wurden  das  mittlere  E'  =  73,16  und 
mittlere  E,  ^  70,26  erhalten;  weiter  wm-de  eine  Teilung  der  360 
Maße  in  120  Fraktionen  mit  einem  m^i  rorgenomraen,  deren 
mittleres  E'  und  E,  berechnet  u.  s.  f.,  wovon  die  Resultate  in  folgen- 
der Tabelle  zusammengestellt  sind. 


tj  Wegeu  de»  Nacliteih  der  iingleiehfÄrmigeo  Schätzung,  welchem  die 
Beknitenmaße  überhaupt  unterliegen,  würde  ioh  lieber  eio  nnderea  Beispiel 
gen-lhlt  hüben,  weiui  mir  Urlisten  vou  anderen  OEgenstfludeu  mit  gleich  KicUerer 
reiner  Zufälligkeit  in  der  Folge  der  Maßgrößen  iii  Oebute  gestanden  hatten ;  doch 
kann  jener  Nachteil  die  Verhältniagc,  auf  die  es  folgend»  niikommt,  unstreitig  nur 
unwesentlich  beuachteiligeu. 


I.   Mittelwerte  der  oberen   und  unteren  Estn 
n,  Fraktionen   mit  je  m   (iliedern. 


m 

S' 

E.     ■ 

E-^i, 

E'  +  E. 

2 

iSo 

73,1« 

70,a6 

2,90 

143,42 

3 

120 

73.81 

69,56 

4.»S 

143-37 

4- 

90 

74, aS 

69,17 

5.08 

143,42 

6 

60 

74,68 

68,41 

6,27 

143.09 

9 

40 

75,09 

67,86 

7.'3 

142,95 

i8 

lO 

75,84 

66,85 

8,99 

142,69 

36 

10 

76:^5 

66,^7 

9,98 

142,52 

71 

S 

76,90 

65,70 

II, 2D 

142,60 

360 

r 

77,50 

64.00 

13,50 

141,50 

Diese  Tabelle  giebt  nu  folgenden  Bemerkungen  Anlass 
Ausnahmslos   sieht  man   mit  wachsendem    m    die    mittleren  . 
steigen,  die  E.  abnehmen,  wovon  die  natürliche  Konsequenz  ist,  1 
der  Untfirschied  zwischen  beiden  Extremen  E'  —  E,   mit  waclisendi 
m  wächst,   nur,  wie  man  sieht,  nichts  weniger  als  proportional  1 
m  wächst,  indem  er  z.  B.  bei  »»  =  2  gleich  2,9,  bei  »»  =  360  glei 
13,5  ist.     Auffallig  kann   es  zunächst  scheinen,    dass  die  Sut 
beider  Extreme  mit  wachsendem   m   sich  nur  sehr  unbedeutend   än- 
dert;  und  zwar  besteht,   abgesehen  von   den  kleinen  Unregelmäßig- 
keiten bei   m  =  4  und  72,   welche  als  Sache   unausgeglichener  Zur. 
fälligkeiten  anzusehen,  die  Änderung  in  einer  kontinuierlichen  Abni 
von  E'  4-  E,  bei  wachsendem  m .     Es  ist  aber  dies  so  zu  verstehei 
Natürlich,  wenn  E'  mit  wachsendem  m  wächst,  E,  abnimmt,  ist  1 
gemein  gespi-ochen  die  Möglichkeit  gegeben ,  dass  sich  beides  gerat 
kompensiert,  wo  dann  E'  -\-  E,  bei  wachsendem  m  konstant  bleiben  J 
mlisste,   ein  Fall,   der  abgesehen  von  unausgeglichenen  Zufälligkeiten 
dann  zu  ei-warten,   wenn  Symmetrie  der  Abweichungen  nach  beiden 
Seiten    vom   lU'itbmetischen  Mittel    bestände.     Nun    nähern   sich 
Rekrutemiiaße  einer  solchen,  da  sie   aber  derselben  doch  nicht  f 
entsprechen,  so  *  lUtat  für  £"+  E,  nicht  { 

der  Vor" 


327 

§  140.  [Obsciion  Ulm  die  Werte  obiger  Tabelle  I  eins  AVacLsen 
iler  oberen  Extreme  und  das  Abnefimen  der  unteren  für  wachsende 
m  dentlicb  vor  Äugen  steDen,  eignen  sie  sich  doch  nicht  zur  Be- 
währung der  im  folgenden  (§  141)  aufzustellenden  Extremgesetze. 
Denn  diese  sind  aus  dem  G.  G.  abzuleiten,  das  sich  auf  die  Abwei- 
chungen vom  arithmetischen  Mittel  A  oder  vom  dichtesten  Werte  D 
bezieht,  so  dass  auch  die  Extremliestimmungen  zunächst  die  extremen 
Abweichungen  von  dem  Ausgangswerte  und  nicht  die  extremen  Werte 
E'  und  E,  direkt  betreffen,  Der  hierdurch  bedingte  Unterschied  der 
Bestimmungsweise  erhellt  aus  der  Bemerkung,  dass  E'  sehr  wohl 
unterhalb  des  Ausgangswertes  und  ein  anderes  Mal  umgekehrt  E, 
oberhalb  desselben  liegen  kann,  und  dass  dann  die  Abweichung  jenes 
Extrems  vom  Ausgangswerte  nicht  sowohl  den  Maximalwert  als  \'iel- 
niehr  den  Minimalwert  der  vorkommenden  Abweichungen  darstellt. 
Die  Durch sclmitts werte  obiger  Tabelle  können  daher  nicht  als  Durch- 
schnittswerte der  extremen  Abweichungen  gelten,  da  als  solche  nur 
die  Maxima  der  Aliweicbungswerte  in  Rechnung  zu  ziehen  sind. 
Gegen  diese  Bestimmungsweise  lässt  sich  allerdings  der  Einwand  er- 
heben, dass  tlie  Exti-eme  E'  und  E,  als  solche,  ohne  Kücksicht  auf 
den  als  Ausgangswert  gewählten  Hauptwert,  das  Interesse  erregen 
und  die  Aufstellung  direkt  gültiger  Gesetze  verlangen;  es  kann  aber 
dies  nur  durch  Vermittelung  der  für  die  extremen  Abweichungen 
gültigen  Gesetze  geschehen,  da  das  hierbei  zu  Grunde  zu  legende 
Verteilungsgesetz  sich  auf  Abweichungswerte  bezieht.  Es  sind  darum 
auch  zunächst  die  theoretischen  Bestimmungen  füi'  die  extremen  Ab- 
weichungen empirisch  zu  bewälu^n.] 

[Zu  diesem  Zwecke  müssen  die  Maße  der  Urliste  unter  Beibehal- 
ten der  vorhandenen  Reihenfolge  durch  ihre  Abweichungen  vom  Aus- 
gangswerte ersetzt  werden.  Ist  der  letztere  der  arithmetische  Mittel- 
wert A,  so  treten  die  Abweichungen  J  an  Stelle  der  o,  und  zwar 
entweder  mit  oder  ohne  Scheidung  der  positiven  von  den  nega- 
tiven Ab weichungs werten.  Je  nachdem  das  G.  G.  nur  auf  die  oberen 
resp.  unteren  Abweichungen  allein  oder  auf  beide  gemeinsam  bezogen 
wird.  Beim  Ausgange  von  D  dagegen  sind  die  Abweichungen  ?' 
lind  8,  an  Stelle  der  a  zu  setzen  und  dabei  die  positiven  9'  von  den 


Die  Extremgesetze. 


329 


n.  Anzahlen,  wie  oft  die  extreme  Abweichung  U  in 
n  Fraktionen  mit  je  m  Gliedern  vorkam. 


u 

m  =  i 

m=2 

m  =  3 

m  =  4 

m  =  6 

m=9 

m=i8 

m=36 

m=72 

»1=360 

»1  =  360 

n  =  i8o 

n  =  i2o 

n  =  9o 

n  =  6o 

n  =  40 

n  =  20 

n=  10 

«  =  5 

«  =  1 

0,00 

12 

I 

0,25 

28 

I 

0,50 

25 

4 

0,75 

21 

9 

I 

1,00 

16 

6 

I 

1,25 

31 

II 

4 

1,50 

35 

14 

7 

Ij75 

29 

13 

5 

2 

2,00 

24 

18 

13 

13 

4 

3 

2,25 

23 

12 

9 

s 

2 

2,50 

15 

7 

6 

3 

2 

■ 

I 

2,75 

16 

9 

7 

4 

I 

3»oo 

II 

10 

7 

7 

3 

1 

3,25 

12 

8 

7 

5 

3 

I 

3,50 

5 

4 

4 

4 

3 

3 

3»75 

16 

14 

II 

9 

8 

5 

I 

4,00 

7 

5 

6 

5 

4 

2 

I 

4,25 

10 

10 

10 

9 

8 

6 

3 

• 

4,50 

4 

4 

3 

3 

3 

3 

I 

4,75 

3 

3 

3 

3 

3 

2 

2 

5,00 

5 

5 

5 

5 

5 

4 

2 

2 

5,25 

6 

6 

6 

6 

5 

4 

4 

3 

2 

5,50 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

5,75 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

6,00 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

6,25 

— 

— 

6,50 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

6,75 

7,00 

7,25 

1 

1 

— 

7,50 

— 

7,75 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

Diese   Reihen,    welche  Verteilungstafeln    für   die   extremen  Abwei- 
ebungen  darstellen,  lassen  schon  durch  das  successive  Vorrücken  der 


330 


Die  Kxtrem)[eseUe. 


ch  folgende  I 


kleinsten  Werte  das  Anwaclisen  der  Extreme  bei  wacLseudem  i 
kennen.  Eine  genauere  Vorstellung  hiervon  gewährt  jedoch  folgende 
Zusammenstellung  von  mittleren  Werten  der  f,  als  welche  das  arith- 
metische Mittel  Va,  der  Zenti-alwert  C,  und  der  dichteste  Wert  Ü^ 
dienen  sollen: 

ETI.    Dio  mittleren  Werte  r„,   U,  und   Uä  der  extremen 

Abweichungen  aUM   /H-gliedrigen   Fraktionen. 


m  =  i 

m  =  . 

m 

=  3!  '"  =  4 

n, 

=  6 

pn  =  9 

m  =  i8 

"1=36 

....=3. 

c. 

3,00 

2,72 

3. 

S7 

3.6"     4, 

10 

4,39 

S,>4 

5,7S 

6,.5 

7,75 

u^ 

1.73 

2,41 

3. 

16 

3.65  1  4> 

13 

4.33 

5.'3 

5.50 

6,00 

7,75j 

t/* 

hSo 

2,00 

z. 

30 

2,00 

4. 

DO 

4.»5 

S.aS 

S-»S 

S.^S 

7,7SJ 

Hierzu  ist  zu  bemerken,  dass  U^  durch  einfache  laterpolatioH'S 
Ua  aber  als  derjenige  Wert  bestinmit  wurde,  auf  den  die  größte  An- 
zahl der  U  fiel ;  nur  für  in  =  6  wurde  das  Mittel  der  beiden  Werte 
genommen,  die  gemeinsam  die  Maximalzahl  8  besitzen.  Von  dem 
unsicher  bestimmten  dicJiteaten  Werte  abgesehen,  lassen  diese  Werte 
ein  ständiges  Anwachsen  bei  wachsendem  rti  bemerken.  Doch  nimmt., 
auch  Uj  nicht  ah,  sondern  behält  nur  zweimal  für  je  drei  aufein 
derfolgenÜe  m  seinen  Wert.] 

^Hätte  man  die  oberen  von  den  unteren  Abweichungen  getreni 
statt  beide  in  einer  Reihe  zu  vereinigen,  so  wären  an  Stelle 
einen  Tabelle  II  zwei  Tabellen  getreten,  die  eine  für  die  ^', 
andere  für  die  ^,;  da  indessen  die  Gesamtzahl  der  Abweichunj 
für  jede  einzelne  sich  etwa  auf  die  Hälfte  vennindert  hätte, 
die  Unsicherheit  der  Bestimmungen  wesentlich  größer  gewordei 
Hätte  man  femer  D  an  Stelle  von  A  als  Ausgangswert  gewählt,  1 
wäre  eine  Trennung  der  Reihe  von  Ah w eich ungs werten  in  eine  I 
der  9'  und  eine  solche  der  &,  prinzipiell  zu  fordern  gewesen.] 

g  141.  [Um  diesen  emprischen  Werten  theoretische  Bestä 
mungen  zur  Seite  zu  stellen,  ist  das  Wahrscheinlichkeitsgesetz  H^CH 
abzuleiten,  das  angleht,  mit  welcher  W.  unter  7«  Abweichungswerten 
der  extreme  Wert  U  zu  erwarten  ist.  Soll  aber  (■  den  extremen 
Weit  darstellen,    so   muss    eine   der   111  Abweichungen   jenen  Wert 


M 


Die  Extremgesetze.  331 

haben,  während  die  in  —  i  übrigen  beliebige  Werte  zwischen  o  und 
U  annehmen  können.  Das  Gresetz  W[U]  drückt  somit  die  W.  aus, 
dass  von  m  Abweichungen  irgend  eine  gleich  ü  sei  und  die  übrigen 
zwischen  den  Grenzen  o  und  U  sich  halten.] 

lEs  ist  nun,  wenn  die  absoluten  Werte  der  Abweichungen  durch 
0  bezeichnet  werden,  die  W. ,  dass  eine  Abweichung  zwischen  die 
unendlich  nahen  Grenzen  0  und  0-|-d0  falle,  gleich: 

Tr;©]=4iexp[— Ä*0»]d0.  (i) 

Dabei  ist  es  gleichgültig,  ob  beim  Ausgange  vom  arithmetischen  Mittel 
die  beiderseitigen  Abweichungen  +  J  und  —  J  oder  beim  Ausgange 
vom  dichtesten  Werte  die  einseitigen  Abweichungen  d'  resp.  d,  unter 
den  0  zu  verstehen  sind;  wofern  nur  im  ersteren  Falle  A=  i  :  jjVtt, 
im  letzteren  Falle  A  =  i  :cy7c  resp.  =  i  : CfV7c  gesetzt  wird,  wo  ij 
den  Mittelwert  der  J^  c  resp.  c,  den  Mittelwert  der  d'  resp.  d,  dar- 
stellt. Soll  daher  von  den  m  Abweichungen  0,  ,  0^  ...  0,„  bei- 
spielsweise die  erste  gleich  U  und  jede  folgende  kleiner  oder  höchstens 
gleich  V  sein ,  so  besteht  für  jene  erste  die  W. : 

4iexp[-A"f7=jdC7 

YTt 

und  für  jede  folgende  die  W. : 

2h       '' 


^  rexp[-A"0»]  d0  =  a)[Afr| 

7t  J 


Die  W.  für  das  ZusanmientrefiPen  von  m  Abweichungen,  von  welchen 
die  erste  gleich  U  ist,  und  jede  folgende  einen  beliebigen  Wert  zwi- 
schen o  und  U  besitzt,  ist  somit  gleich: 


m — I 


~i  exp[- A» TP] dU'0[hU] 
y7t 

Eben  dieser  Wert  bestimmt  jedoch  in  gleicher  Weise  die  W.,  wenn 
statt  der  ersten  Abweichung  eine  der  folgenden  gleich  U  gesetzt  wird, 
und  jedesmal    die  w  —  i   übrigen   dem  Wertenbereiche  zwischen  o 


332  I)ie  Extremgesetze. 

und  ü"  angehören.  Es  wird  folglich  die  W.,  dass  von  m  Abweichungen 
irgend  eine  gleich  TJ  sei,  und  die  übrigen  zwischen  den  Grenzen  o 
und  TJ  sich  halten  oder  —  mit  anderen  Worten  —  die  W.,  dass  ZT 
der  extreme  Wert  unter  in  Abweichungen  sei,  durch: 

Tr[l7]  =  wa)[q'"-'.-^exp[— ^»]d^,  wo  t  =  hU,  (2) 

\7t 


dargestellt.    Da 


2 


=  exp[— ^»]d^  =  da)[q, 


so  kann  man  auch: 

WiU]  =  dO{fr\  (t  =  hU)  (3) 

setzen.] 

[Aus  letzterer  Darstellungsform  ist  ersichtlich,  dass  das  Integral 
über  W\U]  unmittelbar  angebbar  ist  Dieses  Integral,  zwischen  be- 
stimmten Grenzen  genommen,  drückt  aber  die  W.  aus,  dass  die 
extreme  Abweichung  zwischen  jene  Grenzen  falle.  Es  ist  daher  die  W., 
dass  die  extreme  Abweichung  kleiner  als  U^  =  t^:h  und  größer  als 

U^  =  t^:hy  gleich: 

<l>[Q"'-0[tJ\  (4) 

so  dass  insbesondere  die  W. ,  dass  V^=t:h  die  obere  resp.  untere 
Grenze  der  Extreme  sei,  durch: 

(D[fr  resp.  I  —  a)[#]'" 
bezeichnet  wii-d.] 

[Bestimmt  man  nun  einen  Wert  Uc  =  tc'.h  der  Art,  dass 

0[tcr  =  I  -  Ö>  [tcT  oder  O  [U]  =  VT,  (s) 

so  ist  es  gleich  walirscheinlich ,  bei  Bestimmung  des  Extrems  von  m 
Abweichungen  einen  größeren  oder  einen  kleineren  Wert  als  Ue  zu  er- 
halten. Es  wird  demzufolge  Uc  den  Zentralwert  oder  wahrscheinlichen 
Wert  bei  vielfach  wiederholter  Bestimmung  der  extremen  Abweichung 
darstellen,  dessen  Abhängigkeit  von  7?i  die  Formel  (5)  angiebt,  und  des- 
sen Zahlenwerth  für  ein  gegebenes  m  mittelst  der  ^Tabelle  zu  finden 
ist.   Aus  folgender  Zusanmienstellung  der  zusammengehörigen  m  und 


Die  Extremgesetze. 


333 


tc  für  einige  Werte  von  m  ist  das  Wachstum  dieses  Zentralwertes 
bei  wachsendem  m  zu  ersehen.] 


m 

tc 

1 

m 

<c 

m 

tc 

I 

0,4769 

9 

1,2628 

500 

2,2611 

2 

0,7437 

18 

1,4689 

1000 

2,3988 

3 

0,8936 

3^ 

1,6576 

5000 

2,6946 

4 

0,9957 

72 

1,8319 

lOOOO 

2,8134 

6 

1,1330 

360 

2,1933 

[Neben  dem  Zentralwerte  ist  es  von  Interesse,  denjenigen  Wert 
zu  kennen,  der  als  Einzelwert  die  größte  W.  besitzt.  Er  giebt  sich 
bei  hinreichend  oft  wiederholter  Bestimmung  des  Extrems  von  m  Ab- 
weichungen als  dichtester  Wert  kund  und  wird  theoretisch  als  Ma- 
ximalwert von  W[U\  bestimmt.  Er  genügt  somit  für  t  =  hU  der 
Gleichung: 

(^iexp[-  n  -  t0[t])  ^0[t]'^exp[-ndt  =  o, 


oder: 


texp[t'']0{t)  = 


m  —  I 


(6) 


und  soll  durch  Ud  =td:h  bezeichnet  werden.  Die  Berechnung  von 
td  aus  der  Gleichung  (6J  für  ein  vorgelegtes  m  ist,  wie  diejenige  von 
te,  mittelst  der  ^-Tabelle  vorzunehmen.  Man  findet  so  folgende  zu- 
sammengehörige Werte  von  7n  und  td'. 


m 

td 

m     td 

m 

td 

I 

0,000 

9 

1,194 

500 

2,203 

2 

0,620 

18 

1,404 

1000 

2,342 

3 

0,801 

36 

1,594 

5000 

2,641 

4 

0,914 

72 

1,770 

lOOOO 

2,761 

6 

1,060 

360 

2,134 

Dieselben  zeigen,  daß  td<itc^  also  auch  Ud  unterhalb  Tic  liegt,  dass 
aber  bei  wachsendem  m  diese  Werte  sich  einander  nähern.] 


334 


Die  ErtremgeaetM. 


[ScJjließlich  kann   .luch   der  urithmetische  Mittelwert   der  extr 
men  Abweicliungen  Ijestimmt  wiTden.    Nennt  man  ihn  r„,  so  erhält 
man  aus  (2): 

i^.=fu-  wir]  =  -^fi-o[fj-'->-'M-n<it        (7i 


oder  —  nach  pailieller  Integi-ation  — 


expl- 


3  f]lll. 


(8) 


Piir»n:=i  restiltiertaiia(7]  Ug^i-JiYn  A.  i.  der  einfache  Mittelwert  der 
Abweichungen  selbst.  Für  m  =  2  gewinnt  man  aus  (8)  Ug^=Yz:hy}i:. 
d.  i.  den  mit  Yi  =  1,4142  multiplizierten  Mittelwert  der  Abwei- 
chungen selbst.  Für  grt>Bere  m  kann  Q>[/]  nach  §  118  in  Reihen- 
form  dargestellt  und  somit  auch  Va  in  eine  ßeibe  entwickelt  werdfl) 
Beispielsweise  gelangt  man  auf  diesem  Wege  füi-  wi^3  zu: 


r„  =  - 


yrarctg(^)  = 


^^   2"(2«-j-  1)' 


,-  bVz         ,      I  1,6623 

Ua  —  — -1=  arctg  — ^  ==  -^^  ■ 

Es  wird  somit  fn  gleicli  dem   mit   1,6623   multiplizierten  Mittelwert« 
der  Abweichungen  selbst.] 

[Jeder  einzelne  von  den  rlrei  Werten  1%,  U^  und  l\  stellt  in 
besonderer  Weise  die  Abhängigkeit  der  extremen  Abweichungen  von 
der  Anzahl  m  der  Abweichungen,  aus  welchen  die  Bestimmung  er- 
folgt, vor  Augen.  Es  ist  jedoch,  wenn  es  gilt,  die  theoretischen 
Werte  mit  den  empirischeu  zu  vergleichen,  ebensowohl  die  Sicherheit 
der  empirischen  Bestimmung  als  auch  die  Leichtigkeit  der  theoreti- 
schen Berechnung  zu  berücksichtigen  und  mit  Rücksicht  hierauf  zu 
erwägeil,  welcher  von  den  drei  Werten  den  gi-ößten  Vorteil  bietet. 
Nun  ist  die  Bereclinujig  des  theoretischen  Wertes  von  l'c  bequemer 


Die  ExtremgeseUe. 


335 


als  diejenige  von  TJi  oder  von  Uaj  bezüglich  der  empirischen  Be- 
stimmung steht  aber  TJi  hinter  Uc  und  TJa  an  Sicherheit  zurück, 
während  Uc  und  Ua  im  allgemeinen  gleiches  Zutrauen  verdienen. 
Man  wird  sich  daher  mit  Vorteil  des  Zentralwertes  Uc  zum  Vergleiche 
der  Theorie  mit  der  Erfahrung  bedienen.] 

[Für  die  Rekrutenmaße,  für  welche  die  empirisch  bestimmten 
Werte  von  Ue  in  Tab.  HI  verzeichnet  sind ,  führt  dieser  Vergleich 
zu  folgenden  Resultaten,  wobei  der  Mittelwert  i;  der  einfachen  Ab- 
weichungen nach  §65  gleich  2,045,  ^Iso  i :  A  =  i^|/7r  =  3,625  ge- 
setzt ist: 


IV.   Vergleich  der  theoretischen  Werte  von  Uc  mit  den 
empirischen,  aus  w-gliedrigen  Fraktionen  bestimmten. 


m 

Uc 

thcor.         empir. 

Diff. 

9 
18 

36 
72 

360 

4,58 
5,32 
6,01 
6,64 

,    7,95 

4,33 

5,13 

5,50 
6,00 

7,75 

—  0,25 

—  0,19 

—  0,51 

—  0,64 

—  0,20 

Man  wird,  insbesondere  in  Anbetracht  der  geringen  Anzahl  von  360 
Werten,  die  der  empirischen  Bestimmung  unterliegen,  die  Überein- 
stimmung der  theoretischen  und  empirischen  Werte  ohne  Zweifel  be- 
friedigend finden,  so  dass  liiemach  das  aufgestellte  Wahrscheinlich- 
keitsgesetz durch  die  Erfahrung  bestätigt  wird.] 

§  142.  [Die  wichtigsten  Folgerungen  aus  den  vorstehenden  Ent- 
wicklungen sind  diese: 

i)  Ist  ein  K.-G.  mit  wesentKcher  Asymmetrie  —  wie  als  Regel 
vorauszusetzen  —  vorgelegt,  und  hat  das  zweiseitige  G.  G.  für  den- 
selben Geltung,  so  besteht,  wenn  f=  U':  cYn  gesetzt  wird,  die  W. : 


inp 


V 


7t 


©[^T"' exp  ^- r]  df  =  d<2)[f  ] 


n»»' 


(9) 


dafür,  dass  der  extreme  Wert  der  tn'  oberhalb  D  gelegenen  Abwei- 
chungen gleich  U'  und  mitliin  das  obere  Extrem  selbst  gleich: 


336 


Die  ExtremgeBetxe. 


sei.    In  entsprechender  Weise  besteht  die  W. : 


{9a) 


2  in, 


O  [t,]"^'-'  exp  [—  t,^]  dt,=  dO  [t,] 


tn 


{10; 


dafür,  dass  t^,=  t,c,y7t  der  extreme  Werth  der  tn,  unterhalb  D  ge- 
legenen Abweichungen  oder  das  untere  Extrem  selbst  gleich 

£•  =  2)  —  t^;  =  D  —  t,c,yn  (loa) 

sei.  Ist  es  nun  möglich,  in  fortgesetzter  Wiederholung  immer  wieder 
tn'  oberhalb  und  fn,  unterhalb  D  gelegene  Exemplare  des  vorliegen- 
den K.-G.  nach  Zufall  auszuwählen,  so  wird  der  Zentralwert  der 
auf  diese  Weise  entstehenden  oberen  und  unteren  Extreme  durch: 


/ — 
E'  =  D  +  fcyä\  wo  0[f]=y^- 

mm 

—  **■/ — 

E,  =  D- t,c,y 7t ;  wo  ©M  =  y-- 

der  dichteste  Wert  durch: 

E'=D  +  fc'y^;  wo  f  exp[f '] 0[f]  =  ^^1^ 

E,  =  D-t,c,y^;  wo  t,exp[t,']0[t,]==^^ 
der  arithmetische  Mittelwert  durch: 

E  =  I)->r  fc'YÜ;  wo  f=  ^^'' ^ ~ -/  Olff  exp[— 2  f']df 


("i 


12) 


(13) 


E,=  D-  t,c,Y;^;  wo  t,=  ''"'^"^'-'^foitr^expi-ztndt, 

o 

sich  darstellen  lassen.] 

[2)  Da  mit  wachsenden  ;//'  und  ^i,  die  ihnen  nach  obigen  Formeln 
zugehorenden  Werte  f  und  f,  wachsen,  so  besitzen  zunächst  die  Dif- 
ferenzwerte f —  t,  und  ffi'  —  fu'  gleiches  Vorzeichen;  da  femer  nach 
dem  Proportionalgesetze  auch  c  —  c,  das  gleiche  Vorzeichen  wie 
fn' —  iHf  hat,    so  gilt  dasselbe  von  den  Differenzen  c' f — c,tf  und 


Die  Extremgesetze.  337 

m!  —  f», .  Die  Asymmetrie  der  extremen  Abweichungen  bez.  D  hat 
somit  die  nämliche  Bichtimg  wie  die  Asymmetrie  der  Abweichungs- 
zahlen  bez.  Z>.  Will  man  dieses  Gresetz  auf  die  Abweichungen  bez. 
des  arithmetischen  Mittels  A  übertragen ,  so  gelangt  man  zu  dem  in 
§  33  unter  7)  an  zweiter  Stelle  angegebenen  Umkehrgesetze  auf  Grund 
folgender  Überlegung.  Da  die  extremen  Abweichungen  groß  sind 
und  relativ  großen  Schwankungen  unterliegen,  ist  die  Annahme  ge- 
stattet, dass  die  Differenz  der  Abweichungen  ihr  Vorzeichen  nicht 
ändere,  wenn  man  von  2)  zu  dem  relativ  nahen  Werte  A  übergeht. 
Die  Differenz  der  Abweichungszahlen  bez.  A  hat  aber  das  entgegen- 
gesetzte Vorzeichen  wie  die  Differenz  der  Abweichungszahlen  bez.  D. 
Es  hat  somit,  sofern  jene  Annahme  zutrifft,  der  Unterschied  der 
extremen  Abweichungen  bez.  A  das  entgegengesetzte  Vorzeichen  wie 
der  Unterschied  zwischen  den  Abweichungszahlen  bez.  A,  In  der 
That  findet  dieses  Umkehrungsgesetz  z.  B.  in  den  Tabellen  HI  und 
IV  des  XXV.  Kapitels  für  die  Glieder  der  Roggenhahne  (mit  nur 
einer  Ausnahme  unter  15  verschiedenen  Fällen)  seine  Bewährung. 
Dasselbe  kann  jedoch  bloß  als  ein  empirisches  Gesetz  gelten,  das  für 
den  Fall  wesentlicher  Asymmetrie  in  der  B,egel  zutrifft.  Bei  unwe- 
sentlicher Asymmetrie  hingegen  dürfte  es  seine  Geltung  nicht  mehr 
behaupten  (vergl.  §  181.)] 

[3)  Verschwindet  die  Asymmetrie  des  K.-G.,  so  sind  auch  für 
die  extremen  Abweichungen  prinzipiell  gleiche  Werte  zu  fordern,  als 
deren  Ausgangswei-t  nunmehr  das  mit  D  zusammenfallende  A  unter 
Beiziehung  des  einfachen  G.  G.  an  Stelle  des  zweiseitigen  zu  gelten 
hat.  Für  diesen  Fall  bleiben  die  unter  i)  angegebenen  Formeln  be- 
stehen, wenn  nur  ^  und  ^n^  durch  \m  und  c'  sowie  c,  durch  das 
für  beide  Seiten  in  gleicher  Weise  gültige  y]  ersetzt  wird.  Da  sich 
aber  für  wesentliche  Symmetrie  das  Verteilungsgesetz  bei  Zugrunde- 
legen des  Gesamt -//^  auf  beide  Seiten  von  A  gemeinsam  bezieht,  so 
ist  es  zutreffender,  die  positiven  und  negativen  Abweichungen  ge- 
meinsam der  Extrembestimmung  zu  unterwerfen,  was  zu  folgenden 
Aufstellungen  führt.     Setzt  man  t=U:  riYjc  ^  so  besteht  die  W. : 

-^ (D  [ff-'  exp  [-  t^]dt  =  dO[tY'  (14) 

Fkcbubb,  KollektiTxnaßlehre.  22 


338  I^ie  Extremgesetze. 

dafür,  dass  der  extreme  Wert  der  Abweichungen  ±J  bez.  A  gleich 
U  sei.  Es  bleibt  jedoch  unentschieden,  ob  Z7  im  positiven  oder  im 
negativen  Sinne  dem  Ausgangswerte  beizufügen  sei.  Es  lässt  sich  da- 
her nur  sagen,  dass  alsdann  entweder 

E'  =  A+TJ=A+triy^  oAqt  E,=  A  —  U=A  —  tri]/^   (14a) 

ist,  und  zugleich  im  ersteren  Falle  E,  oberhalb  A—U,  im  letzteren 
Falle  E'  unterhalb  A  +  U  bleibt.  Entsprechende  Bemerkungen  sind 
auch  bezüglich  der  Hinzufügung  der  gemäß  den  Formeln  (5),  (6)  und  (8) 
zu  bestimmenden  mittleren  extremen  Abweichungswerte  Uc,  Ud  und  Ua 
zum  Ausgangswerte  zu  machen.  Denn  man  erhält  hierdurch  nicht 
die  mittleren  Extreme  selbst,  sondern  nur  eine  obere  resp.  untere 
Grenze  für  das  obere  resp.  untere  mittlere  Extrem.] 


XXI.  Die  logarithmische  Behandlung  der 
Kollektivgegenstände. 


§  143.  [Die  bisher  allciD  berücksichtigte  arithmetische  Behand- 
lung der  K.-G.  hat  zur  Voraussetzung,  dass  die  Maße  eine  geringe 
Terhsltmsmäßige  Schwankung  um  die  Hauptwerte  besitzen.  Es  giebt 
aber  auch  K.-G.,  wie  die  Dimensionen  der  Galleriegemälde  und  die 
täglichen  Regenhöhen,  die  nach  emer  Bemerkung  des  IV.  Kapitels 
im  Verhältnis  zu  den  Hauptwerten  eine  sehr  starke  mittlere  Abwei- 
chung bieten,  wodurch  sie  der  Anwendung  der  arithmetischen  Be- 
handlungs weise  sich  entziehen,  dagegen  der  logarithmischen  Behand- 
lung sich  zugänghch  zeigen  und  eine  durchschlagende  Bewährung  des 
logarithmischen  Verteil ungsgesetzes  ermöglichen.] 

[Hieraus  erri'ächst  die  Aufgabe,  in  Ergänzung  des  bereits  im 
V.  Kapitel  (§  35  tmd  36)  Gesagten  auf  die  logarithmische  Behand- 
lung überhaupt  nälier  einzugehen.  Dort  wurden  die  allgemeinen  Ge- 
sichtspunlcte  entwickelt,  die  es  gelioteu  erscheinen  lassen,  das  Vertei- 
lungsgesetz der  K.-G.  prinzipiell  vielmehr  auf  Verhältnisabweichuiigen 
als  auf  arithmetische  Abweichungen  zu  beziehen,  woraus  uimiittelbar 
die  Folgerung  sich  ergab,  dass  dem  G.  G.  statt  der  arithmetischen 
©  ^  a  —  ff  die  Logaritluuen  der  Verhältnisahweichungen  tp^a:  H. 
nämlich  log  1/»  =  log  o  —  logS',  zu  Grunde  zu  legen  seien.  Auch 
wurde  dort  die  Anwendung  der  logaritlmiisclien  Behandlung  der 
Hauptsache  nach  schon  mitgeteilt  und  die  Bezeiclmungsweise  fest- 
Demgemäß  ist  allgemein: 


I gesetzt.     Demgemäß  ist  a1 
a  =  Ioga;    f''^^'-,    ^'= 
^,  =  log- 


log  ip'  =  \o 


g^;     -/',= 


(>) 


340 


Logarithmiscbe  Behandlting. 


zti  setzen   und  insbesondere  der  dichteste  Wert  der  a  diucli  S>,  Da 
aritlimetisches  Mittel  durch  S   und  ihr  Zentralwert  duich  <?  zu  b&>l 
zeichnen,   wälirend  die  oberen   und  unteren  Abweichungszahlen  undi 
mittleren  Abweichungen  bez.  il>  in  gleicher  "Weise  »ne  bez.  D  durch  1 
*»',  tti,  und  c',  c,  anzugeben  sind,  so  dass: 


2X- 


(')d 


Will  man  ferner  Ton  den  logarithmischen  Werten  zu  den  Zahlwerteal 
übergehen,   die  ihnen  nach  den  Logarithraentafeln  zngehören,   so 

£>  =  log  ^;    i?  =  log  C ;   S  =  log  G  [3)  I 

vorauszusetzen.  Es  bezeichnet  alsdann  -^  den  dichtesten  Verhältnis-  J 
wert  der  n,  der  von  dem  aritlimetisch  flichtesten  Werte  D  verschi&-J 
den  ist;  C^  stimmt  mit  dem  arithmetischen  Zentralwerte  Uberein;  und'i 
Q  stellt  das  geometrische  Mittel  der  a  dar.  Mit  dem  Hinweis  auf  f 
diese  Festsetzungen  und  Entwicklungen  des  angegebenen  Kapitelftl 
verbindet  sich  aber  die  Verpflichtung,  was  dort  nur  in  Aussicht  f 
stellt  wm-de,  hier  durchzufülireu.  Es  müssen  danun  einesteils  dia  ^ 
empirischen  Belege  dafür  erbracht  werden,  dass  in  der  That  der  Voi 
teil  der  logarithinisclien  Behandlung  für  K.-G.  mit  starker  verhält-J 
nismäßiger  Schwankung  entschieden  hervortiutt.  Anderenteils  gilt  es,  \ 
die  füi-  die  logarithmischen  Abweichungen  der  a  und  ihre  Haupt- 
werte iD,  <3,  ä  auf  G-rund  des  zweispaltigen  G.  G.  unmittelbar  gel- 
tenden Bestimmungen  auf  die  Verlialtni  sab  weichungen  der  a  und  ihre  J 
Hauptwertc  oT",  C,  0  zu  übeiiragen  und  durch  Ableitung  der  theo-  1 
retisch  gültigen  Beziehung  zwischen  dT"  und  D  einen  Zusammenhang  J 
zwischen  der  logarithmischen  und  arithmetischen  Behandlung  herzu-  ( 
stellen."! 

[Hierbei  ist  das  logaiithmische  Verteilungsgcsetz  selbst  als  eiftJ 
bei  starker  Schwankung  hinreichend  sich  bewährendes  ErfahnrngarJ 
gesetz  anzusehen,  das  bei  schwacher  Schwankung  in  das  gewöhnllcbal 
arithmetische  Gesetz  übergeht.  Jenes  bedarf  daher  sowenig  wie  die-J 
ses  vom  empirischen  Standpunkte  aus  einer  weiteren  Begründung.  ' 
Nachdem  aber  im  Zusätze  zum  XIX.  Kapitel  eine  Hj'pothese  betreu  -j 
der  Entstehungsweise    der  K.-G.    aufgestellt    worden,    aus    der  das  ] 


Logarithmische  Behandlung.  341 

zweiseitige  G.  G.  für  arithmetische  Abweichungen  approximativ  sich 
ergab,  erscheint  es  geboten,  jene  Hypothese  so  zu  modifizieren,  dass 
aus  ihr  auch  für  logarithmische  Abweichungen  das  Verteilungsgesetz 
in  entsprechender  Weise  folgt  Dies  soll  im  Zusatz  zu  diesem  Ka- 
pitel geschehen.] 

§  144.  [Um  den  Vorzug,  den  die  logarithmische  Behandlung 
gegenüber  der  arithmetischen  bei  starker  Schwankung  besitzt,  vor 
Augen  zu  stellen,  entnehme  ich  jedem  der  oben  genannten  K.-G., 
den  Dimensionen  der  Galleriegemälde  und  den  täglichen  Begenhöhen, 
ein  Beispiel  und  teile  die  Resultate  für  beide  Behandlungsweisen  mit.] 

[Aus  den  Katalogen  der  älteren  Pinakothek  zu  München  und 
der  Gemäldesammlung  zu  Darmstadt  ergaben  sich  die  Maße  von  253 
Grenrebildem,  deren  Höhendimensionen  in  eine  primäre  Verteilungs- 
tafel gebracht  wurden.  Als  Maßeinheit  wurde  das  Zentimeter  gewählt 
Das  kleinste  Maß  fand  sich  gleich  13,  das  größte  gleich  265,  das 
arithmetische  Mittel  A^  gleich  54,4  und  der  Zentralwert  C,  gleich 
44,2  cm.  Hieraus  wurde  eine  reduzierte  Tafel  gewonnen,  in  welcher 
die  Maße  für  je  10  cm  zusammengefasst  wurden.  Dieselbe  fiihrte 
bei  arithmetischer  Behandlung  nach  dem  zweiseitigen  G.  G.  zu 
folgenden  Ergebnissen: 


342 


Logarithmische  Behandlung. 


I.   Höhendimension  der  Genrebilder  in  arithmetischer 

Behandlung. 

m  =  253;  i  =  io;  -4^=54,4;  S=icm. 


r§ 

1 

B 

\» 

empir. 

theor. 

— 

I 

15 

13 

15 

25 

41 

38 

35 

54 

39^) 

45 

43 

36 

55 

22 

31 

65 

20,S 

26 

75 

15 

21 

85 

10 

16 

95 

8,5 

II 

105 

S 

8 

"5 

3 

S 

"5 

6 

3 

135 

3 

2 

145 

5 

I 

155 

0 

165 

I 

195 

I 

235 

I 

265 

I 

— 

A'  = 


A,= 


A 

55,3 

c. 

44,3 

A 

— 

35,4 

A 

=r 

24,9 

"ftt 

220 

in. 

' 

33 

c' 

' 

35,8 

<^f 

5,4 

I 

:  =0,016 

d 

|/^ 

hV^ 


=  0,104 


i)  [Hier  f&Ut  das  Maximum  der  theoretischen  Werte  nicht  auf  das  Intervall 
20—30,  welches  den  dichtesten  Wert  Dp  einschließt  Dies  wird  jedoch  nur  durch 
die  obige  intervallweise  Zusammenfassung  der  z  bedingt  In  der  That  findet  man 
bei  anderer  Zusammenfassung  beispielsweise: 


Intervalle 


20 — 24 
24—28 
a&— 32 


14,0 

15,9 
15,8 


80  dass  ein  geringer  Überschuss  dem  Intervall  24 — 28  mit  dem  dichtesten  Werte  24,9 


Logarithmische  Behandlung. 


343 


Ersetzt  man  aber  in  der  primären  Tafel  die  o- Werte  durch  die 
logarithmischen  Werte  a  =  log  a,  die  nunmehr  zwischen  den  Grenzen 
a  =  1 ,1 1  und  a  =  2,^2  variieren,  und  wählt  man  ein  reduziertes  Inter- 
vall von  der  Größe  o,o8,  so  erhält  man,  wenn  diese  Tabelle  der  a 
ganz  ebenso  behandelt  wird  wie  die  vorige  Tabelle  der  a,  folgende 
Resultate : 


n.  Höhendimension  der  Genrebilder  in  logarithmischer 

Behandlung. 

^•  =  o,o8;  7n  =  253. 


empir. 


theor. 


1,04 

^^— 

0,5 

1,12 

4 

1,5 

1,20 

5 

4 

1,28 

5 

10 

1,36 

19 

18 

1,44 

22 

27 

1,52 

38 

32 

1,60 

32 

32 

1,68 

31 

30 

1,76 

26 

26 

1,84 

18 

22 

1,92 

19 

17 

2,00 

13 

12 

2,08 

9 

8,5 

2,16 

8 

5,5 

2,24 

I 

3 

2,32 

I 

2 

2,40 

2 

I 

2,48 

I 

ß   — 

1,669 

G  = 

=  46,7 

(P  — 

1,644 

C  = 

=  44,1 

5>,= 

1,538 

<^  = 

=  34,5 

5),= 

1,549 

<^p  = 

=  35,4 

fn   — 

165 

fn,  — 

88 

cf    — 

0,256 

c,    — 

0,136 

Ä'  = 

I 

.  _  / — 

=  —  2,; 

204 

h,= 


cYtc 
I 


'.V 


TT 


=  4,148 


Vergleicht  man  nun  beide  Tabellen,  so  tritt  der  Vorteil  der  logarith- 
mischen Behandlung  entschieden  zu  Tage.  Denn  in  der  arithmeti- 
schen Tafel  ist  die  Summe  der  absoluten  Differenzen  zwischen  em- 
pirischen und  theoretischen  Werten  gleich  74;  in  der  logarithmischen 
Tafel  dagegen  nur  gleich  37,  also  genau  halb  so  groß.     Es  weichen 


LogBritbnüwbc  Beboiidluiig. 

ferner  der  empiriBche  und  der  theoretische  dichteste  Wert,    D,  • 
Dp,  ran  io,5  Einheiten  von  einander  ab;  während  die  mit  jenen  ^ 
gletchharen  Wert«  J?T  und  iß],  nur  um  0,9  sieh  unterscheiden, 
ist  zu  erwähnen,  dasa  der  arithmetisch  bestimmte  Quotient 


-D 


(Inm  Wert  0,64 ,  der  logarithmisch  bestimmte  Quotient 


den  Wert  0,792  darstellt,  so  dass  jener  ganz  ausserhalb  der  theore- 
tischen Gi-enzen  von  p,  d.  i.  0,785  und  0,845,  fällt,  während  dieser 
dem  durch  die  /c-G-esetze  geforderten  Werte  J/c  =  0,785  innerhalb 
jener  Grenzen  selir  nahe  kommt.  All  dies  zeigt,  dass  in  der  That  die 
arithiuetisclie  Behandlung  hier  versagt,  die  logarithmische  dagegen 
sich  bewährt  Dabei  ist  zu  beachten,  dass  trotz  des  geringen  m  der 
empirischen  Tafel  ilie  lienorgehobenen  Beziehungen  für  die  Dimen- 
sionen der  Grenrebilder  als  typisch  zu  gelten  haben.] 

[Als  Beispiel  fiir  die  täglichen  Regenhöhen  sollen  die  in  Genf 
wälu-end  der  Jahre  1845  —  1892  im  Monat  Januar  gefallenen  Regen- 
mengen (geschmolzener  Schnee  oder  Regenj  dienen,  die  in  den  meteo- 
rologischen Tabellen  der  Biblioth&que  Universelle  de  Gen^ve  (Arehivea 
des  Sciences  Phys.  et  Nat.)  unter  der  RubrÜc  »Eau  tomb^e  dans  les 
24  heures«  vei7.eichnet  sind.  Die  Gosamtzald  der  Regentage  während 
des  bezeichneten  Zeitraumes  von  48  Jahren  beträgt  477;  für  jeden 
derselben  sind  die  RegeiUiohen  bis  auf  Zehutehnilümeter  angegeben. 
i6  Regentage  sind  mit  0,0  mm  verzeichnet;  die  größte  Regenhöhe 
ist  gleich  40,0;  das  arithmetische  Mittel  A,  gleich  4,45;  der  Zentral- 
wert  C,  gleich  2,24  nun-  Aus  der  primären  Vcrteilungstafel  wurde 
?  reduzierte  Tafel  mit  dem  Intervall  /  =  i  mm  hergestellt,  die  bei 
(uithmctischer  Behandlung  folgende  Werte  ergab: 


Logaritiunische  Behandliing. 


345 


in.    Die  Regenhöhen  des  Monats  Januar  für  Genf 

in  arithmetischer  Behandlung. 

^  =  477;  i=i\  -4,  =  4,45;  <S=imm. 


a 

s 

emp. 

theor. 

0,5 

133 

67 

1.5 

88 

65 

2,5 

43,5 

61 

3,5 

28 

56 

4,5 

27 

49 

5,5 

28 

42 

6,5 

27,5 

35 

7,5 

»4,5 

28 

8,5 

16 

22 

9,5 

",5 

16 

10,5 

12 

12 

",5 

10 

8 

12,5 

6,5 

6 

13,5 

5,5 

4 

14,5 

3 

2 

15,5 

3 

2 

16,5 

2 

I 

17,5 

5 

^ 

18,5 

I 

19,5 

3 

20,5 

0 

21,5 

3 

22,5 

0 

— 

23,5 

2 

28,5 

I 

1 

30,5 

I 

— 

32,5 

I 

40,0 

I 

C       = 

c,     = 
fn'  = 


4,49 
2,40 

0,75 

O- 

A 

O 

m 


hf  = 


I 


iy7t 


=  0,126 


Wie  man  sieht,  stellen  die  täglichen  Regenhöhen  einen  K.-G.  mit 
unendlich  großer  Asymmetrie  dar,  indem  Dp  =  o ,  und  somit  alle 
Werte  oberhalb  Dp  liegen.    Es  stimmen  aber  die  theoretischen  Werte 


346 


Logarithmische  Behandlung. 


der  X  mit  den  empirischen  so  wenig  überein,  dass  die  arithmetische 
Behandlung  als  unanwendbar  sich  erweist.  Will  man  aber  zur  loga- 
rithmischen Behandlung  übergehen,  so  muss  zuvor  über  die  Auffassung 
der  i6  Regentage,  die  mit  0,0  mm  verzeichnet  sind,  ein  Überein- 
kommen getroffen  werden,  denn  es  war  doch  an  jenen  Tagen  die 
Bx?genhöhe  nicht  völUg  gleich  o,  sondern  nur  so  klein,  dass  sie  ein 
Zelmtelmillimeter  nicht  erreichte.  Ich  nehme  darum  0,05  mm  an 
Sti>lle  von  0,0  mm  an ,  so  dass  die  Logaritlunen  der  a  zwischen  den 
Grenzen  —  1,30  und  -f-  1,60  variieren.  BrCduziert  man  nach  dieser, 
im  Grunde  willkürlichen  Festsetzung  die  primäre  Tafel  auf  ein  Inter- 
vall von  der  Größe  0,2,  und  wählt  man  als  untere  Grenze  des  ersten 
Int^rvalles  —  1,50,  so  erhält  man  folgende  Resultate: 


IV.    Die  Regenhöhen  des  Monats  Januar  für  Genf 
in  logarithmischer  Behandlung. 

w  =  477;   f  =  o,2. 


'm 

%# 

cmpir. 

theor. 

1 

5 

—  1^4 

8 

4 

—  1,2 

8 

6 

—  1,0 

9 

9 

—  0,8 

9 

14 

-0,6 

28 

19 

—  0,4 

14 

26 

—  0,2 

34 

34 

0,0 

45 

42 

-r  0,2 

,         66 

50 

— 

-0,4 

47 

56 

'-  0,6 

53 

60 

-o,S 

67 

63 

-  I.O 

53 

^2 

r  !•- 

- 1 

-  1 

-r  1.4 

7 

s 

- 

r  1*6 

•» 

> 

ä 

—  0,313 

G   —2,06 

t? 

=  0,374 

C   -2,37 

ö>. 

—  0,800 

^  —  6,31 

i?>„ 

—  0,843 

<^P  =  6,97 

c'    = 

0,219 

0,   — 

0,749 

w'  = 

108 

m,— 

369 

c  1  T 


I  Loguithmiaohe  Behandliuig.  347 

Es  zeigen  zwar  liier  die  unterhalb  des  diclitesten  Wertes  liegenden 
■*  bei  —  0,4  und  +  0,2  starke  üuregehniißigkeiten,  die  bei  Änderung 
der  Reduktionslage  nicbt  verschwinden,  vielmehr  durch  den  Gang  der 
s  in  der  primären  Tabelle  und  deren  Zusammenfassung  in  die  loga- 
rithmJBchen  Inten'alle  begründet  sind ;  trotzdem  ist  aber  die  Über- 
einstimmung zwischen  Theorie  und  Erfahrung  so  gut,  dass  die  Diffe- 
renzen zwischen  den  theoretischen  Werten  und  den  empirischen  als 
eine  Ausgleichung  der  Zulälligkeiten ,  die  letzteren  anhatten,  sich 
darstellen.  Es  bewährt  sieh  somit  das  logarithmische  Verteilungs- 
gesetz auch  an  den  Begenhöhen  durcliaus  befriedigend.] 

§  145.  [Auf  Grund  des  im  Vorstehenden  durchgeführten  Ver- 
gleiches zwischen  Theorie  und  Erfahnmg  erweist  sich  das  logarith- 
miache  Verteilungsgesetz  für  K.-G.  mit  starker  verhältnismäBiger 
Schwankung  als  zutreSend.  Da  nun  dasselbe  —  nach  den  Erörte- 
rungen des  V.  Kapitels  —  bei  schwacher  Verhältnis  mäßiger  Schwan- 
kung der  Einzelwerte  um  die  Hauptwerte  mit  der  arithmetischen 
Verallgemeinerung  des  G.  G.  merklich  übereinstimmt,  so  ist  es  — 
wie  am  Schlüsse  des  angegebenen  Kap.  schon  hervorgehoben  wurde  — 
überhaupt  als  das  streng  gültige  VerteQungsgesetz  der  K.-G.  in  An- 
spruch zu  nehmen.  Somit  bestimmt  sich  die  Wahrscheinlichkeit  W 
oder  TF,,  dass  eine  logaiithmische  Abweichung  vom  dichtesten  Werte  3i 
zwischen  die  unendlich  nahen  Grenzen  i.'  und  i'  -|-  d).'  oder  i.,  und 
i,-f  di,  falle  für  jeden  K.-G.  durch: 


TT,  =-^exp[— A,'il,']rf;, ; 

Vit 


(4) 


und  es  findet  sich   die  Anzahl  der  Abweichungen  zwischen  den  an- 
gegebenen Grenzen  gleich: 

,-=W.,„-;     x.=  W..m,;  (5) 

wobei  h' tti'  =  fi,ftt,\  k'^=  i  '.e'Y^i    h,=  i  .c,y7i  und  c',  c,,  *»',  *», 
auf  3>  als  Ausgangs  wert  zu  beziehen  sind.] 

[Für  die  Hauptwerte  S,   ß  und   3>  der  logarithmischen  Abwei- 
chungen gelten  daher   die  nämlichen  Gesetze,   die  im  XIX.  Kapitel 


348  Logarithmische  Behandlung. 

für  die  arithmetischen  Hauptwerte  A^  C  und  D  abgeleitet  wurden. 
Ersetzt  man  aber  5,  (9  und  3>  der  Reihe  nach  durch  log  Ö,  log  C 
und  logc^,  so  erhält  man  unmittelbar  die  für  die  Hauptwert€  Ö, 
C  und  <^  der  Verhältnisabweichungen  gültigen  Gresetze.] 

[Es  ergeben  sich  so  insbesondere  folgende  Bestimmungen: 
i)  der  Zentralwert   C  liegt  stets  zwischen  dem  geometrischen 
Mittelwerte  O  und  dem  dichtesten  Verhältniswerte  <^,   da 
nach  dem  Lagengesetze  das  Gleiche  von  <?,  &  und  3>  gilt 

2)  Bezeichnet  man  das  geometrische  Mittel  der  oberhalb  resp. 
unterhalb  «^  liegenden  a- Werte  durch  O '  resp.  G, ,  so  dass: 

c'  =  log  G'  —  log  <^;    c,  =  log  c^ —  log  G, , 

so  ist  auf  Grund  des  Proportionalgesetzes: 

c'— c,  =  log  G  -  logdT;! 

G''G,=  G<^,        f  ' 

3)  Bestimmt  man  ebenso,  wie  in  §  131  mit  Bezug  auf  D,  hier 
in  Bezug  auf  S>  den  Werth  t"  aus: 


2  fft 


wo  fw"  die  größere  und  tn,,  die  kleinere  der  beiden  Ab- 
weichungszahlen fn'  und  ftp,  vorstellt,  so  wird: 

\ogC-\ogS^=fc''Yl^',  (7) 

wobei  die  Differenz  der  Logarithmen  nur  dem  absoluten 
Betrage  nach  in  Eechnung  kommt.  Bei  schwacher  Asym- 
metrie folgt  hieraus: 

log  C—  log  c^=   -  e  — ^      =  -     (c  —  c„) . 

4  f«  4 

oder  mit  Eücksicht  auf  (6] : 

log  C  —  log  <r=  "^  log  G  —  log  ^; ,  (8) 

eine  Gleichung,  welche  die  rr-G^setze  für  die  Verhältnis- 
abweichungen enthält.] 


Ix^iarithmiMhe  Behasdlnnf . 


349 


[Den  ZusamiueBbatig  zwisclieu  deii  arithmetischen  Hauptwei-tea 
'  and  denjenigen  dei-  Yerhältnisabwetchungen  schüeßhch  stellen  fol- 
gende Sätze  her.] 

Zum  logarithmi sehen  Mittelwerte  3  =  —  log  a  :  m  als  Logarithmus 
gefasst  gehört  der  mit  G  zu  bezeichnende,  sogenimnbB  geometrische 
Mittelwert  oder  Verhiiltniswert,  welcher  stets  rücksichtslos  auf  ein 
bestimmtes  Verteilungsgesetz  etwas  kleiner  als  der  arithmetische  Mittel- 
wert A^  ^a:  iit  ist  und  (nach  einem  Beweise  von  Scheiknee  ')]  appro- 
ximativ folgende  Beziehung  zu  A  hat,  welche  um  so  genauer  zutrifft, 
je  kleiner  der  mit  7  zu  bezeichnende  sog.  quadi'atische  Mittelfehler 
bez.  A,  d.  i.  ti=^y^J':m  ist: 


'-1  .-- 


(9) 


r  Hiemach  kann  man  6  approximativ  aus  A  ableiten. 
Zwischen  dem  logarithmisch  dichtesten  Werte  S>  und  dem  LtK 
garithmus  des  arithmetisch  chchtesten  Wertes  D  besteht  folgende  Be- 
ziehung : 
5)  =  log  /> 
1 


2Mod 


Darin  bedeutet  <.',  die  untere  mittlere  logarithmische  Abweichung 
i..  \  m. ,  Mod  den  Modutus  unseres  üblichen  togEirithmischen 
Systems  ==0,43429,  n  wie  immer  3,14159.  Diese  Beziehung  ist  an 
die  Gültigkeit  der  logarithinisclien  Verallgemeinerung  des  G.  G.  ge- 
knüpft und  kann  daher  zu  den  empirischen  Bewährungen  dieser  Ver- 
allgemeinerung mit  benutzt  werden. 

[Beweis.  Der  logarithmisch  dichteste  Wert  @  bezeichnet  das- 
jenige logaritbmiscbe  Tntervall,  das  von  allen  Intervallen  dernäm- 
licben  Größe  die  meisten  x  auf  sich  vereint.  Er  wird  daher  durch  das 
Maximum  der  Wahrscheinlichkeitsfunktion  (4)  bei  konstantem  dV  und 
dl. ,  d.  i.  dui-ch  den  Äusgangswert  der  Abweichungen  l'  und  l,  bestimmt. 


I)  |W.  Scheibner,  Über  Mittelwcrle.  Aiigiug  aus  eüicm  an  Herrn  Prof, 
Fechxer  gcric^htcteu  Schreiben.  Berichte  der  Kgl.  Sucha,  OcxellBch.  d.Wisaeuach. 
Math.-Phys.  Klasae.  1873.  S.  56a  flgd.| 


350 


Logarithmische  Be)iandliin|;, 


Der  arithmetiscli  dichteste  Wert  D  diigegen  liegt  in  demjenigen  arith- 
metischen Litervall,  das  unter  allen  Intervallen  der  nämlichen 
Größe  das  Maximal-^  besitzt.  Man  findet  daher  diesen  Wert  bei 
Gültigkeit  des  logarithmischen  Verteilungsgesetzes  als  das  Maximum 
der  auf  konstante  arithmetische  Intervalle  bezogenen  Wahi-scheinlich- 
keitsfunktion  [4).  Man  bezeichne  demgemäß  die  aritlmietischen  Abwei- 
chungen der  a  von  dem  dichtesten  Verhältniswerte  ^durch  &^a' — ^ 
und  0, ^(^ — a, ,  so  dass  d(-}'^da  und  rfö,  ^  —  da,  und  setze 
aiif  Grund  der  Definitionen  i'^logo'  —  3>^\oga' — logdT'^  /,^i 
—  log  a.  =  log  ^ —  log  a.  in  den  Funktionen  (4) : 


dl' 


Mod 


Mod 


d©- 


Dann  erhält  man   füi-  konstante  dQ'  und  (/©,  zur  Bestimmung  des 

Maximums  von: 


i/s«'  -■''■^  "  "  ■• 

"' '  ■"     y^a, 

die  Gleichungen; 

9W'           W  , 

i+24"i'Modj  =  o 

3W._      IC 

1— 2*,"i,Modj=o 

Nun  sind  aber  die  l'   und  ?.,   ihrem  Wesen  nach  positiv.     Es  biet 
dalier  nur  die  zweite  der  beiden  Gleichungen  ein  Maximum  für: 


(")■ 


dar.     Setzt  man  liier,  1 
bezeichnen : 


2A,'Mod 
I  den  zu   i.,  gehörigen  a-Wert  durch  D  zu 


i>;  fenierft,'=— 5 — , 
man  in  der  That  die  durch  (lo)  dargestellte  Beziehung.]  | 


Logarithmiaehe  Behandlung- 


351 


§  146.  [Zusatz.  Wird  in  ITbereinstinmiung  mit  den  Ausfüh- 
rungen in  §  35  der  Grundsatz  aufgestellt,  das3  die  Größenände- 
rungen der  Exemplare  eines  K.-G,  wesentlich  abhängig  sind  von 
der  Größe  der  Exemplare,  wekhe  die  Änderungen  erleiden,  so  er- 
giebt  sich  unmittelbar  die  Modifikation,  die  an  der  im  Zusatz  zum 
XIX.  Kapitel  [§  1 36)  entwickelten  Hj-pothese  anzubringen  ist,  um  sie 
dem  logarithmischen  Verteilungsgesetz  dienstbar  zu  machen.] 

[Es  können  nämlich  zur  Ableitung  des  logarithmischen  Gesetzes 
ebenso  wie  zur  Ableitung  des  ai-itlimetiscben  besondere  Einflüsse  oder 
Umstünde,  kurz  Kräfte  als  Ursachen  der  Größenänderungen  voraus- 
gesetzt werden.  Ihre  Anzahl  ist  unbestimmt  groß,  gleich  n  anzu- 
nehmen und  allen  in  gleicher  Weise  die  W.  p  für  ihr  Eingreifen, 
die  W.  g  :=  i  — p  für  das  Ausbleiben  ihrer  Wirkung  zuzuschi'eiben. 
Der  Erfolg  ihres  Auftretens  ist  nun  aber  nicht  mehi-  als  ein  additiv 
hinzutretender  Zuwachs,  sondern  als  eine  Vervielfachung  aufzufassen, 
so  dass  an  Stelle  von  o  -}-  j  und  a  +  xi  rielmehr  ai  und  ai"  tritt 
Man  erhält  somit  auf  Grund  dieser  Modifiliation  für  ein  Exemplar 
von  der  Größe  ai"  die  nämhche  W.,  die  der  fi-üher  entwickelten 
Hypothese  zufolge  einem  Exemplare  von  der  Größe  a  -\-  xi  zukam, 
so  dass  nunmehr: 


W[ai'] 


X  .'[n  - 


rp'q"- 


[n) 


Setzt  man  aber  a  ^loga  und  *^log/,  s 
und  man  erhält  als  Ausdmck  ftii-  die  W., 
Größe  eines  Exemplares  gleich  a -'r  j:i  sei 


wird  a  +  3:*=^log(ai'), 
lass  der  Logarithmus  der 


H>  +  ifl  = 


x![n — x)! 


rf" 


Mi 


Hiemach  gelten  die  früheren  Entwicklungen  in  der  nämlichen  Weise 
und  in  dem  nämlichen  Umfange  für  das  logarithmische  Verteilmigs- 
geaetz ,  wenn  nur  überall  o  durch  a  ^  log  a  und  i  durch  i  =  log  / 
ersetzt  wird.] 


XXII,  Kollektive  Behandlung  von  Verhältnissen 
zwischen  Dimensionen.    Mittlere  Verhältnisse, 


§  147.  Hiernach  nill  ich  noch  etwas  you  einer  Aufgabe  sagt 
welche  in  der  KollektivniaDIehre  eine  ziemliche  RoHe  spielt,  und  de« 
Besprechung  hier  zweckmäßig  eine  Stelle  finden  kann,  da  aucli  di 
sie  das  Bedürfnis  einer  logarithinischen  Beljandlung  unmittelbar 
gelegt  wird. 

BemerktenuaBen  können  nicht  bloß  einfache  DimeoBiotien  ei 
Gegenstände B,  sondern  auch  Verhältnisse  derselben  kollektiv  bei 
delt  werden,  und  schon  oben  iKap.  I  und  DI]  erwähnte  ich  in  dies 
Hinsicht  die  Verhältnisse  zwischen  den  Schädeldimensionen  einer 
gebenen  Kasse  und  den  Stengelabteilimgen,  sog.  Ghedem  oder  Int 
nodien  einer  Graminee,    wozu    sich   genug   andere  Beispiele    find« 
lassen.     Halten  wir   uns  an   das  Verhältnis  zwischen   der  vertikal« 
Dimension  n  und  der  zugehörigen  horizontalen  b  des  Schädels  ei 
gegebenen  Rasse,   was  zum  Vergleiche  mit  anderen  Rassen  besi 
werden  soll,  und  setzen  dabei  in  der  Kegel  a  in   den  Zähler,   b 
den  Nenner,  obwohl  das  Verhältnis  ebenso  gut  umgekehrt  genonmu 
werden   kanji.     Das   Verliilltnis    n  ■.■b   ist   nun   schon   zwischen 
Exemplaren  einer  und  derselben  Rasse  etwas  verschieden;  aber 
vergleichenden    Cliarakteristik    anderen    Hassen    gegenüber    geh* 
statt    der    wechselvollen   Einzelbestimmungen    einheitliche    B«gul1 
daraus.     Man  kann  daher  nur  ein  mittleres  Verhältnis  zwisi 
b  und  a  verlangen,  was  im  allgemeinen  mit  M[a:b'\  bezeichnet  wirff.' 
Jenachdem  man  das  arithmetische  oder  geometrische  Mittel  im  Äuge 
hat,   treten  A    oder  G    an   die    Stelle    von  M.     Die    entsprechende 
Aufgabe    kann    bezüglich    der    zu    einander    gehörigen    Dimensioni 


rechende J 

1 


Dimetidon  sverhSltnis  k. 


353 


I  desselben  Teiles  oder  derselben  Dimensionen  an  verschiedenen  Teilen 
L nicht  nur  des  Menschen,  sondern  irgend  welchen  Gegenstandes  aut- 
p gestellt  werden.  So  kann  man  fragen,  wie  vorhält  sich  im  Mittel 
\  die  Länge  des  einen  Fingers  zu  der  des  anderen,  die  Länge  des 
einen  Gliedes  zur  Länge  des  zweiten  Gliedes  einer  Ähre,  die  Länge 
Lznr  Breite  einer  Visitenkarte,  die  Mittelteraperatur  eines  Monats  zu 
tder  eines  anderen  u,  s.  w.,  kurz,  dieselbe  Aufgabe  bietet  sich  unend- 
piUch  oft  dar. 

§  148.  Ein  mittlei-es  Verhältnis  kann  nun  aber  auf  verschiedene 
I  Weise  gewonnen  werden;  namentlich  auf  folgende,  wobei  zu  einander 
LgehÖrige  Werte  von  n  und  h  mit  gleichem  Index  bezeichnet  werden 
L  Bullen.  Die  für  die  Richtung  a :  b  aufgestellten  Beispiele  können 
[  natürlich  für  die  Eichtiing  h :  a  umgesetzt  werden. 

i]  Das  arithmetische  Mittel  von  Verhältnissen  A[a:b]  wird 
I'  dadurch  erlialten ,  dass  mau  alle  Einzelwerte  a :  b  addiert  und  mit 
lider  Zahl  derselben  dividiert;  also: 


ii\^ 


■  "»  =  -  -  -r  • 


(1) 


2)  Als  summarisches  Mittel  bezeichne  ich  dasjenige,  welches 
[  man  erhält,   wenn  man  die  Summe  aller  a  mit  der  Summe  aller  /' 
,  was  auf  dasselbe  herauskommt,   das  aritlunetische  Mittel  aller 
1  mit  dem  arithmetischen  Mittel  aller  b  dividiert,  nach  der  Formel: 


l^J 


"^'Ib]      b'  +  b"-] 2b       B 

IVIan  könnte  gegen  die  Anwendung  dieses  Mittels  geltend  machen, 
sei  vielmehr  ein  Verhältnis  zwischen  Mitteln  als  ein  Mittel  aus 
[  Verhältnissen;  aber  indem  es  das  eine  ist,  ist  es  zugleich  das  andere 
[in  dem  weiteren  Begriffe  des  Mittels,  den  wir  hier  überhaupt  ge- 
ll brauchen,  sofern  es  nach  einem  bestimmten  Prinzip  zwischen  die  Ein- 
[  Beiwerte  von  a  :  b  und  zwar,  abgesehen  von  ganz  exceptionellen  Fällen, 
I  in  die  Nähe  der  anderen  Mittel  fällt 

Prozentisches   Mittel.      Zur   Gewinnung    dieses    Mittels 
Fbildet  man  die  Werte  a:la  +  b)  und   b:{a-i-b]    und  dividiert    die 
der  einen  durch  die  der  anderen  nach  der  Formel: 


DimeniiaiiSTerhlltiiiRse. 


m^ 


'  fl  +  A 


4J  Das  geometriache  Mittel,  repriisentiiTt  durch  flie  Formel: 


^]/l 


_V«'-a 


I 


yu-b"  ■  -  ■ 

ist  das  geometrische  Mittel  aus  dem  Produkt  der  einzehieii  Verhält- 
nisse a:b  oder,  gleichgelteud  daniit,  das  geometrische  Mittel  aus 
dem  Produkte  der  a,  dividiert  durch  das  der  b,  und  wird  in  ])rak- 
tischem  Wege  als  der  in  den  Logarithmen taieln  gesuchte  Zahlwert 
zu  (—  log  a  —  ^  log  b] :  /»  erhalten. 

Fragt  man  nun  nach  der  Wahl  zw-ischen  diesen  verschiedenen 
Mittelbestimmungen,  so  ist  zuvörderst  im  allgemeinen  ebenso  wie  be^- 
züglich  der  einfachen  Maße  vorzubemerken ,  dass,  insofern  es  sich 
nur  um  eine  Charakteristik  der  Verhältnisse  eines  K.-G.  handeln 
sollte,  welche  einen  Vergleich  desselben  mit  anderen  Gegenständen 
gestattet,  jedes  der  angeführten  Mittel  nur  aus  einem  anderen  Ge- 
sichtspunkte zu  einer  solchen  Charakteristik  beiträgt,  und  dass,  wo 
das  Verhältnis  a :  b  überhaupt  nur  verhältnismäßig  wenig  schwankt, 
alle  vier  Bestimmungsweisen  fast  auf  denselben  Wert  führen.  So 
gaben  z.  B.  lo  Visitenkarten,  nacli  Zufall  aus  einem  Paket  heraus- 
gezogen, wenn  die  kurze  Seite  mit  a,  die  lange  mit  b  bezeichnet 
wird,  als  Mittel: 

arithmetisch     0,5654 

summarisch     0,5634 

prozentisch      O15650 

geometrisch     0,5649 . 

Die  extremen  Werte  a:b  wai-en  0,5333  und  0,6053. 

Inzwischen,  wo  die  Schwankungen  zwischen  den  n :  b  hedeuteadJ 
sind,  können  auch  die  verschiedenen  Mitt«lhestimmungeu  ein  e 
verschiedenes  Besultat  geben,  und  überhaupt  gilt  es,  die  Gesicbtspui 


DimCD  BioDsrerMItnlese . 


355 


anzugeben,  welche  die  "Wahl  der  einen  Bestimniungsweiae  vor  üer 
anderen  entscheiden  können. 

In  dieser  Hinsicht  kann  man  allgemein  sagen,  dftss  das  aritli- 
metische  und  prozentisehe  Mittel  in  jeder  Beziehung  den  beiden 
anderen  Mittelwerten  nachstehen  und  allgemein  gesprochen  das 
geometrische  Mittel  den  Vorzug  verdienen  dürfte,  aber  auch  das 
summarische  unter  Umständen  eine  nützliche  Verwendung  finden 
kann. 

In  der  That  leidet  zunächst  das  arithmetische  Mittel  von  Ver- 
hältnissen an  folgenden  Nachteilen. 

a)  üni  die  einzelnen  Brüche  a  :  h  addieren  zu  können,  muss  man 
erst  jeden  einzelnen  auf  einen  Dezimalbmch  reduzieren,  was  bei 
vielen  Werten  a :  h  sehr  mühsam  ist. 

b)  An  sich  ist  es  gleichgültig,  ob  man  die  lUi'ekten  Werte  n :  b 
oder  die  reziproken  Werte  b  :  a  zur  Mittelzielmng  benutzen  will, 
um  das  mittlere  Verhältnis  der  a  und  b  zu  bestimmen;  und  man 
sollte  natürlich  auf  beiden  Wegen  ein  übereinstinunendes  Resultat 
erlangen;  dies  geviährt  aber  diese  Metliode  nicht,  wie  sich  zeigt, 
wenn  man  das  aus  den  reziproken  Werten  gewonnene  Mittel  umkehrt, 
wodurch  man  das  sog.  harmonische  Mittel  zu  dem  aus  den  direkten 
Werten  gewonnenen  erhält;  beide  stimmen  nicht  überein,  kurz 
Ä[a:b]  ist  nicht  gleich  dem  dazu  harmonischen  Mittel  i  :  A[b:d\. 
Sei  z,  B.,  um  ein  ganz  einfaches  Bi'ispiel  von  nur  zwei  Verhältnissen 
zu  nehmen: 


^\i\< 


,:A 


11  aber  ist  =  0,625,  A^  0,600.  Nimmt  man  noch  weiter  von 
einander  abweichende  Brüche  als  in  unserem  Beispiel,  so  wii'd  auch 
der  Unterschied  zwischen  dem  direkten  und  harmonischen  Mittel  noch 
größer.  Bei  solchen  K.-G. ,  wo  sich  die  meisten  Werte  a:b  nicht 
sehr  vreit  von  einem  mittleren  Werte  entfernen,  ist  er  in  der  Regel 
zwar   nur  sehr  gering,   aber   doch  nicht  überall  zu  veiiiachlUasigeu, 

23* 


356 


DüacnsioDaverhaltniBfl  e. 


und  das  Verfalireii  wegen  der  Zweideutigkeit  seiner  Resultate  jeden- 1 
falls  prinzipiell  zu  verwerfen. 

c)  Hat  man  die  mittleren  Verhältnisse  zwischen  dreierlei  Werten  J 
a,  b,  c  zu  bestimmen,  so  sind  drei  Verliältnisse  a:b,   b:c,  a:c  mit 
ihren   reziproken  Werten    mögliuh,    und   man   kann   wünschen,    aus 
zweien  dieser  Verhältnisse  (sei  es  direkter  oder  reziproker;  unmittel- 
bar das  dritte  ableiten  zu  können.     Dies   leistet  aber  diese  Methodagj 
nicht,   indem  man  z.B.  A[a:c]  nicht  dadurch  erhalten  kann,   • 
man  Ä  [a :  b]  mit  A[b:c]  multipliziert. 

Das  prozentische  Mittel  teilt  diese  sämtlichen  Nachteile  des 
arithmetischen.  Doch  findet  man  mitunter  sowohl  das  eine  wie  das 
andere  gebraucht. 

Das   summarische   und   geometrische   Mittel    sind   hingegen   frei'l 
von     diesen     sämtUchen    Nachteilen.     Wollte   man   aber    doch  dei 
direkten  arithmetischen  und  prinzipiell  gleichberechtigten  harmonischen, 
aber   vom    direkten    verschiedenen    Mittel   ein    besonderes   Zutrauen 
schenken,   so  würde  man   sich  nur  an  das   arithmetische  oder  geo>a 
metrische  Mittel   des   direkten  und  harmonischen  Mittelwertes  halten  1 
können.    Aber  da  es  ja  auch  fi'eistiinde,  statt  von  « :  i ,  von  i :  a  als 
direktem  Verhältnis  auszugehen,   so  würde   nicht  nur  hierdurch  eine 
Zweideutigkeit  bleiben,    sondern  auch   bei  Wahl   des   arithmetischen 
Mittels  vrieder  die  Frage   entstehen ,   ob  man  das  direkte  oder  hww  ^ 
monische   vorziehen   sollte,   also   die  Zweideutigkeit   auch  von  dies 
Seite  nicht  gehoben  sein.     Nach  einem  Beweise  aber,   den  ich  Pro 
Schbibneb')  verdanke,    fällt  der  geometrische  Mittelwert   gegebeni 
Verhältnisse  in   dem  hei  K.-Gr.   in  der   Regel   stattfindenden   Falle,;! 


I)  [Vergl.  Vf.  Scheihner:  >i)tier  Mittelwerte.,  Berichte  der  Kgl.  SächBÜchea  I 
GeBellacbaft  der  WigBcuschaftcn.  1873.  8.  564.  —  Nai'h  den  durt  gegebenen^ 
Bestimmiuigen  ist  das  geometriBche  Mittel  angenähert  gleich: 


das  harmoniache  Mittel  gleich : 


venu   A    dos   arithmetifiche   Mittel    iiud   q    den    mittleren    qundrntiechcD    Fehlern 
der  obige  Salz  folgt.) 


DimenBonareihiltiiiMB. 


357 


I 


tiass  das  direkte  und  harmonische  arithmetische  Mittel  sich  weuig 
unterscheiden,  merklich  genau  mit  dem  arithmetischen  Mittel  heider 
zusammen,  und  man  kann  dies  au  selbst  gemachten  Beispielen  leicht 
heetätigt  finden. 

§  149.  Schließlich  also  dürfte  es  sich  nur  um  die  Frage,  wie- 
fern das  summarische  oder  geometrische  Mittel  vorzuziehen,  handeln. 

Nun  empfiehlt  sich  das  summarische  Mittel  vor  allem  durch  die 
Leichtigkeit  seiner  Bestimmung,  da  es  dazu  nur  der  Summierung 
aller  n,  sowie  aller  b  und  der  Division  der  einen  Summe  durch  die 
andere  bedarf,  indes  es  zur  Gewinnung  des  geometrischen  Mittels 
gilt,  erst  alle  a  und  b  in  Logarithmen  zu  übersetzen.  Beide  haben 
aber  folgenden  prinzipiellen  Unterschied  in  der  Bedeutung. 

Sei  ein  sununarisches  Mittel: 

a-+a"+a"'-\ 

(,'  -\~b"  4-  b'"  +  ■  ■  - 
gegeben,  so  leuchtet  ein,  daas  wenn  etwa  ein  Exemplar  nach  seinen 
beiden  in  das  Verhältnis  eingehenden  Komponenten  a'  und  b'  sehi- 
groß  gegen  die  übrigen  wäre,  das  Mittelverliältnis  merklich  bloß  noch 
von  dem  Verhältnis  n' :  ö' abhängen  würde,  indem  dann  a" -\- a'" -{•  ■  ■  ■ 
gegen  a'  und  b" -\- b'"  +  ■  ■  ■  gegen  b'  verschwinden,  und  dass  über- 
haupt die  größeren  Exemplare  nach  Maßgabe  ihi-er  Größe  auch  mehr 
Einfluss  auf  das  Mittel  gewinnen.  Dies  ist  nun  ganz  in  der  Ord- 
nung, wenn  man  größeren  Exemplaren  mehr  Gewicht  für  die  Mittel- 
bestimmung  beilegt  als  kleineren,  was  unter  Umständen  sehr  wohl 
der  Fall  sein  kann,  und  jedenfalls  hindert  nichts  in  dem  summarischen 
Mittel,  was  diesen  Umstand  mitführt,  so  gut  ein  charakteristisches 
Verhältnis  des  gegebenen  K.-G,  zu  sehen,  als  in  jedem  anderen 
Mittelverhältnis,  was  ihn  nicht  mitfülirt,  indem  es  den  Gegenstand 
nur  eben  in  anderem  Sinne  charakterisiert. 

Hingegen  kann  es  freilich  auch  in  der  Absicht  hegen,  große  und 
kleine  Exemplare  mit  gleicher  Wichtigkeit  nur  Mittelbestimmung  bei- 
tragen zu  lassen,  z.  B.  das  Verhältnis  zwischen  horizontaler  und 
vertikaler  Dimension  bei  größeren  Köpfen  nicht  wichtiger  zu  nehmen 
als  bei  kleineren,  und  dieser  doch  wohl  häufiger  vorkommenden  Ab- 
sicht entspriclit  das  geometrische  Mittel. 


I 


Den  dem  arithmetischen  und  pi-ozentischen  Mittel  abgehenden 
Vorteil,  dass,  wenn  von  drei  Verhältnissen  u:b,  h:c,  nie  zwei  im. 
Mittel  bestimmt  sind,  das  Mittel  des  dritten  unmittelbar  daraus  folgtn 
teilt  das  summarische  Mittel  mit  dem  geometrischen,  indem  man  nadx 
beiden  hat; 

Hingegen  hat  das  srnnmarische  Mittel  folgenden  Vorteil  vor  dem 
geometrischen  voraus.  Gesetzt,  man  hat  bei  einem  mehrgliedrigen 
G^enstande,  z.  B.  Getreidehalmcn  gegebener  Art,  für  jedes  Glied 
insbesondere  das  mittlere  Verhältnis  seiner  Länge  zur  Totallänge  des 
Halmes  smnioarisch  bestimmt,  so  braucht  man  diese  Verhältnisse 
nur  für  irgend  welche  zwei  Glieder  zu  addieren,  um  damit  das  mitt- 
lere Verhältnis  der  Verbindung  dieser  zwei  Glieder  zur  Totallänge 
KU  haben,  was  beim  geometrischen  Verfahren  nicht  der  Fall  ist ,  wie 
man  leicht  beweist;  was  man  kurz  so  ausdrucken  kann;  die  Verbält- 
nismittelbestimmungen  für  die  Teile  und  das  Ganze  hängen  nach  dem 
summarischen  Verfahren  rationeller  zusammen  als  nach  dem  gecH 
metriscben  und  überhaupt  jedem  anderen. 

Außerdem  ist  folgender  Fall  zu  berücksichtigen.  Setzen  wir,  bei 
einem  K.-G.  kommen  unter  anderen  Exemplare  vor,  für  welche  der  eine 
oder  andere  von  beiden  Werten  a  oder  b  Null  ist;  wie  denn  z.  B.  bei 
Bestimmung  des  mittleren  Verhältnisses  zwischen  den  Gewichten  der 
festen  und  weichen  Teile  verschiedener  Tiere  manchen  feste  Teile 
ganz  abgehen  können.  In  diesem  Falle  wird  das  geometrische  Mittel 
unbrauchbar,  weil,  je  nachdem  der  Nullwert  im  Zähler  oder  Nenner 
auftritt,  das  Mittel  Null  oder  unendlich  wird.  Dann  kann  man  sich 
doch  nur  an  das  summarische  Mitte!  lialten,  wenn  man  nicht  das 
Prinzip  aufstellen  will,  dass  solche  Fälle  überhaupt  nicht  mit  solchen, 
wo  a  und  b  überall  endliche  Werte  behalten,  unter  demselben  Mittel 
zu  vereinigen  sind. 

§  150.  Da  jedenfalls  der  vorliegende  Gegenstand  durch  das 
summarische  und  geometrische  Verhältnis  der  Komponenten  n  und  b, 
seine  Beatinunung  eingehen,  in  vei-schiedener  Weise  be- 
«0  wird,  allgemein  gesprochen,  zur  Vollständigkeit  seiner'! 


IMmen  lion«  verhBltnii  Be. 


359 


Bestiinniiing  geboren,  dass  man  beiderlei  Mittel  bestimint,  was  nicht 
liindert,  nach  Maßgabe  der  Umstände  doch  lieber  von  dem  einen 
vor  dem  anderen  Gebrauch  zu  machen':.  Es  hat  aber  die  Bestimmung 
von  beiden  außer  dem  allgemeinen  Beitrag  zur  Charakteristik  eines 
gegebenen  K.-G.,  dessen  Komponenten  a  und  ö  sind,  noch  den  Vor- 
teil, dass  mit  dem  Verhältnisse  beider  Mittel  nicht  unwichtige  spezielle 
charakteristische  Bestimmungen  zusammengehören,  nämhch  folgende: 
i)  Wenn  das  Verhältnis  von  a  zu  b  unabhängig  von  der  abso- 
luten GröBe  der  a  und  h  für  alle  Exemplare  gleich  ist,  also  für 
große  Exeniplare  ebenso  groß  als  für  kleine,  ist  d:tH  summiirische 
Mittel  gleich  dem  geometrisclien. 

2)  Wenn  a  mit  h  immer  zugleich  wächst  oder  abnimmt,  aber 
nicht  allgeroL'in  im  gleichen  Verhältnisse,  so  kann  es  sein,  dass  das 
Verhältnis  a :  b  mit  wachsender  Größe  von  a  und  b  zunimmt,  oder 
dass  es  abnimmt;  ersterea  ist  der  Fall,  wenn  das  geometrische  Mittel 
der  a  :  h  kleiner  ist  als  das  summarische,  letzteres,  wenn  es  größer  ist. 

3)  Wenn  die  verhältnismäßige  Schwankung  der  Werte  a  um  ihr 
imthmetisches  Mittel  Ä  gleich  der  verhältnismäßigen  Schwankung  der 
Werte  b  um  ilir  arithmetisches  Mittel  B  ist,  so  ist  das  geometvisclie 
Mittel  gleicli  dem  summarischen.  Als  Maß  der  verhältnismäßigen 
Schwankung  gilt  hierbei  bez.  Ä  die  einfache  oder  quadratische  mitt- 
lere Abweichung  von  A,  dividiert  durch  A,  nämlich  £n  :  ^  oder  (/„  :  Ä, 
sagen  wir  kurz  P;  entsprechend  e,»  :  B  oder  q^  :  B,  kurz  Q,  bezüg- 
lich B. 

4)  Je  nachdem  die  verhältnismäßige  Schwankung  der  Werte,  im 
vorigen  Sinne  verstanden,  stärker  um  A  oder  um  B  ist,  ist  das 
geometrische  Mittel  kleiner  oder  größer  als  das  summarische. 

5}  Aus  Kombination  von   1]  und  2)  mit  3]  und  4)  folgt  dann 


I]  60  gut  man  twej  oder  mehrere  K.-O.  nach  dem  VeihBltuissc  ihrer 
Mittel  A  und  G  vergleichen  k^nn,  kann  man  üe  natürlich  auch  nach  dem 
Verhältnisse  ihrer  C  uud  1/  vergleichen,  und  es  geben  sich  diese  aämtlichen 
Resultate  kcineareegs  allgemein  proportional;  doch  gehe  ich  auf  allgemeine  Et- 
flrteningeu  hicrüher  nicht  näher  ein.  —  Bciapiels weise  war  bei  737  deutschen 
M&nnerschädelu  das  mittlere  Verhältnis  'Hör.  :  Vertik.)  des  Vertikahimfanges  der 
Schadclkapsel  zum  Horiiontalunifang  summarisch  1,2830;  geometrisch  1,3827: 
«entral   1,8837. 


weiter  noch,  dass,  je  nachdem  die  vt'rhaltnismüßige  Schwiintung  um  i 
A  gleich  der  um  B,  größer  oder  klt'iner  ist,  der  Wert  n :  b  unab- 
hängig von  dem  absoluten  Werte  der  a  und  h  konstant  ist  oder  mit 
wachsender  Größe  von  a  und  ii  üuniinnit  oder  abnimmt  [voraus- 
gesetzt, dasB  überhaupt  der  Wert  n :  h  ein  reguläres  Verhalten  zeigt  i 
und  bloß  zwischen  Konstanz,  ständiger  Zunalmte  und  ständiger  Ab- 
nähme  eine  Entscheidimg  zulässt]. 

Hiernach  also  kann  man  aus  dem  Verhältnisse  des  geometrischen 
zum  aunimarischen  Mittel,  ohne  eine  weitere  Rechnung  anzuBtellen, 
Himiittelbai'  Schlüsse  ziehen,  ob  mit  wachsender  Größe  eines  Gegen- 
standes und  Idermit  seiner  Komponenten  a  und  b  das  Verhältnis 
0 :  b  übei'all  (oder  doch  vorwiegend)  wächst  oder  abnimmt,  und  ob 
die  eine  oder  andere  Komponente  a,  b  in  stäi'kerem  Verhältnisse  i 
ihr  arithmetisches  Mittel  schwankt. 

Folgendes  zum  Beweis   für  vorstehende  Sätze.     Den  ersten  aib>J 
langend,  so  seien  das  summarische  und  geometrische  Mittel: 


und 


'  b-  b"  ■ 


einander    gegenüberstellt.      Nun    beweist    Oaucbt    in    seinem   coun '] 
d'analjse  p.  15  und  447,  dass 


i--h6-+- 


allgemein  zwischen  a' :  b\  a" :  ä",  . . .  fällt    Sind  nun  a' :  b', 
sämtlich  gleich  a:b,    so  wird  das  Zwischenfallen  zur  Gleichheit  mitjl 
n\b,   während  nicht   minder  das  geometrische   Mittel  sich   für  dein 
Fall  der  Gleichheit  zwischen  a' :  b',  a"  :  b", . . .  auf  a  :  h  reduziert.  Na< 
Maßgabe  aber  als  die  Gleichheit  zwischen  den  einzelnen  Werten  a : 
aufhört,  hört  auch,  allgemein  gesprochen,    die   Gleichheit   zwischen j 
beiden  Mitteln  auf,  und  es  kann  nun  sein,  dass  a:b  mit  Andei 
der  absoluten  Größe  von  a  und  b  teils  zunimmt,   teils  abnimmt,  für 
welchen  Fall  sich  nichts  Allgemeines  festsetzen  lässt.     Gesetzt  aber, 
n  und  b  nehmen  überall  mit  einander  zugleich  zu  oder  at^ 
es  doch   überall   in  gleichem  Verhältnisse  geschieht,  \ 


BimeniioDflrerhlllziüfe. 


361 


ö 


m- 


den  Satz  2)  einen  allgemeinen  Beweis,  ilen  ich  HeiTo  Prof.  Scheiuner 
verdanke,  der  jedoch  umständlich  iind  nicht  elementar  ist,  daher  ich 
hier  vorziehe,  auf  die  empirische  Bewährung  der  Regel  durch  be- 
liebige, selbst  gemachte  Beispiele  zu  verweisen.  Und  natürhch  wird 
die  Regel  auch  für  den  Fall  noch  gelten,  wenn  nur  a  und  b  in  der 
Überzahl  der  Fälle  mit  einander  zugleich  zu-  oder  abnehmen.  Den 
dritten  und  vierten  Satz  anlangend,  so  sind  sie  eine  Folgerung  des 
von  Scheibner']  gegebenen  Verhältnisses  zwischen  arithmetischem  und 
geometrischem  Mittel  der  einfachen  "Werte.  Hiemach  hat  man  unter 
Setzung  von  P  und  Q  als  qa'-^  und  q^  iB: 

0[a]_Ä{i~^P')  \  (6) 

-G[b]-B(i-iQr  I 

i  die  Sätze  3)  und  4)  folgen.  Sind  nun  schon  die  betreffenden 
Formeln  nur  approximative,  so  wird  doch  durch  die  weggelassenen 
kleinen  Glieder  die  Richtung  der  Resultate  nicht  geändert.  Der 
Satz  5)  folgt  aus  den  vorgängigen. 

§  151.  Bei  der  oben  (§  148)  angegebenen  Bestimmungsweise 
des  G[a:b]  dient  die  Anwendung  der  Logarithmen  bloß  zur  Er- 
leichterung der  Reclmung;  aber  das  Bedürfnis  ihrer  Anwendung 
gi-eift  tiefer. 

Ea  entsteht  nämlich  die  Frage,  ob  ebenso  wie  die  einzelnen 
Dimensionen  a  und  b,  auch  ihre  Verhältniese  0 ;  b  sich  unseren  Ver- 
teilungsgesetzen fügen;  eine  Untersuchung,  bei  der  dann  allerdings 
der  Rückgang  auf  die  einzelnen  a :  b  nicht  erspart  werden  kann,  von 
vornherein  aber  nach  den  bisher  gemachten  Bemerkungen  einleuchtet, 
dass  man  von  einer  arithmetisclien  Behandlung  derselben  nichts  er- 
warten kann;  wogegen  Aussicht  war,  dass  nach  Aufsuchung  des 
dichtesten  "Wertes  der  \og{a:b]  die  Abweichungen  der  einzelnen 
log  (ß :  b)  von  demselben  sich  unseren  Verteilungagesetzen  fügen  könnten, 
was  sich  bei  den  zur  Untersuchung  geeigneten  K,-G-  bestätigt  ge- 
funden hat. 


362  Dimensionsverhältnisse. 

[Um  dies  durch  ein  Beispiel  zu  illustrieren,  wäMe  ich  das  Ver- 
hältnis des  Horizontalumfanges  zum  Vertikalumfange  (genauer  Scheitel- 
bogen) der  500  europäischen  Männerschädel,  die  mir  von  Prof. 
Wblckbr  zur  Verfügung  gestellt  sind.  Da  der  horizontale  Umfang 
durchweg  größer  ist  als  der  vertikale  —  der  kleinste  Horizontal- 
umfang (für  einen  Kleinrussen)  ist  465  mm;  der  größte  Scheitelbogen 
(für  einen  Schädel  aus  der  Umgegend  von  Halle)  ist  448  mm  —  so 
sind  die  Verhältnisse  sämtlich  unechte  Brüche  und  ihre  Logarithmen 
positiv..  Das  Minimum  der  Verhältniswerte  ist  gleich  1,211,  das 
Maximum  gleich  1,403.  Die  logarithmischen  Werte  variieren  somit 
zwischen  den  Grenzen  0,083  ^^^  O7I47;  sie  besitzen  den  Mittelwert 
^,=0,1073,  so  dass  das '  geometrische  Mittel  O^  der  Verhältnisse 
gleich  1,280  ist.  Wählt  man  nun  als  logarithmisches  Intervall 
/  =  0,003  und  als  untere  Grenze  des  ersten  Intervalles  den  Wert 
0,0825,  80  erhält  man  folgende  Vergleichstabelle  zwischen  den  em- 
pirischen und  den  durch  das  logarithmische  Verteilungsgesetz  ge- 
forderten theoretischen  Werten: 


DimensionsTerhältnisse. 


363 


Verhältnis  des  Horizontalumfanges  a  zum  Vertikalumfange 
(Scheitelbogen)  b  für  500  europäische  Männerschädel. 

a  =  log  a  —  log  6 ;  **  =  0,003  ;  m  =  500  ;  ^,  =  0,1073  ;  Ö,  =  i  ,280  . 


empir. 


theor. 


^. 

—  0,1073   «,  —  1,280 

e 

—  0,1070    C    — i>279 

3>i 

—  0,1068    S't   —  1,279 

3>p 

—  0,1060    <^f — 1)276 

c'    —  0,0079 

c,    —  0,0066 

m'  —  272,5 

*»,  =  227,5 

h'   =71,42 

h,    =85,48. 

dass  3>i  nicht  den  aus  der  obigen  Tabelle 

dichtesten  Wert  darstellt  (der  vielmehr 

Mittel  der  drei  aus  den  drei  mög- 

jten  Werte:  0,1075;  0,1085;  0,1043. 


364  DimensioDsverhältnisse. 

Diese  Bestimmungsweise  wurde  gewählt,  weil  hier  zufällig  die  Re- 
duktionslage von  großem  Einflüsse  auf  die  Lage  von  3>i  ist,  während 
^a  und  (?  fast  vollständig  mit  den  aus  der  primären  Tafel  resultieren- 
den Werten  übereinstimmen.  Die  Asymmetrie  ist  schwach;  wie 
denn  auch 

nahe  mit  i7r  =  0,785  übereinstimmt.  Die  Übereinstimmung  zwischen 
den  empirischen  und  theoretischen  ^-Werten  aber  ist  ohne  Zweifel 
befriedigend.] 


XXIII.  Abhängigkeitsverhältnisse. 

§  152.  Man  kann  fragen,  ob  die  Mitteltemperaturen  der  auf- 
einanderfolgenden Jahre  nach  reinem  Zufallsgesetze  variieren  oder  eine 
gewisse  Abhängigkeit  in  ihrer  Aufeinanderfolge  von  einander  zeigen; 
eine  Frage,  die  auf  viele  analoge  Fälle  übertragen  werden  kann. 
Nun  können  die  Abhängigkeitsverhältnisse  verschieden,  und  die  Un- 
tersuchungen darauf  demgemäß  verschieden  zu  führen  sein.  Eine 
der  einfachsten  Fragen  und  Untersuchungswege  aber  knüpft  sich  an 
folgende  Bemerkung. 

Ich  nehme  eine  Liste  gezogener  Lotterienummem.    Eine  solche 

beginnt  beispielsweise  mit: 

26  826  _ 

2 1  460 

3i094_ 

22  120 

16  226 

(+) 

Ich  bezeichne,  wie  beistehend,  jede  Abnahme  von  einer  zur  folgenden 
Nummer  mit  — ,  jede  Zunahme  mit  +  und  erhalte  so  ohne  Rück- 
greifen auf  die  erste  Nummer  folgende  Reihe : 1 und  hier- 
von ohne  Rückgreifen  auf  das  erste  Vorzeichen  zwei  Zeichenwechsel 
und  eine  Folge  gleicher  Zeichen;  oder  wenn  ich  sowohl  mit  Zahl  als 

Zeichen  zurückgreife : 1 f-  und  hierin  vier  Wechsel  und  eine 

Folge;  allgemein,  wenn  ich  die  Zahl  der  Nummern  m  und  die  Zahl 
der  Wechsel  und  Folgen  x  nenne,  erstenfalls  x  =  m  —  2 ,  letzteren- 
falls  X  =  m  .    Ersteres  heiße  Methode  a ,  letzteres  Methode  b. 

Mag  ich  nun  die  Methode  a  oder  b  anwenden,  so  finde  ich  bei 
großem  m  die  Zahl  der  Zeichenwechsel  so  approximativ  gleich  dem 


AbhfingigkütBTerh&ltnigse. 


der  «iiun^^^H 
Gesetz  dea         M 


Doppelten  der  Zahl  der  Zeichenfolgen,  dass  ich   die  W. 

zur  W.  der  anderen  wie  2  :  i  annehmen  kann').    Dies  das  Gesetz  t 

reinen  Zufalls. 

Sollte  aber  eine  Abhängigkeit  der  aufeinander  folgenden  Zahlen 
der  Art  stattfinden,  dass  sie  in  continuo  dui'ch  ein  gewisses  Intervall 
stiegen  und  wieder  sänken,  so  ■würde  die  Zahl  der  Zeichenfolgen  sich 
Über  das  vorige  Verhältnis  hinaus  vergrößern.  Ja,  wenn  die  Ab- 
hängigkeit immer  in  dereelben  Richtung  fortginge,  so  ^ürde  man 
nach  Methode  a  lauter  Zeichenfolgen,  nach  Methode  b  m —  2  Pol- 
gen, 2  Wechsel  erhalten. 

Bleiben  wir  bei  Methode  a  stehen  und  nennen  die  Zahl  der 
Wechsel  w,  die  der  Folgen  /",  so  wird  die  volle  Unabhängigkeit 
durch  f=^{^,  die  volle  Abhängigkeit  durch  /"^=i  und  die  partielle 
Abhängigkeit  durch  Werte  von  f  zwischen  diesen  charakterisiert,  und 
man  wird  ein  Maß  der  partiellen  Abhängigkeit  bei  gegebenem  f  und 
X  in  dem  Verhältnisse  finden  können,  in  welchem  der  XJberschuss 
von  f  über  das  Maß  der  vollen  Unabhängigkeit  zum  Totalüberschnss 
der  vollen  Abhängigkeit  über  die  volle  Unabhängigkeit  steht,  d.  L 
wenn  wir  dieses  Maß  mit  Abb.  bezeiclmen: 


Abb. 


-^l-± 


(') 


Inzwischen  ist  f  wegen  des  endhchen  m  unsicher,  und  von  dieser  Un- 
sicherheit ist  Abb.  mit  beteihgt.    Die  Bestimmung  dieser  Unsicherheit 


I)   [TbeoretiBch   leitet  m&u   dieses  Verhältuia   aus   der   Uemerkun);   ab, 
dm 'Werte  a,  b,  e,  die  frei  von  SiiccesBionsubblüigigkeit  axad.  mit  der  uömliche^^ 
WAhncheinlicbkeit  in  jeder  der  sechs  SuccessioDcu : 


auftreten  können,  so  dass,  wenn  s. 
je  eine  Zcicheafotge,  die  vier  letzten 
die  W.   eiuer  Zcicheiifolge   gleicli   ' 


'.  a'<A-<o,  die  beiden  ersten  Successiouen 
ie  eineu  Z eichen weehael  ei^ebeu,  und  mithin 
die  W.   eines  Zeicheu Wechsels   gleich   |   lu 


M 


AbhaDgigkrätaverhRltnisse . 


367 


ist    in   den  Wert    von  Abh.   als  walirscheinliclier  Fehler  mit  aufzu- 
nehmen. 

[Man  leistet  diese  Bestimmung  durch  Berechnung  der  wahi-schein- 
licben  Grenzen,  die  sich  aus  der  Umkehrung  des  sog.  Bkhnoulli- 
schen  Theorems  für  die  W.  einer  Zeichenfolge  auf  Gnmd  der  beob- 
achteten Werte  von  f  und  z  ergeben.  Setzt  man  nämlich  die 
unbekannt«  W.  für  das  Auftreten  einer  Zeichenfolge  gleich  x,  die  W. 
eines  Zeichenwechsela  gleich  i  —  x,  so  besteht  dem  angeführten  Satze 
der  Wahrscheinlichkeitsrechnung')  zufolge  die  W.; 


W 


=  -^y'exp[-nrf/ 


I 
I 


dafür,  das«  der  Wert  von  x  zwischen  den  Grei 


zf-  w 


,)/fI:i£ 


liege.     Da  nun  für  Wi=\  der  Wert  von  c  =  0,476  94  wird,   so  sind 
die  wahrscheinlichen  Grenzen  von  x  gleich; 


.1/^ 


Dem  entsprechend  sind  die  wahrscheinlichen  Grenzen  von  Abh.  gleich : 


if- 


-  ■  0,67  449 


V'-^- 


<A) 


Es  ist  somit  i  gegen  i  zu  wetten,  dass  das  wie  obeu  definierte  Maß 
der  Abhängigkeit  nicht  kleiner  als  die  untere  und  nicht  größer  als 
die  obere  der  beiden  angegebenen  Grenzen  sei.] 

[Dasselbe  kann  auch  negative  Werte  annehmen  und  so  eine  Ab- 
hängigkeit anzeigen,  die  sich  durch  vorwiegenden  —  hu  extremen 
Falle  durch  ständigen  —  Wechsel  der  Zeichen  kund  giebt.  Hierzu 
ist  erforderlich,  dass  die  Anzahl  f  der  Zeichenfolgen  unter  den  Wert 
\x  sinke  und  im  Grenzfalle  gleich  o  werde.] 


)   ;Vergl.  Meyer's  \'orlcsiingeu  über  Walirsuhciiiliclikei 


J2^ 


36S  AbhangigkeitsrerhihiiisRe. 

§  153.     [Die  Anwendung  des  Abhängigkeitamaßcs   (4)  zur  ] 
fung  der  Successionsabhängigkeit  meteorologischer  Monats-  und  Tfc 
geswerte  fülirt  zu  folgenden  Resultaten.] 

[DovB  stellt  in  einer  seiner  Abhandlungen')  für  eine  Reihe  von  ' 
Orten  die  >  Abweichungen  der  einzelnen  Monate  vom  yieljährigen  mitt- 
leren Wert«  derselben  •  zusammen.  Für  Berlin  umfasst  diese  Zu- 
sammenstellung den  Zeitraum  von  1719  bis  1849  mit  dem  Ausfalle 
von  bloß  3  bis  7  Jahren  für  die  einzelnen  Monate.  Hieraus  ergeben 
sich  für  alle  Monate  zusammen  genommen  nach  Methode  a  1421 
Successionen  von  Zeichen,  und  zwar  913  Zeichen  Wechsel  und  508 
Zeichenfolgen.  Die  W.  x  einer  Zeichenfolge  hat  somit  die  wahr- 
scheinlichen Grenzen: 


508 


:  0,67449 


-1/508-913 
^       1421» 


oder  0,3575  ±0,0086; 


woraus  man 


Abh.  =  0,036  ±  0,013 
«rhält] 

[Im  Niederländischen  Jahrbuche  für  Meteorologie^)    findet 
Tabellen   der   täglichen  Thermometer-  und   Barometerabweichunga 
von  dem  aus  langjähriger  Beobachtung  gefundenen  täghchen  Norr 
stände,  für  die  einzelnen  Monate  des  Jahres.    Die  Beobachtungsoi 
sind  die   verschiedenen  meteorologischen  Stationen   des  Landes; 
Beobachtungszeiten  sind  bestimmte  Stunden  des  Tages,  auf  welcl 
sich  sowohl  der  Normalstand  als  auch  die  Äbweichungswerte  beziehei 
Hierdurch  wird  dem  gesetzmäßigen  Steigen  oder  Fallen  des  Thei 
mometers  und  Barometers  innerhalb  eines  Monats  Rechnung  getr 
so  dass  die  Successionsahhängigküit  nicht  davon  beeinflusst  wird, 
wählte  die   für  Utrecht  im  Monat  Januai-  wälu'end  des   lo-jährigeiiil 
Zeitraumes  von  1884  bis  1893,   mittags  2  Uhr,  angegebenen  "Werte. 
Dieselben  ergaben  nach  Methode   a  298   Successionen  von  Zeichen. 


i)  [Bericht  Ober  die  in  den  Jn-hren  184S  und  1849  auf  den  Stationen  des 
meteorologischen  lustituta  augesteUten  Beubachtungen.   Berlin  1S51.  S.  XX  flgd.] 

2]  [MeteoTologisoh  Jaarboek,  nit^geven  door  het  Eon.  Nedcrlandsch  Meteoni- 
lo^ach  Instituut.    •Thermo-  en  Barometer -afnijkingcna.] 


M 


ÄbhfingigkciUveihÜtnisBe. 


369 


Darunter  waren  für  die  Thermometerabweichungen  129  Zeichenfolgen 
und  169  Zeichen  Wechsel,  für  die  Barometerahwejchungen  153  Zeichen- 
folgen und  145  Zeichen  Wechsel.  Sonach  findet  man  für  erstere  die 
wahrscheinhchen  Grenzen  der  W.  einer  Zeichenfolge  gleich; 


und: 


0,433  ±0,019 
Abb.  =■  0,149  —  0,029  ! 


L 


für  letztere  dagegen  als  wahrscheinbche  Grenzen  der  W.  einer  Zeichen- 
folge: 

0,513  ±0,020 
und: 

Ahh.  =  0,270  ±  0,029  ■ 

DemgemäB  besitzen  die  täglichen  Thermometer-  und  Barometersb- 
weichungcn  eine  entschiedene  Successiousabhängigkeit ,  während  die- 
selbe für  die  monatlichen  Temperaturabweichungen  —  wie  schon  in 
§  20  bemerkt  wurde  —  mit  wenig  Entschiedenheit  hervoilritt.] 

[Die  täglichen  Regenhöhen  sind  dagegen  —  nach  einer  Bemei"- 
kiing  in  §  21  —  frei  von  wesentlicher  Successionsahhängigkeit.  In 
der  That  ergeben  die  im  XXI.  Kapitel  als  Beispiel  für  die  logarith- 
niische  Behandlung  gewählten  Regenhöhen  des  Monats  Januar  für 
Genf  von  1845 — '892  unter  475  Successionen  Ton  Zeichen  165  Fol- 
gen gleicher  Zeichen.  Dabei  sind  sämtliche  477  Werte  ihrer  üeitlichen 
Aufeinanderfolge  nach  in  eine  Reihe  vereinigt,  und  die  Successionen 
gleicher  Werte  abwechselnd  den  Zunahmen  und  den  Abnahmen  bei- 
gerechnet worden.     Somit  findet  sich: 

Abh.  =  0,022  ±  0,022  . 

Von  diesem  Werte  unterscheidet  sich  nicht  wesenthch  das  Maß  der 
Abhängigkeit  für  die  Urliste  der  Bekmtenmaße,  deren  Successions- 
ahhängigkeit von  vornherein  als  unwesentHch  aufzufassen  ist,  da 
nicht  einzusehen  ist,  wie  hei  den  Rekrutenmeasungen  des  Anshehunga- 
geschäftes  eine  wesentliche  Abhängigkeit  in  der  Reilienfolge  der  Maße 
soll  ontsteheu  können.  Für  die  Reihe  der  360  Studentenrekruten- 
m;iB(',   die  in  Eap.  XX  zur  Bewährung  der  Extremgesetze  dienten, 


370  Abhängigkeitsverhältnisse. 

resultieren  nämlich  125  Zeichenfolgen  und  233  Zeichenwechsel,  wo- 
nach 

Abh.  =  0,023  —  0,025 

wird.  In  beiden  Fällen  schließen  die  Grenzwerte  des  Abhängigkeits- 
maßes den  Wert  o  des  idealen  Falles  voller  Unabhängigkeit  ein.] 

§  154.  [Ein  anderer  Weg  zur  Untersuchung  der  Successions- 
abhängigkeit  wurde  in  §  20  zugleich  mit  dem  bisher  erörterten  be- 
zeichnet. Er  gründet  sich  auf  die  Bemerkung,  dass  bei  voller  Unab- 
hängigkeit und  ohne  Störung  durch  unausgeglichene  Zufälligkeiten 
die  Anzahl  der  Folgen  von  je  zwei  oberhalb  oder  je  zwei  unterhalb 
der  Wertmitte  C  gelegenen  Maßwerten  gleich  sei  der  Anzahl  der 
Wechsel  zwischen  je  zwei  oberhalb  und  unterhalb  C  gelegenen  Werten. 
Werden  nämlich  die  Werte  oberhalb  C  durch  +  ,  die  Wert«  unter- 
halb C  durch  —  bezeichnet,  so  ist  die  W.  eines  positiven  Wertes 
ebenso  groß  wie  die  W.  eines  negativen;  es  ist  daher  auch  bei 
voller  Unabhängigkeit  jede  der  vier  möglichen  Successionen:  H-  +  ; 

;  -I ; h  gleich  wahrscheinlich.    Die  beiden  ersten  ergeben 

aber  je  eine  Zeichenfolge,  die  beiden  letzten  je  einen  Zeichenwechsel, 
so  dass  sowohl  für  eine  Zeichenfolge  als  auch  für  einen  Zeichen- 
wechsel die  W.  \  besteht.  Findet  man  nun  für  eine  in  dieser  Weise 
behandelte  Reihe  von  Werten  /*  Zeichenfolgen  und  t^  Zeichenwechsel 
bei  einer  hinreichend  großen  Anzahl  von  x  =  f+w  Successionen 
von  Zeichen,  so  können  ebenso  wie  oben  die  wahrscheinlichen  Gren- 
zen für  die  unbekannte  W.  x  einer  Zeichenfolge  aus  der  Umkehrung 
des  BERNouLLi'schen  Theorems  gleich: 

/  ±0.674  49  V^^ 

gefunden  werden.  Hier  wird  sich  der  Wert  fixhei  stattfindender  partieller 
Successionsabhängigkeit,  die  sich  als  Häufung  der  Folgen  im  Vergleiche 
zu  den  Wechseln  zu  erkennen  giebt,  zwischen  dem  Werte  | ,  der  für 
volle  Unabhängigkeit  gilt,  und  dem  Werte  i ,  der  für  f=z  volle  Ab- 
hängigkeit anzeigt,  halten.  Man  kann  daher  wiederum  in  dem  Ver- 
hältnisse des  Überschusses  der  partiellen  Abhängigkeit  über  die  volle 
Unabhängigkeit,  d.  i.  des  berechneten  x  über  ^,  zu  dem  Totalüberschusse 


Alihöi^gkätaverhSltmaBe,  371 

der  vollen  Abhängigkeit  über  die  volle  Tlnabliängigkeit,   d.  i.    von  i 
über  ^,  ein  Maß  der  Abhängigkeit  gewinnen  und 

Abh.=^^-t=2I-  I  ,  (5) 

(»der,  wenn  für  x  die  wahj-scheinlichen  Grenzwerte  genonuntm  werden, 


Abb.  = 


:  2  ■  0,6744g 


V^= 


-  ivH^gS 


yc^ 


[>>) 


setzen.  Auch  dieses  Maß  der  Abhängigkeit  behält  für  negative  Werte 
seine  Bedeutung,  indem  es  alsdann  das  Lljerwiegen  der  W.  eines 
Zeichenwechsels  Über  die  W,  einer  Zeichenfolge  anzeigt.] 

[Als  Beispiel  für  diese  Abhängigkeitsbestimmung  diene  einesteils 
die  Reihe  der  Monatsabweichungen  für  Berlin,  anderenteils  die  Reihe 
der  Rekrutenmaße,  deren  Succesaionsabhängigkeiten  nach  Formel  [4) 
bereits  berechnet  wurden,  so  dass  zugleich  ein  Vergleich  zwischen 
beiden  Weisen  der  Bestinunung  möglich  wird.] 

[Bezüglich  der  Monatsabweichungen  ist  zunächst  für  jeden  Mo- 
nat die  Wertmitte  C  zu  bestimmen.  Dieselbe  fällt  für  einige  Monate 
unterhalb,  für  die  Mehr/ahl  der  Monate  oberhalb  des  jeweiligen  viel- 
jahrigen  Mittels.  Es  kann  indessen  —  was  die  Anwendung  dieser 
Methode  sehi-  erleichtert  —  sehr  wohl  der  Mittelwert  selbst  als  Wert- 
mitte angenommen  werden,  so  dass  die  positiven  und  negativen  Ab- 
weichungswerte zugleich  als  -i-  Werte  und  —  Werte  im  Sinne  unserer 
Methode  gelten  dürfen.  Denn  die  12  Monate  ergeben,  zusammen- 
genonunen,  nach  Bestimmung  der  Zentralwerte  768  Zeichenfolgen 
und  665  Zcichenwechsel ;  bei  dii-ekter  Bezugnahme  auf  die  Mittel- 
werte dagegen  finden  sich  76g  Zeichenfolgen  und  664  Zeichenwechsel, 
was  keinen  wesentlichen  Unterschied  für  das  Ahhängigkeitsmaß  mit 
sich  führt.  Ans  erateren  Bestimmungen  resultieren  als  wahrschein- 
liche Grenzen  für  die  W.  einer  Zeichenfolge  die  Werte : 

0,536  ±  0,00g; 
aus  letzteren  die  Werte: 

0,537  —  0,009; 
und  im  erateren  Falle  wird: 


372  AbhSn^^lettiverhsltmHe. 

Abli.  =  0,072  ±  0,018 
im  letzteren  Falle: 

Abb.  =0,073  —  0,018  . 
Das  ÄbliängigkeitsmaB  (6)   fiiiirt   somit  liier  zu  größeren  Werten  als 
das  Äbbängigkeitsmaß  [4).] 

[Der  Zentralwert  C  der  360  Rc-ki-utenmaBe  findet  sieb  gleich 
71,75.  Hiemacb  ergeben  sieb  unter  359  Successionen  von  Zeichen 
165  Zeichenfolgen  und  194  Zeichen  Wechsel.  Die  wahrscheinlichen 
Grenzen  für  die  W.  einer  Reihenfolge  sind  daher: 

o,4öo±  0,018 
und: 

Abb.  ^  —  0,081  ±  0,035  - 

Man  erhält  demnach  in  diesem  Falle  einen  relativ  kleineren  Wert 
als  nach  Formel  [4);  derselbe  weicht  jedoch  in  stärkerem  Maße  von 
dem  idealen  Wei-te  o  ab.] 

§  155.  [Das  Ähhängigkeitsmaß  (6)  kann  auch  der  Bestimmung 
der  wechselweisen  Abhängigkeit  von  je  zwei  Dimensionen  eines  mehr- 
dimensionalen K.-G.  oder  von  Dimensionen  verschiedener,  aber  zeit- 
lich zusammengehöriger  K.-G.  dienstbar  gemacht  werden.  Zu  diesem 
Zwecke  bezeichne  man  das  Wach-sen  von  jeder  der  beiden  vergliche- 
nen Dimensionen  durch  -f ,  das  Abnehmen  durch  — ,  so  dass  eine 
Reihe  von  m  Paai-en  zusammengehöriger  "Werte  durch  m  —  i  Zeichen- 
paare +  +  , ,  -\ , h  charakterisiert  wird.  Unter  letz- 
teren werden  sich  bei  voller  Unabhängigkeit  der  beiden  Dimensionen 
von  einander  und  ohne  Hinzutreten  unausgeghchener  Zufälligkeiten 
ebensoviele  Zeichenfolgen  als  Zeichenwechsel  befinden,  da  die  W.  filr 
jede  der  vier  Arten  von  Zeichenpaaren  gleich  groß  anzunehmen  ist. 
Es  ist  daher,  wenn  unter  x  Beobachtungen  f  Folgen  und  «■  Wechsel 
auftreten,  die  W.  einer  Zeichenfolge  nach  Fonnel  (3)  zu  berechnen 
und  das  Äbbängigkeitsmaß  nach  Formel  (6)  zu  bestimmen.] 

So  besteht  beispielsweise  zwischen  der  Größe  des  Horizontalimi- 
fanges  und  des  vertikalen  Scheitelbogens  der  500  europäischen 
Mannersdiädel,  die  im  vorigen  Kapitel  der  Behandlung  von  Verhält- 
nissen zwischen  Dimensionen  als  Beispiel  dienten ,  eine  Abliängigkeit, 


ihla^kätorerliAltiiiäiel  373 

die  sich  nach  der  angegebenen  MeÜiode  wie  folgt  bestimmea  läast.  Die 
500  Schädelmaflse  sind  in  der  Urliste  in  34  Gruppen  von  6  bis  30 
Schädel  zusarmnengefaBSt  (die  beiden  ersten  enthalten  20  Breisgauer 
und  15  Schwaben;  die  beiden  letzten  6  Serben  und  22  Großrusaen); 
in  jeder  Gruppe  aber  sind  die  Maße  nach  wachsendem  Horizontal- 
umfange  geordnet.  Ich  zählte  nun  für  Jede  Gruppe  die  Anzald  der 
Zeichenfolgen  und  Zeichenwechsel  ab,  die  sich  für  den  Gang  der 
beiden  verglichenen  Werte  ergeben,  wobei  die  Fälle,  in  denen  ein 
Stillstand  in  der  Veränderung  einer  der  beiden  Größen  eintrat,  zur 
Hälfte  den  Folgen  und  zur  Hälfte  den  Wechseln  beigezählt  wurden. 
Hiemach  fanden  sich  273  Zeichenfolgen  und  193  Zeichenwecbsel 
unter  4Ö6  Zeicbenpaaren,  so  dass  sich: 


^^^■=-'^i^^'.»^V~- 


'93 


,172  ±0,031 


466  -  •'^^^"    '  46Ö' 

ergab.] 

[Ein  zweites  Beispiel  entnehme  ich  den  von  Prof.  Wblckeb  in 
der  Abhandlung!):  «die  Kapazität  und  die  drei  Hauptdurchmesser 
der  Schädelkapsel  <  mitgeteilten  Maßen  des  Innenraumes  I  und  der 
Länge  L,  Breite  B  und  Höhe  H  von  101  Schädeln  verschiedener 
Völkerschaften,  um  insbesondere  die  Abhängigkeit  des  Wklckke- 
schen  •  Schädelmodulus •  L-i-  B-'r  H  und  des  Produktes  L  ■  B •  H 
vom  zugehörigen  Irmenraume  zu  berechnen.  Werden  die  einzelnen, 
nacli  zunehmendem  Innenraume  geordneten  Schädelgruppeii ,  deren 
Anzahl  1 5  ist,  hier  ebenso  bebandelt  wie  bezüglich  der  Gruppen  der 
Horizontal-  oder  Vertikahiiaße  angegeben  wurde,  ao  resultieren  so- 
wohl für  L-\-  B-\-  H  und  I  als  auch  für  L.  B.  H  und  I  59,5 
Zeichenfolgen  gegenüber  26,5  Zeiclienwechsel  unter  86  Zeichenpaaren. 
Es  ist  somit  sowohl  für  die  Abhängigkeit  der  Summe  als  des  Pro- 
duktes der  drei  Hauptdurchmesser  vom  Innenraume: 


Abh.  =  'S^^  ±  ,,349=  V^^^^^  =  0,384  ±  0,067 
ZU  setzen.     Es  lassen   sich    denn    auch,    wie  Pi-of.  Welckek   in  der 


I)    Arehiv  fQr  Anthropologie.  Baiid  XVI.  Heft  1 


|J_I 


I 

I 


genannten   Abliamllmig  zeigt,   sowohl   den  Werten   von  L  +  B  +  H  J 
als  denjenigen  von  L  ■  B-  H  durcbsclinittliche  Innenraumswerte  tabel- 
larisch zuordnen,  die  es  gestatten,  auf  Grund  des  gemessenen  "Wertes  i 
der  Summe  oder  des  Produktes  der  drei  Hauptdui-chmesser  den   zu- 
gehörigen Innenraum  des  Schädels  angenäliert  zu  ermitteln.] 

[Eine  Verschärfung  dieser  Ahhängigkeitsbestimmung  wird  erzielt, 
wenn  die  Größe  des  Wachstums  oder  der  Almahme  fiii-  die  vergli- 
chenen Dimensionen  berücksichtigt  wird.  Dies  kann  durch  Bestim- 
mung des  Gewichtes  der  beobachteten  Zeichenfolgen  und  Zeichen- 
wechsel  in  folgender  Weise  geschehen.  Man  erteile  einem  Zeicbenpaare 
das  Gewicht  i ,  wenn  jede  Dimension  um  die  Maßeinheit  zunimmt 
oder  abnimmt,  und  setze  sonach  das  Gtewicht  jedes  Zeichenpaare» 
gleich  dem  Produkte  der  beiden  Größen,  um  welche  jede  der  beiden 
Dimensionen  zunimmt  oder  abnimmt.  Auf  diese  Weise  erhält  man 
an  Stelle  der  zuletzt  angegebenen  Abhängigkeitsbestimmung  zwischen 
der  Summe  und  dem  Produkte  der  drei  Hauptdurcbmesser  und  dem 
Innenraume  des  Schädels  für  L -{•  B  -\-  H  imd  I: 


Abb.  =  0,8436  z 


I 

L 


für  L-BH  und  I: 

Abb.  =0,8387  ±0,0008 

indem  erstenfalls  für  f  und  «•  die  Werte  45641  und  3871;  zweiten- 
falls  die  Werte  99886  und  8763  eintreten.  Wie  zu  erwarten,  ist 
das  Maß  der  Abhängigkeit  erheblich  größer  geworden,  olme  dass  ein 
wesentlicher  Unterschied  zwischen  dem  Abhängigkeitsverhältnisse  von 
L-\-  B-\- H  und  /  und  demjenigen  von  L-BH  uud  / sich  bemerk- 
bäi'  macht.  Wenn  daher  —  wie  die  WELCKER'schen  Ausfuliningen 
zeigen  —  das  Produkt  der  drei  Durchmesser  ein  empfindlicheres  Maß 
für  den  Lmenraum  liefert  als  ihx'e  Summe,  so  muas  bemerkt  werden, 
dass  unsere  Methode,  wenigstens  bei  der  relativ  geringen  Anzahl  von 
101  Schädeln,  eine  solche  Unterscheidung  nicht  gestattet.  Da  feraer 
diese  Abhängigkeitsbestimmung  durch  die  absolute  Größe  der  ver- 
glichenen Dimensionen  nicht  beeinflusst  wird,  sondern  nur  auf  deren 
Zunalmie  und  Abnalime  beruht,    so   kann    sie  auch  keinen  zahlen- 


I 


AbhängigkeitsverhSltnisBe.  375 

mäßigen  Beleg  dafür  geben,  dass  —  wie  gleichfalls  die  WBLCKER'sche 
Abhandlung  lehrt  —  die  tabellarische  Zuordnung  von  Innenraums- 
werten  zu  der  Summe  der  drei  Hauptdurchmesser  wesentlich  genauer 
wird,  wenn  der  sogenannte  Breitenindex  des  Schädels,  d.  i.  das  Ver- 
hältnis zwischen  seiner  Breite  und  seiner  Länge,  Berücksichtigung 
findet  und  dementsprechend  die  Schädel  von  dolichocephaler,  meso- 
cephaler  und  brachycephaler  Form  gesondert  behandelt  werden.  Zu 
diesem  Zwecke  müssten  die  Verhältnisse  zwischen  der  Summe  der 
drei  Durchmesser  einerseits  und  dem  Innenraume  andererseits  unter 
Berücksichtigung  des  Breitenindex  einer  kollektiven  Behandlung  unter- 
worfen werden.] 


Zweiter  Teil. 


Specielle  TJntersucliungen. 


1 


XXIY,  Über  den  räumlichen  und  zeitlichen  Zusammen- 
hang der  Variationen  der  Rekrutengröfse. 

§  156.  Die  Feldfriichte  bringen  es  je  nach  Beschaffenheit  der 
Jahrgänge  nicht  nur  zu  einem  verscliiedenen  ErtrHge,  sondern  wachsen 
auch  in  vei-gchiedenen  Jahren  bis  zu  einer  verschiedenen  Höhe  heran, 
was  hauptsäclilich  von  Temperatur-  und  Feuchtigkeitsverhültnissen 
der  verscliiedenen  Jahrgänge  abhängt.  Insofem  diese  Verhältnisse 
größeren  Landstrecken  gemeinsam  zukommen,  macht  sich  auch  ihr 
Einfluss  auf  das  Wachstum  der  Feldfi-iichte  im  Zusammenhange  für 
alle  Teile  solcher  Strecken  geltend;  ändert  sich  aber  von  Strecke  zu 
Strecke,  so  wie  sich  these  Verhältnisse  dafür  ändern. 

Es  fragt  sich,  ob  fiii-  die  Grüße  der  in  gleichen  Jahrgängen 
geborenen  Menschen  etwas  Entsprechendes  stattfindet,  ob  auch  sie 
sich  nach  Beschafl'enlieit  der  JaUr^nge  in  gewissem  Zusammenhange 
für  zusammenliänpeude  Landstriche  ändert,  ja  rielleiclit  gai-  im 
Zusammenhange  mit  der  der  Pflanzen  ändert.  Nun  lässt  sich  frei- 
lich kaum  ein  entsprechender  direkter  Einfluss  von  Temperatur-  und 
Feuchtigkeitsverhältnissen  atif  das  Wachstum  der  Menschen  wie  auf 
das  der  Pflanzen  voraussetzen;  auch  wachsen  die  Menschen  nicht  wie 
die  Feldfi-üchte  in  jedem  Jahre  vom  Keim  aus  neu  heran,  noch 
schließen  sie  ihr  Dasein  in  demselben  Jahre  ab,  so  dass  man  dabei 
nur  auf  die  Verhältnisse  eines  Jahres  zu  achten  hätte;  aber  es 
wäre  doch  denkbar,  dass  die  Fruchtbarkeit  eines  Jahres,  indem  sie 
die  EmähiTings Verhältnisse  der  Eltern  zur  Zeit  der  Eraeugung  des 
Kindes  oder  während  der  Schwangerschaft,  oder  des  Kindes  selbst 
während  der  Wachstumszeit,  insbesondere  der  ersten,  beeinflusste, 
auch    einen    indirekten   Einfluss    auf   das    Wachstum    des   Kindes 


3S2 


Variationen  der  RekmtengTAße. 


_ 


dürfte  die  folgende  Untersuchung ,  so  weit  sie  hat  geführt  werden 
können,  das  doppelte  Interesse  behalten,  einmal  dass  sie  Wege  be- 
zeichnet und  erörtert,  auf  denen  eine  solche  Untersuchung  überhaupt 
zu  führen,  zweitens  in  den  doch  bemerkenswerten  Resultaten,  die 
sich  damit  für  beschränkte  Räume  und  Epochen  erhalten  ließen, 
eine  Einladung  für  andere  enthält,  der  Untersuchung  weitere  Folge 
zu  geben. 

Bei  diesen  Vorteilen,  welche  flie  Rekrutenmaße  als  Unterhtge 
für  Unterauchungen  dieBcr  Art  überall  darbieten  könnten,  ist  nur 
zu  bedauern,  wie  schon  früher  berührt  worden,  dass  sie  in  den 
statistischen  Werken,  wo  man  die  Data  darüber  zu  suchen  hätte,  im 
allgemeinen  in  keiner  dazu  geeigneten  Form  dargeboten  sind.  Jahres- 
niittelwerte  A  finden  sich  teils  gar  nicht,  teils  nicht  in  binreichendpr 
Ausdehnung  oder  Folge,  Speüialisierung,  Schürfe  gezogen,  und  die 
Maßlisten,  so  weit  ich  solche  kenne,  nirgends  so  aufgestellt,  dass 
sich  solche  mit  Grenauigkeit  daraus  ziehen  ließen,  ihre  Ziehung  aus 
Urlißten  aber  erfordert  eine  mühselige  Arbeit,  und  die  Beschaffung 
der  Urhsten  seihst  steht  nicht  überall  zu  Gebote. 

§  157.  Hiemach  zur  allgemeinen  Bezeichnung  der  Metliode  der 
Untersuchung. 

Nennen  wir  überhaupt  die  Änderung  einer  Größe  von  einem 
Jahrgänge  zum  andei-en  Bewegung  der  Größe  und  sprechen  von 
einem  Parallelisnius  der  Bewegimg  zweier  Größen,  z.  B.  der  Jahres- 
mittel der  Reknitenmaße  in  zwei  benachbarten  Landesteilen,  wenn 
die  beiderseitigen  Bewegungen  dieselbe  Richtung  in  Abnahme  oder 
Zunahme  haben,  ohne  dazu  zu  verlangen,  wie  es  in  mathematischer 
Bedeutung  des  Wortes  Parallelismus  gefoi-dert  wäre,  dasa  die  Änderung 
beider  verglichenen  Größen  auch  gleich  groß  sei  oder  einander  pro- 
portional gehe;  genug,  wenn  sie  sich  nur  in  der  Richtung  korre- 
spondiert. F.in  Fall  des  Parallelismus  werde  mit  ,  |  ,  ein  Fall  des 
Nicbtparallelismus  oder,  wie  wii-  sagen  wollen,  Äntiparallelismus  mit 
X  bezeichnet;  die  Zahl  der  |  j  unter  einer  gegebenen  Zahl  x  ver- 
glichener BewegimgsfäUe  mit  p,  die  der  X  ruit  7-  Sollte  keine  Ab- 
hängigkeit beider  Größen  von  einandei-  oder  von  einer  gemeinsamen 
Ursache  stattfinden,   so   würde   im  Verfolg  durch  eine  größere  Reihe 


Variatioiten  der  RekrntengroBe.  3S3 

von  Jahren  und  mithin  von  BewCiBfungsfällen  die  |  |  mit  den  X 
gleichgültig  wechseln,  und  die  Zahl  beider  einander  nahe,  d.  i.  bis 
aui  unausgeglichene  Zufälligkeiten,  gleich  sein  müssen.  Sollten  alle 
Fälle  parallel  ausfallen,  so  hätt«  man  zu  schließen,  dass  eine  Ursache 
oder  eine  Zusammensetzung  mehrerer  Ursachen,  welche  auf  die  Be- 
wegung der  beiden  Größen  einwirkt,  alle  in  entgegengesetirtem  Sinne 
einwirkenden  stetig  überwiegt.  Sollte  nur  ein  erhebUchea  Übergewicht 
der  I  I  über  die  X  stattfinden,  so  würde  man  nach  Maßgabe  des 
größeren  Übergewichtes  es  auch  wahi^cheinlicher  finden  können, 
■dass  ein  gemeinsamer  Einfluss  in  betreffender  Hinsicht  zwar  statt- 
finde, der  aber  doch  mitunter  einem  Überwiegen  entgegengesetzter 
Einflüsse  Baum  gebe.  Sollten  endlich  die  X  ausschließhch  oder 
sehr  überwiegend  vorkommen,  so  würde  dies  nicht  eine  Unabhängig- 
keit beider  Größen  von  einander  beweisen,  sondern  dass  derselbe 
EJnfluss,  der  zur  Vergrößerung  der  einen  Größe  wirkt,  zur  Ver- 
minderung der  anderen  wirkt 

Äußer  dem  ParalleUsmus  und  Antiparallehsmus  im  angegebenen 
Sinne,  wobei  die  trroße  der  Bewegungen  nicht  beachtet  wird,  kann 
man  nun  aber  auch  noch  diese  Größe  in  Rücksicht  ziehen,  indem 
die  W.  einer  Abhängigkeit  oder  eines  gemeinsamen  Einflusses  sich 
erhebhch  verstärkt,  wenn  es  vorzugsis'eise  die  starken  Bewegungen 
sind,  bei  welchen  sich  der  Paralleliamus  oder  (bei  Wirkungsgegensatz) 
Antiparallelisnius  ausnahmslos  oder  weit  Überwiegend  zeigt;  indes 
man  bei  schwächeren  Bewegungen  dem  Einflüsse  unausgeglichener 
ZufälÜgkeiten  Rechnung  zu  tragen  hat,  und  es  ist  daher  in  Fällen, 
wo  eme  größere  Reihe  von  Jalirgüngen  vorliegt  [wie  in  Tab.  IQ, 
siehe  §  i6o)  zn-eckmäßig,  nachdem  man  erst  die  Bewegungen  nach 
der  Folge  der  Jahrgänge  aufgeführt  hat,  um  zu  sehen,  oh  sich  nicht 
das  Verhältnis  der  ,  |  und  X  im  Laufe  der  Zeit  auftüUig  ändert, 
sie  auch  noch  einmal  nach  Ordnung  der  Bewegungsgi'öße,  der  einen 
oder  anderen  Größe,  aufzuführen,  wo  sich  dann  die  zur  Voraus- 
setzung des  gemeinsamen  Einflusses  zutreffenden  Fälle  vorzugsweise 
auf  Seiten  der  größeren,  die  nicht  zutreffenden  und  gleichgültig 
wecliselnden  auf  Seiten  der  kleineren  Bewegungen  loisammonßnden 
müssen,  soll  ein  solcher  Einfluss  annehmbar  sein. 


384 


Vuiatioaeu  der  RekruteugröSe, 

Eiorboi  fragt  sich,   ob  das  Gewicht,  was  mi 


n  einem  Falle  von 
I  I  oder  X  beizulegen  hat,  der  Summe  oder  dem  Produkte  der  darein 
eingehenden  BeweguDgsgröBen  proportional  zu  nelmien  ist.  Unstreitig 
dem  Produkte,  weil,  wenn  die  eine  beider  Bewegungen,  die  in  einen 
Fall  eingehen,  null  ist,  das  Gewicht  des  Falles,  als  unentschieden 
zwischen  i  |  und  X,  hoU  sein  muss,  und  weil  Parallelismus  zwischen 
positiven  Bewegungen  dem  zwischen  negativen  Bewegungen  gleich 
gilt,  was  nur  durch  das  Produkt  beider  Bewegungen  zu  erzielen. 

Dies  vorausgeschickt,  wird  man  ein  noch  sicherere«  Urteil  als 
nach  der  bloßen  Zahl  der  |  |  und  X  durch  folgende  Berücksich- 
tigung der  Gewichte  gewinnen.  Man  nehme  die  Bewegungspi'odukte 
der  zusammengehörigen  Größen  sowohl  für  die  |  |  als  X  besonders, 
nenne  die  Summe  der  ersten  P,  die  der  zweiten  Q,  und  urteile  nun, 
statt  nach  dem  Verhältnisse  oder  verhältnismäßigen  Unterschiede  von 
p  zu  q,  nach  dem  von  P  zu  Q.  Wenn  ein  gemeinsamer  Einfluss  an- 
nehmbar sein  soll,  so  muss  nicht  nur  überhaupt  ein  bedeutendes 
verhältnismäßiges  Übergewicht  des  einen  von  beiden  Werten  P,  Q 
über  den  anderen  stattfinden,  sondern  auch  der  verhältnismäßige 
Unterschied  von  p  z\i  q  darin  übertroffen  werden,  kurz  [P —  Q): 
[P+  Q]  dem  absoluten  Werte  nach  größer  als  (p  —  q)'{p  +q]  sein, 
weil  bei  letzterem  Verhältnisse  das  größere  Gewicht  der  starken  Fälle 
zu  Gunsten  des  Einflusses  nicht  mit  in  Bücksicht  kommt.  Fs  ist 
also  in  jedem  Falle  uützhch,  sowohl  p  und  q  als  P  und  Q  zu  be- 
stimmen, um,  wenn  der  aus  dem  Verlialten  der  ersten  zu  ziehende 
Schluss  sich  nicht  durch  das  Verlialten  der  zweiten  noch  verstärkt, 
den  gemeinsamen  Einfluss  füi'  zweifelhaft  zu  halten. 

Die  Sicherheit  des  Schlusses  wächst  überhaupt  einerseits  mit  der 
Zahl  der  Bewegungsfälle  x,  andererseits  der  Größe  der  verhältnis- 
mäßigen Unterschiede 

p-q.   P-~Q 
p  +  q'    P-^Q' 

Aus  gar  zu  kleinem  s  oder  gar  zu  geringen  relativen  Überschüssen 
lässt  sich  überhaupt  kein  beachtenswertes  Ergebnis  ziehen;  je  mehr 
sich  beide  vergi-ößem,  und  in  je  stärkerem  Verhältnisse  sich  der 
zweite  über  den  ersten  vergrößert,  desto  näher  kommt  die  W.  eines 


V&rifttionen  der  'Rekniten^Se. 


385 


I 


Einflusses  der  Geivissheit,  und  es  wiirde  unstreitig  nichts  hindern, 
genauere  Wahracheinlichkeitsbestimniungen  in  dieser  Hinsicht  vor- 
zunehmen, worauf  ich  jedoch  hier  nicht  eingehen  will'),    - 

§  158.  Die  Bewegung  der  Maße,  dürft«  an  jedem  der  Haupt- 
werte A,  C,  D  verfolgt  werden  können,  die  leichteste  Bestimmung 
aber  -äen  praktischen  Ausschlag  geben;  und  in  diesei-  Hinsicht  C  um 
60  mehr  im  Vorteil  sein,  als  es  auch  noch  aus  Rekrutenmaßtafeln 
gewinntar  ist,  in  welchen  nach  dem  so  gewJihnllchen  Fehler  zur 
Vorzahl  und  Nachzahl  nicht  auch  die  Vorsiunme  und  Nachsumme 
angegeben  ist.  Will  man  sich  aber  die  Bildung  einer  Verteilungs- 
tafel  ganz  ersparen,  so  empfiehlt  sich  folgendes  Verfahren.  Man 
zähle  die  Zahl  der  Maße  ab,  welche  kleiner,  und  die,  welche 
größer  sind  als  ein  ein-  für  allemal  bestimmtes  Maß  oder  kleines 
Mftßintervall ,  nenne  die  Zahl  der  ersten  k,  die  der  anderen  g  und 
urteile  nun  nach  dem  Parallclismus  oder  Antiparallelismus  des  Ver- 
hältnisses g :  k  oder  g :  m.  Bei  den  belgischen  Maßen  habe  ich  daR 
InteiTall  1618  bis  1643  mm  dafür  angenommen,  wo  dann  g  die  Zahl 
der  Maße  bedeutet,  welche  größer  als  die  obere,  und  k  die  Zahl 
derer,  welche  kleiner  als  die  untere  Grenze  dieses  IntervaUes  sind; 
und  die  folgende  Untersuchung  wird  lehren,  dass  das  Urteil  hiemach 
mit  dem  Urteile  nach  C  wohl  stimmt,  indem  ich  bei  den  belgischen 
Maßen  g :  k  und  g :  m  zum  Teil  vergleichimgsweise  mit  C  angewandt 
habe.  Da  mir  jedoch  bei  den  siichsischen  Maßen  vollständige  pri- 
märe Tafeln  zu  Gebote  standen,  aus  denen  sicii  genaue  arithmetische 
Mittel  -4,  ziehen  heßen,  so  habe  ich  mich  hierbei  an  diese  gehalten. 

Da  die  Werte  J, ,  J,,  C,  g:k,  g.nt  sich  nicht  genau  proportional 
ändern,  so  wiii-den  allerdings  bei  kleinem  nt  und  schwacher  Bewegung 
Unterschiede  je  nach  dem  vergleichsweisen  Verfolg  der  Änderungen  des 
einen  oder  andei-eu  dieser  Werte  eintreten  können;  aber  fiSr  größeres  m 
und  stärkere  Bewegung,  welche  überhaupt  nur  ein  durchschlagendes 
Bestiltat  geben  können,  wird  der  Parallelismus,  wo  ein  solcher  wesent- 
lich besteht,  nicht  gestört  werden  können.  Dies  ließ  sich  für  A^  (primär), 


I)  [Vergl.  hierzu  §  t;s-  ^x  i*t  uur  oOtig,  den  Parnllctiamus  als  ZeicheDfolge, 
deo  AutipaialleliHmiis  ala  Zeichenwcthsel  eu  deuten,  um  nueu  direkten  AiiBchliiga 
au  die  dortigen  BestimmuDgeu  tu  gewinneu.] 

Fccniu,  KoUtktifBftDtdhn.  25 


der  Reknitcugrößc. 

J,  [reduziert)  im<l  C  (reduziorti  durch  einen  Vergleich  iu  dieser  Hinsicht 
nach  den  zwanzig  Jabrgiinge«  der  Studentenreki-utentafel  feststellen. 

Ülier  den  rüumlichen  Zusammenhang  der  Variationen 
der  Rekrutengroße. 
§  159.  An  sich  nun  liegt  nichts  Auffälliges  darin,  dass  die 
mittlei-en  Rekrutengi-ößen  an  demselben  Orte  variieren;  denn  wer 
kann  bei  der  Menge  zufälliger  umstände,  von  welchen  das  Größen- 
wachstum der  einzelnen  Menseben  abhängt,  erwart^^,  dass  die  Ver- 
schiedenheiten darin  sich  durch  die  Mitt^^lziehung  zu  ganz  denselben 
Werten  ein  Jahr  wie  das  andere  ausgleichen.  Allerthngs  aber  kann 
auifällig  erscheinen,  dass  die  Schwankungen  der  mittleren  Rekruten- 
größe zwischen  verschiedenen  Jahren  groß  genug  sind,  um  den  mit 
der  Rekrutenmessung  Betrauten  auch  ohne  Mittelziebung  spürbar  zu 
werden.  So  sagte  man  mir  auf  dem  Leipziger  Quartieramte ,  von 
dem  ich  Listen  für  die  Leipziger  Rekiniteu  einliolte,  dass  man  von 
guten  und  schlechten  Jalu-gungen  in  dieser  Hinsicht  spreche,  und 
ein  höherer  österreichischer  Offizier,  welcher  lange  Jahre  den  Rekruten- 
messungen vorgestanden,  erklärte,  als  man  ihm  von  meinen,  in  dieser 
Hinsiebt  gemachten  Bemerkungen  sprach:  Daran  könne  gar  nicht 
gezweifelt  werden,  dass  die  Rekmtengröße  sieb  nach  Jahrgängen 
ändere.  Mir  selbst  war  nämlich  aufgefallen,  als  ich  behufs  meiner 
allgemeinen  Untersuchung  arithmetische  Mittel  aus  den  17  Jahrgängen 
der  Leipziger  Stadtmaße  zog,  dass  der  letzte  Jahrgang  1862  das  Maxi- 
mum, der  vorletzte  1861  das  Minimum  aller  17  Jahrringe  gab,  und  der 
Unterschied  1,17  Zoll  erschien  mir  durch  seine  Größe  so  merkwürdig, 
dass  ich  ihm  näher  auf  den  Grund  zu  kommen  suchte.  Hiervon  hat 
die  ganze  folgende  Untersuchung  den  Ausgang  genommen. 

Zunächst  nämlich  entstand  der  Verdacht,  dass  der  große  Untere 
schied  auf  einem  konstanteu  Messungsfehler  von  entgegengesetzter 
Richtung  in  beiden  Jahren  beruhe.  Dann  Ueß  sich  nicht  erwarten, 
dass  er  sich  bei  anderswo  als  in  Leipzig  gestellten  und  gemessenen 
Rekraten  entsprechend  wiederfinde.  Ich  verschaffte  mir  also  die 
Urlisten  der  HaGe  für  die  drei  letzten  Jahrgänge  der  ganzen  Amts- 
.  Borna,    brachte    sie    in  Verteilnngstafeln    und  zog 


VariBäonen  der  RekniteDgrSße. 


3S7 


I 


<lie  Mittel  A  nicht  nur  filr  die  Teracliiedeneu  Jahi'gänge,  sondern 
auch  yerschiedencn  Abteilungen  der  AmtshaupttnannacLaft  Borna, 
und  es  fand  sich  das  überraschende  Resultat,  dass  ausnahmslos  in 
allen  die  Mittelmaße  der  Jahre  1860  und  1861  nahe  übereinstimmten, 
das  MittelmaB  von  i86a  aber  erheblich  großer  war,  dass  also  in  der 
ganzen  Amtshauptmannschaft  eine  parallele  Änderung  der  mittleren 
RekrutengröBe  im  Laufe  jener  Jahre  stattgefunden.  Dies  wird 
durch  folgende  Tabelle  belegt,  wobei  zu  bemerken,  dass  unter  dem 
Ausdrucke  Gerichtsamt  im  allgemeinen  Dorfschaften  und  kleine 
Flecken  begriffen  sind.  Von  den  Zeichen  |  |  und  Xi  welche  für 
den  Vergleich  zweier  Ortlichkeiten  bestimmt  sind,  ist  hier  noch  nicht 
Gebrauch   gemacht,   weil  es  mehrere  auf  einmal  zu  TCrgleichen  gilt. 

I.   Mittelwerte  A  für  zojährige   sächsische  Kekruten  in  den 

verschiedenen  Teilen  der  Amtshauptmannschaft  Borna 

in  den  Jahren  1860,  1861,   1862. 

[Gesamtes  w  :=  473^;  S^  t  sächs.  Zoll  =  23,6  mm.) 


i)  Stadt  Ldpiig 

3)  OeriohtBuiit  Leipog  I  und  11    . 

3)  Stadt  und  Gerii'htBAmt  Borna    . 

4;  GerichtBamt  Kötha 

5)  Stadt  uud  Gcrichtaumt  Fcgau  und 

Zwickau 

6,  Stadt    und    Oerichtsamt   Taucha 

und  Markranatidt 

7)  Studenten 


68,85 
69.39 
69,20 


68,74 
Ö9>34 
69,1a 


68,74    68,93 
.47!  7 


69,79 

69,94 


90 


603 
418 
185 


108 


» 


Gegamte  Amtahaiiptm&nDBch&ft  .  .  |  69,16  |  69,17  |  70,15!  158t  1503I1653 
Die  unten  stehenden  A  der  gesamten  Amtshauptmannschaft  sind 
nicht  die  Mittel  der  A  der  einzelnen  Distrikte,  sondern  aus  dem  ge- 
.samten  m  aller  im  Zusammenhange,  also  nicht  aingulär,  sondeni 
summarisch  (vergl.  §  7g)  bestimmt. 

Man  sieht  aus  dieser  Tabelle,  dass  selbst  die  Bewegung  in  den  so 
wenig  unterschiedenen  Jahren  1860  und  1861  in  allen  Gebietsteilen 
der    Amtühauptmannschaft    Borna ,    ausgenommen   Kr.  6 ,    parallel 


3S6' 


Varistionen  der  Kckmtengrtfle. 


gellt,  indem  <lft8  Ä  von  i86f  sonst  überall  kleiniT  als  da»  von  1860  ist; 
jene  Ausnähme  aber  kann 'bei  dem  kleinen  /«  von  Nr.  6  rncbt  be- 
fremden. Vielmehr  gestehe  ich,  mich  bei  dem  überall  nicht  großen 
m  und  kleinen  Unterscliiede  beider  JalirP  durch  den  in  allen  übrigen 
GfljietAteileo  vorhandenen  Parallelisrans  überrascht  zu  ihiden,  da  man 
ihn  unter  solchen  Bedingungen  den  unauageglichenen  Zufälligkeiten 
gegenüber  wi«lor  ülierall  erwarten  kann,  noch  wiedei'findet 

Die  Leipziger,  unter  denen  bemerktermaBen  die  Studenten  nicllt 
niit^Kählt:  sind,  und  die  Studenten  verdienen  in  vorstehender  Tabelle 
insofern'  eine  besondeif  Beachtung,  als  erstere  zu  einem  gro&en 
Teili*,  letztere  selbstverständlich  aus  den  verschiedensten  Teilen 
Sachsens  stammen.  Wenn  also  der  beobachtete  große  Unterschied 
zwischen  1862  und  den  beiden  vorhergehenden  Jahren  nicht  in  einem 
MessungsfelUer  gesucht  werden  konnte,  so  niusste  er  überhaupt  ein 
allgemeineres  Phänomen  sein. 

Um  eine  Untereuchung  hierüber  auf  einen  Teil  Sachsens  zu 
richten,  der  von  dem  bisher  untersuchten  möglichst  verschieden  sei, 
verschaffte  icli  mir  die  Rekrutenmaßlisten  derselben  di-ei  Jahre, 
welche  vorhin  untersucht  wm-den ,  von  der  Amhiliauptmannschaft 
Ännaberg.  In  der  Tlmt  sind  die  Verhältnisse  der  Annaherger  Amts- 
hauptmannschaft von  denen  der  Bonia'schen  sehr  verechieden.  Diese 
liegt  am  nördlichen,  jene  am  südlichen  Ende  Sachsens,  diese  enthält 
ebenes  Land  mit  einer  großen  Stadt  und  verhältnismäßig  guten 
N'ahrungsqHellen ,  jene  gebirgiges  Terrain  bloß  mit  kleinen  Städten 
und  Dorf  Schäften  und  einer  verhältnismäßig  annen  Bevölkerung. 
Die  Ergebnisse  sind  in  folgender  Tabelle  enthalten. 

11.    Mittelwerte  Ä  der  Maße  in  der  Amtshauptmannschaft 

Annaherg  in  den  Jahren   1860,   1861,   1862. 

(Gesamtes  m  =  3067  ;  5  =  i  Zoll.) 


Ä 

1860  1  1861  '   i86z 

I1860!  1861 

1863 

68,85    69,04 

g          ||    ,^^ 

359 

454 

69,04 

Ddrtyainfföi' 

68,99    68,87 

6,1 8 

5Ö.S 

682 

68,94    68,94 

69,1z 

1007 

924 

1136 

Varifttioucn  der  Bekruten^ße.  389 

Vergleicht  man  nun  zuvürderet  die ,  Größeniieweguiig  für  dif 
gesamte  A.-H.  Ännaberg  mit  der  fUr  die  geaamte  A-H-  , Borna 
nach  den  Sdüuss-BeBiUtaten  der  Tabuen  I  uttd  IT,  so  findet  num, 
i)  dass  füi-  Ännaberg  1860  und  1861  nicht  u,der  nur  bei  Beriidt- 
sichtigung  dritter  Dezimalen  uin  einen  unwesentlichen  negativen  Bradi- 
teil,  hiergegen  1861  und  1862  ^lel  erheblicher,  d.  i.  iini  -l-o,i8,  sich 
unterscheiden,  2)  dass  diese  Bewegungen  mit  denen  deriBorna'sch^n 
A.-H.  wirklich  parallel  gehen;  also  in  beider  HiuEicht  eiji  gemoip- 
samer  EinUuss  sich  verrät.  Nui'  ist  der  Kiniluss  für  die  A.'H-  -Anna^ 
berg  viel  geringer  oder  mehr  dui^ch  Einflüsse  entgegeugeaetzter  Art 
aufgewogen  als  für  die  Ä,-:H.  Borna,,  wo  die  ent^irecbenden  Be- 
wegungen —  0,0g  und  +  0,98  waren.  Doch  ist  +  0,18  immer  noch 
doppelt  so  groß,  als  der  aus  den  Datis  berechenbare  wahrscheinliche 
Untf  rschied  dr  0,09 ').  Auch  zwischen  Städten  und  Dorfschaften 
der  A.-H.  Annaherg  findet  sich  der  ParalleUsmus  in  den  Jahren 
1861  und  1862  wieder,  und  nur  in  den  .Tahren  1860  und  1861,  auf 
die  mit  Sicherheit  überhaupt  nicht  zu  rechnen,  fehlt  er  hier. 

Insoweit  sich  nun  aus  vorigen,  noch  Hehr  beschränkten  Daten 
überhaupt  ein  Schluss  ziehen  lässt,  würde  es  der  sein,  dass  sich  in 
den  betreffenden  Jaliren  zwar  ein  sehr  aUgemeiner  Einfluss  gleicher 
Richtung  auf  die  GröBenbewegung  über  ganz  Sachsen  erstreckt  hat, 
der  aber  durch  lokale  Gegenwirkungen  in  der  A.-H.  Annaberg  nur 
in  stark  vermindertem  Grade  hat  zur  Geltung  konunen  können.  Und 
dass  überhaupt  in  der  A.-H.  Annaberg  andere  Bedingungen  der 
Größenentwicklung  stattfinden  als  in  der  A.-H.  Borna,  ergiebt  sich 
direkt  daraus,  dass  auch  die  Mittelmaße  in  jener  absolut  kleiner 
sind,  als  sie  sich  in  dieser  gefunden  haben. 

§  160.  Nachdem  die  Frage  des  Parallelismus  im  Vorigen  bloß 
durch  Folgen  von  je  drei  Jahren  verfolgt  war,  hatte  es  unstreitig  ein 
Interesse,  sie  durch  eine  längere  Beihe  von  Jabren  zu  verfolgen,  wobei 
sich  die  Behauptimg  zu  bewähren  hatte,  dass  der  Parallelismus  voi-- 
zugsweise    bei    den    größeren    Bewegungen    zu   suchen.      In    dieser 


I)  Denelbe  wurde  gefunden,  indem  sowohl  tilr  1S61  als  fQr  1S61  der  wolir- 
scheinliche  Fehler  iu  .deriBeatimmuug  des  A  liereclitict  utid  aua  der  Summe  ihrer 
Quadrate  die  Quadratwiinel  geiogeu  wurde. 


390 


Variationen  der  RekrutengrOße. 


Beziehung  haben  mir  von  sächsischen  Maßen  zum  Vergleiche  nur  die 
Leipziger  Stadtmaße  mit  den  darin  nicht  eingehenden  Studenten- 
maßen  von  1846 — 1862  zu  Grebote  gestanden;  und  ich  gebe  in  folgen- 
der Tabelle  das  Ergebnis  des  Vergleiches.  Nachdem  darin  für  das 
erste  Jahr  der  volle  "Wert  des  J,  angegeben  ist,  sind  folgends  bloß 
die  Bewegungen  jedes  Jahres  vom  je  vorhergehenden  angegeben. 
Dabei  halte  man  im  Auge,  dass  das  einer  Bewegung  beistehende 
Jahr  stets  das  zweite  von  den  beiden  ist,  wozwischen  die  Bewegung 
stattfindet.  Wenn  also  z.  B.  dem  Jahre  1849  die  Zahl  — 0,12  bei- 
steht, so  heisst  dies,  das  J,  des  Jahres  1849  war  um  0,12  Zoll 
kleiner,  als  das  des  vorhergehenden  Jahres  1848. 


in.   Größenbewegungen  von  -4,  der  Leipziger  Stadtmaße 
und  der  Studentenmaße  von  1846 — 1862  inkl. 


Jahr 

Leipziger 

Studenten    i 

1846 

69,19 

72,07 

1847 

+  0,10 

0,37 

X 

1848 

+  0,28 

+  0,40 

1 

1849  i 

—  0,12 

0,79 

1 

1850 

+  0,37 

+  0,70 

II 

1851 

—  0,18 

+  0.55 

X 

1852   [ 

—  0,11 

—  1,02 

11 

1853  ; 

+  0,52 

+  0,24 

1 

1854 

—  0,04 

+  0,27 

X 

1855 

—  0,28 

+  0,05 

X 

1856 

+  0,15 

—  0,06 

X 

1857 

—  0,28 

—  0,41 

1858 

+  0,44 

+  0,24 

1859 

—  0,89 

—  0,96 

1 

1860 

+  0,04 

+  0,56 

1861  1 

—  0,11 

—  0,42 

1 

1862  ; 

+  1,17 

+  0,84 

11 

-v__ 

'-Q-ofi 

87. 

i>  +  7~°'"^'     i'+Q 


Variatianen  der  RekrutengraBe. 


391 


Man  sieht  nim  zuvörderst  im  allgemeinen,  dans  die  parallelen 
FäUe  die  antiparallelen  Fälle  bei  weitem  überwiegen ;  und  stallt  man 
die  Tabelle  nach  der  Größenfolge  der  Maße  um,  so  gehen  bei  Ordnung 
nach  den  Leipziger  Maßen  die  ersten  sechs  Bewegungen  ausnahmslos, 
nach  den  Studenten  die  ersten  zehn  nui-  mit  Ausnahme  von  185 1 
einander  parallel,  erst  von  da  wechseln  |  ,  und  X  ziemlich  gleich- 
gültig, woraus  das  große  Verhältnis  von  P  za  Q  folgt.  Dabei  ist 
doch  auffällig,  dass  der  stärksten  Bewegung  bei  den  Studenten  von 
1851 — 52  gleich —  1,02  nur  eine  sehr  unbedeutende,  wennschon  von 
gleicher  lEichtung  gleich  —  0,11  bei  den  Leipzigern  entspricht.  Durch 
sorgfältige  Hevision  habe  ich  mich  übei-zeugt,  dass  dies  nicht  von 
einem  Rechenversehen  meinerseits  abhängt.  Übrigens  ist  nicht  außer 
Acht  zu  lassen,  dass  das  verhältnismäßig  gelinge  m  jedes  Jahrganges 
bei  den  Studenten  die  Sicherheit  der  Bestimmung  schwächt. 

Anstatt  wie  in  voriger  Tabelle  die  Bewegung  von  einem  Jahre 
zum  Je  nächsten  zu  verfolgen,  kann  man  sie  auch  TOn  einem  ersten 
zu  einem  je  späteren  verfolgen  und  die  Ergebnisse  dafür  sehr  ein- 
fach aus  einer  Tabelle  wie  der  vorigen  ableiten,  indem  man  die  Be- 
wegungen durch  die  beti^effenden  .fahre  algebraisch,  d.  h.  mit  Rück- 
sicht auf  die  Vorzeichen  aiUliert;  so  erhält  man  die  Bewegungen: 


I 


Jahr 

LeipMger       Studenten 

■  S46-48 
1848-50 

+  0,38     I    +0,03 
+  o,!5         -0,09 

mit  Bechs  p,  zwei  q.     Doch  bleiben  wir  bei  der  ersten ,  so  zu  sagen 
elementaren  Tafel  stehen. 

Diese  Tabelle  giebt  noch  Gelegenheit,  zu  untersuchen,  ob  und 
in  welchem  Verhältnisse  überhaupt  die  BewegUehkeit  großer  auf  Seite 
der  Leipziger  oder  Studenten  ist,  wozu  es  niu"  nötig  ist,  die  Summe 
der  Bewegungen  jederseits  ohne  Rücksicht  auf  das  Vorzeichen  zu 
nehmen,  was  für  die  Leipziger  5,08,  für  die  Studenten  7,88  giebt; 
also  einen  erheblichen  Überschuss  auf  Seiten  der  Studenten;  was 
unstreitig  davon  abhängt,  dass  die  Gesamtheit  einer  Bevölkerung  aus 


392  Variationen  der  Kekrutengrfiiße. 

allen  Ständen  viel  mannigfaltigeren,  zum  Teil  sich  zerstörenden  Ein- 
flüssen unterliegt  als  die  wohlhabenderen  Klassen. 

Addiert  man  andererseits  die  Bewegungen  in  ,-f-  und  in  —  für 
jede  Seite  besonders,  so  erfährt  man,  wie  viel  im  ganzen  auf  jeder 
Seite  die  Variation  der  Größe  in  H-  und  in  ; —  betragen  hat,  was 
für  die  Leipziger  Stadtmaße  .+  3,07  und  —  2,01  giebt,  also  ein 
nicht  unerhebliches  Wachstum  im  ganzen,  wogegen  die  .Studenten 
rh  3,85  und  —  4,03  geben,  also  fast  Gleichgewicht  zwischen  Zunahme 
und  Abnahme. 

Unstreitig  hat  man  zu  erwarten,  dass  in  Jahren,  .welche  ein 
größeres  Durchschnittsmaß  Ä  geben,  auch  riesigere  Resultate  als 
obere  Extreme  jE"  vorkommen,  überhaupt  A  und  E'  überwiegend 
parallel  gehen.  Auch  hat  sich  dies  bei  Zusammennehmen  von  je 
drei  oberen  Extremen  für  jeden  Jahrgang  (um  Zufälligkeiten  besser 
zu  kompensieren)  für  Leipziger  wie  Studenten  insbesondere  bestätigt; 
dort  bei  1 6  Bewegungen  zwischen  1 7  Jahrgängen  jp  =  10,5  *) ;  g  ==  5,5  ; 
P=  18,03;  ^=^=1,23;  hier  bei  19  Bewegungen  zwischen  20  Jahr- 
gängen p=ii]  q^S;  P=2i,33;  ^==6,84.  Nun  sollte  man 
weiter  erwarten,  dass  in  Jahren  mit  größerem  Ä  auch  das  untere 
Extrem  E,  wüchse,  d.  h.  mit  wachsendem  Durcbschnittsmaße  auch 
die  kleinsten  Rekruten  mit  wachsen,  und  auch  dies  hat  sich,  nach 
Zusammennehmen  von  je  drei  Minimalmaßen  in  jedem  Jahre,  bei 
den  Studenten  so  gefunden:  p=  14;  q=  s\  -P=  i9>73J  Q=  10,99. 
Sehr  merkwürdig  aber  lieferten  die  Leipziger  gerade  das  imigekehrte 
Resultat:  ^  =  4,5;  (/=:ii,5;  P=3,23;  Q=22,62,  so  dass  mit 
steigendem  IVIittelmaße  die  kleinsten  Rekruten  sich  im  ganzen  viel- 
mehr verkleinerten  als  vergrößeilen.  Dies  mit  so  großer  Entschieden- 
heit lier\^ortretende  Ergebnis  erscheint  mir  merkwürdig,  und  ich  weiß 
zunächst  keine  Erklärung  dafür  zu  geben. 

Man  kann  femer,  so  wie  oben  die  Beweglichkeit  des  A  für 
Leipziger  und  Studenten  ohne  Rücksicht  auf  das  Vorzeichen  der 
Bewegungen  verglichen  wurde,  diesen  Vergleich  auch  in  Bezug  auf 
die  Extreme  vornelnnen.     Der  Vergleichbai'keit  mit  den  Leipzigern 


I;   Die  0,5  rührt  daher,    dass    eine  Bewegung  von  Niülgröße   zwischen   zwei 
Jahrgängen  vorkam,  wo  dann  0,5  sowohl  zu  p  als  zu  q  zu  schlagen  ist 


YanationeD  der  Bekrutengröße. 


393 


halber  nehme  ich  bei  den  Studenten  wie  oben  nur  auf  dieselben 
17  Jahrgänge  1846—1862  Bücksicht,  welche  für  die  Leipziger  gelten, 
und  ziehe  zur  besseren  Ausgleichung  der  Zufälhgkeiten  nicht  bloß 
die  Bewegung  der  äußersten  Extreme,  sondern  der  Mittel  aus  je  drei 
äußersten  Werten  in  Betracht.  Dies  giebt  folgende  Zusammenstellung: 

IV.    Bewegungssumme  durch  17  Jahrgänge. 


Für  d.  Mittel 
aus  d.  Totalität 


Leipziger 
Studenten 


7,88 


Für  d.  Mittel 
aus  3  Mioim. 


27,17 


Für  d.  Mittel 
aus  3  Maxim. 


14,67 
16,00 


Überall  also  sind  die  arithmetischen  Mittel  A  der  Totalität 
minder  beweglich  als  die  bloß  als  Mittel  von  je  drei  äußersten  Werten 
abgeleiteten  Extreme,  was  nicht  befremden  kann,  und  wären  bloß  die 
alleräußersten  Extreme  in  Betracht  gezogen  worden,  so  würde  sich 
die  Beweglichkeit  noch  größer  dafür  herausgestellt  haben. 

Außerdem  aber  kann  man  wieder  den  großen  Unterschied  zwischen 
Leipziger  und  ^  Studenten  in  den  Minimis  bemerken,  während  bei  den 
Maximis  fast  Ubereinstinmiung  zwischen  beiden  stattfindet.  Bei  den 
Studenten  ist  die  Beweglichkeit  der  Minima  ungefähr  gleich  der  der 
Maxima,  bei  den  Leipzigern  fast  doppelt  so  groß.  Alles  das  aber 
stimmt  wohl  mit  der  früher  *)  aufgestellten  Annahme  zusammen,  dass 
die  kleinsten  Werte  bei  den  Leipzigern  abnorm  sind. 

§  161.  Näher  zugesehen  kann  der  vorwiegende  *  Parallelismus, 
der  sich  in  Vorigem  zwischen  Leipzigern  und  Studenten  heraus- 
gestellt hat,  nicht  sowohl  einen  solchen  für  verschiedene  Landesteile 
als  für  einen  selir  gemischten  und  für  einen  gewisseimaßen  bevor- 
zugten Teil  der  sächsischen  Bevölkerung  beweisen,  da  bemerkter- 
maßen  die  Leipziger  zu  einem  großen  Teile,  die  Studenten  überhaupt 
aus  allen  Teilen  des  Landes  herrühren.  Sofern  nun  das  vorher  er- 
haltene Resultat  für  verscliiedene  Distrikte  Sachsens  nur  auf  sehr 
beschränkten  Baiun  und  sehr  bescliränkte  Zeit  sich  bezieht,  musste 
eine  ausgedehnte  Bestätigung  nach  beider  Hinsicht  erwünscht  sein; 


i)  [Vergl.  §  15  und  §  laS.] 


394 


V&TÜticH 


T  BelcnitengrBSc 


wozu  nun  eben  die  belgischen  Maße  einen  erwünschten  Anhalt  dai'- 
hoten,  die  durch  einen  langen  Zeitraum  in  übereinstimmender  Weise 
nicht  nur  für  das  ganze  Land,  sondern  auch  für  die  einzelnen  Pro- 
vinzen [Departemeuts)  in  den  »Documenta  Statistiques«  von  Belgien 
und  einem  früheren  Expose ')  tabellarisch  verzeichnet  sind.  Da  aber 
Jahrgänge  mit  schwacher  Bewegung  des  A  oder  C  für  ein  ganzes 
Land  überhaupt  kein  sicheres  Vorwiegen  des  Parallelismus  für  die 
einzelnen  Landesteile  erwarten  lassen,  so  habe  ich  den  Vergleich 
nur  für  stärkere  Bewegungen,  wo  sich  solche  für  ganz  Belgien  finden 
lassen,  angestellt  und  daau  die  Bewegungen  zwischen  folgenden 
Jahren  und  Epochen  gewählt: 

i)  1852  und  1858; 

a)  die  zwei  fünfjäJirigen  Epochen  1851 — 55;  1856 — 60; 

3)  zwei  Unterepochen  der  ersten  dieser  fünfjährigen  Epochen, 
d.  i.  1851—53  und  1854—55. 
Was  Abteilung  i)  anlangt,  so  liegen  1852  und  1858  zwar  ausein- 
ander, es  hindert  aber  bemerttermaßen  nichts,  die  Größenbewegmig 
auch  zwischen  zwei  von  einander  entfernten  Jahrgängen  zu  hetrach- 
ten;  jene  Jahrgänge  aber  sind  deshalb  gewählt,  weil  der  erste  das 
Maximum,  der  letzte  das  Minimum  der  C  und  g:k  in  einer  längeren 
Folge  von  Jalirgängen  enthält,  mithin  der  Parallelismus  der  GrÖBen- 
bewegung  zwischen  verschiedenen  Landesteilen,  wenn  ein  solcher 
überhaupt  bestand,  am  wenigsten  GefaJir  lief,  durch  unausgeglichene 
Zufälligkeiten  überwogen  und  versteckt  zu  werden.  —  Die  Abtl.  2) 
anlangend,  so  sind  auch  diese  Epochen  darnach  unterschieden,  dass 
sich  die  C,  sowie  die  g :  h  derselben  zienüich  unterscheiden.  —  Die 
Abtl.  3)  ist  eine  Speziahsierung  der  ersten  Abtl.  von  2). 

Zu  i)  sind  bloß  die  g:fc,  zu  2)  die  f^und^:^,  zu  3)  die  C 
und  g :  m  bestimmt.  Die  Bestimmung  dieser  Werte  ist  bei  2)  und 
3)  summarisch  für  die  in  jede  Epoche  eingehenden  Jahre  nach  Zu- 
sammenfassung der  denselben  MaBintervallen  zugehörigen  Maßzahlen, 
(nicht  singulär  als  Mittel  der  Bestimmungen  aus  den  einzelnen 
Jahren)   geschehen;   dasselbe  gilt  von  dem  Schluss-C  jeder  Epoelie, 


1)  [Expose  df  Li  Sitimtiüu  du  RoyHi 


1852., 


Variatiouen  der  RekruteugreGe. 


395 


■was  in  folgentfeu  Tabellen  (VI  und  VII)  in  der  untersten  QuerRpalte 
(Royatune)  steht,  beziigüch  der  einzelnen  Provinzen  statt  Jahre. 

Der  absolute  Wei-t  des  C  oder  g:k  ist  bloß  für  das  erste  der 
Terglichenen  Jahre  oder  Epochen  angegeben;  für  das  zweite  wieder 
die  Bewegimg  dazu,  so  dass  z,  B.  in  der  ersten  der  folgenden  Ta^ 
bellen  1,776  |  — o,i8z  steht  für:   1,776  |  1,594. 

Parallelismua  oder  Antiparallelismus  zwischen  den  verschiedenen 
Provinzen  nun  findet  statt,  je  nachdem  die  Vorzeichen  der  Bewe- 
gungen in  derselben  Vertikalkolumne  übereinstimmen  oder  nicht, 
wonach  man  sieht,  dass  unter  den  27  Bewegungen,  die  in  den  folgen- 
den drei  Tabellen  für  die  neun  Provinzen  Belgiens  verzeichnet  sind,  eine 
einzige  ilj&ge  in  der  3.  Tabelle)  sich  dem  Parallehsmus  entzieht, 
(ohne  dass  ich  bei  Revision  der  Rechnung  einen  Irrtum  betreffs  die- 
ser Ausnahme  finden  konnte}  wonach  ein  gemeinsamer  Einfiuss  auf 
die  BewegTxng  durch  ganz  Belgien  unzweifelhaft  ist. 

Die  Größe  der  parallelen  Bewegungen  in  den  verschiedenen  Pro- 
vinzen ist  jedoch  sehr  verschieden  und  hier  und  da  so  gering,  um 
leicht  einseben  zu  lassen,  dass,  wenn  man  die  Bewegung  zwischen 
Jahren  oder  Epochen  hätte  verfolgen  wollen,  wo  sie  für  ganz  Belgien 
gering  ist,  genug  antiparallele  Fälle  für  die  Provinzen  eingetreten 
sein  würden,  natürlich  also  auch,  wenn  man  sie  durch  alle  einzelnen 
Jahre  hinter  einander,  so  wie  es  bezüglich  der  Leipziger  und  Studen- 
ten geschehen  ist,  hätte  verfolgen  wollen,  nur  würde  immer  ein  über- 
gewicht der  parallelen  Fälle  zu  erwarten  sein. 

Jedenfalls  wäre  es  nicht  ohne  Interesse,  diesen  Vergleich  vm-k- 
lich  in  solcher  Weise  für  die  Provinzen  Belgiens  durchzuführen,  wo 
sich  vielleicht  manche  charakteristische  Unterschiede  für  dieselben 
ergeben  könnten;  und  die  Documents  Statistiques  bieten  dazu  das 
genügende  Material;  indessen  kann  ich  selbst  auf  diese,  im  Grunde 
sehr  einfach  auszuführende,  doch  ins  Weite  führende  Erweitei-ung 
der  Untersuchung  nicht  eingehen. 

Man  kann  sich  übrigens  aus  den  folgenden  Tabellen  über- 
zeugen, dass  die  Beurteilung  der  Bewegungen  nach  den  g :  k  oder 
g:m  zu  denselben  Resultaten  fülirt,  als  nacli  den  C;  kann  sich 
alao  bei   etwaiger  Vornahme  vorstehender  Untersuchung  die  etwas 


L 


396 


Variationen  der  Bekrutengröße. 


umständliche  Bestimmung  des  C  durch  Ersatz  mittelst  voriger  Wert 
ersparen. 


V.  Größenbewegung  in  den  einzelnen  Provinzen  Belgiens 

von  1852  zu  1858. 


i           9' 

k 

m 

1852 

1858 

1852 

1858 

Anverg 

1,776 

—  0,182 

3249 

3796 

Brabant .     . 

1,832 

.  —  0,558 

5490 

6208 

Flandr.  occ. 

1,209 

—  0,179 

5144 

5782 

Flandr.  or. 

1,083 

—  0,074 

6525 

7307 

Hainaut 

1,471 

—  0,330 

6133 

7377 

Liöge     .     .     . 

1,600 

—  0,437 

3634 

4566 

Tiimbourg  . 

2,119 

—  0,513 

1608 

1803 

Luxembourg  . 

2,293 

—  0,819 

1544 

1782 

Namur   .     .     . 

2,915 

—  0,832 

2257 

2666 

Koyaiime    .     . 

1,539 

0,310 

35584 

41287 

VI.  Größenbewegung,  in  den  einzelnen  Provinzen  Belgiens  in 
folgenden  zwei  Epochen:   i.  Epoche:  fünf  Jahre,  1851 — 1855; 

2.  Epoche:  fünf  Jahre,  1856 — 1860. 


c 

9 

'.k             i               m 

I.Epoche 

2.  Epoche; 

I.Epoche 

2.  Epoche 

I.Epoche  2. Epoche 

Anvers      .... 

mm 
1645,8 

-3,6 

1,584 

0,097 

17368 

18382 

Brabant    .     . 

1650,4 

9,4 

1,767 

—  0,389 

29301 

3  0444 

Flandr.  occ.  . 

1634,7 

—  0,2 

1,124 

0,005 

28169 

28471 

Flandr.  or.    . 

1633,2 

1,1 

^,075 

—  0,027 

34648 

,35483 

Hainaut    .     . 

1638,1 

-1,8 

1,289 

—  0,081 

33063 

36204 

liege    .     .     . 

1647,6 

6,9 

1,602 

0,259 

19842 

22206 

Limbourg 

1656,7 

-6,3 

2,021 

0,378 

8696 

8837 

Luxembourg 

1658,6 

—  9,4 

2,167 

—  0,460 

8279 

8823 

'Namur .     .     . 

1662,3 

■  —  5,3 

2,344 

—  0,264 

12102 

12921 

Royaume  .     .     . 

16.43,1 

3»7 

1,443 

—  0,140, 

1191468 

201771 

Variationen  der  Rekrutengröße. 


397 


Vn.    Größenbewegung  in  den  einzelnen  Provinzen  Belgiens 
in  folgenden  zwei  Epochen:  i.  Epoche:  drei  Jahre,  1851 — 1853; 

2.  Epoche:  zwei  Jahre,  1854 — 1855. 


Anvers  .  , 
Brabant  .  . 
Flandr.  occ.  . 
Flandr.  or.  . 
Hainaiit  . 
Liöge  .  .  . 
Limbourg 
Liixembourg 
Namur .     . 


Rovaume  . 


C  11  9 

1 851-53  |i854-S5>N853^-53 


m 


mm 


1650,6 

1651,3 

1635,8 

1634,9 

1639,4 
1646,0 

1658,3 
1658,9 

1664,2 


—  10,8 

—  2,1 

—  2,9 

—  4,0 

-  3,1 
+  3,6 

-  3,8 
~  0,7 

-  4,5 


0,538 
0,540 

0,454 
0,450 
0,472 

0,513 
0,586 

0,582 

0,608 


m 


1854-55 11851-53 


—  0,062 

—  0,013 

—  0,013 

—  0,022 

—  0,020 
+  0,021 

—  0,021 

—  0,006 

—  0,012 


9992 

17268 

16511 

20419 

19088 

11277 

5062 

4880 

7117 


^854-55 


7376 
12033 

11658 

14229 

13975 
8565 
3634 

3399 
4988 


1644,4     —   3,0  il    0,505     —0,017  |iii6ii       79857 


Es  wäre  nun  wohl  erwünscht,  den  Vergleich  auch  noch  über 
Belgien  hinaus,  etwa  auf  Frankreich,  ausdehnen  zu  können ;  wozu  mir 
aber  genügende  Unterlagen  fehlen.  Die  »Comptes  rendus  sur  le  re- 
crutement  de  Tarm^e«  geben  allerdings  für  Frankreich  Jahresmittel- 
werte für  eine  größere  Reihe  von  Jahren,  die  in  einer  Schrift  von 
BiscHOFF^)  reproduziert  sind,  jedoch  folgenden  Ubelständen  unter- 
hegen, die  sie  für  unsere  Zwecke  gänzUch  unbrauchbar  machen:  Im 
größten  Teile  der  Reihe  der  Jahrgänge  sind  die  IVIittel  so  wenig 
scharf  bestimmt,  dass  mehrfach  zwei  bis  vier  Jahrgänge  hinter  ein- 
ander sich  gar  nicht  unterscheiden,  und  dazwischen  springen  einzelne 
Mittel  aus  der  Reihe  mit  solchen  Werten  heraus,  dass  Rechnungs- 
versehen nur  zu  wahrscheinlich  sind. 


i)  [Über  die  Brauchbarkeit  der  in  yerschiedenen  europäischen  StÄaten  ver- 
öffentlichten Resultate  des  Rekrutierungsgeschäftes  zur  Beurteihmg  des  Eut- 
wicklungs-  und  Gesiindheitszustandes  ihrer  Bevölkerung  München  1867  (Verlag 
der  Akademie).] 


über  die  Frage  nach  einem  zeitlichen  Zusammenhau 
der  Variationen  der  Kekrutengröße, 

§  1 6;.  Wie  diese  Frage  zu  yerstehen,  ist  §  1 56  angegeben, 
tersuchcn  wir  sie  zunächst  in  Bezug  auf  die  saclisischen  Maße,  die 
iine  dazu  zu  Gebote  stehen,  d,  i.  die  Leipziger  und  Studenten,  Daa 
allgemeine  summarische  A  der  ersten  ist  6g,Gi,  womit  das  singulare 
übereinstimmt.  Bezeichnen  wir  nun  bei  jetziger  Untersuchung  die, 
successiven  17  Jahrgänge  von  1846  an  mit  -f-  oder  —  je  nachdem 
ilu-  Ä  über  oder  unter  diesem  Mittel  steht,  so  finden  wir  folgende 
Vorzeichenreihe : 


1-  +  - 


-  +  H 


Bei  den  Studenten  ist  das  summarische  Ä  der  zwanzig  Jahrgänge, 
71,76;  womit  das  singulare  ebenfalls  übereinstimmt.  Und  die  Folge 
der  Zeichen  lüeniach: 

-i-  — +  H 1 \--\ 1-  +  +  +  — H h- 

Nun  würden  nach  der  'Wahrscheinlichkeitsrechnung  bloßen  Zufalles 
eben  so  viele  Zeichenwechsel  als  Folgen  zu  erwarten  sein,  wie  man 
sich  überzeugen  kann,  wenn  man  eine  Urliste  von  RekrutenmaBen 
vornimmt,  in  welcher  ilie  Maße  sich  nach  Zufall  folgen,  und  die  ran- 
zclnen  Maße  ebenso  nach  der  Reihe  mit  +  oder  —  bezeichnet,  je 
nachdem  sie  grüßer  oder  kleiner  als  das  A,  der  Liste  sind').  B^ 
den  Leipziger  Maßen  aber  beträgt  die  Zahl  der  Zeichenfolgen  g,  die 
der  Wechsel  7 ,  bei  den  Studenten  die  der  Zeichenfolgen  7 ,  die  der 
Wechsel  13.  Hieraus  ist  also  kein  zeitlicher  Zusammenhang  zu  fol- 
gern, denn  sollte  ein  solcher  bestehen,  so  miissten  die  Zeichenfolgen 
entschieden  überwiegen. 

Hiergegen  ergiebt  sich  bei  den  belgischen  Maßen  (s.  unten 
Tab.  ViU)  ein  sehr  auffälliger  Zusammenhang.  Das  singulare  mittlere 
C  aller  33  Jalirgange  von   1843   ''■s   1875  inklusive  ist  1645,8  mm. 


[Streug  gcnoinmcu  mOaste   der  Zentralwert  C  der  obigcu   Bentimtiiuug 
Fl»  weicheu  hier  jedocb  A  und  C  nicht  weientlidi  von  einander  ab.]    | 


Variationen  der  ReliTutengraGe.  399 

Hiergegen  sind  die  gesamten  ei-sten  22  Jalu'giinge  in  minus,  die  letz- 
ten II  in  plus;  und  sondert  man  die  33  .lalu-gänge  in  zwei  Abtei- 
lungen, 16  Ton  1843  bis  1&58  inkl.  mit  mittl.  C=  1641,3  und  17 
von  1859  bis  1875  mit  niittl.  C=  1650,0,  so  erhält  man  in  Bezug 
dazu  respektiv  folgende  Heihen  von  Zeichen; 

H-  +  +  H \--\--\ 1 ; 

+  +  +-t-  +  -i-+-|-- 

Noch  mehr,  es  zeigt  sich  bei  den  belgischen  Maßen  nicht  bloß 
eine  Neigung,  mehrere  Jahre  hinter  einander  über  tmd  dann  meder 
unt«r  dem  allgemeinen  Mittel  zu  verharren,  sondern  auch  die  Nei- 
gung, durch  eine  Reihe  von  Jahren  kontinuierlich  zu  steigen  und 
dann  wieder  zu  sinken.  Wir  finden  nämhch  die  Bewegungen  in 
dieser  Hinsicht  von  1843  ^^^  '^75  ^''"'^  ™'t  folgenden  Voreeichen 
folgend : 
+  _l |--t-  +  H 1 !---l--(--!-  +  -l h-l- 


Der  Zeichenfolgen  [Folgen  gleicher  Zeichen)  sind  hier  1 7 ,  der  Zei- 
chenwechsel  bloß  14.  Nach  bloßem  Zufalle  aber  würden  hier  doppelt 
80  viel  Zeiclienwechsel  als  Folgen  zu  erwarten  gewesen  sein.  [80 
findet  es  sich  nämlich,  wie  ich  mich  überzeugt  habe,  wenn  man  die 
Torzeichen  in  entsprechender  Weise  an  den  Bewegungen  der  zufalUg 
aufeinander  folgenden  RekrutenmaQe  der  Urlisten  bestimmt,  oder  in 
Listen  von  gezogenen  Lotterienummern,  worin  die  Zahlen  sich  nach 
Zufall  folgen,  eine  solche  Bestimmung  an  den  Bewegungen  der  auf 
einander  folgenden  Zahlen  vonmimit.) 

In  Sachsen  zeigen  die  Bewegungen  der  Rekrutenmaße  dm'ch  20 
Jahrgänge,  sei  es  a.n  A^,  A^  oder  C  verfolgt,  5  Folgen  auf  1 3  Wech- 
sel; also  noch  melir  Wechsel  als  erforderlich,  um  bloß  für  zufäUig 
zu  gelten. 

Da  sich  in  Sachsen  bei  den  viel  kleineren  MaBabteilungeu,  als 
für  ganz  Belgien  vorÜegen,  nichts  Entsprechendes  von  einem  zeit- 
lichen Zusammenhange  der  Variation  gezeigt  hat,  so  dürfte  dies 
beweisen,  dass  jener  Zusammenhang  überhaupt  auf  sehi-  allgemeinen 
Ursachen  beruht,  die  durch  lokale  Einflüsse,  welche  sich  über  größere 


400 


YariatioDen  der  Rekrutengröße. 


Landesstrecken  kompensieren,  leicht  versteckt  werden  können;  und  es 
liegt  nicht  nur  eine  interessante  Aufgabe  vor,  dies  weiter  auch  bei 
anderen  Ländern  zu  verfolgen,  sondern  auch  zu  untersuchen,  mit 
welcher  Periodizität  von  Einflüssen  die  Periodizität  im  Menschen- 
wachstum zusammenhängt. 

§  163.  Ich  gebe  nun  die  Zentralwerte  C  für  die  33  Jahrgänge 
1843  — 1875,  welche  von  mir  aus  den  Originaltabellen  abgeleitet  sind, 
sowie  die  zugehörigen  "Werte g:k^  wobei g  die  Zahl  der  Maße,  welche 
das  Litervall  161 8  bis  1643  an  Größe  übersteigen,  k  die  Zahl  derer, 
welche  es  nicht  erreichen,  bedeutet.  Bei  diesen  Bestimmungen  war 
das  Total-m  aller  33  Jahrgänge  (ohne  taille  inconnue)  1304764;  das 
mittlere  m  also  39538;  das  Minimum  35584  im  Jahre  1852;  das 
Maximum  41  851  im  Jahre  1860. 


VUJ.  Zentralwerte  C  und  "Werte  g:k  für  19jährige  Rekruten 

in  Belgien  von  18*43  ^^^  1875  *). 


Jahrgang 

c 

g.k 

Jahrgang 

C 

g.k 

nun 

mm 

1843 

1642,1 

1,412 

1860 

1639,5 

1,316 

1844 

1642,3 

1,414 

1861 

1642,0 

1,432 

1845 

1644,6 

1,515 

1862 

1642,6 

1,474 

1846 

1642,3 

1,428 

1863 

1643,1 

1,495 

1847 

1640,8 

1,357 

1864 

1645,1 

1,577 

1848 

1635»! 

1,159 

1865 
1866 

1647,6 
1646,2 

1,694 

1849 

1639,6 

1,308 

1,583 

1850 

1641,0 

1,340 

1867 

1648,7 

1,692 

1851 

1644,1 

1,468 

1868 

1653,8 

2,022 

1852 

1644,7 

1,539 

1869 

1651,27 

1,892 

1853 

1644,3 

1,504 

1870 

1651,33 

1,876 

1854 

1641,2 

1,361 

1871 

1656,6 

1,930 

1855 

1641,5 

1,370 

1872 

1654,2 

1,923 

1856 

1640,3 

1,321 

1873 

1659,2 

2,233 

1857 

1640,2 

1,336 

1874 

1664,4 

2,549 

1858 

1637,4 

1,229 

1875 

1664,5 

2,570 

1859 

1639,8 

1,320 

I    Diese  Tabelle  weicht  in   den  Bestimmungen   für  die  sechs  ersten  Jahr- 
gänge,   welche    durch  Reduktion    18 jähriger  Rekruten  auf  i9Jahrigo  entstanden 


Variationen  der  Rekrutengröße.  401 

Man  sieht,  dass  abgesehen  von  den  Jahrgängen  1857  ^^^  1^70 
der  Gang  der  Werte  g :  k  mit  dem  der  Werte  C  in  Sichtung  von 
Abnahme  und  Zunahme  überall  parallel  geht 

Zu  bemerken  ist,  dass  nur  die  Werte  der  Jahrgänge  von  1849 
an  nach  direkten  Messungen  1 9  jähriger  Bekruten  bestimmt  sind,  die 
Werte  der  sechs  ersten,  durch  einen  Strich  davon  getrennten,  Jahr- 
gänge aber  durch  Reduktion  aus  Messungen  18 jähriger,  je  ein  Jahr 
vorher  ausgehobener  Rekruten;  so  dass  z.  B.  das  C=  1642,1,  wel- 
ches in  der  Tabelle  als  für  19  jährige  Rekruten  des  Jahres  1843 
gültig  angegeben  ist,  aus  einem  C=  1632,5  abgeleitet  ist,  welches 
direkt  aus  Maßen  von  1 8jährigen  Rekruten  im  Jahre  1842  erhalten 
war^).    Hierzu  folgende  Erläuterung. 

Bis  zum  Jahre  1847  inkl.  wurden  bemerktermaßen  die  Rekruten 
mit  vollen  18  Jahren  gemessen,  und  waren  dann  natürUch  kleiner, 
als  wenn  sie  ein  Jahr  später  mit  19  Jahren  gemessen  worden  wären. 
Um  sie  hierauf  zu  reduzieren,  habe  ich  das  singulare  Mittel  der 
sechs  C,  sowie  g:k  der  Jahrgänge  18 jähriger  Rekruten  von  1842  bis 
1847  iiJ^l-  bestinmit  und  ersteres  1631,6,  letzteres  1,033  gefunden; 
andererseits  die  entsprechenden  Bestimmungen  für  die  13  Jahrgänge 
19  jähriger  Rekruten  von  1849  ^^^  1861  gesucht  und  respektiv  1641,2 
und  1,373  gefunden,  wonach  die  C  der  18jährigen  Rekruten  mit 
1641,2:  1631,6=  1,0059,  die^ri*  mit  1,373:  1,033=  i>329  multipli- 
ziert worden  sind,  um  sie  darauf  zurückzuführen,  dass  sie  ein  Jahr 
später  gemessen  worden  wären. 

Dass  ich  bloß  13  Jahrgänge  19  jähriger  Rekruten  zum  Vergleiche 
mit  den  sechs  Jahrgängen  18  jähriger  Rekruten  behufs  Bestimmung  des 
Reduktionsfaktors  genommen,  während  27  zu  Gebote  stehen,  hatte 
zunächst    den    Grund,    dass    mir    zur    Zeit    der  Vornahme    dieser 


sind,  etwas  von  der  ab,  die  ich  in  Reclam^s  Zeitschrift  gegeben  habe,  weü  die 
Reduktion  der  C  in  obiger  Tabelle  ebenso  wie  der  g :  k  nach  singulärer  Mittel- 
zichung  geschehen  ist,  indes  sie  in  der  Zeitschrift  für  erstere  nach  summarischer, 
nur  für  letztere  nach  singulärer  Mittalziehung  geschehen,  was  der  Vergleichbarkeit 
einigen  Eintrag  thut  Prinzipiell  muss  eben  unserenfalls  erstere  Mittelziehimg 
vorgezogen  werden. 

i;   Die  direkt  für  das  C  der   18jährigen  Rekruten   erhaltenen  Werte   sind 
nach  der  Reihe:  1632,5;  1632,7;  1635,0;  1632,6;  1631,2;  1625,5. 

Fechkeb,  KollektiTfflaßlelire.  26 


402  Variationen  der  Rekrutengröße. 

Beduktion  nicht  mehr  Jahrgänge  zu  Grebote  standen;  ich  bin  aber  dabei 
stehen  geblieben,  weil  es  an  sich  nicht  z^-eckmäBig  sein  dürfte,  zu 
entfernte  Jahr^nge  zur  Reduktion  zu  benutzen. 

Sollte  die  Reduktion  nach  dem  Verhältnisse  der  sechs  obersten  C 
zu  den  gesamten  27  übrigen  geschehen,  so  würde  der  wegen  Mitzu- 
ziehung der  zeitlich  sehr  entfernten  groBen  Werte  von  C  unstreitig 
zu  groBe  Reduktionsfaktor  1646,8:1631,6  =  1,0093  sein,  und  das 
allgemeine  singulare  Mittel  aller  33  Werte  von  C  1646,8  statt  1645,8 
betragen. 


XXY.  Qliederung  und  Asymmetrie  des  Roggens 

(Seoale  oereale). 

§  164.  Hinsichtlich  der  Bezeichnungen  bemerke  ich  vorweg, 
dass  ich  unter  Bispe  die  Fruchtähre,  d.  i.  den  obersten  Teil  des 
Halmes,  welcher  die  Kömer  enthält,  verstehen  werde,  unter  erstem, 
zweitem,  drittem  Glied  u.  s.  f.  die  Glieder  oder  sog.  Intemodien,  in 
der  Ordnung  vom  obersten  abwärts,  unter  Halm  die  ganze  Länge: 
Summe  der-  Bispe  und  der  GUeder  bis  zur  Wurzel  ohne  diese. 

Es  wurde  im  Jahre  1863  imi  den  24.  Juli  von  einem  mit 
Boggen  bestandenen  Felde  auf  Leutzscher  Pflege  bei  Leipzig,  kurz 
mit  L.  zu  bezeichnen,  eine  Garbe  zur  Ernte  reifer  Halme  mit  der 
Wurzel  ausgerissen.  Die  Mehrzahl  davon,  217  an  der  Zahl,  hatten 
6  Glieder,  138  bloß  5  Glieder,  10  hingegen  7  Gheder  und  6  von 
ziemlich  verkümmertem  Aussehen  bloß  4  Glieder.  Auf  die  2 1 7  sechs- 
gliedrigen  und  138  fünfgliedrigen  Halme  dieser  Pflege,  vorzugsweise 
auf  erstere,  bezieht  sich  die  folgende  Hauptuntersuchung  betreffs 
der  Asymmetrieverhältnisse  und  asymmetrischen  Verteilung. 

Indes  schien  es  von  Interesse,  ob  sich  Ähren  von  anderen  Stand- 
orten (imi  Leipzig)  hinsichtlich  der  Verhältnisse  der  Ghederung  ähn- 
lich wie  die  von  der  Leutzscher  Pflege  verhalten,  wozu  eine  geringere 
Zahl  Halme  dienen  musste,  da  die  Untersuchung  sonst  nicht  von 
mir  durchführbar  gewesen  wäre.  Es  wurden  also  imi  dieselbe  Zeit 
kleinere  Bündel  von  Halmen  von  folgenden  Standorten  um  Leipzig 
entnommen    mit    folgendem    Gehalt    an   Halmen.     Bei   Stünz    (St.) 

16.  Juli:  22  Stück,  20  sechsgliedrige,  2  fünfgliedrige;  am  Täubchenwege 

26* 


404 


Gliedenitig  nod  Asymmetrie  det  Rogget». 


(Tbch.)  20.  Juli:  J4  Stück,  4  sechsgliedrige,  20  fünfgUedrige;  bei 
Schönefeld  [ScL.]  15.  Juli:  22  Stück,  18  sechsgliedrige,  4  fünfgliedrige. 
Die  Halme  i-ührten  von  einen)  schon  zur  Hälfte  abgeei-nteten 
Felde  her. 

Von  siüntlichen  Halmen  wurden  die  Hispe  und  die  einzelnen 
Glieder  bis  zur  Knotenniitte  besonders  gemessen,  die  Totallänge  des 
Halmes  (also  mit  Einschluss  der  Rispe,  aber  ohne  die  Wurzel)  mir 
durch  Addition  der  einzeln  gemessenen  Längen  erhalten,  da  es 
praktiscli  schwer  ausfülirbar  ist,  den  ganzen  Halm  im  Zusammen- 
hange zu  messen,  nicht  allein  wegen  der  oft  großen  Länge  desselben, 
sondern  aucli,  weil  sich  oft  Glieder  in  stumpfen  Wmkeln  aneinander 
setzen.  Wonach  die  Bestinunung  des  Halmes  verhältnismäßig  etwas 
weniger  genau  als  die  seiner  Abteilungen  ist,  weil  sich  die  Irrtümer 
der  Einzebnaße  bei  der  Addition  zwar  teilweise  kompensieren,  teilweise 
aber  auch  addieren.  Auch  das  untei-ste  Glied  ist  meist  nicht  genau  zu 
messen,  und  die  Bestimmungen  in  Bezug  darauf  sind  von  ^iel  geringerem 
Werte  als  für  die  anderen  Glieder,  weil  es  meist  verkrüppelt  ist, 
so  dass  nur  obenhin  mit  dem  Bandmaße  daiüber  liingemessen  werden 
konnte;  und  ich  hätte  sogar  die  Bestimmungen  darüber  ganz  bei 
Seite  gelassenj  wenn  nicht  einei-seita  eine  fühlbare  LUcke  dadurch 
im  TotalzuBftmmenhange  der  Bestimmungen  entstanden  wäre,  und 
sich  nicht  die  obenhin  gewonnenen  Beatünniungen  doch  im  allgemeinen 
ganz  gut  dem  Totalzusammenliange  eingereiht  hätten.  Mitunter  kann 
man  im  Zweifel  sein,  ob  man  das  unterate  Glied  nicht  viel  mehr  zur 
Wurzel  als  zum  Halme  zu  rechnen  habe,  indem  sich  mitunter  schon 
von  seinem  oberen  Knoten  Würzelchen  abgesenkt  zeigen;  sofern 
jedoch  von  diesem  Knoten  abwärts  noch  ein  einfaches,  wenn  auch 
verkümmertes  Intemodium  bis  zur  verzweigten  Wui-zel  verläuft ,  ist 
dasselbe  immer  als  unterstes  Glied  des  Halmes  gerechnet  worden. 
Audi  die  reife  Rispe  kann  wegen  Ausfalls  der  untersten  Kömer 
leicht  zu  kurz,  und  das  erste  ihm  nächste  Ghed  dem  entsprechend  zu 
lang  gemessen  werden;  doch  Heß  sich  die  Lange  der  Rispe  noch 
nach  einem  kleinen,  besser  mit  dem  Finger  fühlbaren,  als  mit  dem 
Auge  erkennbaren  Vorsprunge,  der  sie  vom  ersten  Gliede  scheidet, 
hestünmen.     Die  Grannen  der  Rispe  sind  nicht  mit  gemessen. 


Gliederung  und  Asymmetrie  des  Roggens.  405 

Zur  Messung  diente  ein  in  Centimeter  genau  geteiltes^),  bei  den 
Maßnahmen  möglichst  gleichförmig  gespanntes  Bandmaß.  Millimeter 
und  mitunter  selbst  noch  halbe  Millimeter  wurden  daran  geschätzt. 
Millimeter  selbst  am  Maßbande  anzugeben  würde,  abgesehen  davon, 
dass  das  so  oft  zu  wiederholende  scharfe  Zusehen  die  Augen  zu  sehr 
angegriffen  hätte,  keinen  erheblichen  Vorteil  gebracht  haben,  da  man 
Zehnteile  eines  Centimeters  noch  genau  genug  abschätzen  kann,  nur 
dass  man  sich  vor  der  ungleichförmigen  Schätzung  zu  hüten  hat, 
wovon  die  Rekrutenmaße  und  Schädelmaße  (s.  Kap.  Vll)  Beispiele 
geliefert  haben.  Alle  Abteilungen  der  Halme  aber  wurden,  nach- 
dem das  ganze  Bündel  gruppenweise  durchmessen  war,  noch  einmal 
gemessen,  nicht  sowohl  imi  im  Mittel  beider  Messungen  noch  einen 
kleinen  Vorteil  von  Genauigkeit  zu  erlangen,  als  imi  gröbere  Ver- 
sehen in  der  Auffassung  und  Aufzeichnung  durch  gegenseitiges  Kon- 
trolUeren  zweier  von  einander  unabhängiger  Aufzeichnungen  zu  er- 
kennen und  zu  verbessern;  Versehen,  welche  ganz  zu  vermeiden  bei 
80  \ielen  ermüdenden  Maßen  und  Aufzeichnungen  schwerer  ist,  als 
man  vielleicht  meint.  Von  den- beiden  Maßen  derselben  Länge  hätte 
sich  dann  das  Mittel  nehmen  lassen;  ich  habe  es  aber  einfachheits- 
halber vorgezogen,  die  Summe  beider  Maße  undividiert  durch  2  zu 
lassen,  und  alle  folgenden  Angaben  beziehen  sich  auf  diese  Ein- 
richtung, welche  einfach  darauf  hinauskonmit,  dass  folgends  als 
Einheit  der  Maße  das  halbe  statt  des  ganzen  Centimeters  auftritt. 

§  165.  [Auf  diesem  Wege  wurden  die  primären  Tafeln  für  die 
Rispe  und  die  einzelnen  Glieder  des  Halmes  gewonnen,  von  welchen 
Tafel  IV  in  Kap.  Vll  (für  das  oberste  Glied  der  2 1 7  sechsgliedrigen 
Halme)  ein  Beispiel  giebt.  Aus  denselben  wurden  sodann  zunächst 
die  folgenden  Tabellen  abgeleitet.] 

Da  die  Maßeinheit  S  für  den  Roggen  überall  \  cm  ist,  so  unter- 
lasse ich  folgends  eine  besondere  Anführung  derselben. 


I)  Die  käuflichen  Bandmaße  sind  oft  ungenau  geteüt 


406 


Gliederung  und  Asymmetrie  des  Roggens. 


I.  Wert  von  A^  für  Rispe  und  Glieder  je  nach  verschiedener 
Gliederzahl  und  verschiedenem  Standort,  die  Totallänge  des 

Halmes  gleich  loo  gesetzt. 


Rispe 

1.  GUed 

2.  GUed 

3.  Glied 

4.  GUed 

5.  GUed 

6.  GUed 

7.  GUed 


7  gUedr. 
L.  (lo) 


5,8 

27,5 
23,6 

12,3 

9,3 

5,2 

0,7 


Absolute  Werte  von 
A^  für  den  ganzen 
Halm 


318,9 


6gUedr.  i 

L.  {217)  I  St  (20)     Seh.  (18)  j 


5,9 

31,4 
26,1 

16,3 
11,8 

6,7 

1,8 


7,1 
31,6 

25,3 

15,7 
12,0 

6,8 
1,5 


275,2     I  344,7 


5,7 
33,7 
28,7 

15,6 

10,0 

5,1 
1,2 


5  gUedr. 
L.  {138;  iTbch.  (20) 


6,5 
35,4 
28,5 
16,0 

10,2 
3,4 


286,9 


261,1 


5,0 
34,6 

28,8 

16,9 

io,S 

4,2 


222,1 


n.  Werte  von  rj :  A^  . 


7  gUedr. 
L.  (ig) 


L.  (2171 


6  gUcdr. 

St  (20:     Seh.  {18) . 


5  gUedr. 
L.  '138:    Tbch.  {20) 


Rispe 

1.  GUed 

2.  GUed 

3.  GUed 

4.  GUed 

5.  GUed 

6.  GUed 

7.  GUed 


Ganzer  Halm 


0,28s 
0,119 
0,106 
0,111 
0,128 

0,157 
0,164 

0,241 


0,212 

0,115 
0,117 

0,119 

0,141 

0,253 
0,487 


0,083    ll    0,099 


0,234 
0,116 

0,114 

0,168*) 

0,094 

0,179 

0,542 


0,183 
0,105 
0,106 
0,099 

0,135 
0,312 

0,576 


0,217 
0,108 

0,126 

0,128 

0,201 

0,407 


0,184 
0,101 
0,101 
0,144 
0,177 
0,490 


0,076'  I    0,093     I    0,104        0,089 


I)  0,168,  obwohl  durch  Revision  als  richtig  berechnet  erwiesen,  ist  doch  als 
anormal  anzusehen,  da  sonst  überall  das  97 :  A  des  dritten  GUedes  kleiner  als  das 
des  vierten  ist 


III.   £lemente  der  217  sechsgliedrigeii  Halme  Leutzscher 
Pflege  nach  primürer  Tafel. 


I 


Rispe    1    I.  01. 

a.  0!.    [  3.  Gl. 

4.01. 

S.Ol, 

6.  Gl. 

Halm 

■^1 

16,2 

86,5 

71,8 

44,9 

3',S 

■8,4 

4,9 

»75," 

ff. 

IS.« 

«5.5 

71,0 

44,a 

31,9 

■7,4 

4,0 

'7',i 

s. 

7.5 

4J,9 

38,9 

19,1 

■5,° 

6,0 

0,6 

'47,9 

B 

^7.9 

112,3 

99,8 

6.,9 

48,0 

34,0 

19,0 

35=.<> 

u 

-5 

+  'S 

+10 

+  .0 

-3 

-■s 

-33 

+.3 

ir-u, 

+  3,0 

—17,9 

—  4,9 

—   8,8 

-s,o 

+  3," 

+  9,8 

-49,9 

IV,   Elemente  der  138  fünfgliedrigen  Halme 
Pflege  nach  primärer  Tafel. 


K.P, 

I.  Ol. 

I.  Ol. 

3.  Ol. 

,01. 

5.01. 

Halm 

■it 

16,9 

9".4 

74,4 

41,8 

"6,7 

8,9 

"61, 1 

G, 

■6,3 

9^,S 

73,4 

4^," 

"5,8 

7,6 

258,8 

E. 

7,0 

53,5 

34,1 

■9i5 

6,3 

■,6 

■58,7 

i" 

33,4 

■•9,4 

96,4 

62,4 

41,8 

"",0 

330,9 

u 

—  2 

+■4 

+  8 

+  8 

+  4 

—  ■4 

+  ■0 

V—V, 

+  6,6 

-11,9 

—  8,3 

-  ^,7 

-5,3 

+  5,8 

-3",6 

§  166.  Die  Resultate  vom  meisten  allgemeinen  Interesse,  welche 
eich  aus  vorstehenden  Tabellen  ziehen  lassen,  scheinen  mir  folgende 
zwei  zu  Bein. 

1)  Dass  sich  hestimmte  gesetzhclie  GliederungsverhÜltnisse  beim 
Roggen  der  Ai't  finden,  dass  sie  als  charakteristisch  für  den  Roggen 
gelten  können  und  unsti'eitig  Anlass  geben  können,  nicht  nur  die 
verschiedenen  Getreidearten  und  überhaupt  Gramineen  danach  im 
Interesse  ihrer  vergleichenden  Charakteristik  zu  untersuchen,  sondern 
auch  den  Einfluss  der  äußeren  Umstände,  wie  der  Bodenbeschaffen- 
heit und  Jahreswittemng  darauf  zu  studieren. 

2)  Dass  sich  daraus  entscheidende  Beweise  für  das  Dasein  einer 
wesentlichen  Asymmetrie  und  eipe  Unterlage  für  Prüfung  ihrer  Ge- 
setze ergeben. 


Gehen  wir  zuerst  dem  ersteren  Interesse  der  Untersuchung  nacK  | 
Man  kann  es  fraglich  finden,  ob  die  Variationen,  welche  dieJ 
einzelnen  Roggenhalme  in  betreff  ihrer  Länge  und  ihrer  Gliederung»-  4 
Verhältnisse  zeigen,  rielmehr  von  einer  zufäUigen  Verschiedenheit  d«^  | 
Samenkörner  oder  der  Beschaffenheit  des  Bodens,  von  dem  jedes 
einzelne  umlagert  wird,  abhängen,  wahrscheinlich  von  beiden  Ursachen,  J 
ohne  dass  sich  bisher  empirisch  darüber  entscheiden  Usst.  Jede»-  I 
falls  finden  folgende  Kollekti\Terhältnisse  statt 

i)  Trotzdem,  dass  die  mittlere  Länge  A,  der  ganzen  Halme  ja-| 
nach   dem  Standorte  zwischen   344,7    und  222,1    schwankt,   worüber  1 
die  Angaben  unter  Tabelle  I  nachzusehen,  sind  doch  die  Verhä 
nisse  der  Gheder  (ihren  arithmetischen  Mitteln  nach]  zur  Totallänge  j 
unabhängig  davon  und  nur  mit  der  Zahl  der  GUeder   als  variabel  ] 
anzusehen,  kurz  sie  können  für  den  Roggen  bei  gegebener  Gliederzahl  | 
als  konstant  und  mithin  charakteristisch  gelten.     Tabelle  I  enthält  j 
dazu  die  Belege,   sofern  darin  alle  Glieder,   sowie  die    Rispe   nach 
Verhältnis  des  Halmes  (gleich  1001  reduziert  sind.    Da  außer  Leutzsch  | 
mit  w  =  2i7   und  138   die  anderen  Standorte   nur  ein   »*  ^  10; 
und  2o  haben,   hätte  ich  nicht  geglaubt,   dass  bei  der  durch  dies^  | 
geringe  m  bedingten  Ltnsicherheit  die  Übereinstimmung  der  relativ* 
Gliederlängen  für  gegebene  Gliederzahl  so  weit  hätte  gehen  können,  1 
als  es  der  Fall  ist.     Nur  bei   Schönefeld  (mit  /h  =  i8)  zeigen  sich  i 
einige  größere  Differenzen  von  den  anderen  Standorten  für  die  sechs- 
gliedrigen  Hahne;  aber  man  vergleiche  hingegen  für  die  sechsgliedr. 
Halme  die  Überraschende  Einstimmung  der  Gliederverhättnisse  zwi- 
schen L.  (217}  und  St.  {20)  bei  den  sehr  verschiedenen  Totallängen  i 
275,2   und   344,7;   sowie  die  nicht  minder    bemerkenswerte    für    die  j 
fünfgiiedr.  Halme    zwischen   L.   (138)   und   Tbch.   (20)   bei    der    ver-  1 
schiedenen  Totallänge   2Öi,i    und   222,1.     Ja  selbst  Seh.   fünfgiiedr, 
mit  in^  4   stimmt  merkwürdig   damit    zusammen ,    und    nur   Tbch. 
sechsgliedr.   mit  7«  ^  4  und  L.   viergliedr.   mit  m  ^  6   zeigen  nicht 
unerhebliche  Abweichungen;  aber  Vergleiche  bei  so  kleinen  m  können 
überhaupt  nicht  maßgebend  sein  und  sind  daher  in  voriger  Tabelle 
übergangen.     Übrigens   dürfte    es    überhaupt  zweckmäßiger   gewesen  . 
sein,  die  einzelnen  Glieder  im  Verhältnisse  zur  Summe  der  Gheder 


OUederuDg  und  Aeynmielrie  des  Ka^cna.  409 

d.  i.  zum  Halme  ohne  Rispe  als  mit  Rispe,  wie  es  tiier  geschelieu  ist, 
in  Betracht  zu  ziehen. 

2]  Vergleicht  man  die  Kolumnen  für  die  sieben-,  sechs-  und 
fünfgliedr.  Hahne  der  Tab.  I,  so  findet  man  allgemein,  dass  mit 
Absteigen  in  dieser  Gliederaahl  die  di-ei  ersten  Glieder  an  verhält- 
nismäßiger Länge  zunehmen,  die  letzten  aber  abnehmen.  Oder  kurz : 
wenn  die  Gliederzahl  abnitmnt,  so  verlängern  sich  die  oberen  Glieder 
und  verkürzen  sich  die  unteren  ini  Verhältnisse  zur  Totallänge.  Für 
die  Rispe  ist  keine  bestimmte  Regel  in  dieser  Hinsicht  sichtbai-. 

3)  Wirft  man  etwa  die  Frage  auf,  ob  in  den  Gliederungsver- 
bältnissen  des  Roggens  die  von  Zeisinc  aufgestellte  und  mehrfach 
acceptierte  Behauptung  sich  bestätige,  dass  in  der  Natur  das  in-ationale 
Verhältnis  des  goldenen  Schnittes,  d.  i.  merklich  genau  loo:  162, 
eine  ausgezeichnete  Rolle  spiele,  so  wii-d  man  dies  nach  Tabelle  I 
nicht  bejahen  können,  da  das  Verhältnis  der  aufeinander  folgenden 
Gheder  zu  einander  überhaupt  ganz  variabel  ist.  Eben  so  wenig  scheint 
eine  Tendenz  zu  einfachen  rationalen  Verhältnissen  vorhanden  zu  sein. 

4]  Der  einfache  Mittelfehler  oder  die  einfache  mittlere  Schwankung 
tj  =  SJ  :  m  bez.  A  nimmt  im  absoluten  "Werte  vom  obersten  bis  zum 
untersten  Gliede  ab,  wofür  ich  keine  Tabelle  beigefügt  habe.  Da 
nun  aber  auch  der  Wert  A  in  dieser  Richtung  abnimmt,  so  fragte 
sich,  wie  es  sich  mit  dem  verhältnismüBigen  Werte  ij:A  = 
SJ  '.mA,  oder  der  verhältnismäßigen  Schwankung  in  dieser  Hinsicht 
verhält,  was  nach  Tab.  H  zu  beurteilen.  Hier  nun  zeigt  sich  das 
Bemerkenswerte,  dass  das  </ :  A  der  zwei  bis  drei  obersten  Glieder 
weder  nach  der  Ordnungszahl  dieser  Glieder  (ob  erstes,  zweites 
Glied  u.  s.  w.),  noch  nach  der  Art  der  Halme  (ob  sieben-,  sechs- 
oder  fünfgliedrig) ,  noch  endlich  nach  dem  Standorte  in  erheb- 
lichem Grade  variiert,  nur  dass  bei  den  sieben-  und  sechsgliedrigen 
Halmen  die  merkliche  Konstanz  sich  auf  die  drei ') ,  bei  den 
fünfgliedrigen  nur  auf  die  zwei  obersten  Glieder  erstreckt.  Nach 
Maßgabe  aber,  als   man  zu  tieferen  Gliedern  absteigt,   wächst  nicht 


l 


ij  Der  Wert  d,i6S  beim  dritteo  Oliede  Stünx  Ut,  ohne  auf  Rechuuagitfehleni 
benihen,    erkennbar  abnorm,    da   ihm  der   kleioeri;  Wert   0,094   ^euD   vierleu 
Gliede  M^t. 


410 


Oliedeniog  nnd  Aiymmatrie  de«  Roggen«. 


nur  r- :  Ä  allgemein  mit  der  Tiefe  der  Glieder  bei  Gleichheit 
Standortes  und  der  Gliederzahl,  sondern  ändert  sicli  auch  bei  Gleich- 
tieit  der  Ordnungszahl  nach  diesen  beiden  Momenten.  Das  i;  :  A  der 
Rispe  ist  überall  erheblich  größer,  durchschnittlich  etwa  doppelt  so 
groB,  als  das  des  ersten  Gliedes,  hingegen  das  ij:Ä  des  ganzen 
HaJmes  kleiner  als  das  irgend  einer  Abteilung;  was  sich  leicht 
versteht 

Da  in  den  Werten  von  ij :  A  der  Tab,  11  das  ij  ankorrigiert  j 
so  würden  durch  Anbringung  der  Korrektur  Vjn:{m — i]  ( 
die  angegebenen   Werte  eigentlich    noch   für   folgende  Werte   w  i 
folgendem  Verhältnisse  r  zu  erhöhen  sein: 

ml        lo;         zo;       138 ;       217 
r\  1,054;     1,026;     1.004;     1.002. 
Man  sieht  aber  leicht,  dass  dies  in  den  gezogenen  Folgerungen  nid! 
ändern  würde, 

§  167.  Hiemach  komme  ich  zu  dem  Teile  der  Untersuchung,' 
welcher  auf  die  Asymmetrieverhältnisse  Bezug  hat;  wozu  bloß  die 
vom  Standorte  Leutzsch  erhaltenen  Daten  mit  217  sechsgliedr.  und 
138  fünfgliedr.  Halmen  ein  hinreichendes  »i  gewähren.  Auch  selbst 
ein  »(=  217  ist  freihch  noch  nicht  groß  genug,  um  den  EinHuss 
unausgeghchener  Zufälhgkeiten  bis  zu  einem  erwünschten  Grade 
herabzudrücken '),  doch  wird  sich  zeigen,  dass  bei  erforderlicher  Re- 
duktion und  scharfer  Behandlung  sich  (he  Rechnungsresultate  in  sehr 
guter  Einstimmung  mit  den  Sätzen  der  kollektiven  Asymmetrie 
finden;  oline  alle  Reduktion  aber  geben  schon  die  Werte  von 
u  ^  /('  —  /j,  und  V  —  U,  [wovon  V  =  E'  —  A;  U,^A  —  70", ■  in 
Tafel  m  und  TV  den  Beweis,  daas  wescnthche  Asymmetrie  hier 
vorliegt. 

Sollte  nämlich  wesentliche  Symmetrie  der  Abweichungen  bez.  A 
stattfinden,  so  müsste  der  Unterschied  u  zwischen  den  beiden  Abwei- 
chungszahlen  fi',  ft,,  sowie  der  Unterschied  U' — 17,  zwischen  den  beiden 


I]   lln   der  Thst   ist   der  wahrscheinliche  Wert  K  der  Differenz  u  =  ^'  —  /i, 
heu  A-,    bei  VorauHietzniig   wesentlicher   Symmetrie   nach    g  9S    auf   Grund 
Formel  F=  ±0,6745 ym  gleich  ±  10.] 


1 


Oliederung  und  Asyiiunetrie  des  Ro^eiifl. 


V 


extremen  Abweichungen,  die  in  Tab.  m  u.  TV  zwar  nicht  angegeben, 
aber  als  U'^E'  —  A  und  V,  =  Ä  —  E,  daraus  leicht  zu  tinden 
sind,  nur  von  unausgeglichenen  Zufälligkeiten  abhängen  und  zwischen 
den  Gliedern  der  Halme  nach  Größe  und  Vorzeichen  zufälhg  wech- 
seln. Verfolgen  wir  aber  den  Unterscliied  tt  durch  die  Reihe  der 
Glieder  abwärts,  so  sehen  wir  den  beini  ei-sten  Gliede  i)ositiven 
Wert  desselben  kontinuierlich  an  Größe  abnehmen,  und  von  einem 
gewissen  GUede  an  [für  die  sechsgliedr.  Hahne  vom  vierten  an  — 
für  die  fünfgliedr.  erst  beim  fünften  Gliede  selbst)  ins  Negative  um- 
schlagen. Thun  wii-  eben  so  mit  dem  Unterschiede  U'  —  ü,,  so 
finden  wir  das  Entsprechende  mit  uingekelirten  Voraeichen,  nui-  dass 
liier  auch  bei  den  sechsgliedr.  Halmen  der  Umschlag  erat  beim 
fünften  Gliede  beginnt.  Zugleich  geben  diese  Tabellen  Gelegenheit, 
den  allgemeinen  Satz  (§  33;  142)  zu  bewäliren,  dass  V  —  U,  das 
entgegengesetzte  Vorzeichen  von  /i' — fi,  hat,  was  nur  bei  sehr  kleinem  u 
und  V — V,  eine  scheinbai'e  Ausnahme  durch  unausgeglichene  Zu- 
fälligkeiten erleiden  kann,  wovon  man  hier  auch  das  Beispiel  bei  dem 
vierten  Gliede  der  sechaghedr.  Halme  findet.  Für  die  !ßispe  ist  bei 
den  sechs-  wie  fünfghedr.  Halmen  u  negativ,  Ü'  —  U,,  positiv;  für 
den  ganzen  Halm  ersterer  Wert  positiv,  letzterer  negativ. 

Ks  würde  nun  sehr  interessant  sein,  zu  untersuchen,  ob  der  so 
bestimmt  ausgesprochene  gesetzliche  Gang  der  u  und  V  —  U,,  der 
liier  nur  für  einen  einzigen  Standort  (Leutzsch)  und  die  Witterung 
eines  bestimmten  Jahres  (1863)  bei  hinreichend  gi-oBem  m  sich  er- 
wiesen hat,  sich  auch  bei  anderen  Standorten  und  anderen  Jahres- 
wittenmgcn  wiederfindet,  da  es  an  sich  sein-  möglich  ist,  dass  andere 
Standorte  und  Witterungsverhältnisse  während  des  Wachstums  der 
Halme  andere  Verhältnisse  in  dieser  Hinsicht  mitfühi-en.  Nun  liegen 
mir  zwar  auch  die  Data  für  andere  Standorte  [St.,  Tbcli.,  Seh.)  vor, 
aber  nur  mit  einem  m  von  18  bis  zo,  was  viel  zu  wenig  ist.  um 
sichere  Resultate  zu  envarten:  doch  habe  ich,  um  wenigstens  eine 
Vermutung  zu  begründen,  St.  und  Tbch. ,  beide  mit  m  =  20,  hin- 
sichthch  des  Gfanges  ihrer  u  untersucht  und  dabei  die  in  folgender 
Tabelle  verzeichneten  Resultate  erhalten. 


1 

eben,  ^^^| 

nden  1 

ichen  I 

vech-  ' 


OliederuniT  und  Aayimn«trie  dei  Bogguu. 


für  die   StaiuUirte  Tbch.   und  St, 

beide  mit  vi  ^  20. 


Tbd..  igl. 

St  «gl 

u 
Tbch.       1         St 

Rif..  .  . 

1.  Gl..  - 

2.  OL.  . 

3.  Gl... 

4.  Ol..  . 

5.  Ol..  . 

6.  Gl..  .  . 

11,3 
76,8 
63.9 
37,6 
33,3 
9.3 

»4,5 
108,9 
87,3 
54," 
41,4 
'3,4 

S.3 

—  6 

—  6 

±0 

+  3 
+  3 

Halm.  .  . 

333,1 

344,7 

-6 

+  3 

Hiemach  aber  darf  mau  allerdings  mit  ziemlicher  Sicherheit  \ 
muten,  dass  der  Standort  von  wesentlichem  Einfluss  auf  den  Gai 
der  u  und  Iiiermit  die  Asymmetrie  Verhältnisse  des  Roggens 
für  Tbch.  alle  w  negativ  oder  null  sind,  für  St,  unbestimmt  in  GrÖBt 
und  Vorzeichen  wechseln'). 

§  168.  Fiii'  die  ganzen  bisherigen  Ergebnisse  lagen  nur  die 
primäi-en  Tafeln  unter,  welche  aber  keine  zulängliche  Bestimmung 
des  dichtesten  Wertes,  Beroclmung  der  davon  abhängigen  Vertei- 
lung und  überhaupt  Untersuchung  der  zu  D  in  Beziehung  stehendes 
Verhältnisse  gestatten.  Wir  gehen  also  jetzt  zu  reduzierten  Tafelfl 
über,  welche  sich  fortan  bloß  auf  das  Leutzscher  Material  und  s 
das  sechsgliedrige  mit  »«=217  beschränken  werden. 

[Aber  auch  von  diesem  Material  sollen  bloß  die  fünf  obere 
Ulieder  Berücksichtigung  finden.  Denn  sie  genügen  zur  Bewährunj 
der  asymnietriachen  Verteilungsgeaetze  und  gestatten  eine  ausreichende 


i]  [Dab«i  iit  jedoch  %u  beachten,  dui  hier  der  wahrichemliohe  Wert  vonjj 
bei  VoraiiMetiiini;  weKenÜicher  Symmetrie  bei.  .j,  aui  der  Fnnnel  V'=±o,6iy 
[S.  §  9S]  gleich  ±  3  sich  ergiebt,  wonach  bloß  drei  von  den  obigen  dreizehftil 
Werten  den  wahrscheinlichen  Wert  V  Übersteigen,  E«  ist  folglich  in 
ein  Überwuchern  rein  lufälliger  Asymmetrie  aiuunehmen,  wai  keineswi^  auBSchlieBt,fl 
dsM  rar  Tbcb.  und  8t.  bei  größerem  m  fthiiUche  Oesetiimaßigkeiten  auftreteii  köane&j| 
wie  die  für  L.  beobachteten.! 


Gliederung  und  Asymmetrie  des  Roggens. 


413 


berichtigende  Kontrolle  des  in  Tafel  m  hervortretenden  Ganges  der 
Asymmetrie.  Es  ist  überdies  angezeigt,  gerade  von  der  Bispe  und 
dem  untersten  GUede  abzusehen,  da  aus  den  oben  (§  164)  angegebe- 
nen Gründen  die  Ergebnisse  einen  nur  zweifelhaften  Wert  besitzen 
würden.  Ich  gebe  demgemäB  folgends  die  ;t-Werte  der  fünf  ersten 
Gheder  für  ein  reduziertes  e  =  4<^  in  übrigens  beliebig  gewählter 
ßeduktionslage  und  füge  den  beobachteten  Werten  die  berechneten 
Werte,  wie  sie  das  zweiseitige  G.  G.  hergiebt,  unmittelbar  bei.  In 
direktem  Anschluss  daran  finden  sich  die  Elemente,  die  der  Berech- 
nung zu  Grunde  gelegt  wurden,  verzeichnet: 

VI.  Reduzierte  Tafel  der  217  sechsgliedrigen  Halme  (L.). 


^  =  4®  ;   w  =  217  . 


I.  GUed  2.  Glied  3.  Glied  4.  Ghed  5.  Ghed 


a 


beob.iber. 


44 
48 

52 

56 
60 

64 
68 
72 

76 
80 

84 
88 


I 
I 
I 
2 

4 
6 

8 

9 
21,5 
15,5 
24 
33>5 


92  27,5 

96  23,5 

100  18,5 

104  13,5 
108    4 

"2|    3,5 


} 


I 
2 

3 
6 

9 

13 

17 
22 

25 
28 

28 

24 

18 

II 
6 

3 


a 

1 

beob. 

f 

t 

ber. 

38 

I 

t 

42 

I 

I 

46 

J,5 

3 

50 

6,5 

5 

54 

6,5 

8,5 

58 

»5,5 

13 

62 

17,5 

18,5 

66 

25,5 

24 

70 

29,5 

29 

74 

30,5 

32 

78 

32 

32 

82 

25,5 

25 

86 

16 

15 

90 

6,5 

7 

94 

0,5 

2 

98 

1,5 

I 

yv 

z 

0 

beob.  ber. 

18 

I 

0 

22 

I 

0,5 

26 

2,5 

2 

30 

4,5 

6 

34 

i6,S 

15 

38 

20,5 

29 

42 

43,5 

42,5 

46 

58,5 

49 

50 

39 

41 

54 

19 

22 

58 

7 

8 

62 

4 

2 

15 
19 
23 
27 
31 

35 
39 
43 
47 


beob.  ber. 


3 

5 

12,5 
38 

55,5 

57,5 

3i»5 
II 

3 


6 

17 

36 

53,5 

54 

34 
12 

3 


/* 

i 

S 

c* 

beob. 

ber. 

3 

0 

2 

7 

",5 

10 

II 

29 

28 

15 

48 

50 

19 

63,5 

56 

23 

38 

41 

27 

15,5 

21 

31 

8 

7 

35 

3,5 

2 

01iederun)(  und  Asymmetrie  dea  Ri^igeni. 


VII.   Elomonte  der  217  seclisgüedrigen  Halme  fL.j 
nach  reduzierter  Tafel. 


I.  ali.d 

j.  OBed 

3.  011.d 

4.0Urf 

5.  Glied 

.1, 

86,51 

71,69 

44,83 

32,39 

■8,38 

c. 

S,,S5 

72-52 

45,30 

32,60 

18,26 

Bp 

90,58 

76.73 

46,23 

33,46 

17,96 

A 

88,45 

76,7s 

45,74 

33.29 

.8,5. 

» 

-45 

-65 

—27 

—  24 

+  .0 

«, 

ii.Sj 

■  ",98 

6,28 

5,33 

4,60 

*' 

7,76 

5,94 

4,88 

4,26 

5,°2 

P 

0.67 

0,84 

0,66 

0.80 

0,7' 

Der  Vergleich  zwischen  Tlieorie  und  ErfaJirung  zeigt  eine  hinre 
chende  Übereinstimmung,  die  um  su  mehr  befriedigen  kann,  als  dai 
den  Bestimmungen  zu  Grunde  liegende  »(  =  217  verhä 
klein  ist.  Insbesondere  kiinn  man  bemerken,  dass  das  zweite  GHe^ 
den  Forderungen  der  Theorie  gut  entspricht,  worin  natürlich  kex 
nnterscheidendes  Merkmal  den  übrigen  Gliedern  gegenüber  sondei 
nur  eine  Zufälligkeit  zu  suchen  ist,  die  mit  der  gerade  gewählte 
Reduktionsstufe  und  Heduktionslage  zusammenhängt.  Es  bewäk 
sich  mitJün  das  zweiseitige  G,  G.  an  den  Boggenhaluien.] 

[Damit  ist  zugleich  das  Vorhandensein  wesentlicher  Asj-nunetB 
außer  Frage   gestellt.      Um  aber  die  Schlüsse  hinsichtlich  der  . 
nähme   und  Umkehr  der  AsjTnmetrie   fiu-  absteigende   Glieder, 
durch  den  regelmäßigen  Gang  der  (*-Werte  in  den  Tabellen  IQ  1 
IV  nahe  gelegt  werden,   zu  kontrolheren .   ist   es   augezeigt  mit  < 
auf  Ä,  sich  beziehenden  m  der  Tabelle  HI   die  entsprechenden 
Dp  geltenden    «   obiger    Tabelle    zu    vergleichen.     Dieser  Verglei 
lehrt,  dass  liier  das  zweite  Glied  an  Stelle  des  ersten  den  Maj 
wert  besitÄt,    und    die  Umki'hr    der  Asymmetrie   ei-st    beim    füi 
Gliede  statt  beim  vierten  hervortritt,  und  dass  überhaupt  die  Schwal 
kungen  zwischen  den  aufeinander  folgenden  Gliedern  anders  vertei 
und  stärker  sind  als  dort.     Fragt  man  nun,  welche  Werte  als  i 
gebend  anzusehen  sind,  so  wird  man  berücksichtigen  müssen,  dass  z 


QUedening  und  A>7niroetrie  dei  Roggeni.  415 

stets  einem  «-Werte  bez,  A  ein,  mit  dem  Verhältnisse  {D — C):{C — A) 
wachsender,  relativ  großer  M-Wert  bez.  D  von  entgegengesetztem 
Vorzeichen  entspricht,  dass  aber  dabei  die  "Wald  der  Reduktionaatufe 
und  Reduktionslage  die  Lage  der  Werte  D,  C  und  A,  und  zwar  die- 
jenige von  D  in  starkcrem  Maße  als  die  von  C  und  A  beeinflusat,  wie 
aus  den  Vergleichstabellen  der  Elemente  füi-  verschiedene  Heduktiona- 
stufen  und  Reduktionslagen  im  Vm.  Kapitel  zu  ersehen.  Hierdurch 
erklären  sich  die  schärferen  Schwankungen  der  «  im  Vergleiche  zu 
dem  ruhigeren  Gange  der  u.  Trotzdem  ist  ein  endgültiges  Urteil  über 
die  AsynmietrieverhUltnisse  viebnehr  auf  die  »  ak  auf  die  u  zu  grün- 
den. Denn  letztere  geben  nur  einen  Anhalt,  um  festzustellen,  ob 
und  in  wie  weit  die  bei  weaentlicher  Symmetrie  bez.  A  zu  erwarten- 
den «-Werte  von  den  beobachteten  überschritten  werden;  dagegen 
hat  bei  Voraussetzung  weaenthcher  Asymmetrie  D,,  als  wahrschein- 
lichster AVert  zu  gelten,  und  es  sind  demgemäß  die  Wahrscheinhch- 
keiten  p  und  '/  =;  i  —  p  für  eine  obere  und  imtere  Abweichung  im 
Verhältnisse  der  beobachteten  mittleren  Abweichungen  t''  und  c,  vor- 
auszusetzen, während  eine  entsprechende  Annahme  für  die  Abwei- 
chungen bez.  A  nicht  statthaft  ist  Es  sind  sonach  im  Einklänge  mit 
den  Angaben  des  Zusatzes  zu  Kap.  XIV  (§  loi)  die  wahrscheinlichen 
Grenzen  von  u  gleich: 

{p  —  q]?n  ±o,by4^y4pqm 

zu  setzen  und  auf  Grund  der  Proportion  pit/  ^c'  -.a,  zu  berechnen, 
wonach  sich  im  vorliegenden  Falle  fi'ir  jedes  der  fünf  Glieder  abge- 
rundet der  Wert  ±  lo  als  obere  und  untere  wahrscheinliche  Grenze, 
von  den  in  der  Tabelle  angegebenen  wahrscheinlichsten  «-Werten 
gerechnet,  ergiebt.  Hieraus  folgt  allerdings  nicht  nur,  dass  jedem 
Gliede  für  sich  betrachtet  wesenthche  Asj-mmetrie  zukommt,  sondern 
auch,  dass  die  Schwankungen  zwischen  den  aufeinander  folgenden 
GUedem  mit  Ausnahme  derjenigen  zwischen  dem  dritten  und  vierten 
Gliede  als  wesentliche  anzuerkennen  sind.  Da  jedoch  hierbei  die 
in  der  Kleinheit  von  m  und  in  der  Wahl  der  Reduktionslage  be- 
gründete Unsicherheit  in  Bestimmung  von  Dp  nicht  berücksichtigt  ist, 
wird  es  geraten  sein,  auf  die  absoluten  Werte  der  beobachteten  u 


I 


J 


416 

k«rfn  idlziunrjAifA  G^rwicht  zu  ki?en  und  nur  im  ^Jle&itesaen  die  Ten- 
d^enz  ZOT  Abnahine  der  A5Timii€tne  beim  AbstGcen  in  der  Reihe  der 
Glieder  nnd  zur  Umkehr  der  A^rmmetrie  bei  den  unteren  Gliedern 
zu  betonen.^ 

§  i6^.  SchlieBlich  eihebt  sich  noch  die  Frage,  ob  die  Ver- 
^laltniJ»«e  der  Boggenglieder  einer  koDcJ^tiTen  Behandlung  sich  fügen. 
Diesem  Interesse  dienen  die  beiden  folgenden  Tabellen,  welche  für 
die  Verhältnisse  des  ersten  und  zweiten  Gliedes  und  des  zweiten  nnd 
dritten  Gliedes  reduzierte  Tabellen  zum  Verjrleiche  zwischen  Beob- 
achtung und  Bechnung,  sowie  jedesmal  nebenstdiend  die  Werte  der 
Elemente  unter  Zugrundelegen  des  logarithmischen  Verteilungsgesetzes 
bringen.  Die  drei  auf  einander  folgenden  kleinsten  und  größten 
Werte  der  Verhältnisse  des  ersten  und  zweiten  Ghedes  sind  0.64, 
0,98  und  1,00  einerseits;  1,50,  1,97  und  2.1 1  andererseits.  Die  ent- 
sprechenden Werte  für  die  Verhältnisse  des  zweiten  und  dritten  Glie- 
des sind  1,12,  1,15  und  1,16  einerseits:  2,22,  2^2  imd  2,63  anderer- 
s^nis.  I>ie  mit  a  zu  bezeichnenden  Logarithmen  halten  sich  somit 
im  ersteren  Falle  zwischen  den  Grenzen  — 0.19  und  +0.32:  im  letz- 
teren Falle  zwischen  den  Grenzen  0,05  und  0,42.  Dies  führt  bei 
einem  reduzierten  /  =  o,02  zu  folgenden  Werten: 


Gliederung  und  Asymmetrie  des  Roggens. 


417 


Vin.  Verhältnisse  der  drei  obersten  Griieder  der  217  sechs- 
gliedrigen  Halme  (L.)  und  ihre  Elemente. 

4,  =  0,02  ;   /?i  =  2 1 7  . 
I.  Glied  :  2.  Ghed  2.  GHed  :  3.  Glied 


"^ 

z 

a 

beob. 

ber. 

^    — OjOJJo 

—  0,19 

I 

0 

—  0^03 

0 

I 

(p  =0,079 

—  0,01 

1,5 

3 

^p=  0,076 
3>i  =  0,080 

+  0,01 

iii5 

9 

•         7 

+  0703 

15 

21 

w    =-f-  13 

+  0,05 

35 

34 

<?/   —  0,030 

+  0,07 

47 

43 

c    —  0,034 

+  0,09 

47 

41 

p  =0,75 

+  0,11 

30 

31 

G  =  1,202 

+  0,13 

16 

19 

C  =1,199 

+  o»i5 

7 

10 

<^^=  1,191 

+  0,17 

4 

4 

S\  —  1,202 

+  0,19 

0 

I 

+  0,29 

I 

0 

+  o^2>Z 

I 

0 

a 

z 
beob. 

ber. 

0,05 

I 

I 

0,07 

5 

2 

0,09 

3 

5 

0,11 

8 

8 

Oji3 

14 

13 

0,15 

17,5 

19 

0,17 

^3,5 

24 

0,19 

26 

28 

0,21 

37 

29 

0,23 

26 

26 

0,25 

17 

22 

0,27 

14 

16 

0,29 

9 

II 

0,31 

9 

7 

0,33 

2 

3 

0,35 

3 

2 

0,37 

0 

I 

o»39 

I 

0 

0,41 

I 

0 

^  =0,206 

(9     :=  0,206 

j3>p=z  0,206 
3>i=  0,210 

i^     =  O 

^^     =  0,048 

c'  =  0,048 
JP    =0:0 

O  =  1,607 
C  =  1,607 
c^=  1,607 

c^  =  1,622 


Bemerkenswert  ist  der  geringe  Grad  der  Asymmetrie,  die  für  das 
Verhältnis  des  zweiten  und  dritten  Gliedes  sogar  völlig  fehlt  und  erst 
beim  Fortgang  zur  vierten  Dezimalen  der  Hauptwerte  ^,  G  und  xDp 
rechnerisch  auftreten  würde.  Die  Berücksichtigung  der  vierten  De- 
zimalstelle würde  jedoch  an  der  theoretischen  Verteilung  der  x  auf 
die  einzelnen  Intervalle  nichts  ändern,  da  sie  nui*  auf  die  Bruchteile 
der  X.  Einfluss  hätte.  Die  Werte  ^  sind  nach  Bestimmung  aus  den 
primären  Tabellen  für  das  Verhältnis  des  ersten  und  zweiten  Gliedes 
gleich  0,081  und  für  das  Verhältnis  des  zweiten  und  dritten  Gliedes 
gleich  0,205.  Die  extremen  a  für  das  erste  und  zweite  Glied  stellen 
sich  auf  Gnmd  der  Verteilungsrechnung  als  entschieden  abnonn  dar.] 


Fechheic,  Kollektivmaßlehre. 


27 


XXVI.  Die  Dimensionen  der  Ckdleriegemalde. 

§  170.  [Inf  XXL  Kapitel  wurde  bereits  ein  K.-G.  den  Dimen- 
sionen der  Galleriegemälde  entnommen  und  als  Beispiel  im  Interesse 
des  Vergleiches  zwischen  der  arithmetischen  und  logarithmischen  Be- 
handlungsweise  vorgeführt  Dabei  dienten  die  Maße  von  Urlisten,  wie 
sie  die  dort  angeführten  Kataloge  hergaben,  als  unmittelbare  Unter- 
lage bei  Aufstellung  der  reduzierten  Verteilungstafeln,  und  zwar  eben- 
sowohl für  die  logarithmische  wie  für  die  arithmetische  Keduktion. 

—  Hier  sollen  nun  die  Ergebnisse  der  eingehenden  Untersuchung, 
welche  bezüglich  der  Dimensionen  der  verschiedenartigen  Gallerie- 
gemälde vom  Standpunkte  der  kollektiven  Asynmietrie  aus  in  dem 
Anhangsabschnitte  zur  »Vorschule  der  Ästhetik  c  gefülirt  worden  ist, 
mitgeteilt  und  die  dortselbst  aufgeführten  arithmetisch  reduzierten  Ver- 
teilungstafeln teilweise  einer  logaritlmiischen  Behandlung  zu  Grunde 
gelegt  werd<*n.  Die  letztere  kann  dann  zugleich  als  Beleg  dafür  dienen, 
dass  ohne  Rückgang  zu  Urlisten  oder  primäivn  Verteilungstafeln  die 
arithmetisch  reduzierten  Tabellen  eine  ausreichende  Unterlage  zur 
logaritlmiischen  Behandlung  auch  dann  noch  gewähren  können,  wenn 

—  wie  im  vorliegenden  Falle  —  die  Endabteilung  der  größeren  Maße 
von  einer  Grenze  ab  als  Best  zusammengefasst  wird  und  ihre  Er- 
streckung nur  aus  den  angegeben  extremen  AVerten  bestimmbar  ist.] 

[Ich  entnehme  nun  der  bezeichneten  Quelle  ^  zunächst  die  An- 
gaben über  die  Sachlage  der  Untersuchung  Jj  171  und  weiterhin 
(§172  und  173"  die  Verteilungstafeln  und  die  Tabellen  der  Elemente 
nebst  den  hieran  zu  knüpfenden  Erörterungen,  um  sodann  (§  174) 
den  Erfolg  der  logarithmischen  Behandlung    an  vier  Beispielen  zu 


1)  LVorschule  der  Ägthctik;  1S76.    Zweiter  Teil.  S.  275  fljjd. 


Dimensionen  der  Oalleriegemälde.  419 

zeigen.  Schließlich  teile  ich  (§  175)  wiederum  aus  der  Vorschule 
der  Ästhetik  Angaben  über  das  Verhältnis  von  Höhe  und  Breite  und 
über  den  Flächeninhalt  der  Galleriegemälde  mit.] 

§  171.  Als  Bilderklassen  werden  religiöse,  mythologische,  Genre-, 
Landschafts-  und  Stillleben-Bilder  unterschieden: 

aj  Religiöse  Bilder,  d.  s.  Bilder  mit  alttestamentlich-  und 
christlich-religiösem  Inhalte.  Hiei-zu  wurden  nicht  nur  Kompositionen 
mit  mehreren  Figuren  gerechnet,  sondern  auch  selbst  einzelne  Köpfe 
und  Figuren,  wie  Christusköpfe,  Heiligenbilder,  Darstellungen  von 
Märtyrergeschichten,  selbst  Landschaften  mit  heiliger  Staffage,  so 
dass  diese  Klasse  eigentlich  ein  schlecht  definiertes  Sammelsurium  ist; 
daher  auch  eine  sehr  unregelmäßige  Verteilung  nach  Maß'  und  Zahl 
darin  statt  fand. 

bj  Mythologische,  d.  s.  Bilder  mit  einem  Inhalte  aus  der  grie- 
chischen imd  römischen  Götter-  und  Heroenwelt,  entsprechend  weit 
gefasst,  daher  auch  schlecht  verteilt. 

c)  Genrebilder,  im  üblichen  Sinne,  ohne  Kriegs-  und  Jagd- 
szenen. 

di  Landschaften,  mit  Einschluss  von  Marinen,  doch  ohne 
Hafen-  und  Städteansichten. 

e)  Stillleben,  d.  s.  Bilder  mit  toten  Gegenständen  (abgesehen 
von  der  dabei  ausgeschlossenen  Architektur),  als  wie  Zusammenstel- 
lungen von  Esswaren,  Geräten,  femer  Blumen-  und  Fruchtstücke, 
mit  Ausnahme  solcher,  welche  menschliche  Figuren  mit  einschließen, 
mit  Einschluss  aber  solcher,  in  welchen  Tiere  nebensächlich  auf- 
treten. 

Nicht  zur  Untei*suchung  gezogen  sind  weltlich  historische  Bilder, 
Architekturbilder,  Porträts,  überhaupt  die  nicht  in  vorigen  Klassen 
begriffenen  Bilder.  Überall  ausgeschlossen  sind  Fresken-  und  Ta- 
petenbikler,  Diptychen  und  Triptychen  und  solche  Tafeln,  auf  wel- 
chen verschiedene  Darstellungen  in  von  einander  abgegrenzten  Ab- 
teilungen enthalten  waren. 

Natürlich  konnten  mehrfach  Zweifel  entstehen,  ob  ein  Bild  als 
Genrebild  sollte  unter  c)  mit  aufgenommen  oder  als  weltlich  histo- 
risches Bild  bei  Seite  gelassen  werden,   ob  ein  Bild  als  Landschaft 

27* 


420  DimensioDeii  der  OaUeriegemildc. 

unter  d)  sollte  aufgenonunen  oder  als  bloßes  Viehstück  bei  Seit 
gelassen  werden  ii.  s.  w. ;  und  gar  wold  hätten  andere  <lie  zweifei 
haften  Fälle  etwas  andei-s  rubrizieren  können.  Indes  kommt  hierau 
nicht  viel  an,  weil  die  Unsicherheit  immer  nur  verhältnismäßig  wenij 
Bilder  betrifft,  so  das»  die  Verhältnisse  dadurch  nicht  erheblich  be 
teiligt  werden  können.  Ein  ganz  scharfes  Trennungsprinzi)>  lässt  siel 
hierbei  überhaupt  nicht  aufstellen;  ich  bin  nach  dem  Apercu  de 
vorwiegenden  Eindmckes  der  Bildei-liezeichnung  in  den  Katulogei 
gegangen. 

Mehrfach  kommen  Fälle  vor,  dass  zwei  oder  gar  eine  Beihi 
ihrem  Inhalte  nach  zusammengehöriger  Bilder  von  demselben  Fonuat< 
hinter  einander  in  den  Katalogen  aufgeführt  sind.  So  konuneu  ii 
der  dritten  Partie  des  Louvi-e-Kataloges:  Ecole  fran^aise  p.  34z  ff.  voi 
No.  525  bis  547  unter  dem  Gemeintitel:  »lies  pnncipaux  traits  de  la  vii 
de  St.  Bruno«,  22  Bilder  von  Le  SueiiR  vor,  welclio,  mit  Ausnahm« 
von  No.  533,  aUe  dieselben  Dimensionen  A  =  i93:  />  =  i3ocni  haben 

Es  entstand  die  Frage,  ob  in  solchen  Fällen  alle  Exemplare  ali 
ein  einziges  nur  einmal  oder  so  oft,  als  sie  vorkamen,  in  dit 
Verteilungstafel  aufgenommen  und  vorrechnet  werden  sollten. 

Käme  es  nun  darauf  an,  was  aber  wenig  Intei-esse  haben  düi-fte. 
die  faktischen  Jlittelwerte  der  in  gegebenen  (iallerien  enthaltenen 
Bilder  von  gegebener  Art  und  die  faktischen  Vei-teilungsverhältnisse 
zu  bestimmen,  so  könnte  natürlich  nur  letztei-es  Verfahren  eingehalten 
werden;  aber  da  man  nicht  darauf  zu  rechnen  hätte,  dass  in  anderen 
Gallonen  dieselben  Dimensionen  durchschnittlich  in  demselben  Ver- 
hältnisse wiederkehrten,  so  wünle  man  auf  dieSe  Weise  einen  unange- 
messenen Beitrag  zur  allgemeinen  Mittelbestimmung  erlialten  und  die 
allgemeinen  Verteilungsverhältnissc  dadun-h  wesenthch  idteriert  finden. 
So  fanden  sich  folgende  Zahlen  i-eligiöser  Bilder  in  folgenden  Größen- 
inten-allen  der  Höhe: 


luten 

hUc 

1   = 

■79,5- 

■89,5 

91 

■89,s- 

«99.5 

89 

'99.5- 

'»9,5 

1  93 

Dimensionen  der  Oalleriegemälde.  421 

welche  Zahlen  nalie  übereinstimmen,  wie  bei  an^inandergrenzenden 
Intervallen  zu  erwarten.  Aber  hierbei  sind  sämtliche  22  SuBUR^sche 
Bilder  von  193  cm  Höhe  nur  zweimal  gerechnet,  hätte  man  sde  22 
mal  rechnen  wollen,  so  hätte  man  statt  der  aufeinander  folgenden 
Zahlen  gi;  89;  93  erhalten:  91;  109;  93;  was  die  Verteilung  sehr 
unregelmäßig  gemacht  haben  würde.  Entsprechend  in  anderen  Fäl- 
len. Da  nun  aber  eine  Mehrzahl  zusammengehöriger  Bilder  von 
denselben  Dimensionen  immerhin  eine  gewisse  starke  Bevorzugung 
dieser  Dimensionen  voraussetzt  und  mithin  ein  vermehrtes  Grewicht 
in  Anspruch  nimmt,  so  habe  ich  mich  entschlossen,  kurz  und  rund 
alle  Fälle,  wo  zwei  oder  mehr  zusammengehörige  Bilder  von  denselben 
Dimensionen  vorhanden  waren,  zweimal,  aber  nicht  mehr  als  zweimal, 
in  der  Verteilungstafel  zählen  zu  lassen. 

Wenn  daher  folgends  die  Gresamtzahl  der  in  Untersuchung 
genommenen  Bilder  zu  10558  angegeben  wird,  so  ist  diese  Zahl 
insofern  nicht  streng,  als  nach  voriger  Bemerkung  von  einer  größeren 
Zahl  zusammengehöriger  Bilder  von  gleichen  Dimensionen  überall 
eben  nur  zwei  in  Rechnung  genommen  sind,  andererseits  aber  Land- 
schaftsbilder, in  welchen  religiöse  und  mythologische  Staffage  vor- 
kommt, sowohl  bei  den  Landschaftsbildem  als  religiösen  oder  mytho- 
logischen Bildern,  also  doppelt  aufgenommen  sind.  Da  jedoch  der 
Einfluss  beider  Umstände  überhaupt  nicht  beträchtlich  und  überdies 
von  entgegengesetzter  Richtung  ist,  bleibt  obige  Zahl  nahe  genug 
zutreffend. 

Es  sind  nur  Galleriebilder,  und  zwar  aus  zweiundzwanzig  öffent- 
lichen Gallerien ')  gemessen  oder  vielmelir  die  in  den  Galleriekatalogen 


I)  Benutzte  Kataloge. 

Amsterdam.   Beschriving  der  Schilden] en  ops  Rijks  Museiim  te  Amsterdam  1858. 

Antwerpen.    Catalogue  dii  Mus6e  d^Auvers,  ohne  Jahreszahl. 

Berlin,  a;  Verzeichnis  der  Gemäldesammlung  des  Königl.  Museums  zu  Berlin  1834. 
b)  Verzeichnis  der  Gemäldesammlung  des  Konsul  Wagener  1861. 

Braun  schweig.  Pape,  Verz.  d.  Gemäldesamml.  d.  Herz.  Museums  zu  Braun- 
schweig 1849. 

Brüssel.    F^is,  Catalogue  descript  et  histor.  du  Mus.  roy.  de  Belgiqiie  1804. 

Darmstadt.  MÜLLER,  Beschreibung  d.  Gemäldesamml.  in  d.  Großherz.  Mus.  zu 
Darmstadt. 

Dijon.    Notice  des  objets  d^art  exposes  au  Miis.  de  Dijon  1860. 


422  Dimensionen  der  GalleriegemAlde. 

angegebenen  Maße,  auf  die  BildergröBe  im  Lichten  des  Bahmens 
gehend,  benutzt  und  der  Yergleichbarkeit  halber  alle  auf  metrisches 
Maß  reduziert  worden. 

Als  Einheit   der  Maße  dient   daher  folgends    ausnahmslos    das 
Centimeter. 

§  172.  Auf  die  oben  bezeichneten  Klassen  hat  sich  die  üntei^ 
suchung  erstreckt;  doch  sind  aus  angegebenen  Gründen  die  religiösen 
und  mythologischen  nur  zu  wenigen  Bestimmungen  mit  zugezogen 
worden.  In  jeder  Klasse  aber  werden  zwei  Abteilungen  unterschieden; 
nämlich  von  Bildern,  an  denen  die  Höhe  h  größer  als  die  Breite 
b  ist,  und  solchen,  von  denen  das  Umgekehrte  gilt;  erstere  mit  h'^bj 
letztere  mit  b^h  zu  bezeichnen.  Zwischen  beiden  Abteilungen 
sind  die  sehr  selten  vorkommenden  quadratischen  Bilder  abwechselnd, 
wie  sie  sich  darboten,  gleich  verteilt  worden^).  Es  sind  aber  auch 
aus  der  Zusammenrechnung  beider  Abteilungen  Bestimmungen  ge- 
zogen, welche  für  das  h  und  b  derselben  gemeinsam  gelten. 

Hiemach  nun  bedeutet  z.  B.  //;  *>/;  Höhenmaße  von  Bildern, 
deren  Höhe  größer  als  die  Breite,  femer  />;  A>6  Breitenmaße  von 


Dresden.    Hübner,  Verz.  der  Köuigl.  Gemäldegallerie  zu  Dresden  1856. 

Florenz.     Chiavacciu,  Ouida  della  R.  Oall.  del  Palazzo  Fitti  1864. 

Frankfurt.    Passavant,  Verz.  d.  öffentl.  ausgest.  Kunstgegenst  d.  Städerschen 
Kimstiustituts  1844. 

Leipzig,     a;  Verz.  d.  Kunstwerke  d.  städt.  Mus.  zu  Leipzig  1862. 

bj  Verz.  d.  Löhr'schen  Gemäldesammlung  zu  Leipzig  1859. 

London.    The  national  Galler}',  its  pictiires  etc.     Ohne  Jahreszahl. 

Madrid.    Pedro  da  Madrazo,  Catalogo  de  los  quadros  del  real  Mus.  de  Pintura 
y  Escultura  1843. 

Mailand.     Guida  per  la  regia  Pinacotheca  di  Brera. 

München,    a)  Verz.  d.  Gem.  in  d.  Königl.  Pinakothek  zu  München  1860. 

b)  Verz.  d.  Gem.  d.  neuen  Königl.  Pinakothek  in  München  i86x. 

Paris.     ViLLOT,  Notice  des  tabl.  exp.  dans  Ics  gal.  du  Mus.  imp.  du  Louvre  1859. 

Petersburg.    Waagen,  Die  Gemäldes,  in  der  Kaiserl.  Eremitage  zu  St.  Peters- 
burg 1864. 

Venedig.     Catalogo  degli  oggetti  d'arte  esposti  al  Publico  nella  L.  Roy.  Accad. 
di  belli  arti  in  V.  1864. 

Wien.     v.  Meciiel,  Verz.  d.  Gem.  der  K.  K.  Bildersammlung  1781. 

X)   Dies  ist  jedenfalls  richtiger,   als   sie   sowohl   der   einen  als  der   anderen 

Abteilung  ganz  zuzurechnen,  weil   bei   den  als  quadratisch  aufgeführten  Bildern 

doch  bald  die  eine,  bald  die  andere  Dimension  \nn  etwas  größer  als   die  andere 

sein  wird,  nur  dass  die  McHRung  sehr  kleine  Unterschiede  nicht  berücksichtigt 


DimensioDen  der  Oalleriegemfilde. 


423 


Bildern,  deren  Höhe  größer  als  die  Breite  u.  8.  f.,  endlich  h\  komb. 
oder  b\  komb.  HöhemnaBe  oder  BreitenmaBe  von  Bildern  der  ver- 
einigten Abteilungen  A>6  und  b^h. 

Die  primären  Verteilungstafeln  der  in  Untersuchung  genommenen 
Klassen  und  Abteilungen,  deren  i=:  i  cm,  besitzen  naturgemäß  eine 
große  Ausdehnung  und  sind  mit  starken  Unregelmäßigkeiten  behaftet. 
Die  folgende  Probe  muss  genügen,  um  eine  Vorstellung  von  dem 
Aussehen  derselben  zu  geben: 


I.   Probe  aus  den  primären  Verteilungstafeln. 

(Genre:  A;  A>fc). 


a 

z 

29 

13 

30 

15 

31 

13 

32 

20 

zz 

21 

34 

9 

35 

17 

36 

13 

37 

22 

38 

26 

39 

8 

40 

9 

a 

S 

41 

17 

42 

14 

43 

14 

44 

12 

45 

IS 

46 

IG 

47 

17 

48 

IG 

49 

12 

SO 

4 

51 

12 

u.  s.  w. 


Um  sowohl  die  Ausdehnung  als  auch  die  Unregelmäßigkeiten  zu 
beschränken,  ist  es  erforderlich,  zu  reduzierten  Tafeln  tiberzugehen 
und  denselben  ein  i=  10  cm  zu  Grunde  zu  legen. 

Hier  folgen  die  so  reduzierten  Tafeln  für  beide  Abteilungen  von 
Genre  und  Landschaft  und  für  A>6  von  Stillleben.  Die  Totalzahl 
m  der  Exemplare  jeder  Klasse  und  Abteilung  ist. unten  angegeben. 
Vielen  Zahlen  der  Tabelle  sieht  man  eine  Dezimale  0,5  beigefügt. 
Dies  rührt  daher,  dass  Zahlen,  die  auf  den  Grenzwert  eines  Inter- 
vaUes  selbst  fielen,  nach  der  Methode  der  geteilten  x^  halb  dem  einen, 
halb  dem  anderen  der  dadurch  geschiedenen  Intervalle  zugerechnet 


4U 


Diaifi»cjrw'.biHi  der  GskIjen«s*£iBd£de. 


wordfiti  ^ijtid,  wsa  \^  ungf^nätn  Zahkn  eine  halbe 
W:Ti  man  ^  MaBzahkn  ^kr  Ä  oder  />  far  das 
und  ^/[^Ar  >«ädkfD.  v>  tiraacfat  man  MoB  dkr 
teüuiifcfffi  dsktur  zu  sMienffL 


b 


IL  Aritbfiifrti^fch  r*rduz:erte  Verteilung^tafel  far  Geare. 

Landschaft  und  Stillleben. 


*  =  lo:   ^  =  I  cm- 


LmD  df chmf t 

StLllI< 

^beii 

a 

A 

h>h       1 

A>A 

A>A 

A 

* 

^ 

D 

A 

h 

A 

h      .. 

A 

A 

A 

i 

^ 
D 

6.5 

«•5 

— 

— 

15 

30.5 

88 

23 

6 

2 

8.5 

66 

18 

4 

25 

1^3 

190,5 

90-5 

38.5 

I7r5 

23 

200.5 

90 

i    10-5 

16.5 

35 

161 

i^n^s 

109 

78.5 

26.$ 

53*5 

278^ 

166 

24-5 

44 

45 

"7t5 

100.5 

"4.5 

80.5 

32.5 

40 

257.5 

189 

50>5 

45 

55 

75r5 

62,5 

79,5 

75,5 

22 

33 

219 

168 

27 

5» 

65 

70 

58,5 

65,5 

86 

41,5. 

21 

165 

302 

31.5 

45 

75 

47 

310 

40t5 

34,5 

25 

135 

139 

135.5 

29 

32 

85 

39-5 

18 

28 

<^3,5; 

8,5 

20 

■ 

79 

139,5 

38 

22 

95 

20,5 

21 

33 

36r5 

20r5 

«4 

93 

125.5 

23.5 

17-5 

105 

»2,5 

8 

17 

26,5 

;     13,5 

1 

8.5, 

69    . 

78 

17.5 

J2 

115 

»ii5 

10 

25,5 

29 

;    10 

9 

45 

63 

M.5 

2-5 

125 

12,5 

2.5 

24 

24 

6,5 

1 

5  , 

36,5 

58:5 

16 

6.5 

»35 

'2,5 

'0 

II 

12 

i       7r5 

2  ' 

1 

28,5 

71,5 

5,5 

3 

«45 

7,5 

»5 

19 

7>5 

10     1 

19-5 

39 

2 

1 

155 

II 

2,5 

6 

9,5 

5 

9-5 

29 

33,5 

I 

3 

K«»t 

3 

2.5 

20 

82,5 

36 

",5 

62,5 

215,5 

17 

3 

"^=    775      775     .702      702       282     I282      1794    I1794     308    .308 


Man  Hi(;lit,  rtass  die  Verteilung  überall  wesentlich  denselben  Gang 
bcffülgt.  ('berall  giel)t  es  ein  Hauptinten-all,  worin  die  MaBzahl  ein 
Maxiiniuii  ist,  von  wo  nach  l)eiden  Seiten  die  Maßzahlen  rasch  ab- 
iiehiiKüi,  und  zwar  liegt  das  Haui)tintervall  dem  oberen  Ende  der 
Ti\U'\^  wcl(:h(;s  lüit  den  kleinsten  ISLißen  anfangt,  viel  näher  als  dem 
unteren,  welches  mit  den  größten  Weilen  abschließt,  was  sogar  noch 


Dimensionen  der  Galleriegemälde.  425 

viel  auffälliger  sein  würde,  wenn  nicht  die  Zahlen  für  alle  Maße  über 
160  cm  in  Bausch  und  Bogen  (als  Rest)  zusammengefasst  wären. 
Hiermit  bietet  die  Tafel  ein  besonders  interessantes  Beispiel  eines 
K.-G.  von  sehr  stark  asymmetrischer  Verteilung  dar.  Dabei  sieht 
man,  dass  der  Gang  der  "Werte  vom  Hauptintervalle  ab  nach  beiden 
Seiten  einem  regelmäßigen  sich  sehr  genähert  hat.  Hier  und  da 
freilich,  so  namentlich  bei  Genre  i;  />>  A,  Landschaft  //;  A>/>  und 
b\  h^h  finden  auch  noch  starke  Unregelmäßigkeiten  statt  und 
fehlen  nirgends  bei  den  kleinen  Zahlen  im  untersten  Teile  der  Tafel; 
aber  es  lässt  sich  voraussetzen,  dass  diese  vollends  verschwinden  oder 
sich  doch  sehr  mindern  würden,  wenn  eine  viel  größere  Zahl  der 
Exemplare  zu  Gebote  gestanden  hätte,  so  wie  sie  sich  auch  imi  so 
mehr  ausgleichen,  in  je  größere  Intervalle  man  die  Maße  zusammen- 
fasst. 

Einen  ganz  ähnlichen  Gang  als  die  Genre-,  Landschafts-  und 
Stillleben-Bilder  zeigen  auch  die  religiösen  und  mythologischen,  nur 
dass  bei  diesen  Klassen,  unstreitig  wegen  ungünstiger  Zusammen- 
fassung der  darunter  gerechneten  Bilder,  einige  sehr  große  Unregel- 
mäßigkeiten im  Gange  bleiben,  die  sich  kaum  durch  vergrößertes  in 
ausgleichen  dürften,  daher  sich  diese  Klassen  nicht  zur  Prüfung  der 
Verteilungsgesetze  eignen  imd  löcht  so  weit  von  mir  durchgearbeitet 
worden  sind  als  die  anderen.  Auch  für  Stillleben  />>Ä  sind  ver- 
hältnismäßig stärkere  Unregelmäßigkeiten  geblieben,  als  dass  sich  eine 
vollständige  Durcharbeitung  gelohnt  hätte. 

§  173.  Einen  genaueren  Einblick  in  die  Maß  Verhältnisse  und 
As}Tnmetrie  der  Galleriegemälde  erhält  man  jedoch  erst  aus  den 
folgenden  Angaben  über  ihre  Elemente,  zu  deren  Berechnung  die 
originalen  Verteilungstafeln  zu  Gininde  gelegt  wurden. 


426 


Dimensionen  der  Galleriegemfilde. 


m.   Elemente  für  Genre,  Landschaft,  Stillleben,  Beligiöse 
und  Mythologische  nach  primärer  Tafel. 

S  =  I  cm. 


m 

1     ^. 

G^ 

c. 

V 

f-:A^ 

u 

i«>'i: 

775 
775 

54,4 
43,6 

46,7 
37,4 

44,6 
;    35,8 

24,4 
19,6 

0,45 
0,45 

—  197 

—  191 

Oeure    < 

'>m: 

702 
702 

63,8 
86,8 

53,8 
72,0 

51,4 
67,8 

30,3 

42,7 

0,47 
0,49 

—  182 

—  196 

komb. 

1477 

58,9 

50,0 

47,8 

27,4 

0,47 

—  379 

l             b 
b 

1477 

64,0 

51,0 

49,4 

34,7 

0,54 
0,50 
0,37 

—  437 

282 
282 

88,1 
69,1 

73,3 
58,7 

70,1 
54,6 

44,1 
25,3 

—  60 

—  75 

Land- 

< 

•chaft 

b>h  * 
b 

1794 
1794 

64,7 
90>3 

54,5 
75,2 

53,3 
74,4 

30,3 
43,6 

0,47 
0,48 

—  426 

—  436 

komb.  1 

2076 

67,9 

56,7 

55,7 

27,4 

0,40 

■ 

■—  520 

l        h 

2076 

87,4 

72,8 
72,6 

57,7 

71,2 

34,7 

0,40    . 

—  522 

[.»>»i: 

308 
308 

80,6 
62,2 

73,0 
58,9 

29,0 
21,9 

0,36 

0,35 

—  42 

—  34 

Still- 

< 

leben 

'>'i: 

204 
204 

71,0 
95,2 

60,1 
83,5 

55,7 
76,6 

—  54 

—  60 

komb.  < 

512 
512 

76,8 
76,4 

135,4 
107,0 

111,6 

67,3 
66,8 

67,3 
65,0 

109,5 
76,0 

96,1 

- 

^^^ 

^^^ 

Kelif^öse  < 

3730 

3730 
1804 

75,5 

44,5 
56,6 

0,56 

0,42   : 
0,51   i 

—  804 

—  1274 

—  316 

1804 

156,1 

131,5 

80,6 

0,52  ; 

—  388 

Mytho- 

350 
350 

141,7 
103,8 

133,3 
95,0 

66,1 
55,8 

0,47 
0,54 

—  30 

—  42 

losgehe 

,'>'i: 

609 
609 

116,9 
158,0 

104,9 
146,1    ! 

60,0 
74,2 

0,51 

0,47  . 

-  89 

—  57 

Zuvörderst  lassen  sicli  aus  den  Wei-ten  m  in  voriger  Tabelle 
Bestimmungen  über  die  relative  Häufigkeit  des  Vorkommens  von 
Bildern  gegebener  Klasse  und  Abteilung  in  Gallerien  ableiten,  wo- 
bei freilich  zu  erinnern,  dass  die  Verhältnisse  dieser  Häufigkeit  sich 
nach  den  einzelnen  Gallerien  sehr  unterscheiden;  die  Spezialstatistik 


Dimensionen  der  Oalleriegemälde.  427 

in  dieser  Hinsicht  würde  nur  zu  viel  Raum  im  Verhältnisse  zu  ihrem 
Interesse  kosten.  Halten  wir  uns  an  das  Gesamtergebnis  der  zwei- 
undzwanzig Gallerien,  so  folgen  sich  (ohne  Unterscheidung  der  Ab- 
teilungen Ä>fc  und  b^h]  nach  den  kombinierten  Werten  die  fünf 
untersuchten  Klassen  in  betreff  der  Häufigkeit  der  Bilder  so:  Reli- 
giöse, Landschaften,  Genre,  Mythologische,  Stillleben.  Das  Verhält- 
nis der  Landschaften  zu  Genre  jnsbesondere  (2076:  1477)  übersteigt 
etwas  das  Verhältnis  4:3. 

Von  Genrebildern  sind  die,  deren  Höhe  größer  als  die  Breite 
(A>6)  etwas  zahlreicher  als  die,  deren  Breite  größer  als  die  Höhe 
(6>A),  wogegen  bei  Landschaften  die  ä>A  mehr  als  sechsmal  so 
zalilreich  sind  als  die  A>i.  Einiges  Literesse  kann  es  haben,  dass 
bei  religiösen  Bildern  die  Ä  >  6  ungefähr  doppelt  so  zahlreich  sind 
als  die  i  >  ä,  unstreitig,  weil  der  Himmel  oft  in  großer  Höhe  zur 
Darstellung  zugezogen  wird,  während  bei  den  mythologischen  Bildern 
umgekehrt  die  Breite  bevorzugt  ist,  indem  der  6  >  A  fast  doppelt 
so  viel  (609  gegen  350)  sind  als  der  h  >  b. 

Die  durchschnittliche  Größe  ist  aus  den  Werten  -4,  oder  ö, ,  die 
durchschnittliche  Schwankung  aus  den  bez.  A^  geltenden  ry  zu  er- 
sehen. Der  Vergleich  von  ij  und  Ä^  insbesondere  zeigt,  dass  mit  der 
durchschnittlichen  Größe  auch  die  durchschnittliche  Schwankung 
wächst,  so  zwar,  dass  die  verhältnismäßige  Schwankung  i?:-4,  keine 
sehi*  starken  Unterschiede  nach  Klasse  und  Abteilung  aufweist. 

Um  neben  der  durchschnittlichen  Schwankimg  auch  die  extreme 
Schwankung  zu  berücksichtigen,  gebe  ich  noch  in  folgender  Tabelle 
die  Extreme  E'  und  E,  sowie  die  Differenz  U' —  U,^={E'  —  A^, — 
[A^  —  E,),  Die  außerdem  angegebenen  Werte  E"  und  E„  stellen  die 
den  Extremen  E*  und  E,  unmittelbar  vorangehenden  und  folgenden 
Werte  der  Verteilungstafel  vor. 


42S 


Dimentioneu  der  Galleriegemälde. 


IV.  Die  extremen  Werte  und  die  extreme  Schwankung  für 
Genre,  Landschaft.  iStillleben,  Keligiöse  und  Mythologische. 

S  =  1  cm. 


»w 


•ff 


£, 


U'-^V, 


Geure 


StilUeben 


Keligiöse 


Ä>6 


Ä>Ä 


h 


Landschaft  .    . 


h>b 


b>h 


h 

h 


.  < 


•        • 


h>f, 


h:>h 


h 
h 


Mythologische  . 


Ä>Ä 


/>>Ä 


h 
h 


223 

212 
401 


300 
244 

340 
464 


241 
228 
221 

343 


1000 
769 
666 

1277^ 

411 

325 
290 

510 


215 
162 

240 

35J_ 
269 
240 
340 
464 


238 
190 

204 
317 


610 

568 

595 

1000 

411 

324 
222 

485 


13 
10 

12 

16 


16 
16 

7 
10 

22 
16 

17 

20 


13 
8 

II 

*I 

21 

16 

14 
20 


12 

9 
II 

16 


14 
II 

7 


+  126 

+  134 
+  156 
+  243 


+  138 

+  117 
+  218 


IG 

+  293 

22 

+  102 

16 

+  120 

16 

+  95 

19 

+ 172 

10 

+  739 

7 

+  562 

II 

+  454 

17 

+  982 

21 

+ 149 

14 

+  131 

14 

+  70 

17 

+  211 

Also  betrug  z.  B.  die  größte  Höhe  A,  die  bei  einem  Genrebilde  //>/> 
vorgekommen  ist,  223  cm.  die  nächst  größte  215  cm;  die  kleinst« 
12  cm,  die  näclist  kleinste  13  cm;  u.  s.  f.  Die  absolut  größte  Höhe 
und  Breite  ist  bei  religiösen  Bildern  vorgekonmien.  Der  Vergleich 
der  Weile  E'  und  E"  einerseits.  E,  und  E„  andererseits  lässt  er- 
kennen, dass  im  allgemeinen  die  mit  den  größten  AVerten  abschließen- 
den Teile  der  primären  Verteilungstafeln  größere  Unregelmäßigkeiten 
zeigen  als  die  mit  den  kleinsten  AVerten  beginnenden;  nur  die  Land- 
schaften und  Mythologischen  scheinen  dies  nicht  zu  bestätigen,  doch 
würde  auch  bei  diesen  ])eiden  Klassen  die  Hinzunahme  der  weiterhin 


DimeDsibnen  der  Galleriegemälde.  429 

benachbarten   Werte    den   angegebenen    Unterschied    zwischen   dem 
oberen  und  dem  unteren  Ende  der  Tafel  hervortreten  lassen. 

Zur  Beurteilung  der  Asjrmmetrie  dienen  am  zweckmäßigsten  die 
//-Werte  der  Tabelle  m.  Ihnen  zufolge  ist  die  Asymmetrie  bez. 
A  überall  negativ  und  stark  hervortretend.  Auch  kann  man  auf. 
Grund  jener  Werte  bemerken,  dass  h  mit  dem  zugehörigen  b  in  der 
Asymmetrie  übereinstimmt,  indem  die  geringen  Unterschiede,  welche 
die  Tabelle  dazwischen  zeigt,  als  zufällig  betrachtet  werden  können. 
Nur  bei  den  Religiösen  ist  der  Unterschied  in  dieser  Beziehung  etwas 
größer;  aber  die  großen  Unregelmäßigkeiten  dieser  Ellasse  erlauben 
überhaupt  nicht,  sichere  gesetzliche  Bestimmungen  daraus  zu  ge- 
winnen. 

Die  Werte  U'  —  U,  der  Tabelle  IV  bestätigen  das  Vorhanden- 
sein wesentlicher  Asymmetrie  und  bewähren  zugleich  das  Umkehr- 
gesetz für  die  Asymmetrie  von  u  =  (,i  —  f.i,  und  17'  —  CT, ,  indem 
liier  beide  Wertenreihen  durchweg  entgegengesetzte  Vo^eichen 
haben. 

Übrigens  lässt  schon  das  weite  Auseinanderweichen  der  Werte 
A  und  C  in  Tabelle  HI,  sowie  die  Lage  von  C  unterhalb  A  das 
Vorhandensein  starker  Asjrmmetrie  von  negativer  Sichtung  erkennen. 
Der  Vergleich  von  O  mit  C  lehrt  femer,  dass  die  Asymmetrie  bez. 
G  weit  geringer  und  für  Stillleben  A  >  6  sogar  von  entgegengesetzter 
Richtung  als  bez.  A  ist.  Dies  hängt  damit  zusammen,  dass  O  not- 
wendig kleiner  als  A  ist  und,  da  auch  C  kleiner  als  A  ist,  oberhalb 
oder  unterhalb  C,  jedenfalls  aber  letzterem  Werte  näher  liegt  als  A. 

§  174.  [Um  nun  noch  das  logarithmische  Verteilungsgesetz  an 
den  Dimensionen  der  Galleriegemälde  zu  bewähren,  müssen  die 
arithmetisch  reduzierten  Intervalle  der  Tafel  11  in  logarithmisch  re- 
duzierte umgesetzt  werden.  Zu  diesem  Zwecke  ist  mittelst  der  in 
Tabelle  IV  enthaltenen  Angaben  über  die  extremen  Werte  der  G^- 
samtbereich,  innerhalb  dessen  die  beobachteten  Maße  sich  bewegen, 
und  insbesondere  der  Bereich  des  Intervalles,  auf  welches  die  als 
^Rest-^  bezeichneten  Maßzahlen  sich  verteilen,  abzugrenzen  und  so- 
dann die  Verteilung  der  arithmetisch  reduzierten  Maßzahlen  auf  die 
logarithmischen  Intervalle  interpolationsmäßig  zu  berechnen.] 


430 


Dimensionen  der  Galleriegemälde. 


[Als  Beispiele  wähle  ich:  Gtenre  h\  b^b  und  A;  komb.,  femer 
Landschaft  h\  b'^h  und  Stillleben  b]  h^b  und  erhalte  so  folgende 
Vergleichstabelle  zwischen  Theorie  und  Erfahrung,  in  welcher  das 
logarithmische  Intervall  gleich  0,08  mit  der  untersten  Grenze  0,76  = 
log  5,8  angenommen  wurde.  In  unmittelbarem  Anschlüsse  finden 
sich  die  Elemente  der  vier  Beispielstabellen  verzeichnet] 


V.  Logarithmisch  reduzierte  Verteilungstafel  für  Genre, 

Landschaft  und  Stillleben. 

♦  ^  0,08 . 


Genre 

Landschaft 

StiUl 

eben 

a 

Ä;  Ä>6 

h\   komb. 

Ä;  h>h 

6;  Ä>6 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp.  1 

theor. 

emp. 

theor. 

0,80 

0,5 

1 

0,88 

3 

I 

0,96 

I 

— 

2 

':   4 

1 

3 

1,04 

6 

2 

II 

4 

i   13 

6 

I 

1,12 

8 

6 

14 

10,5 

»7 

14 

I 

0,5 

1,20 

9 

14 

16 

24 

19 

27 

I 

I 

1,28 

20 

28 

34 

47.5 

35 

49 

3 

3 

1,36 

56 

49 

94 

82 

'   84 

81 

7 

7 

1,44 

68 

73 

114 

123 

:  104 

t 

119 

9 

14 

1,52 

98 

94 

164 

161 

170 

159 

27 

23 

1,60 

107 

103 

190 

183 

198 

192,5 

33 

34 

1,68 

99 

99 

191 

184 

217 

210 

41 

43 

1,76 

79 

88 

159 

170 

216 

210 

5a 

49 

1,84 

76 

72 

145 

145.5 

1   196 

192,5 

50 

48 

1,92 

61 

55 

HO 

115.5 

147 

163 

;  37 

39 

2,00 

30 

38 

75 

85 

148 

128 

;   27 

25 

2,08 

26 

24 

78 

58 

89 

93 

10 

13 

2,16 

27 

14 

56 

37 

68 

1 

62 

'     6 

1 

6 

2,24 

3 

8 

II 

22 

18 

1 

38,5 

2 

2 

2,32 

2 

4 

9 

12 

1 

14 

22 

I 

0.5 

2,40 

2 

,    6 

6 

1   13 

12 

1 

2,48 

I 

1 

3 

1   II 

6 

1 

2,56 

2 

IG 

3 

1 
1 

2,64 

j 

'   

2 

1 
1 

tll  = 


775 


775 


1477  1477  !l  1794  ,  1794  li  308  I  308 


Dimenfionen  der  Oalleriegemfilde. 


431 


VI.    Elemente  für  Genre,  Landschaft  und  Stillleben 
nach  logarithmisch  reduzierter  Tafel. 


Genre 

Landschaft 

StUUeben 

Ä;  b>b 

A;  komb.    | 

Ä;  6>Ä 

6;  h>h 

8 

1,667 

1,697 

1,738 

1,758 

S 

1,653 

1,683 

1,731 

1,768 

3>p 

1,605 

1,634 

1,712 

1,796 

3>i 

1,602 

1,642 

1,716 

1,788 

O 

46,5  cm 

49,8  cm 

54,7  cm 

57,3  cm 

C 

45,0  cm 

48,2  cm 

53,8  cm 

58,6  cm 

^ 

40,3  cm 

43,1  cm 

51,5  cm 

62,5  cm 

^ 

40,0  cm 

43,9  cm 

52,0  cm 

6 1 ,4  cm 

f* 

'  +  125 

+231 

+  112 

-36 

«/ 

0,160 

0,170 

0,201 

0,176 

«' 

1          0,222 

0,233 

0,227 

0,138 

P 

0,774 

0,778 

0,731 

0,737 

LDer  Vergleich  zwischen  den  beobachteten  und  berechneten 
Werten  zeigt,  dass  die  vier  K.-G.  im  Verhältnisse  zur  Zahl  m  der 
zu  Grunde  gelegten  Exemplare  ziemlich  gleichförmig  das  logarith- 
mische Verteilungsgesetz  bewähren.  Insonderheit  kann  man  be- 
merken, dass  die  kombinierten  Maße  für  die  Höhe  von  Genre  sich 
ebenso  wie  die  anderen  Abteilungen  den  Forderungen  der  Theorie 
fügen;  wie  denn  auch  in  der  Beispielstabelle  des  Kap.  XXI  die 
Maße  für  h^h  und  ft>A  nicht  geschieden  wurden.  Beachtet  man 
überdies,  dass  dort  mit  der  geringen  Zahl  7?i=  253  eine  hinreichende 
Bewährung  der  Theorie  erzielt  wurde,  so  erscheint  es  richtiger,  bei 
der  Bildung  von  Klassen  und  Abteilungen  der  Gemälde  vorsichtig 
zu  sein,  als  von  einer  überaus  großen  Zahl  von  Exemplaren  eine 
Beseitigung  der  Gesetzwidrigkeiten,  die  durch  mangelnde  Schärfe  der 
Klassifizienmg  veranlasst  werden,  zu  erwarten.  —  Bezüglich  der 
Elemente  ist  hervorzuheben,  dass  die  empirisch  und  theoretisch  l)e- 
stimniten  dichtesten  Werte  5>,  und  3>p  sich  wenig  unterscheiden, 
dass  jedoch  die  Verhältnisse  jf>  durchweg  unterhalb  der  theoretischen 
Grenze  ^/r  liegen.  Die  As^inmetrie  ist  für  Stillleben  bez.  3>  negativ, 
somit  bez.  ^  —  oder,  wie  bereits  oben  bemerkt,  bez.  O  —  positiv.] 


432 


Dimensionen  der  Qalleriegemalde. 


§  175.  Schließlich  sind  noch  folgende  Angaben  über  die  Maß- 
bestimmungen für  das  Verhältnis  von  Höhe  und  Breite  und  für  den 
Flächenraum  von  Galleriebildem  von  Interesse. 

Im  Kap.  XXIT  wurde  dargelegt,  dass  bei  Bestimmung  von 
mittleren  Verhältnissen  wesentlich  bloß  das  summarische  oder  geo- 
metrische Mittel  in  Betracht  kommt.  Halten  wir  uns  nun  an  die 
aus  Tab.  IH  divisorisch  zu  gewinnenden  geometrischen  Mittel  der 
// :  b  oder  />://,  indem  wir  ziu*  Vermeidung  echter  Bruchzahlen  // :  b 
für  Ii'^b  und  b:h  für  />>//  vomehen,  so  finden  wir  folgende 
Tabelle: 

Vn.  Geometrische  Mittel  Cr\i\  und  ölrrder  Verhältnisse 

von  Höhe  und  Breite. 


Genre  .  .  .  . 
J^andschaft  . 
Stillleben  .  . 


h:b 
h>b 

1,25 
1,26 


h:h 


h:h 
komb. 


1,34 
1,38 
i?39 


1,02 
1,28 

o»99 


Diese  Bestinmmngen  enthalten  das,  wie  mir  scheint,  sein*  inter- 
essante Resultat,  dass  das  Verhältnis  der  größeren  zui*  kleineren 
Dimension  bei  den  verschiedenen  Bilderklassen  denselben  (vom  goldenen 
Schnitt  sehr  abweichenden)  Wert  hat  —  denn  die  Unterschiede  in 
der  Tabelle  können  als  zufällig  gelten  —  einen  vei-schiedenen  aber, 
je  nachdem  //  >  h  oder  b  >  A.  Bei  //  >  i  verhält  sich  die  Höhe  zur 
Breite  merklich  genau  wie  5:4,  bei  //  >  //  die  Breite  zui*  Höhe  un- 
gefähr wie  4:3. 

Weiterhin  kann  man  bemerken,  dass,  während  in  den  beiden 
Abteilungen  //>/>  imd  b^h  für  sich  die  Höhe  von  der  Breite  in 
so  beträchtlichem  Verhältnisse  abwei(;ht,  hingegen  das  Verhältnis 
beider  sich  in  den  kombinierten  Al)teilungen  bei  Genre  und  Stillleben 
fast  zur  Gleiclilieit  (dem  Werte  1 )  akkommodiert.  Allerdings  könnte 
man  meinen,  da  //  von  b  in  geringerem  Verhältnisse  bei  A/>&  als 
bei  />>//  abweicht,  müsste  letzteres  in  der  Kombination  den  Aus- 
sclilag  nacli  seiner  Seite  geben;  aber  das  kompensiert  sich  ungefälir 


Dimensionen  der  Galleriegemälde. 


433 


dadurch,  dass  sowohl  bei  Genre  als  Stillleben  die  A>fe  in  größerer 
Zahl  in  die  Kombination  eingehen  als  die  fe>A.  Bei  Landschaften 
hingegen,  wo  die  6>//  an  Zahl  ungeheuer  überwiegen,  findet  eine 
solche  Kompensation  nicht  statt. 

Bei  Genre  habe  ich  die  geometiischen  Mittel  von  h:b  für  A > 6 
und  b :  h  für  t  >  A  noch  nach  spezialen  Sichtungen  verfolgt.  Die 
Konstanz  dieser  Verhältnisse  erscheint  um  so  merkwürdiger,  wenn 
man  sie  für  Bilder  verschiedener  Gallerien  besonders  untersucht, 
indem  man  dabei  so  angenähert  dieselben  Werte  wiederfindet,  dass 
die  Abweichung  als  zufällig  gelten  kann,  wenn  nur  jede  Gallerie 
oder  Zusammenfassung  von  Gallerien  eine  hinreichende  Zahl  solcher 
Bilder  darbietet,  um  der  Unsicherheit  der  Bestimmung  nicht  zu  viel 
Spielraum  zu  lassen.  Dies  beweist  sich  durch  folgende  Tabelle, 
in  welcher  die  Exemplare  von  solchen  Gallerien,  die  nur  eine  kleine 
Anzahl  von  Genrebildern  darboten,  zur  Mittelziehung  zusammen 
genommen  sind. 

Vni.  Geometrische  Mittel  von  h  :  b  und  b :  h  bei  Genrebildern 

verschiedener  Gallerien. 


Dresden 

München  a)  und  b;;  Frankfurt   . 

Petersburg 

Berlin  a)  und  b 

Paris 

Braunschweig  und  Darmstadt 
Amsterdam  und  Antwerpen    .     . 
"Wien,  Madrid,  London  .... 

Leipzig  a)  und  b) 

Brüssel,  Dijon,  Venedig,  Maüand, 
Florenz 


Ä>6 


m 


G 


R] 


151  I           1,28 

126  1,25 

122  1,24 

74  •           1,22 

62  I           1,23 

57  1,24 

48  1,24 

48  1,30 

48  1,29 

3?  L     _^23 

775  i 


m 


119 
103 

87 
60 

82 

58 
24 
97 
34 

38 


702 


ft>Ä 


m 


1,34 
1,36 
1,36 
1,32 
1,33 
1,37 
1,32 

1,35 


Auch  mit  dem  absoluten  Werte  der  Breite  b  scheint  sich  nach 
der  Untersuchung  an  Genrebildern  das  Verhältnis  zwischen  h  und  b 


Fbchxer,  EolIektiymaOlehre. 


28 


434 


Dimensionen  der  Galleriegemfilde. 


nicht  erheblich  zu  ändern.  Ich  finde  nämlich  folgende  geometrische 
Mittel  aus  folgenden  Zahlen  m  von  Exemplaren  zwischen  folgenden 
Größengrenzen : 

IX.  Geometrische  Mittel  von  h:b  und  b:h  bei  verschiedener 

Größe  von  b  (für  Genre). 


h>b 

6>Ä 

Interralle  von  h 

PäI 

rfti 

m 

0 

X 

m 

0 

Ä. 

0 

o    —  29»5 

274 

1,27 

42 

1,32 

2975        49»S 

271 

I723 

158 

1,29 

4975       69,5 

"3 

I723 

164 

I732 

69,5       8975 

54 

I723 

98 

I736 

8975     10975 

28 

1,28 

63 

I737 

Rest 

25 

h 

23 

177 

I7 

39 

Für  die  geometrischen  Mittel  der  Flächenräume  hb  erhält  man 
folgende  Werte  in  qcm. 


X.   Geometrische  Mittel  von  hb 


S  =  I  qcm. 


6>Ä 


komb. 


Genre ^747 

Jiaudschaft  .  .       4303 
Stilllebeu  •  .  • ,     4189 


3874 
4098 

5018 


2550 
4128 

4496 


Das  aritlmietische  Mittel  der  hb  habe  ich  wegen  der  großen 
Mühseligkeit  seiner  Bestimmung  bloß  für  Genre  h'^b  bestimmt  und 
3289  qcm  gefunden,  was,  ^\ie  man  sieht,  von  dem  geometrischen 
Mittel  außerordentlich  abweicht. 

Unter  den  gesamten  10558  Bildern,  welche  in  Tab.  11  ein- 
gegangen sind,  sind  die  drei  größten  im  Flächenraume  drei  Bilder 
von  Paul  Veronbse,  sämtlich  Gastmahle  darstellend,  bei  denen  Christus 
gegenwärtig  war,  nämlich: 


Dimensionen  der  Galleriegemälde.  435 

Grastmahl  bei  Levi  (Luc.V)  A= 595  cm  6=  1 277  cm  (Venedig;  Nr.  547) 
Hochzeit  zu  Kana  A=666  -     b=  990  -     (Paris;  -  103) 

Gastmahl /beim  Pharisäer  A=5i5  -     6=1000  -     (Venedig;    -  513). 

Die  drei  kleinsten  Bilder  sind  drei  Landschaften  auf  Kupfer,  zwei 
gleich  große  angeblich  von  Paul  Brill:  A  =  7,4cm,  6  =  9,1  cm 
(ältere  Pinakothek  zu  München;  2.  Abt.  244  a  u.  c)  und  eine  von 
Jan  Brbuohel:  ^  =  7,4  cm,  6  =  9,9  cm  (Mailand  Nr.  443);  wonach 
der  Flächenraum  zwischen  67,34  ^^^  759015  Qcm  variiert  oder  das 
größte  Bild  11  283  mal  das  kleinste  Bild  aufzunehmen  vermag. 

Quadratische  Bilder  kamen  unter  den  10558  zur  Untersuchung 
zugezogenen  Bildern  nur  84  d.  i.   i  auf  126  vor. 


28* 


XXYII.  Eollektivgegenstände  aus  dem  Gebiete 

der  Meteorologie. 

§  176.  [Die  täglichen  Regenhölien  für  Genf.  —  Eine 
Untersuchung  der  Genfer  Regenverhältnisse  hat  bereits  Plantamour 
in  seinen  »Nouvelles  ^tudes  sur  le  climat  de  Gen^ve«  in  dem  Ab- 
schnitt >  de  la  pluie «  gegeben  *).  Er  stützt  sich  dabei  auf  die  fünfzig- 
jährigen Beobachtungen  der  Regenhöhen  und  Regentage  während  der 
Jahre  1826— 1875.  Da  er  jedoch  seinen  Berechnungen  nur  Monats- 
werte für  die  Häufigkeit  und  Menge  des  Regens  zu  Grunde  legt^  und 
sein  Ziel  die  gesetzmäßige  Verteilung  des  Regens  im  Verlaufe  des 
Jahres,  sowie  der  Cliarakter  der  einzelnen  Monate  des  Jahres  hin- 
sichtlich ihrer  Trockenlieit  oder  Feuchtigkeit  bildet,  kann  die  fol- 
gende Untersuchung  nicht  in  Anlehnung  an  diejenige  Plantamoür's 
geführt  werden.  Denn  hier  handelt  es  sich  um  den  Xachweis  der 
Asymmetrie  und  um  Bewährung  des  logaritlmiischen  Vert^ilungs- 
gesetzes  für  die  Regenhöhen,  w^ofüi*  die  50-jährigen  Monatswerte  bei 
den  überaus  großen  Schwankungen  zwischen  den  einzelnen  Werten 
keineswegs  ausreichen.  Es  muss  vielmehr  auf  die  täglichen  Regen- 
liöhen  zurückgegangen  werden.] 

[Das  Untersuchungsmaterial  findet  sich  in  den  Archives  des 
Sciences  physiques  et  naturelles  der  Biblioth^que  universelle  de  Ge- 
növe  unter  den  allmonatlich  gegebenen  meteorologischen  Tabellen. 
Dort  ist  für  jeden  Regentag  die  Regenhöhe  in  Millimetern,  und  zwar 
bis  auf  Zehntehnillimeter,  unter  der  Überschrift:  >Eau  tomb^e  dans 
les  24  heures«,   verzeichnet.     Auf  die  Form  des  Niedei'schlags,    ob 

I)  [Publiziert  in:  M6moires  de  la  soci6t6  de  physiqiie  et  d^histoire  naturelle 
de  Geneve.    Tome  XXIV;  II.  Partie.    Genfeve  1875—76.    S.  397—658.] 


Meteorologische  K.-G. 


437 


Regen  oder  Schnee,  wird  dabei  keine  Rücksicht  genommen^).  Ich 
wählte  jedoch  nicht  den  von  Plantamour  behandelten  Zeitraum, 
sondern  die  Reihe  der  48  Jahre  Yon  1845 — 1892.  Denn  vom  Jahre 
1846  ab  wurde  ein  neuer  Apparat  benutzt,  und  es  kam  gleichzeitig 
eine  sorgfältigere  Bestimmung  der  Regenhöhe,  unmittelbar  nach  Auf- 
hören des  Regenfalles,  statt  wie  bis  dahin  nur  einmal  des  Tages  gele- 
gentlich  der  letzten  Beobachtung  am  Abende,  in  Übung.  2)] 

[Das  Aussehen  der  primären  Verteilimgstafeln  wird  aus  folgen- 
der Probe  ersichtlich,  die  für  den  Monat  Januar  den  Anfang,  einen 
mittleren  Teil  und  den  Schluss  der  beobachteten  Werte  angiebt: 


I.   Probe  aus  der  primären  Verteilungstafel  für  die 
Regenhöhen  des  Monats  Januar. 

m  =  477  ;   i  =  0,1  mm. 


a 

z 

mm 

0,0 

16 

0,1 

9 

0,2 

18 

0,3 

19 

0,4 

9 

0,5 

IG 

0,6 

II 

0,7 

18 

0,8 

8 

0,9 

IG 

1,0 

IG 

a 

2 

mm 

5,0 

3 

5,1 

2 

5,2 

2 

5,3 

5 

5,4 

I 

5,5 

2 

5,6 

4 

5,7 

5 

5,8 

I 

5,9 

4 

6,G 

I 

a 

mm 

6,1 

6 

6,2 

2 

6,3 

5 

6,4 

5 

6,5 

I 

6,6 

I 

6,7 

2 

6,8 

I 

6,9 

I 

7,0 

2 

7,1 

4 

mm 
19,6 

19,7 
19,8 

21,4 

21,6 

21,8 

23,6 

28,4 

30,4 
32,7 

40,0 


1)  [Flantamour  sagt  a.  a.  O.  (S.  627):  Les  chutes  de  neige  sont  en  g^n6ral 
trös-peu  abondantcs  ä  Genöve,  et  la  neige  ne  recouvre  ordinairement  le  sol  que 
pendant  un  petit  nombre  de  jours,  rarement  plus  de  quinze  jours.] 

2)  [Diesbezüglich  macht  Plantamoub  a.  a.  O.  (S.  627)  folgende  Angabe: 
A  partir  de  Tannde  1846  on  s^est  servi  d^un  nourel  appareil,  dont  Tentonnoir 
avait  un  diamötre  beaucoup  plus  consid^rable,  37  centimötres,  le  rase  de  jauge 
est  \me  Eprouvette  graduEe  de  la  capacitE  d'un  litre,  portant  100  divisions,  ce  qui 
correspond  ä  une  chute  d^eaii  de  10  millimötres ,  chaque  division  correspondant 
ainsi  ä  un  dixiöme  de  millimötre;  de  plus,  on  avait  le  soin  de  recueillir  et  de 
mesiirer  Teau  imm^diatement  apr^s  que  la  pluie  avait  cess6.] 


43S 


MeteoTologiMlie  K.-O. 


In  der  That  zeigen  alle  Monate  im  Intervalle  o  —  i  nun  die  stärkste  , 
Häufung,  aber  schon  von  2  mm  ab  findet  man  eine  rasche  AbnaJune 
der  Werte,  die  nach  längerem  unentschiedenen  Schwanken  sehr  un- 
regelmä&ige  Endabteilungen  mit  üerstreuten  a  bilden.  Die  Erstreckung 
der  letzteren  variiert  jedoch  für  die  einzelnen  Monate  in  hohem  Maße, 
indem  sie  für  den  Februar  mit  31,3  mm,  für  den  Oktober  dagegen 
erst  mit  97,6  mm  abschließt,  während  ihr  Beginn  für  jenen  Monat 
etwa  auf  12  mm,  für  diesen  auf  18  mm  zu  legen  ist.  Fiir  den  Mo- 
nat Januar  sind  die  Grenzen  dieser  Endabteilung  1 2  mm  und  40  mm.] 
[Diese  allgemeinen  Angaben  lassen  schon  das  Vorhandensein 
einer  überaus  starken  Asymmetrie  für  alle  Monate  des  Jahres  er- 
kennen. Dieselbe  tritt  zugleich  mit  dem  Gange  der  Hauptwerte  im 
Verlaufe  des  Jalires  in  der  folgenden  Tabelle  der  Elemente  mit  voller 
Deutlichkeit  hervor; 

II.    Elemente  der  Regenböhen  für  die  einzelnen  Monate 
des  Jahres  nach  primären  Verteilungstafeln. 


Jan. 

Febr. 

Mftn 

April 

Mai 

Ju« 

JuU 

Aug. 

Sept.  1  Okt. 

Not. 

Dei 

m 

477 

437 

533 

611 

637 

596 

Sil 

53' 

497 

617 

57a 

505 

^. 

4.4S 

4,'7 

4,60 

4,94 

6,n 

6,s8 

6,9S 

7,93 

8,46 

8,49 

6,09 

4.97 

c. 

><5 

a.i 

a.6 

3." 

3.6 

3,3 

3,8 

4,1 

4,6 

4,9 

3,3 

3,0 

n 

3.8a 

3,79 

4.03 

4,'4 

S,i4 

S,93 

6,11 

7,10 

7,57 

7.49 

s,n 

4,1" 

il-.A, 

o,8ö 

0,91 

0,88 

0,84 

0,86 

0,90 

0,88 

0,90 

0,89 

0,88 

o,S6 

0,83 

£• 

40,0 

31,3 

SI.O 

38,3 

80,7 

82,5 

60,6 

äi.i 

82,6 

97.6 

56,7 

40,0 

V-U, 

+3'.' 

*n.o 

■■41,8 

+a8^ 

+68,5 

1-69,3 

+46,7 

HS,» 

+65.7 

+80,6 

•■44,5 

+30,1 

u 

-131 

-167 

-164 

-197 

-I9S 

-.96 

-177 

-.89 

-177 

-ao9 

-.68 

-141 

u:m 

0,17 

0,38 

0,31 

0,3« 

0,3' 

o,J3 

0,34 

0,36 

0,36 

0,34 

0,19 

0,28 

L 


Die  Werte  der  unteren  Extreme  E,  sind  hier  nicht  aufgenommen 
worden,  da  sie  durchweg  gleich  0,0mm  sind.  Sie  kommen  überall, 
wie  die  obige  Probe  zeigt,  in  mehrfacher  Auflage  vor.] 

[Das  Auseinanderweichen  der  Werte  von  A  und  C  um  2  bis 
4  mm  einerseits,  die  Differenzen  U'  —  f",  =  {E'  —  A)  —  [Ä  — S,) 
andererseits  und   insbesondere  die  Differenzen  u  ^  /i'  —  fi,  beweisen 


Meteoralog^sehe  K.-G. 


439 


übereinstimmend  das  Vorhandensein  wesentlicher  Asymmetrie  bez.  A, 
für  alle  Monate  des  Jahres.  Dieselbe  ist,  dem  Vorzeichen  dei'  */.  ge- 
mäß, üherall  negativ  und  zeigt  auch  hinsichthch  ihrer  Größe  keine 
erheblichen  Schwankungen;  denn  die  relativen  Werte  der  u  bez.  m, 
d.  i.  u:»i,  sind  beinahe  konstant,  und  ihre  geringen  Unterscliiede 
verraten  keinen  gesetzmäßigen  Grang,  so  dass  sie  als  zufällig  zu  gel- 
ten haben.] 

[Weiterhin  verdient  der  Gang  der  vi,  Ä  und  ij  in  obiger  Tabelle 
beachtet  zu  werden.  Aus  den  /«-Werten  folgt,  dass  die  Häufigkeit 
des  Regens  zwei  Perioden  im  Verlaufe  des  .Jahres  besitzt,  deren  Mi- 
nima die  Monate  Februar  und  Juli,  und  deren  Maxima  die  Monate 
Mai  und  Oktober  bilden,  während  dazwischen  ein  ständiges  Steigen 
oder  Fallen  stattfindet.  Nur  der  September  dm-ehbricht  die  Regel- 
mäßigkeit; diese  Störung  ist  jedoch  als  zufälhg  zu  betrachten,  da  sie 
für  die  aus  Plantamoür's  Tabellen')  zu  entnehmenden /«-Werte  der 
Jahre  1826 — 1875  fehlt,  wofür  dann  der  Monat  Januar  störend  auf- 
tritt. Dies  ist  aus  folgender  vergleichender  Zusammenstellung  der 
wi-Werte  für  die  Zeiträume  1826— 1875  und  1845  — 1892  zu  ersehen, 
wobei  die  Reihenfülge  der  Werte  von  links  nach  rechts  der  Reihen- 
folge der  Monate  von  Januar  bis  zum  Dezember  entspricht: 

1826—1875  |5o5  413  496  525  589  53a  47»  503  Sai  576  539  454 
1845—1892  I477  437  53=  621  637  S96  521  S3I  497  617  572  505 
Im  Gegensatze  zu  den  m  zeigen  die  A  nur  eine  Periode,  die  ohne 
Störung  verläuft  und  ihr  Miniiuuni  im  Februar,  ihr  Maximum  im 
Oktober  hat  Damit  parallel  gehen  die  Werte  der  i; ,  d.  i.  der  mitt^ 
leren  Abweichungen  bez.  A,  deren  Minimum  gleichfalls  auf  den 
Februar  fällt,  während  sie  ilur  Maximum  einen  Monat  fi-üher,  im 
September,  erreichen.  Die  großen  Werte  der  rj,  die  den  A  selbst 
durchweg  sehr  nahe  kommen,  lassen  die  Stärke  der  Schwankungen, 
die  zwischen  den  einzelnen  Regenliöhen  statt  hat,  erkennen.  Die 
verhältnismäßige  mittlere  Schwankung  ist,  wie  die  Werte  ij-Ä  an- 
geben, annähernd  konstant,  gleich  o,g.] 


I)  A.  a.  O.  i 


440 


Meteorolo^che  K.-G. 


[Hiema<:h  wächst  die  Durchschnittshöhe  des  Regens  während  i 
Jahres  Tom  Februar  bis  zum  Oktober,  um  von  da  ah  wieder  bis  zum 
Februar  zu  fallen.  Ein  richtiges  Bild  von  der  Verteilung  des  Regens 
auf  die  einzelnen  Monate  erhält  man  aber  auf  diesem  Wege  nicht. 
Denn  hierbei  kommt  auch  die  Häufigkeit  der  Niederschläge  in  Be- 
tracht. Verteilt  man  dementsprechend  die  Gesamtmenge  des  Re- 
gens, die  in  einem  Monat  während  des  48-jälmgen  Zeitraumes  vor- 
kommt, nicht  auf  die  einzelnen,  wii-klich  statt  gebähten  Regentage, 
sondern  auf  alle  Tage  überhaupt,  so  erhält  man  auch  für  die  R^^gen- 
menge,  ebenso  wie  für  die  Häufigkeit  des  Regens,  innerhalb  des 
Jahres  eine  zweifache  Periodizität,  wie  sie  Plantamoük  nachgevrie- 
sen  hat.  Man  findet  nämlich  fiir  die  einzelnen  Monate  des  Jahres 
folgende  Regenmengen  durchschnittlich  für  jeden  Tag  des  Monates, 
wobei  wiederum  den  für  den  Zeitraum  1845  —  iSg;  geltenden  Werten 
die  von  Plantamour  für  1826 — 1875  gefundenen  Werte  zum  Ver^ 
gleiche  gegenüberge.stellt  werden,  und  die  Reihe  der  Werte  von  links 
nach  rechts  der  Reihe  der  Monate  vom  Januar  bis  zum  Dezemb« 
entspricht : 

i3a6— 1875J  i,s7    1,29  '>5a   1,89  »,S5  2.53  '^^9  ».59  3. '4  3,aö  = 
1845 — i89i|i,4i    1,34   1,64  2,13   2,62   2,72   a,43   2,83    2,92  3,52   2,42   ; 
In  der  That  fallen  hier  die  beiden  Minima  tibereinstimmend  auf  1 
Monate  Februar  und  Juli;   das    erste  Maximum  schwankt  zwischoi 
Mai  und  Juni,  während  das  zweite  Maximmu  beidenfalls  dem  0kl 
her  angehört').] 

[Um  nun  das  logarithmisclie  Verteilungsgesetz  an  den  ] 
höhen  zu  hewahren,  wähle  ich  die  vier  Monate  Januar,  April,  Ju] 
und  Oktober,  die  einen  vollständigen  Einblick  in  die  auftretendai 
Verhältnisse  gestatten.  Der  logarithmisch  reduzierten  Vei'teilunj 
tafel  werden  ebenso  wie  der  arithmetisch  reduzierten  die  primäi 


1)  IHinBichtlüh  dieaer  iweifacheu  Periodizität  aagt  Fi.antamolr   &.  a.  < 
(8.  640):    »Celle   diiidion    de   Taimie   cu   deux   «aiaoQB   humides   et  deux   1 
atoheg,   Time  de  celles-ei  tombaut  aur  l'eti,   accuse   trÖB-nettemcul  l'iufliiei 
climat  mfditeirnueeti ;  en  cffct,  le  carai'tere  du  cümat  mtditi-rraiieeu  eat  la  a^hi^ 
reue  de  l'iti,   laudia   que  dang  lea  aiitrei  regions   de  l'Europe  i-outineiitale,   l'A 
o'eit  pai  une  BaiaoD  stehe.'] 


Meteorologische  K.-G.  441 

Tafeln  direkt  zu  Grunde  gelegt.  Sollen  aber  beim  Übergänge  zu  den 
logarithmischen  Intervallen  die  Werte  0,0  mm,  denen  der  logarith- 
mische Wert  — 00  entsprechen  würde,  nicht  aus  der  Tafel  ver- 
schwinden, so  muss  eine  Festsetzung  über  die  Auffassung  der  mit 
diesen  Werten  verzeichneten  Regentage  getroffen  werden.  Da  nun 
dieses  Maß  der  Regenhöhe  offenbar  einen  wirklich  stattgefundenen, 
jedoch  verschwindend  geringen  Niederschlag  von  weniger  als  0,1  mm 
Höhe  andeuten  soll,  erscheint  es  gerechtfertigt,  statt  0,0  vielmehr 
0,05  mm  zu  setzen.  Zur  Milderung  dieser  Willkürlichkeit  wird  zu- 
gleich log  0,05  =  —  1,3  als  Grenze  des  ersten  und  zweiten  logaritli- 
mischen  Intervalles  gewählt,  so  dass  durchweg  die  eine  Hälfte  jener 
Werte  in  das  erste  auftretende  Intervall,  die  andere  Hälfte  in  das 
nächstfolgende  fällt.  Die  Größe  der  logarithmischen  Intervalle  femer 
wurde  gleich  0,2  festgesetzt.  Somit  schwanken  die  a- Werte  zwischen 
den  Grenzen  o  und  100  mm,  die  logarithmischen  ö^- Werte  dagegen 
zwischen  den  Grenzen  —  1,5  und  +  2,1 ,  wie  aus  den  folgenden 
Vert^ilungstafeln  zu  ersehen.  In  der  logarithmischen  Tafel  sind  zu- 
gleich die  theoretischen  Werte,  wie  sie  das  Gesetz  hergiebt,  ange- 
geben. Im  unmittelbaren  Anschlüsse  werden  die  Elemente  aufge- 
führt: 


442 


Meteorologiiehe  K.-G. 


ni.  Arithmetisch  reduzierte  Tafel  der  Kegenhöhen  für  Genf 
während  der  Monate  Januar,  April,  Juli,  Oktober 

1845  — 1892. 


Inteirallc 

1 

Januar 

April 

JuH 

Oktober 

BB 

0 —   I 

133 

164.5 

"2,5 

125 

I 2 

88 

81 

78,5 

72,5 

2        3 

43,5 

65 

31 

60 

3        4 

28 

49,5 

48 

31 

4—  5 

27 

51 

28 

24,5 

5-  6 

28 

20,5 

28,5 

39 

6-  7 

27,5 

37,5 

23 

26 

7-8 

14,5 

25 

23,5 

19,5 

8-  9 

16 

22 

15,5 

26,5 

9—10 

11,5 

15,5 

",5 

14 

IG II 

12 

16 

13 

21 

II 12 

10 

15 

14 

12,5 

12        13 

6,5 

9 

10 

14,5 

13—14 

5,5 

8,5 

8 

10,5 

14        15        , 

3 

3,5 

9 

",5 

IS— 16 

3 

5,5 

5 

13 

16 17 

2 

3,5 

3,5 

8,5 

17—18 

5           ! 

3,5 

5,5 

9 

18—19 

1 

4 

3 

4,5 

19 20 

3 

3 

7 

6,5 

20—25 

5 

6 

17 

22 

25        30 

I 

8 

12 

17,5 

30—40 

2,5 

4 

9 

17 

40        50 

0,5 

3 

2 

SO     70 

1 

1 

2 

6 

70-100 

, 

3 

m  = 

477          ' 

621 

521 

617 

Meteorologifche  K.-G. 


443 


IV.  Logarithmisch  reduzierte  Tafel  der  Regenhöhen  für  Genf 
während  der  Monate  Januar,  April,  Juli,  Oktober 

1845  — 1892. 


^  =  0,2  . 


Januar 

April 

JuH 

Oktober 

a 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

— 

5 

2 

— 

I 

3 

1,4 

8 

4 

10 

2 

4 

2 

I 

3 

—  1,2 

8 

6 

IG 

5 

4 

4 

I 

5 

—  1,0 

9 

9 

17 

8 

12 

7 

17 

7 

—  0,8 

9 

14 

10,5 

13 

9 

II 

10,5 

II 

—  0,6 

28 

19 

30,5 

21 

20 

16 

23,5 

17 

0,4 

14 

26 

18,5 

31 

11,5 

23 

22,5 

24 

0,2 

34 

34 

33,5 

42,5  '• 

28,5 

31 

22,5 

32 

0 

45 

42 

62 

55,5 

50 

39 

47 

42 

+  0,2 

66 

50 

53,5 

68 

52 

49 

52,5 

51 

+  0,4 

47 

56 

72,5 

78 

38 

57 

65,5 

61 

+  0,6 

53 

60 

95 

85 

72 

63 

52 

69 

+  0,8 

67 

63 

80 

85 

68 

66 

80 

74 

+  1,0 

53 

52 

74 

67 

64 

64') 

82 

77 

+  1,2 

27 

27 

36 

38 

45 

47 

72 

69 

4-  1,4 

7 

8 

14 

15 

31 

26 

42 

44 

+  1,6 

2 

2 

4 

4 

IG 

II 

17 

2G 

+  1,8 

— 

I 

2 

3 

6 

6,5 

+  2,0 



I 

3 

i»S 

m  s= 

477 

477 

621 

621 

521 

521 

617 

617 

I;  [Wemi  hier  auf  das  theoretisch  dichteste  Intervall  0,9 — 1,1 ,  das  den 
dichtesten  Wert  3>p  einschließt,  weniger  Werte  fallen  als  auf  das  vorhergehende, 
80  beruht  dies  nicht  auf  einem  Versehen,  sondern  auf  der  Zusammenfassung  der 
theoretischen  Werte  in  die  vorgegebenen  Intervalle.  Werden  beide  Intervalle  in 
je  vier  gleiche  Teilintervalle  von  der  Größe  0,05  gesondert,  so  erhält  man  an 
Stelle  von  66  und  64  vielmehr: 

I  16,2;  16,3;  16,6;  16,6  I    und    I  16,7;  16^;  15,6;  14,9  I  , 

so  dass  nun  in  der  That  das  Maximum  16,7  auf  das  mit  3>p  behaftete  Teilintervall 
0,9—0,95  f&llt] 


444  Meteorologifche  K.-CL 

V.    Elemente  der  Begenhöhen  nach  logarithmisch 

reduzierter  Tafel. 


Januar 

April 
0,387 

Jidi 

Oktober 

& 

0,484 

0.563 

3 

0-374 

0.479 

0.588 

0.675 

^, 

0.843 

0.762 

0,901 

1,046 

3>i 

0.800      1 

0.620 

0.679 

0.933 

O 

2.06  mm 

2.44mm 

3.05mm 

3.66mm 

C 

2.37  mm  ! 

3.02  mm ; 

3,87mm 

4,73mm 

^ 

6.97mm 

5.78mm  - 

7,97mm 

II, I    mm 

^ 

6.31mm 

4.17  mm 

4,77mm 

8,58mm 

u 

-261 

-255 

-218 

-293 

*f 

0.749 

0,645 

0,707 

0,750 

c' 

0.219 

0.270 

0,290 

0,267 

p 

1           0,885 

0-755 

0.751 

0,772 

Den  starken  Unregelmäßigkeiten  der  empirischen  Werte  entsprechend 
zeigen  sich  auch  zwischen  den  empirischen  und  theoretischen  Werten 
mitunter  erhebhche  Differenzen,  die  sich  jedoch  beim  Zusammen- 
nehmen benachbarter  Intervalle  mildem.  Dieselben  sind  daher  als 
unwesentUche  Störungen  aufzufassen,  so  dass  die  theoretischen  Werte 
eine  Ausgleichung  der  ZufäUigkeiten,  die  den  empirischen  Werten 
anhaften,  darstellen.  Bemerkenswert  ist  bezügUch  der  Elemente, 
dass  O  unterhalb  C  und  somit,  mit  Bücksicht  auf  die  Tabelle  TL 
C  zwischen  G  und  A  liegt.  Auch  hierdurch  beweist  sich  die  über- 
aus große  Schwankung  der  Begenhöhen  Damit  hängt  femer  zu- 
sammen, dass  die  «-Werte  bez.  J3>p  ebenso  wie  die  i£- Werte  bez. 
-4,  negativ  sind.  Der  relative  Wert  der  Asymmetrie  bez.  3>p ,  d.  i. 
Ulm ,  ist  wiederum  ziemlich  konstant  und  im  Durchschnitte  gleich 
0,46.] 

§  177.  Die  Barometerabweichungen  vom  Normal- 
stande für  Utrecht.  —  Die  Asymmetrie  der  Barometerabwei- 
chungen ist  bekannt.    Quetelbt  sagt  diesbezügUch*):   >0n  a  reconnu, 

I;  .Lettres  sur  la  theorie  des  probabilit^B,  S.  168.  —  Hierzu  ist  et  von 
Interesse,  die  von  Quetelet  in  den  angehängten  Noten  mitgeteüten  brieflichen 


iralf^ücfae  K.-0. 


445 


ilepuia  loiigtemps,  que  l'abäisseoietit  du  niercui-e  au-dessous  de  la 
moyeime  est  en  gäneraJ  plus  grand  que  son  elevatiua  au-dessus  de 
ce  terme*.  Es  ist  hiemach  positive  Äsjrmmetde  bez.  A  durchweg 
oder  wenigstens  in  der  Mehrzahl  der  Fälle  zu  erwarten.  Um  dies 
zu  erprohen  und  zugleich  das  zweiseitige  G.  G,  au  den  Barometer- 
abweichungen  zu  bewähi-en,  entnehme  ich  dem  Niederländischen  Jahr- 
buche für  Meteorologie')  die  in  der  Abteilung  >  Thermo-  en  Baro- 
meter-afwijldngen  *  mitgeteilten  Abweicliungswerte  vom  monallichen 
Normalstande,  für  den  Beobachtungsort  •  Uti"echt '  und  die  Beob- 
achtungszeit » 2  Uhr  nachmittags  < ,  während  des  zelinjährigen  Zeit- 
raumes von  1884  bis  1893.  Ich  gehe  jedoch  diese  Werte  nicht  für 
alle  Monate,  sondern  nur  für  Januar,  April,  Juli  und  August.  Ich 
teile  femer  lediglich  die  reduzierten  Verteilungstaf etn ,  sowie  die 
aus  ihnen  bereclineten  Elemente  mit.  Dabei  genügt  es,  die  arithme- 
tische Behandlungsweiae  zu  Grunde  zu  legen;  denn  der  Schwankungs- 
bereich der  Abweichungswerte  ist  nicht  so  groß ,  dass  die  Mühe  der 
lögarithmisclien  Behandlung  sich  lohnen  würde.  Es  wurden  daher  auch 
die  den  empirischen  Werten  beigegebenen  theoretischen  Vergleichs- 
werte aus  dem  aritlmietiachen  zweiseitigen  Verteilungagesetze  abgeleitet. 
Die  Wahl  des  reduzierten  1  =  3  mm  an  Stelle  des  primären  i=o,i  mm 
wurde  durch  die  extreme  Schwankung  des  Januar  veranlasst.  Der 
einheitlichen  Darstellbai-keit  wegen  wui-de  dieses  Intervall  auch  für 
die  drei  anderen  Monate  beibehalten.  Noch  ist  zu  bemerken,  dass 
im  Niederl.  Jahi'buche  der   31.  Januar   (wie  aach   der  1.  Mäiz)  dem 


Aiißenmgen  tou  Dravais  über  Terschicdeue  Fonnea  möfclichcr  Wahrsvliciiilicb- 
keiugesetie  iii  vergleichen,  weil  aie  «eigen,  da«R  auch  Bravaib  ebenao  wie 
ClCEXELET  Bclbat  die  Mäglichkeit  eines  asj^mnetrigchen  Verteilirngsgcsctiea  «war 
einsah,  dabei  jedoch  dem  Mittelwerte  irrtümlicher  weise  die  Holle  des  dichtesten 
Wertes  luerleilte  und  somit  die  Aiiffussuug  des  asymmetrischen  Gesetzes  printipicll 
verfehlte-  Die  dieshezügliehe  Stelle  des  BRAVAlfl'schen  Brierct  lautet  [a.  a.  ü. 
S.  413):  »On  gait  que  leg  plua  grands  &»rt«  du  harometre  vers  le  haut  de  la 
colonne,  ue  Bont  giitrc  que  la  moiti^  ou  lei  1/3  des  ernrts  du  baromfetre  vers 
le  bau;  de  »orte  ijue  l'on  aura  une  courbe  de  possibilil^  de  la  forme  .  ,  ,  dont 
leg  dciix  ntoiti^s  ne  aeront  pas  sj'mmetriques ;  seiilemeut  Tordunu^e  moycDnc  doit 
tDujotirs  partager  le  Segment  tutal  cn  dcuK  airea  Egales. •]. 

I)  ; Meteorologisch  Jaarboek  uitReneven  duor  het  Kou,  Nederlwidseh  Meteoro- 
logisch lnslitinit.1 


446 


Meteorologiiehe  K.-G. 


Februar  beigezählt  wird,  woraus  sich  die  für  den  Januar  geltende 
Gesamtzahl  von  300  statt  310  Beobachtungswerten  erklärt.] 

[Die  gewonnenen  Resultate  sind  in  den  beiden  folgenden  Tabellen 
enthalten : 


VI.  Reduzierte  Tafel  der  Barometerabweichungen 

vom  Xormalstand  für  Utrecht,  mittags  2  Uhr,  während  der 

Monate  Januar.  April,  Juli  und  Oktober  1884 — 1893. 


*****",  " 

0  • 

' 

Januar 

April 

JuH 

Oktober 

a 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

—  33 

I 

'        0,5 

■ 

1 

—  30 

I 

0'5 

1 

—  27 

I 

I 

OtS 

—  24 

2 

2 

. 

2 

I 

—  21 

4 

4 

I 

0,5 

2 

3 

—  18 

6 

6 

I 

2 

I 

8 

6 

15 

9 

9 

6 

5,5 

2 

3 

II 

12 

—  12 

16 

I3i5 

16,5 

14 

12,5 

9 

23 

20,5 

—    9 

"»5 

19 

22 

28 

20,5 

21 

22 

30 

—    6 

25.5 

24 

42 

43,5 

32 

39 

42 

38 

—    3 

31 

30 

59 

54 

63,5 

58,5 

42,5 

41 

0 

31 

34,5 

50 

53 

70 

69 

34,5 

40 

+    3 

39,5 

38 

48,5 

43 

57 

60,5 

32 

35 

+    6 

44*5 

39     ! 

26 

29     1 

44,5 

34 

30 

29 

+    9 

31 

34      ! 

19 

16     ; 

1 

7 

12 

26 

21 

H-I2 

22 

24     ! 

7 

■       7,5  1 

!        I 

3 

27 

14 

+  15 

17 

13 

I 

1                           > 

3 

5 

9 

+  18 

7 

5,5 

I 

I 

3 

5 

+  21 

2 

1 

1 

1 

1 

3 

.  +23  . 

300 

0,5 
300 

300 

300 

1 

310 

310 

2 

m  = 

310 

310 

Meteorologische  K.-G. 


447 


Vn.  Elemente  der  Barometerabweichungen. 

S  =  1  mm. 


Januar 

April 

JuU 

Oktober 

Normalstand 

760,16 

759»64 

760,62 

759,01 

^» 

+      1,01 

—   1,22 

—  0,76 

—   0,93 

c. 

+      2,34 

—   i»35 

—  0,45 

—    1,28 

^P 

+      6,06 

—   1,82 

+  0,71 

—    2,60 

A 

+      5,31 

—  2,54 

—   0,45 

—   4,32 

V') 

7,72 

5,15 

4,05 

7,15 

«f 

9,86 

4,86 

4,93 

6,31 

«' 

4,81 

5,47 

3,46 

7,98 

u 

+   32 

—   5 

+  15 

—   7 

u 

—  103 

+  18 

-54 

+36 

p 

0,737 

0,783 

0,789 

0,790 

Hier  zeigt  sich  nun  das  Vorhandensein  wesentlicher  Asymmetrie  zu- 
gleich mit  der  Gültigkeit  des  zweiseitigen  G.  G.  einerseits  an  der 
Übereinstimmung  der  empirischen  und  theoretischen  Werte  und  an- 
dererseits an  der  Lage  der  Hauptwerte  Aj  C,  Z>p,  A,  an  den  Ver- 
hältniswerten p,  sowie  den  Werten  von  u  und  u.  Zugleich  erhellt 
dass  die  Successionsabhängigkeit,  deren  Bestehen  im  XXTTT.  Kap. 
insbesondere  für  die  Barometerabweichungen  des  Januar  zahlen- 
mäßig nachgewiesen  wurde,  die  Bewährung  der  Verteilungsgesetze 
jedenfalls  nicht  unmöglich  macht.  Indessen  lehren  die  Werte  von  u 
und  //  übereinstimmend,  dass  die  As}Tnmetrie  im  Verlaufe  des  Jahres 
keineswegs  konstant  ist.  Vielmehr  verrät  sich  ein  gesetzmäßiger 
Gang  im  Verlaufe  des  Jahres,  wonach  die  starke  Asymmetrie  des 
Winters  und  die  weniger  starke  des  Sommers  durch  eine  verschwin- 
dende oder  ins  Gegenteil  umschlagende  im  Frühjahre  und  Herbste 
unterbrochen  wird.  Dabei  ist  allerdings  zu  berücksichtigen,  dass  die 
vier  Monate  nicht  ausreichen,  imi  ein  vollständiges  Bild  für  das  ganze 


i)  Die  Werte  der  17  wurden,  ohne  Rücksicht  auf  die  ji^  und  die  hieraus 
ersichtliche  geringe  Abweichung  des  zehnjährigen  Mittels  vom  Normalstande,  als 
Durchschnittswerte  der  Abweichungen  vom  Normalstande  berechnet] 


448  Meteorologische  K.-0. 

Jahr  mit  Sicherheit  zu  gewinnen.  Immerliin  wird  der  Schluss  ge- 
stattet sein,  dass  die  Asymmetrie  während  der  AVintermonate  am 
stärksten  ist  und  im  Verlaufe  des  Jahres  wenigstens  die  Tendenz  zu 
den  angegebenen  Schw^ankungen  zeigt.  —  Auch  die  Mittelwerte  rj 
lassen  einen  gesetzlichen  Verlauf  erkennen,  wonach  die  Abweichungen 
vom  Xormalstande  —  wie  übrigens  schon  das  Aussehen  der  Ver- 
teilungstafeln zeigt  —  im  Winter  durchschnittlich  am  stärksten,  im 
Sommer  am  schwächsten  sind.  Den  Gang  des  Normalstandes  selbst, 
der  als  Mittel  aus  vieljährigen  Beobachtungen  gewonnen  wurde,  zeigt 
folgende  Zusammenstellung: 


Monat 
Normalstand 


Januar        Februar  März  April  Mai  Juni 

760,16        760,62        760,61        759,64        760,09        760,78 

Monat       I      Juli  August     September     Oktober     November   Dezember 

Normalstand  i   760,62        760,42        760,71        759>oi        759»30        760,34 

Somit  kommt  im  Januar  der  Noraialstand  dem  jährlichen  Durch- 
schnittswerte 760,19  sehr  nahe;  im  April  und  Oktober  ist  er  kleiner, 
im  .Tuli  dagegen  größer  als  der  Jahresmittelwert.] 

§  178.  [Die  Thermometerabweichungen  vom  Normal- 
stande für  Utrecht.  —  In  entsprechender  Weise,  wie  es  für  die 
Barometerabweichungen  geschah,  soll  nun  auch  für  die  Abweichungen 
des  Thermometers  vom  Normalstande  die  Asymmetrie  untersucht  und 
die  Gültigkeit  des  zweiseitigen  G.  G.  bei  arithmetischer  Behandlung 
nachgewiesen  werden.  Hieran  werden  wiederum  dem  Niederl.  Jahr- 
buche für  Meteorologie  die  für  Utrecht  während  der  Jahre  1884 — 1893, 
nachmittags  2  Uhr,  in  den  Monaten  Januar,  April,  JuU  und  Okto- 
ber beobachteten  Abweichungswerte  vom  vieljährigen  Mittel  entnom- 
men. Die  Werte  sind  in  Graden  der  100-teihgen  Skala,  und  zwar 
bis  auf  Zehntelgrade  angegeben.  Sie  beziehen  sich  jedoch  für  den 
Verlauf  eines  Monats  niclit  wie  die  Barometerabweichungen  auf  den 
Mittelwert  des  ganzen  Monats,  sondern,  um  dem  lebhafteren  Gange 
der  Mitteltemperatur  Rechnung  zu  tragen,  auf  die  Normalwerte  der 
ersten,  zweiten  und  dritten  Dekade  des  jeweiligen  Monats.  Das 
Steigen  und  Fallen  der  letzteren  wälirend  des  Jahres  zeigt  folgende 
Zusammenstellung : 


Meteorologische  K.-G. 


449 


Nonnal-  j 
stand     I 


Monat 

1.  Dekade 

2.  » 

3. 


Januar  Februar  März  April 

+  2°,78  3°,97  6%S6  9°,88 

+  2%73  4°,95  7%43  "°,46 

+  3°,30  5°,94  8°,4S  i4°,»6 


Mai 
17V5 


Juni 
I8^97 
19^86 

2o^37 


Normal- 
Stand 


JuU 
+  2o°,86 

+  2t%3o 
+  2i°,5o 


August 

2I°,28 

2o°,94 

20°,32 


Septbr. 

•i8>7 
I7^I3 


Oktbr.      Novbr.     Dezbr 

I3°,22       6^82 

io%94     5^72     3^23 


4^7I 

3^82 


Hiemach  ist  der  mittlere  Normalstand  für  Januar,  April,  Juli  und 
Oktober  der  Eeihe  nach:  2**,94;  i2**,2o;  21^,22  und  i3*',23.] 

[Bestimmt  man  nun  die  Größe  des  reduzierten  Intervalles  gleich 
1°,  so  erhält  man  folgende  Ergebnisse: 


FucnKKU,  KolloUiTmaOlelire. 


29 


450 


Meteorologiflclie  K.-G. 


VIII.    Reduzierte  Tafel  der  Thermometerabweichungen  vom 

Normalstande    für   Utrecht,    nachmittags   2   Uhr,    während 

der  Monate  Januar,  April,  Juli,  Oktober  1884 — 1893. 


S  =  1°  Celsius;  i  =  i. 


Jau 
cmp. 

iiar 
theor.  ; 

i           April           * 

Ji 

ili        _' 
theor.   1 

Oktober 

a 

j     cmp. 

theor. 

emp. 

emp. 

theor. 

—  12 

— 

I 

1 

—  II 

1,5 

—  10 

2,5 

2:5 

I 

I 

« 

9 

4,5 

4 

1        2 

1 

2,5 

I 

I 

2 

0,5 

—    8 

3,5 

6     ; 

2 

5 

I 

3 

I 

1,5 

7 

IG 

8      . 

",5 

9,5 

7,5 

7 

2 

4 

—    6 

13^5 

II 

21,5 

15 

6 

13 

12,5 

1 1 

5 

18 

15 

~     25 

22 

21 

21 

20 

21 

4 

20,5 

19      ' 

15,5 

26 

31,5 

29 

26,5 

32 

3 

26 

22,5  1 

37»5 

28 

38 

34 

45>5 

40 

--    2 

22,5 

26 

;   28 

28 

48 

36 

41,5 

41 

—    I 

23,5 

28 

1   32 

26 

38 

34 

33 

38 

0 

31 

30 

18 

24,5 

25 

31 

42 

34 

+    I 

25,5 

30 

17,5 

22 

M,5 

27 

27 

27 

+    2 

32,5 

27,5 

15 

19,5 

27 

22 

24,5 

21 

+    3 

22,5 

23 

12 

16,5 

10,5 

17 

9,5 

15 

-l-    4 

15 

17,5 

16,5 

14 

",5 

12,5 

5 

IG 

+    5 

14 

12 

IG 

II 

7 

8,5  i 

IG 

6 

+    6 

8,5 

7,5 : 

12,5 

9 

8,5 

6     ! 

3,5 

4 

+    7 

4 

4,5 

5,5 

6 

4 

4 

1,5 

2 

+    8 

1,5 

2 

6,5 

5 

S 

2 

3 

I 

+    9 

I 

I 

4,5 

3 

1,5 

I 

I 

+  10 

0,5 

2 

2 

2 

I 

+  11 

3 

2 

0,5 

— 

+  12 

2 

I 

+  13 

I 

+  14 

300 

0,5 

m  = 

300 

30G 

1 
1  300      1 

!  310 

310 

310 

310 

Meteorologische  K.-O. 


451 


TX.   Elemente  der  Tlicrmometerabweicbungen. 

^  =  1°  Celsius. 


Januar 

Aprü 

JuU 

Oktober 

mittl.  Noimalstand 

+   2,94 

+ 

12,20 

+21,22 

+  13,23 

^. 

0,58 

0,50 

0,89 

—    i,ii 

c. 

0,32 

1,28 

-    1,50 

-    1,38 

^v 

+  0,61 

3," 

"   2,37 

2,49 

l^i 

+  0,08 

2,80 

—   2,00 

—   2,67 

v') 

3,17 

3,71 

3,08 

2,59 

^, 

3,76 

2,09 

2,01 

1,68 

c' 

2,57 

4,70 

3,49 

3,06 

u 

,    +^9 

50 

-46 

[8 

u 

57 

+ 

115 

+84 

+91 

P 

0,782 

0,701 

0,588 

0,804 

Auch  hier  ist  die  Übereinstimmung  zwischen  Theorie  und  Erfah- 
rung befriedigend,  wenn  auch,  der  relativ  kleineren  Reduktions- 
stufe entsprechend,  anscheinend  wemger  gut  als  für  die  Barometer- 
abweichungen. Die  Asymmetrie  ist  nui*  für  den  Januar  positiv  bez. 
A]  für  die  drei  anderen  Monate  dagegen  negativ.  Jene  Ausnahme 
könnte  nun  als  zufällig  angesehen  werden,  da  der  beobachtete  w-Wert 
überdies  klein  ist.  Da  sich  jedoch  auch  für  den  Dezember,  den  ich 
diesbezüglich  zum  Vergleiche  heranzog,  die  nämliche  Sichtung  der 
Asymmetrie,  wiederum  mit  einem  ähnlich  schwachen  Werte,  wie  für 
den  Januar  ergab,  so  darf  man  wohl  annehmen,  dass  die  Asymmetrie 
während  des  größten  Teiles  des  Jahres  negativ  bez.  A  ist,  während 
des  Winters  dagegen  dem  Nullwerte  sich  nähert  mit  der  Neigung, 
ins  Positive  umzuschlagen.  Schließlich  verdient  noch  Erwähnung, 
dass  die  durchschnittliche  Schwankung  t]  für  die  untersuchten  Monate 
(und  wohl  auch  für  das  ganze  Jahi-)  ziemlich  konstant  ist.] 

§  179.  [Die  täglichen  Variationen  der  Temperatur  für 
Utrecht.  —  Während  die  Thermometerabweichungen  auf  eine  be- 
stimmte Stunde  des  Tages  (2  Uhr  nachmittags)  sich  beziehen,  geben 


i)   [Die  17  beziehen  sich  hier,  wie  bei  den  Barometerabweichungen,  auf  den 
Normalstand.] 

29* 


452  Meteorologische  K.-G. 

die  täglichen  Variationen  die  Differenzen  zwischen  MaxiTnnm  und 
Minimum  der  Tagestemperaturen  an.  Ihre  kollektive  Behandlung 
nach  arithmetischem  Prinzip  hat  auf  Grund  der  Bemerkungen  in 
§  21  ein  doppeltes  Interesse.  Denn  sie  können  als  frei  von  Succes- 
sionsabhängigkeit  gelten  und  gestatten  somit  eine  ungehinderte  Be- 
währung der  Verteilungsgesetze.  Sie  wurden  femer  von  Qubtelbt 
als  Unterlage  für  die  Erörterung  der  Asymmetrie  benutzt;  es  ermög- 
licht daher  der  Vergleich  zwischen  der  Behandlung  dieser  K.-G. 
nach  zweiseitigem  G.  G.  und  den  Darlegungen  Quetblbt's  in  den 
»Lettres  sur  la  thdorie  des  probabilit^s«  einen  immittelbaren  Ein- 
blick, in  wie  weit  die  Theorie  Quetblet's  unvollständig  oder  unzu- 
treffend ist.] 

[Zunächst  teile  ich  in  den  beiden  folgenden  Tabellen  die  er- 
haltenen Resultate  mit.  Das  Untersuchungsmaterial  wurde  wie  für 
die  Barometer-  imd  Thermometerabweichungen  dem  Niederländischen 
Jahrbuche  für  den  Zeitraum  1884 — 1893  und  den  Beobachtungsort 
Utrecht  unter  Bescliränkimg  auf  die  Monate  Januar,  April,  Juli 
und  Oktober  entnommen.  Man  findet  es  dort  in  der  Abteilung 
»driemaaldaagsche  Waamemingen«  unter  der  Rubrik  »Temperatuur«. 
Als  reduziertes  Intervall  wurde  (wie  in  den  entsprechenden,  von 
QüBTBLBT  für  Brüssel  gegebenen  Verteilungstafeln)  i®  Celsius  ge- 
wählt: 


Meteorologische  K.-0. 


453 


X.   Keduzierte  Tafel  der  täglichen  Variationen 
der  Temperatur  für  Utrecht  während   der  Monate  Januar, 

April,  Juli,  Oktober  1884 — 1893. 
=  1°  Celsius;  i  =  i. 


Januar 

April 

1            JuH 

Oktober 

a 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

I 

0,5 

3,5 

5 

2 

I 

■ — 

I 

1,5 

22,5 

22 

4 

4 

0 

0,5 

6 

5 

2,5 

49 

48 

5,5 

8 

2,5 

2 

21 

i8,S 

3,5 

62 

59 

18,5 

16 

8 

8,5 

32,5 

41 

4,5 

51 

53 

33,5 

25 

18,5 

24 

65,5 

58 

5,5 

48 

43 

29,5 

34 

47,5 

43 

54 

57 

6,5 

29,5 

31 

38 

40 

55 

54 

48 

48 

7,5 

i6,S 

19 

38,5 

40 

56,5 

52 

37,5 

35 

8,5 

7,5 

II 

37 

36 

43 

44 

25,5 

23 

9,5 

4,5 

5 

31 

30 

29 

33 

8,5 

13 

10,5 

4 

2 

17 

23 

21,5 

22,5 

7 

6 

'1,5 

0 

I 

24,5 

17 

15 

13,5 

4,5 

3 

12,5 

0 

II 

II 

4,5 

7 

1,5 

13,5 

2 

IG 

7 

5 

3,5 

14,5 

I 

4 

2 

1,5 

«5,5 

0 

2 

I 

I 

16,5 

I 

I 

m  ^ 

300 

300 

300 

300 

310 

310 

310 

310 

XI.  Elemente  der  täglichen  Variationen  der  Temperatur. 

S  =  1°  Celsius. 


Januar 

April 

JiiU 

Oktober 

^a 

4,53 

7,69 

7,64 

5,75 

Ca 

4,26 

7,55 

7,40 

5,56 

^' 

3,24 

6,87 

6,59 

4,73 

Di 

3,54 

7,25 

7,10 

4,74 

^f 

0,97 

1,95 

1,28 

1,15 

*' 

2,26 

2,77 

2,33 

2,17 

u 

-   28 

—  1 1 

27 

—  21 

u 

-|-I20 

+52 

+90 

+95 

p 

0,791 

0,829 

0,771 

0,814 

4S4 


Meteorologiwhe  K.-0. 


i  zwetseitigeit         1 
sn  den  raiDt-         i' 


Auf  Gnu»!  dieser  Ei-gelinissc  kann  dio  Gültigkeit  des  ; 
G.  G.  nicht  bezweifelt  werden.  Die  Differenzen  zwischen  den  empi- 
rischen und  t}»eoretischen  Werten  sind  hier  im  Durchschnitte  geringer 
als  in  den  entsprechenden  Vei-gleicbstabellen  der  Barometer-  und 
Thermomet^rabweichungen.  Ebenso  genügen  die  Hauptwerte  und 
die  Verhältniswerte  der  j»  den  theoretischen  Forderungen,  während 
zugleich  die  Asymmetrie  einesteils  dun'h  die  Beständigkeit  ihrer 
Bichtung,  anderenteils  durch  ihre  besonders  im  «-Werte  de«  Jumar 
hervortretende  Stärke  als  wesentliche  sich  dokumentiert.  Indem  so 
die  täglichen  Variationen  im  ganzen  günstigere  Resultate  liefern  als 
die  Barometer-  und  Tbermometerabweichungen ,  die  beide  mit  Suc- 
cessionsabhängigkeit  behaftet  sind,  scheint  in  der  That  das  Fehlte 
von  Snccessionsabhängigkeit  die  Entwicklung  der  Gresetze  des  reinim 
Zufalls  zu  begclnstigen.] 

[Um  femer  hierzu  die  Erörterungen  Qoetblbt's  über  AsjTnm^ 
trie')  zu  vergleichen,  ist  folgendes  über  die  Methode  seiner  Unter- 
suchung mitzuteilen.  QnBTBLin'  geht  davon  aus.  dass  bei  wesent- 
licher Symmetrie  die  W.  positiver  und  negativer  Abweichungen  Tora 
arithmetischen  Büttel  gleich  groß  sind,  und  knüpft  daran  den  Schlass, 
dass  die  Asymmetrie  in  der  Ungleicblieit  der  W.  für  die  beider- 
seitigen Abweichungen  vom  Mittel  ihren  Grund  hat.  Er  illustriert 
demgemäß  die  hier  auftretenden  Wahrscheinlichkeitsverhältnisse  durch 
die  Time,  die  eine  onendhch  große  Anzahl  schwarzer  nnd  weißer 
Kugeln  in  verschiedenen,  aber  in  jedem  Falle  bestimmt  zu  wählenden 
Verhältnissen  entliält  Insbesondere  giebt  er  eine  tabellarische  Zn- 
sammenstellung der  W. ,  die  beim  Ziehen  von  16  Eugelo  für  das 
Auftreten  toh  Kugeln  der  einen  Art  bestehen,  wenn  50;  55 ;  60;  .... 
90;  95  Kugeln  der  einen  Art  unter  je  100  Kugeln  vorkommeo.  Mjt 
diesen  Tabellen  der  theoretischen  W,  vergleicht  er  nun  die  Tabdlen 
der  empirischen  W. ,  die  aus  den  reduzierten  Verteilangstafeln  für 
die  täglichen  Variationen  der  Temperaturen  'für  Brüssel;  rcsnltiavii, 
indem  das  ;  jedes  Interralles  durch  das  zugehörige  m  dividiert  wird. 


i<  !Lettfc«  dir  la  throne  des  prob.;  I«ttK  XXV:  Dn  cat 
ijiuuid  In  ehuMC*  tont  InrgKles;  Lettre  XXVI:  Loi  ie  aoftü  de  ieax  ttrfnetate. 
doat  lu  ehaace«  bodI  ine^es.     Hiena  die  Tabellen  S.  40S — 411. 


McteoTologiBche  K.-G. 


455 


I 


So  findet  er  für  den  Monat  Januai',  den  er  seinen  Ausführungen  zu 
Grunde  legt,  dasa  der  Gang  der  empirischen  W.  sich  beträchtlich 
dem  Gange  derjenigen  theoretisclien  W,  nähert,  für  welche  die 
Anzahlen  der  weißen  und  schwarzen  Kugeln  das  Verhältnis  80  zu  ao 
besitzen,  und  bemerkt,  daas  die  Analogie  noch  größer  wäre,  wenn 
das  Verhältnis  80 :  20  durch  81  :  ig  ersetzt  würde.  Hieraus  schließt 
er  mit  Bücksicht  auf  den  früher  yon  ihm  mitgeteilten  Mittelwert  fol- 
gendes'): 'i)  il  existe  une  Variation  diume  de  temperature  de  quatre 
ä  cinq  degres,  ou  plus  exactement  de  ^°,-i\  eile  est  donni^e  par  la 
moyenne  de  toutes  les  observations;  z)  cette  Variation  subit  l'influence 
de  causcs  inegales;  3)  les  causes  qm'  tendent  ä.  faire  tomber  la  Varia- 
tion diume  ä  son  minimiim,  out  plus  de  chances  en  leur  faveur  qne 
Celles  qui  tendent  ä  l'flever  h  son  maximum,  et  les  chances  sont 
tians  le  rapport  de  81  b.  19,  ou  plus  simplement  de  4  ä.  i ;  4)'les 
fL'stances  de  la  moyenne  aus  denx  valeurs  limitea  sont  rtfgl^ea  par  ce 
meme  rapport  de  4  ä,  i>]. 

[Hieraus  ist  zu  ersehen,  dass  die  Theorie  Qoetelet's  insofern 
prinzipiell  unzulässig  ist,  als  der  arithmetische  Mittelwert  auch  bei 
vorherrschender  Asymmetrie  als  walirscheinlichster  Wert  angesehen 
wird.  Wenn  aber  trotzdem  diese  irrtümliche  Annahme  durch  die 
Erfahrung  eine  Stütze  zu  erhalten  scheint,  so  ist  weiterbin  zu  be- 
achten, dass  der  Vergleich  zwischen  Theorie  und  Erfahrung  nur  auf 
das  Aussehen  der  Tafeln,  d.  i.  die  Lage  der  extremen  Werte  bezüg- 
lich des  Mittelwertes  und  den  Gang  der  dazwisclien  liegenden  Worte, 
sich  stü^t.  Infolge  davon  besitzt  die  ganze  Untersuchungswoise  nur 
geringe  Schärfe  und  trägt  den  Charakter  des  UnvollstÜndigen. 
Andererseits  ist  jedoch  hervorzuheben,  dass  die  Auffassungsweise 
Qobtblet's  zum  zweiseitigen  G.  G.  führt,  sobald  der  dichteste  Wert, 
wie  ihn  das  Proportionalgesetz  definiert,  an  die  Stelle  des  arith- 
metischen Mittels  tritt.  Der  Zusatz  zum  XIX.  Kapitel  (§  136J  stellt 
diesen  Zusammenhang  vor  Äugen.] 


i,  O.  S.  181. 


XXVIII.  Die  Asymmetrie  der  Fehlerreihen. 


§  i8o.     [Es    unterliegt   keinem  Zweifel,    dass   die   Fehlerreiliei 
K,-G.   darstellen,    welche  die  nämliche   Behandlung  wie  die  K.-) 
der    vorstehenden  Kapitel  gestatten.     Es   ist  jedoch  fi-aglich,   ob 
einerseits  prinzipiell  geboten  sei,  andererseits  in  der  Erfalmmg  i 
vorteilhaft  zeige,   hierfür  die  Methoden  der  kollektiven  Äsymmetr 
in  Anwendung  zu  bringen,  oder  ob  nicht  vielmehr  die  Voraussetzung 
wesentlicher    Symmetrie    theoretisch    imd    empirisch    zu    Grunde    zu 
legen   sei.     Nachdem  diese  Frage  in  §  8  offen  gelassen  worden  ist,,- 
soll  sie  hier  üire  Beantwortung  finden.    Dabei  ist  die  Trennung  det 
theoretischen  Standpunktes  vom  empirischen  nicht  müßig.     Denn  1 
prinzipieller  Geltung  der  Äsymmetriegesetze  wird  zwEir   die  Änwei 
düng  derselben  st«ts  auch  empirische  Vorteile  mit  sich  führen,  wem 
nur  die  Behandlung   eine   liinreichend  scharfe  ist,   um  die  zwischei 
dem    arithmetischen  Mittel    und    dem   dichtesten   Werte    bestehend^ 
Differenz  hervortreten  zu  lassen.     Es    ist    aber    denkbar,    i 
zweiseitige  G.  G.,  selbst  wenn  es  nicht  von  der  Theorie  gefordei 
wird,  dennoch  in  der  Erfalii'ung  sich  bewähre,  insofeni  es  ■ 
§  95  —  den  empirisch  verschiedenen  w-'  und  pt,  bez.  D  Rccbnut 
trägt,    wogegen    nach   einfachem    G.    G,  an   Stelle    der    gleichfal 
empirisch  verschie<lenen  ft'  und  fi,  bez.  A  beiderseits  jhi  zu  setzen  ist.|| 

[Zur  Erledigung  der  hauptsächlich  interessierenden  theoretische 
Seite  der  gestellten  Frage  ist  die  Asymmetrie  von  Fohlerreihen  ! 
untersuchen,  wozu  ein  System  gleichartiger,  den  nämlichen  Bedi 
ungen  unterliegender  Reihen  von  Beobachtungswerten  am  beste 
sich  eignet.  Etwaige  bloß  empirisch  liervoi-tretende  Vorteile  fem« 
werden    sich    zeigen,    wenn    sowohl    das    zweiseitige    als    auch 


Die  AayBuneMe  der  FehlvneibeD.  457 

einfache  (j.  G.  an  den  Verteilungstafeln  von  J^'eblerreiben  ver- 
gleichsweise erprobt  wird;  hierbei  wird  man  Reihen  mit  großem  vi 
bevorzugen,  weil  zu  erwarten  ist,  dass  solche  die  typische  Foi-m  der 
Fehlertabellen  in  möglichster  Reinheit  zur  Entwicklung  kommen 
lassen.] 

[Dem  einen  wie  dem  a,n(leren  Zwecke  genügen  die  in  diesem 
Kapitel  untersuchten  Reihen  astronomischer  Beobachtungsfehler,  die 
mir  von  dem  Observator  der  Steniwarte  zu  Straßhurg,  Herrn  Dr. 
KoMOLD,  zugleich  mit  folgenden  Angaben  über  die  Herkunft  der- 
selben mitgeteilt  wurden.] 

[Zu  Grunde  liegen  Beobachtungen  am  EEPsoLD'bchen  Meridian- 
kreise der  Sternwarte,  die  in  den  Jahren  1884— 1886  von  einem  und 
demselben  Beobachter  angestellt  wurden-  Eine  solche  Beobachtung 
soll  einesteils  den  Zeitpunkt  feststellen,  in  welchem  der  beobachtete 
Stern  durch  den  Meridian  geht,  anderenteils  «He  ZeniÜidistanz  be- 
stimmen, in  welcher  der  Durchgang  stattfindet.  Sie  ist  sonach  aus 
zwei  verschiedenen  Akten  zusammengesetzt.  Der  erste  Akt  besteht, 
da  die  Durchgangszeit  elektrisch  registriert  wird,  in  einem  Druck 
auf  den  Taster  in  demjenigen  Augenblicke,  in  welchem  der  Stern 
einen  Vertikalfaden  des  Instrumentes  passiert.  Er  kann,  da  drei- 
undzwanzig solcher  Vertikalfüden  vorhanden  sind,  entsprechend  oft 
wiederholt  werden,  wodurch  jedesmal  der  zugehörige  Zeitpunkt  fixiert 
wird.  Der  zweite  Akt  dient  der  genauen  Einstellung  des  Instru- 
mentes, sobald  der  St^m  dem  mittleren  der  23  Fäden  sich  nähert. 
Bezüglich  seiner  Ausfühi'img  ist  folgendes  zu  bemerken.  Die  Ein- 
richtung des  Insti-umentes  war  eine  von  der  gewöhnlichen  abweichende, 
indem  die  Feineinstellung  in  Zenithdistanz  nicht  (wie  übhchj  mittelst 
eines  Schlüssels  ausgefülirt,  sondern  durch  einen  Kettenlauf  ver- 
mittelt wurde,  der  um  einen  am  Klemmarme  des  Instrumentes  be- 
findliehen Knopf  lief  und,  da  der  Klemmarm  in  fester  Verbindung 
mit  dem  Instrumente  war,   stets  in  unmittelbarer  Nähe  des  Okulars 

Isich    befand.      Beide    Akte    können    daher    ohne    jede   gegenseitige  ^^H 

Störung  ausgeführt  werden,  wenn  daa  Instnunent  diejenige  Lage  hat,  ^^H 

in  welcher  die  Klemme  auf  der  Ostseite  sich  befindet.     Dann  kann  ^^1 

nämlich  der  Beobachter  in  der  rechten  Hand  den  Taster  halten  und  I 


Die  Asfiumetrie  der  FeUctrcihcD. 


ikt  zwischen  I 


mit  der  linlceD  die  FeineinatcHung  besorgen.  Hat  jedoch  i 
stnunent  die  entgegengesetzte  Lage,  so  tritt  ein  Konflikt  J 
beiden  Akt«!  insofern  ein,  als  die  Einstellung  in  Zenithdistanz  zum 
Ablegen  des  Tasters  nötigt,  der  erst  nach  Ausfülirung  derselben 
wieder  aufgenommen  werden  kann,  um  die  Durchgangszeit  für  den 
Mittelfaden  zu  registrieren.  Hierdurch  tritt  eine  hei  verschied cn**n 
Beobachtern  verschieden  starke  Verspätung  ein,  so  dass  die  Be- 
obachtung für  den  Mittelfaden  durch  die  Feineinstellung  in  Zenith- 
distanz gestört  wird.  Die  beiden  Lagen  des  Instrumentes  werden 
durch  die  Bezeichnungen  »Klemme  Ost-  und  >KIemme  West«  untei^ 
schieden-  —  Noch  ist  zu  bemerken,  dass  dieser  Konflikt  nicht  ein- 
treten würde,  falls  ein  Beobachter  im  stände  sein  sollte,  mit  der 
einen  wie  mit  der  anderen  Hand  gleich  sicher  zu  registrieren,  uii<] 
dass  femer  die  bezeichneten  Verhältnisse  gerade  umgekehrt  liegen 
würden,  wenn  der  Beobachter  mit  der  linken  statt  mit  der  rechten 
Hand  zu  registrieren  gewolmt  wäre. 

(Von  diesen  Beobachtungen  wurde  der  auf  die  Bcstinmiung  der 
DurchgangBzeit  sich  beziehende  Teil  benutzt,  um  die  Distanzen  der 
erwähnten  VertikaWUden,  d.  i.  die  Zeit,  deren  ein  Stern  im  Äquator 
zum  Durchlaufen  des  Intervalles  zweier  Fäden  bedarf,  zu  bereclinen. 
Die  Fäden  wurden  der  Reihe  nach  durch  die  Nummern  i  bis  23 
markiert.  Bestimmt  wurden  die  Distanzen  zwischen  dem  Mittelfaden 
1 2  und  den  Fäden  2,  5,  6,  10,  14,  18,  ig,  22;  sie  werden  nls  Fadeit- 
dietanzen  2 — 12;  5  —  12  u.  s.  w.  bezeichnet.  Das  Beobachtungs- 
material femer  wui-de  in  vier  Gmppen  geteilt,  da  einerseits  —  nach 
obigen  Bemerkungen  —  die  Instrument  läge  Klemme  Ost  von  der 
Lage  Klemme  West  mit  Rücksicht  auf  die  gleichzeitig  vorzuneh- 
mende Bestimmung  der  Zenitlidistanz  sich  unterscheidet,  und  anderer- 
seits außer  den  in  der  Mehrzahl  vorhandenen  Nachtbeobachtungen 
auch  Tagbeobachtungen  vorlagen,  bei  welcben  andere  Beleuchtungs- 
verhältnisse  obwalten.  Allerdings  konnte  durch  Vermeiden  des  Mittel- 
fadens 12,  der  allein  bei  der  Störung  durch  die  Feineinstellung  in 
Zenithdistanz  in  Betracht  kommt,  der  Unterschied  zwischen  den  beiden 
Lagen  Klemme  Ost  und  Klemme  West  im  wesentlichen  beseitigt  wer- 
den; und  in  der  That  ergaben  die  nämlichen  Beobachtungsreihen  die 


M 


Die  ABTmmctric  der  FeHcrrcihen 


459 


Distanzen  gegen  den  Faden  2  in  lieiden  Lagen  übereinstinuncnd.  Es 
schien  jedoch  gerade  von  Interesse,  jenen  Unterschied  beizubehalten, 
um  einen  etwaigen  Einfluss  desselben  auf  die  Resultate  der  folgen- 
den Untei-sucliung  beobachten  zu  können.  Zur  Beurteilung  der  vei^ 
liältnismäBig  großen  Beobachtungsfeliler  ist  femer  zu  bedenken,  ilass 
die  Beobachtungen,  weil  sie  zur  Ennittelung  der  Fadendistanzen 
dienen  sollten,  aus  dem  über  mehrere  Jahre  sich  erstreckenden  Ma- 
terial so  ausgewählt  sind,  dass  die  verschiedenen  Verhältnisse  mög- 
lichst zur  Geltung  kommen.  Hätte  man  den  mittleren  Beobachtungs- 
fehlcr  bestimmen  wollen,  so  wären  zeithch  nahe  Itei  einander  gelegene 
Beobachtungen  zu  wählen  gewesen.] 

§  181.    [Das  zur  Verfügung  gestellte  Material  bestellt  sonadi 
aus  vier  Gmppen,  die  wie  folgt  bezeichnet  werden: 
a]  Klemme  Ost;  Nachtbeobachtungen 
ß]  Klemme  Ost;  Tagbeobachtungen 
Y)  Klemme  West;  Nachtbeobachtungeji 
(J)  Klemme  West;  Tagbeohachtungen. 
Jede  Gruppe  entliält,  den  acht  Fadendistanzen  entsprechend,  ebenso 
viele  Reihen    von  Beobachtungswerten,    deren  Form    aus    folgender, 
der  Gruppe  a)  entnommener  Probe  zu   ersehen  ist.     Als  Maßeinheit 
dient  hier  und  im  Folgenden  durchweg  die  Zeitsekunde  =  i'. 


I.   Probe  i 


i  der  Beobachtungsreihe   a]  Klemme  Ost; 
Nachtbeobachtungen. 


L 


Beobachtung 

2-12 

5— '» 

to— 11 

14—11 

19— 12 

i8B4Jmii     24 

(TOphiuchi 

37. *8 

3i.'o 

22,28 

nM 

14,60 

ji,8o 

31,70 

37,96 

Juli         l 

i;T.ibrae 

.U..14 

3i,'4 

aa,3q 

14,07 

>4,6i 

",87 

31,70 

37,92 

iSSsJauuBTH 

«Orionü 

mM 

31,31 

aa.Si 

14,11 

14,48 

22,65 

31.60 

,17,98 

iSSäMäii    25 

i^Bootia 

37>5S 

31.17 

".35 

14,03 

14,68 

22,77 

31,80 

38,0. 

Aus   diesen  Beobachtungsreihen  lassen   sich    folgende  Elemente   für 
die  acht  Fadendistanzen  gewinnen: 


460 


Die  Asymmetrie  der  Fehlerreihen. 


n.    Elemente  der  Fadendistanzen. 


ß=  i«. 


er)  Klemme  Ost;  Nachtbeobachtungen. 


Faden- 
distanz 

2 12 

5     12 

6 — 12 

10 — 12 

14 — 12 

18—12 

19 — 12 

22 — 12 

m 

"S 

"5 

114 

114 

"5 

114 

"S 

112 

A 

37,428 

31,190 

22,333 

14,036 

14,591 

22,894 

31,7" 

37,989 

V 

0,099 

0,094 

0,084 

0,099 

0,098 

0,099 

0,094 

0,082 

E' 

38,09 

31,48 

22,66 

14,38 

14,96 

23,19 

32,00 

38,28 

B, 

37,14 

30,91 

22,07 

13,78 

14,30 

22,64 

31,42 

37,73 

u 

—3 

+2 

—  2 

-13 

—4 

— S 

—6 

+S 

xr-u, 

+0,37 

+0,01 

+0,06 

+0,09 

+0,08 

+0,04 

0,00 

+0,03 

ß)  Klemme  Ost;  Tagbeobachtungen. 


Faden- 
difltanz 

2 — 12 

5     12 

6 — 12 

10 — 12    14 — 12 

18—12 

19 — 12 

22 — 12 

m 

41             41 

40 

40        1  40 

40 

41 

40 

A 

37,405 

31,146 

22,314 

13,994    14,633 

22,938 

31,759 

38,028 

V 

0,062 

0,077 

0,084 

0,074 

0,080 

0,074 

0,072 

0,069 

E' 

37,57 

31,38 

22,54 

14,17 

14,81 

23,21 

31,93 

38,22 

B. 

37,16 

30,96 

22,03 

13,78 

14,41 

22,73 

31,56 

37,78 

u 

—4 

—3 

+5 

+  1 

+2 

+2 

0 

+2 

U'-  U, 

— 0,08 

+0,05 

— 0,06 

—0,04 

+0,05 

+0,06 

0,03 

— 0,06 

y)  Klemme  West;  Nachtbeobaclitungen. 


Faden- 
distanz 

2 — 12 

5     12 

6 — 12 

10 — 12 

14 — 12 

18 — 12  '  19 — 12 

22 — 12 

m 

124 

124         '124 

124 

124 

123 

123 

123 

A 

37,453 

31,229    22,374 

14,050 

M,593 

22,864 

31,713 

37,976 

V 

0,090 

0,089      0,085 

0,089 

0,089 

0,083 

0,105 

0,094 

E' 

37,92 

31,53 

22,61 

14,33 

14,91 

23,16 

31,99 

38,28 

E, 

37,13 

30,92 

22,10 

13,75 

14,30       22,62 

31,41 

37,67 

u 

—8 

+8 

+2 

—  2 

+2 

—4 

0 

+6 

ir-u, 

+0,14 

— 0,01 

0,04 

— 0,02 

+0,02 

+0,05 

—0,03 

0,00 

Die  AiymmBlrie  der  Fchlerreihra 


d]  Klemme  West;   Tagbeobachtuiigen. 


P.den- 
diitaiu 

2 — la 

S— I! 

6—12 

,„—2 

14-12 

iS— 12 

„-.2 

« 

5° 

5= 

49 

5= 

5° 

49 

5° 

49 

A 

3;,4'3 

'3i,!34 

23,406 

14,061 

■4,S!8 

22,836 

31,717 

37,944 

t 

0,08; 

0,051 

0,084 

0,092 

0,091 

0,079 

0,104 

0,098 

l- 

37.76 

31.45 

22,6. 

■4,3° 

■4,8' 

23,06 

3",13 

38,28 

E, 

37, as 

3'."4 

22,19 

■3,75    {   ■4,3'> 

22,63 

31,4" 

37,70 

u 

—  5 

—  1 

+  2 

+,0        1+2 

+2 

+  1 

—  1 

V-U, 

+0,08 

0,00 

—0,07 

+0,06 

+0,02 

+0,,2 

+0,09 

Hier  stellen  die  A  die  gesucliten  Fadendistanzen  dar,  indem  sie  als 
die  arithmetischen  Mittel  aus  den  m  Beobachtungswei-ten  zugleich 
die  wahrscheinlichsten  Werte  bezeichnen,  falls  das  einfache  G.  G. 
als  zutreffend  anzusehen  ist.  Diese  Werte  weichen  für  die  verschie- 
denen Gruppen  von  einander  ab,  was  zunächst  wegen  der  Endlich- 
keit der  m ,  die  der  Bestimmung  uiiterliegeu,  nicht  anders  zu  erwarten 
ist,  außerdem  aber  auch  durch  den  zwischen  den  Lagen  Klemme 
Ost  und  West  bestehenden  Unterschied  bedingt  wird.  Denn  in  den 
Gruppen  y  und  d  sind  die  vier  ersten  Distanzen  durchweg  größer, 
die  vier  letzten  in  der  Mehrzahl  der  Fälle  kleiner  als  die  entspre- 
chenden Distanzen  der  Gruppen  a  und  (i,  wie  es  bei  der  verspäteten 
Fixierung  des  Durchganges  durch  den  Mittelfaden  in  der  Lage  Klemme 
West  vorauszusetzen  ist.  Das  Entsprechende  zeigt  der  Vergleich 
obiger  Werte  mit  den  von  Herrn  Dr.  Kobold')  aus  andei-weitigen 
Beobachtungen  mit  größerer  Zuverlässigkeit  gewonnenen  Werten,  die 
der  folgenden  Zusammenstellung  zu  entnehmen  sind: 
Fadcndistani  '  2 — 12  1  5 — II  j  6 — 12  jio — 12J14 — iiliS — njig — 12J22 — lal 
■^  '37',443;3'',i95!22*,3Ssl'4V30i4'.S9i|22',893|3i',73S,38',oo6l 

Die  tj  geben  als  Mittelwerte  der  Differenzen  zwischen  den  beobach- 
teten   Werten    und    den    Ä    die    einfachen    Durclischnittsfehler   . 


I 


I)  [Vergl.  Ami&Ieii  der  Küserl.  Uoivcrdtilte-Stern warte  in  StraDbuig;  1. 1 
1S96,  S.  XXII:  Die  Fadendistanzeii  und  die  Winliclwcrtc  der  Sahraiib«.] 


462 


Die  Asyramelrie  der  Fehlerreihen. 


Uicaeibeii  zeigen  innerlialb  der  einzelnen  Gruppen  nur  geringe  Schwan- 
kungen, wontuili  die  acht  Felilerreihen  jeder  Gruppe  ein  gleichartigea  J 
System  bilden,  wie  schon  auf  Grund  ihrer  Entstehung  anzunehmeaJ 
war.  Die  Scbwanlcungs weite  der  Fehler  ist  aus  den  Differenzen  derj 
oberen  und  unteren  Extreme  E'  und  E,  zu  ersehen;  sie  betrügt  nur  i 
für  die  Fadendistanz  2 — 1 2  der  Gruppe  a  o',g5 ;  die  Größe  dieses  Wer-  \ 
tes  ist  aber  wesentlich  durch  den  Betrag  der  oberen  extremen  Abwei-  ■ 
chung  P'=^o',66  bedingt,  der  den  durchschnittlich  zu  erwartenden  I 
Betrag  erheblich  übei-steigt  und  als  abnorm  ku  betracliten  ist.] 

[Vor  Allem  aber  interessieren  die  Werte  der  u  und  im  Zusam-l 
menhange  damit  diejenigen  der  Ü'  —  P, ,  da  sie  eine  Beantwortung  J 
der  Frage  gestatten,  oh  die  Äs)Tnmetrie  der  Ffhlerreilien  als  wesent  J 
liehe  oder  unwesentliche  zu  gelten  habe.  Nun  sind  die  M-Wertej 
durchweg  sehr  klein  und  besitzen  in  ungeregelter  Folge  bald  posi-'' 
üves,  bald  negatives  Vorzeichen.  Entsprechendes  ist  von  den  Diffe-l 
renzen  V —  U,  zu  sagen,  die  nur  in  der  Gruppe  a  keinen  Wechsel  I 
zwischen  den  Vorzeichen  aufweisen  und  hier  nur  in  dem  einen  Wertel 
o',37  2U  einer  bedeutenden  Höhe  ansteigen,  der  nach  den  obigen'J 
Bemerkungen  bezüghch  der  zugehörigen  oberen  extremen  Abweichung  J 
nicht  in  Betracht  kommen  kann.  Hieraus  folgt  mit  Entschiedenheit  1 
der  Scbluss,  dass  keine  wesentHche  Asymmetrie  vorhanden  ist  Eine  1 
Bestätigung  hiervon  kann  man  überdies  darin  finden,  dass  nur  in  18 
unter  32  Fällen  die  Vorzeichen  von  «  und  JJ' —  Ü,  einander  entg:e-| 
gengesetzt  sind,  und  somit  das  TJmkehi'gesetz  der  Asymmetrie  zwischen  1 
der  Differenz  der  Abweichungszahlen  und  dei-jenigen  der  extremen  1 
Abweichungen  bez.  A  sich  nicht  bewährt,  während  dasselbe  bei  Tor-*! 
waltender  wesentlicbei"  Asymmetrie  erfahrungsgemäß  Geltung  hat.] 

§  182.  [Es  ist  sonach  kein  Grund  vorhanden,  für  die  Fehler- 1 
reihen  die  Prinzipien  der  kollektiven  AsjTnmetrie  in  Anwendung  zu  j 
bringen.  Um  jedoch  zu  zeigen,  dass  auch  hezügbch  der  Überein- 
f  xwischen  Theorie  und  Erfahrung  mit  der  Anwendung  desa 
t  G.  G.  keine  Vorteile  gegenüber  dem  einfachen  Gesetze] 
ind,  gelx'  ich  im  Folgenden  Tergleichstahellen  in"soIchei 
nmuirischcn  Worten  sowohl  die  nach  einfachem  G.  G.  J 
'wei^ettigem   G.  G.    be/.  D   berechnetenJ 


Die  Asymmetrie  der  Fehlerreihen. 


463 


theoretischen  Werte  zur  Seite  stehen.  Die  empirischen  Werte  wurden 
aus  den  vier  Gruppen  von  je  acht  Beobachtungsreihen  in  der  Weise 
gewonnen,  dass  zunächst  in  jeder  Beobachtungsreihe  die  beobachteten 
Werte  durch  ihre  Differenzen  mit  dem  zugehörigen  A  d.  i.  durch 
die  Beobachtungsfehler  J  ersetzt  und  sodann  die  acht  Fehlerreihen 
jeder  Gruppe  zu  einer  einzigen  Eeihe  zusammengelegt  wurden.  Den 
vier  Gruppen  or,  ß^  y,  6  entsprechend  enstanden  so  vier  Fehlerreihen, 
die  als  die  Reihen  cc,  ß,  y,  d  bezeichnet  werden  sollen.  Das  Zu- 
sammenlegen  der  ursprünglichen  Reihen  unterlag  keinem  Bedenken, 
da  sie  auf  Grund  der  XJbereinstimmung  zwischen  den  zugehörigen 
Durchschnittsfehlem  rj  als  gleichartig  sich  erwiesen  hatten.] 

[Bei  Reduktion  auf  ein  i  =  o*,o5   erhält  man  so  folgende  Re- 
sultate : 


Tn.  Reduzierte  Verteilungstafeln  der  Fehlerreihen  or,  ß,  y,  J. 


S  =  i';  i  =  0,05 


Reihe  a 


J 

emp. 

thc 
bez.  A 

or. 
bez.  Dp 

0,35 

2,5 

2 

0,30 

6 

6,5 

5»S 

—  0,25 

21 

17 

16 

—  0,20 

38 

37 

37 

07^5 

59 

69 

71 

—  0,10 

108 

107 

III 

OjOS 

154 

139 

143 

0,00 

151 

152 

151,5 

+  o>oS 

152 

140 

136 

+  0,10 

100 

io8 

104 

+  0,15 

55 

70 

68 

+  0,20 

36 

38,5 

38,5 

+  0,25 

18 

17,5 

18,5 

+  0,30 

12 

7 

8 

+  0,35 

3 

2 

3 

+  0,40 

— 

I 

I 

+_o,65 

I 
914 

914 

m  = 

9M 

m  = 


Reihe  ß 


thcor. 


bez.  A     bez.  7>, 


323 


323 


323 


464 


Die  Asymmetrie  der  Fefalerreiheo. 


Eeihe  y 


Reihe  ö 


emp. 

theor. 

J 

bez.  A 

bei.  Dp 

—  0,40 

0,5 

0,5 

-  0,35 

— 

2 

2 

"  0,30 

10 

6 

7 

0,25 

19 

17 

18 

—  0,20 

42 

39 

39 

0,15 

69 

74 

72,5 

—  0,10 

lOI 

117 

114 

0,05 

0,00 

+  0,05 

159 
174 

163 

154,5 
169 

154,5 

151 
169 

158 

+  0,10 

120 

117 

121 

+  0,15 
+  0,20 

+  0,25 

73 
37 
14 

74 
39 
17 

75,5 

38,5 
16 

+  0,30 

7 

6 

5 

+  0,35 

0 

2 

hS 

+  0,40 

0 

0,5 

0,5 

+  0,45 

I 

w   = 

989 

989 

989 

theor. 


bes.  A 


bez.  D. 


IV.   Elemente  der  Fehlerreihen  er,  ß,  y,  d  nach 

reduzierten  Tafeln. 


S=i' 

« 

a 

ß 

r 

(f 

m 

914 

323 

989 

397 

A 

+  0,0009 

—  0,0025 

0,0000 

—  0,0004 

C 

0,0015 

—  0,0030 

+  0,0022 

—  0,0012 

J^P 

—  0,0111 

—  0,0050 

+  0,0094 

—  0,0048 

Di 

—  0,0281 

—  0,0284 

+  0,0038 

+  0,0353 

V 

0,0949 

0,0753 

0,0923 

0,0946 

«, 

0,0888 

0,0741 

0,0969 

0,0924 

c' 

0,1008 

0,0766 

0,0875 

0,0968 

u 

—  9 

—  8 

+  15 

—  3 

u 

+58 

+  5 

—50 

+  9 

V 

0,80 

0,80 

0,77 

0,82 

Die  Asymmetrie  der  Fehlerreihen. 


465 


In  denselben  zeigt  sich  überall  eine  so  weit  gehende  Überein- 
stimmung zwischen  den  theoretischen  Werten  des  symmetrischen  und 
des  asymmetrischen  Verteilungsgesetzes,  dass  es  belanglos  erscheint, 
welches  von  beiden  man  zu  Grunde  legen  will.] 

[Dann  wird  aber  der  Vorzug  der  Einfachheit  zu  Gunsten  des 
symmetrischen  G^etzes  den  Ausschlag  geben,  wobei  noch  ins  Ge- 
wicht fällt,  dass  man  zur  Berechnung  der  Elemente  nicht  auf  redu- 
zierte Tafeln  zurückgehen  muss,  sondern  den  primär  bestimmten 
Durchschnittsfehler  t]  oder  (quadratischen)  Mittelfehler  q  bei  der 
Verteilungsrechnung  benutzen  kann.  Im  vorliegenden  Falle  erhält 
man  so  aus  den  primären  Verteilungstafeln  für  die  iy  der  Reihen 
^j  ßi  y?  ^  respektiv  o*,0937;  o*,0738;  o'jOgoö;  o'jOgii,  was  zu  fol- 
gender Vergleichstabelle  zwischen  Theorie  und  Erfahrung^  führt : 


V.  Vergleich  zwischen  Theorie  und  Erfahrung 

für  das  einfache  G.  G. 


t         ^ 

a 

^ 

7 

emp. 

(f 

±1 J 

emp.  1  theor. 

emp. 

theor. 

emp. 

theor. 

theor. 

0,00 

151 

154 

67 

69 

174 

169 

64 

69 

0705 

306 

282 

129 

119 

322 

309 

132 

125 

0,10 

208 

216 

68 

78 

221 

234 

99 

94,5 

0,15 

114 

138 

38 

38 

142 

148 

51 

59 

0,20 

74 

74 

15 

14 

79 

78 

32 

30,5 

0,25 

39 

33 

5 

4 

33 

34 

9 

13 

0,30 

18 

12 

I 

I 

17 

12 

8 

5 

o»35 

3 

4 

0 

4 

I 

I 

0,40 

I 

0 

I 

I 

0,45 

I 

0,65 

I  !  — 

m  = 

914 

914 

323 

323 

989 

989 

397 

397 

Hier  müsste  das  durch  0,00  bezeichnete  Intervall  mit  den  Grenzen 
±0,025  verdoppelt  werden,  um  mit  den  anderen  Intervallen  direkt 
vergleichbar  zu  sein,  so  dass  natürlich  der  theoretische  Maximalwert 
stets  auf  den  Nullwert  fällt.] 

FkchstkRi  KollektiTinaOIelire.  30 


I 

t 


'  466  I)ie  Asymmetrie  der  Fehlerreihen. 

« 

[Indem  nun  in  der  Theorie  und  Erfahrung  das  zweiseitige  G.  Q-. 

I  zwar  als  anwendbar   sich  zeigt,    aber   keinen  Vorteil  vor  dem  ein- 

fachen Gr.  Gr.  bietet,  wird  man  es  als  ein  charakteristisches  Merkmal 
der  Fehlerreihen  betrachten  dürfen,  dass  ihre  Asymmetrie  eine  bloß 
unwesentliche,  in  den  unausgeglichenen  Zufälligkeiten  begründete  ist. 

(  I  Man  könnte  hiemach,   falls  man  um  ein  Kriterium  für  die  Beurtei- 

lung von  Fehlerreihen  verlegen  wäre,  geradezu  die  Asymmetrie  als 
ein  solches  benutzen  und  den  Grrundsatz  aufstellen,  dass  Fehlerreihen 
mit  den  Merkmalen  wesentlicher  Asymmetrie  zu  verwerfen  seien.] 


Anhang, 


Die  ^Tabelle. 

§  183.   [Die  (-Tabelle   giebt  die   Werte   des  G.  G.,  d.    i.  des 
Integrals 


<l)[(]  =  -i=/eip[-r-]ii 


in  ihrer  Abhängigkeit  vom  Argumente  (^0:*yW.  Da  vierstellige 
Integralwerte  im  allgemeinen  den  Bedürfnissen  dgr  Kollektivmaß  lehre 
genügen,  so  wird  zunächst  die  vierstellige  Tafel,  die  Kampfe  in 
Wijndt's  Philosophischen  Studien,  im  IX.  Band,  8.  147  — 150,  publi- 
ziert hat,  als  i- Tabelle  I  hier  zuin  Abdrucke  gebracht.  Um  jedoch 
für  besondere  Fälle  noch  eine  weitere  Stelle  zur  Verfügung  zu  haben, 
wird  auch  die  fünfstellige  Tafel  als  (-Tabelle  II  in  entsprechender 
Ausdehnung  mitgeteilt] 

[Beiden  Tabellen  liegt  in  gleicher  Weise  die  siebensteUige  Tafel, 
die  sich  in  Mbybr's  Vorlesungen  übex  Wahrscbeinlichkeitsreclmung 
S.  545  —  549  findet,  zu  Grunde.  Da  aber  dort,  wie  Üblich,  die  Argu- 
mentwerte (  nur  bis  zur  zweiten  Dezimale  aufgeführt  sind,  müßten 
in  der  Regel  die  zweiten  Differenzen  zur  Interpolation  beigezogen 
werden.  Um  dies  zu  ersparen,  wurde  in  der  vierstelligen  Tafel  im 
Intervalle  t=so  bis  (=  1,51,  in  der  fünfstelhgen  Tafel  im  Intervalle 
(  =  0  bis  (=2,01  das  Argument  bis  zur  dritten  Dezimale  weiter- 
geführt, so  daß  man  überall  mit  einfacher  Interpolation  ausreicht. 
Zu  diesem  Zwecke  wurde  in  den  bezeichneten  Litervallen  mittelst 
der  Formel: 


fla +  1.1  =  /■(<• +  J1 - 


i)n''^ 


■Tla-^ 


■)(»- 


ir  («+!)+■ 


auf  Gnmd  der  siebenstelligen  Tafelwerte,  unter  Benutzung  ihrer 
zweiten  Differenzen  interpohert.  Die  dritten  Differenzen  konnten 
unberücksichtigt  bleiben.] 

[Die  Einrichtung  der  Tabellen  ist  derjenigen  der  Logarithmen- 
tafeln nachgebildet.  Insbesondere  haben  die  Sternchen,  die  in  ein- 
zelnen Horizontab-eiben  der  Tafel  II  sich  vorfinden,  die  Bedeutung, 
daß  die  der  Zeile  vorgedruckte  erste  Dezimale  um  i  zu  erhöhen  ist.] 


ET- 

^^^^ 

Die 

(-TnbeUe  I. 

5 

( 

0 

■ 

2 

3 

* 

5 

G 

8 

»  1 

0,00 

03 

0,0000 

0011 

0023 

0034 
0147 
0259 
0372 

004  s 

0056 
0.69 
02S2 
0395 

006S 
0406 

0079 

0203 
0316 
0429 

0102  1 

oia4 

0237 
0350 

0135 
0561 

0193 
0305 

0417 

03=7« 
0440  ■ 

0* 

05 
06 

0,0676 

0461 
0575 
0687 

0474 
0586 
0699 

0485 
0597 
0710 

0496 
0721 

0507 
0620 
0731 

0744 

0530 
0642 

0755 

0541 
0654 
076D 

0665 
0777 

07 

09 

0,10 

13 

0,0789 
0,0901 
0,1013 

0,1 1Z5 

0800 
0912 
1024 
■  136 

1247 

'359 
1470 

0811 

0923 
1035 

.259 
1370 
14S1 

0822 
0934 
1046 
.158 
1270 
.381 
149» 

0833 
0946 

1169 

1281 
1392 

1503 

0845 

0856 
096S 
1080 

□867 
0979 
109 1 

0S78 
0990 

1214 

0890 
1113 

iiSo 

1392" 
1403 
.514 

1192 
»303 

1203 

.235 

o,i4S9 

13'4 

«547 

1336 
1448 

«S58 

14 

'S 

16 

0,1569 
0,1680 
0,1790 

1581 
i6gl 

1592 
1702 
1S12 

1603 

1713 
1823 

1614 
1724 
1834 

.635 
1735 
■S45 

1636 
1746 
1856 

.6,7 

,S,B 

■669  1 

'7 

0,20 

=3 

0,1900 

0,2009 
o,aii8 

1911 

Z129 

aa< 

1922 
2031 
2140 

'933 
2042 
"5' 
3260 

^r 

»47S 
2582 

'944 

TM 

'955 
3173 

1966 
2075 
21S4 
1392 
2400 
2507 
3614 

3086 
3194 

2301 

1988 
2097 

,998 1 
3108 1 

o,aia7 

0,^335 
o,i443 
0,a55O 

2464 
257* 

2170 

22S1 

33M   1 

234Ö 
2454 
as6i 

2378 
3486 
^593 

2389 
»497 
2604 

3411 
2518 

2(125 

H32  1 

aS40   1 
.646 

24 

0,36s  7 
0,1763 
0,1869 

j668 
*774 
aS8o 

2890 

2689 
2795 
2901 

2700 
2806 
3911 

2710 
2816 

3731 

3827 
2932 

»731 
2837 
1943 

3742 
3848 

»953 

»7S3 
.964 

11 

ag 
0,30 
31 
3» 
33 

0,3974 
0,3079 
0,3183 
0,3386 
0,3389 
o,349' 
o,3S93 

»985 
3089 
3193 
3=97 
3399 
3Sot 
3603 

I99S 
3100 

3104 

3006 
3110 
3114 

33'7 

3016 
3120 
3224 
3327 
3430 
353» 
3633 

3027 
3'3i 

3135 
333S 
3440 
3542 
3643 

3037 

3'4l 

3S4S 
3348 
"3450 
355* 
3653 

3047 
31s» 

3»55 
_33S^ 
34Ö' 

3366 

306« 
3"76 

3307 
3410 
35'^ 
3613 

3369 

3379 
348. 

3420 

3471 
3674 

34 
3S 
36 

0,3694 
0,3794 
0,3893 

3704 
3804 
3903 

3714 
38.4 
39' 3 

37H 
3824 
39^3 

3734 
3834 
3933 

3744 
3844 
3943 

3754 
3S54 
3953 

3963 

3774 
3S73 
397* 

398. 

11 

39 

U,40 

4« 

4* 

43 

0,399* 
0,4090 
0,4187 

4002 
4100 
4197 

4011 
4207 

4022 
4M9 
4210 
43'3 
4408 
4503 
4597 

403' 
4129 

4236 

43« 
44,8 

4606 

4041 

4139 
4236 

4051 
4149 

4341 

4061 
4158 

_42SS_ 
43S' 

4071 
4168 
426  s 

4080 

«178 
4^74 

0,4184 
0,4380 
0,4475 
0,4569 

4294 

4303 
4399 
4494 
4588 

4332 
4427 
4616 

436' 

4370 

4389 
4484 
4578 

4437 

444Ö 
4S4' 
4634 

445'' 

446s 
4S59 
4053 

44 

0,4662 
o,475S 
0,4847 

4672 
4764 
4856 

4681 
4773 
486S 

4874 

4699 
4792 
4B83 

IC 
489a 

4718 
4S10 
4901 

4727 
4819 
4910 

4919 

474Ö 
4837 
4928 

49 
0,50 

0,4937 
0,50*7 
0,5117 
0,5105 

4946 
S036 
SI25 

4956 
5045 
5'34 

4965 
5054 
5 '43 
5331 

4974 
5063 
5'5i 
S*40 

498J 
5072 
5161 

S*49 

5170 
5*58 

5001 
5090 
5'79 
5366 

5010 

5099 
5187 

?;3 

5214 

5'*3 

says 

S.84 

t 

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2 

3 

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5            6 

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469 

( 

0,50 
S" 

53 

0,5205 

5301 
5388 
5473 

2 
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3 

523» 
5318 
5405 
5490 

4 

5240 
S327 
5413 
5499 

5*49 

S2S8 

7 
5266 

8 
5*75 

s 
5284 

0,5192 
0.5379 
0,54öS 

53'° 
53,6 
S482 

5336 
5422 
5507 

5344 

5430 
SS16 

5353 
5439 
55»4 

536= 
5448 
5533 

5370 
5456 
5541 

54 
5S 
56 

0,5549 
O.5Ö33 
o,57'6 

5558 
564a 
57M 

SS'« 
S650 
S733 

5741 

5583 
5667 
5749 

SS9' 
5675 
5757 

5600 
5683 
5765 

5608 
5691 

5774 

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471 


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9212 

924s 
9276 

^ 

0.9  9279 

9282 

928s 

9288 

9291 

9294 

9297 

9300 

9303 

9306 

9309 
9338 
9j6ä 

9312 
9341 
9368 

93' 5 

9343 
937' 

93 '8 
9346 
9374 

9321 

9349 
9376 

93*4 
935* 
9379 

9326 

9355 
9382 

93*9 
9357 
9384 

933* 
9360 
9387 

9363 
9390 

94 
95 
96 

9391 

0,99418 

9443 

9395 
9420 
9445 

9397 
9423 
9447 

9400 
9425 
9450 

9403 
9428 
9452 

9405 
9430 
9455 

9408 
9433 
9457 

9410 
9435 
9459 

94' 3 
9438 
946z 

941S 

9440 
9464 

M 

■ 

97 

98 

99 

2,0(1 

9466 

9489 

95'i 

0.9  953» 

9469 
9491 
95-3 
9534 

9471 
9494 
95'S 
9536 

9473 
9496 
95  iS 

9476 
9498 
9520 

947S 
0500 
9522 

94S0 
9502 
9524 

94S2 
9505 
95*6 

9485 
9507 
95*8 

9487 
9509 
9530 

^ 
^ 

9538 

9540 

9542 

9544 

9546 

954S 

955° 

' 

0 

■  1 

2 

■J 

4 

b 

e        - 

9 

9 

L 

476 

Die  ^TabcUe  U. 

t 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7     5     »• 

2,0 

2,1 
2,2 

2,3 

2,4 

2.5 
2,6 

2.7 

2,8 
2,9 

3,0 

3.1 
3,2 

0,99532 

9552 

9572 

9591  9609 

9626 
9764 

9854 
991 1 

9947 
9969 

9982 

9990 

9994 
9997 

9642 

9658   9"^   «"*** 

9702 
9814 
9886 

9931 

0,9  9959 
9976 

9987 
9992 
9996 

9715 

9822 

9891 

9935 
9961 

9978 

9987 

9';93 
9996 

9728 

9831 
9897 

9938 
9963 
9979 

9988 

9993 
9996 

9741 

9839 
9902 

9941 
9965 
9980 

9989 
9994 
9997 

9753 
9846 

9906 

9944 
9967 

9981 

9989 
9994 
9997 
9998 

9999 
♦0000 

9775 
9861 

99<5 

9950 

9971 
9983 

9991 

9995 
9997 

9785   97  ?5   «A:? 
9867  ,  9*7^^   i*«c 

9920  '  992X   «i-uzf 

9952  i  9955   ?:-5T 
9972  .  9974  ?n^ 
9984  '  99^5   ?H^ 

9991   9992  ^??^ 
9995  •  9995  ?y>^' 
9997  :  9997  9^?^   1 

0,9  9998 

9998 

9998 

9998 

9999 
♦0000 

9998 

9998 

9999  9999   *:-*?i  ] 

9999 
0,9  9999 

9999 
9999 

9999 
9999 

9999 
♦0000 

9999 
♦0000 

9999 
♦0000 

9999  9??^ 
^0000  *booo  1 

i 

Register. 


Abh&Qgigkeit,  Wechsel  weise  von  Di- 
mensionen 372. 

Abhängigkeitsmaß  367,  371. 

Abhängigkeitsverhältnisse  365 — 375. 

Abnormitäten  51. 

Abstandsgesetze  71,303,  fOr  Verhältnis- 
abweiohungen  348. 

Abstandsverhältnisse  73,  304. 

Abweichung,  arithmetische  17,  von^  23, 
W.  ders.  271,  von  D  23,  W.  ders.  296; 

extreme  23,  W.  ders.  332; 

logarithmische  79, 339,  W.  ders.  347. 

mittlere  18,  be«.  A  23,  bez.  D  23, 

Bestimmung  ders.  159; 
mittlere,  zweiter  Ordnung  277; 

quadratische  mittlere  21 ; 

wahrscheinliche  21; 


Abweichimgen,  extreme,  Mittelwert  ders« 
334,  Zentralwert  ders.  332,  dichtester 
Wert  ders.  333,  Unterschied  ders.  97. 

mittlere,    Beziehungen    zwischen 

denselben  273. 

Abweichungsschwerwert  178,  Bestim- 
mung dess.  180. 

Abweichungssumme  18,  emp.  Bestim- 
mung ders.  154,  theor.  Bestimmung 
ders.  283. 

Abweichungszahlen  18,  Unterschied  ders. 
23,  emp.  Bestimmung  ders.  152,  theor. 
Bestimmung  ders.  57,  272. 

Adresskarten  29,  41. 

Antiparallelismus  der  Bewegung  zweier 
Größen  382. 

Asymmetrie,  wesentliche  u.  zuf&llige  66  ; 


Asymmetrie  der  Barometerabweiohungen 
445,  447,  der  Fehlerreihen  462,  466, 
der  Qalleriebilder  429,  der  Kegenhöhen 
438»  439,  444,  der  Rekrutenmaße  137, 
202,  der  Roggenglieder  410 — 415,  der 
Schädelmaße  135,  197,  der  Thermo- 
meterabweichungen 451,  der  täglichen 
yariationen  454,  455. 

,  Gründe  für  i98flgd.; 

,  Merkmale  der  67,  97,  vergl.  W.- 
Bestimmungen fQr  A.; 

,  Mischung  von  wesentl.   und  un- 


wesentl.  204; 

— ,  Bichtung  d.  für  verschiedene  K.-G. 


202; 
,  W.-Bestimmungen  für  208, 213,217, 

218,  250. 
Asymmetriegesetzc   69  flgd.,   Ableitung 

ders.  295  flgd.,  Bewährung  derselben 

197  flgd. 
Asymmetriewerte   vgl  Verzeichnis    der 

Tabellen. 
ö-Tafel  113. 

Ausgangsgesetz  69,  Ableitung  dess.  295. 
Ausgangswert  des  einfachen  G.  G.  55, 

271,  des  zweiseitigen  G.  G.  69,  297. 
a -Werte  7, 17;  Bestimmung  ihrer  Summe 

143  flgd.;  äquidistante  a  106;  leere  a 

107;  nackte  a  iio;  reduzierte  am 

zerstreute  a  106. 

Barometerabweichungen  368,  444  flgd. 
Behandlung  der  K.-G.,  arithmetische  aj, 
99  flgd.,  271  flgd. 


l^^^^^l^^^^^^                     Begi«ter.                               ^^^^^^ 

IJimrnsionen  der  K.-G.  4- 

■■•                                 'S-  So.  339—351. 

^^H                             ,  Vergleich  iwisclien  ftritlini.  u.  log. 

lektivc  Bebandluug  der«.  363—364. 

^^M 

DOVB   19,    il2,    368. 

BurahRcbnittsfcUet  461,  4^5- 

^^H                         BEBNoCLU'e  Theorem  117,  243.  367,  370. 

^^H                        Bkssei,  55,  Sg. 

Eingriffsinterr»!!  xAa. 

Eingriffsmaß  143. 

^H                            m',  m,  152;  i''*',  -SH,  154;  1  159; 

^^H                            ,  fundamcutalc  (ideale.  Dormalc;  52; 

r49— 151. 

^^B                             ,  rohe 

'S3. 

,  wcBeutliche  (uonnale;  9. 

weise  ders.   14"  flgd.,    161  flgd.;  vgL 

das  Verzeichnis  der  Tabellen. 

Bewahrung  des  G.  0.   siehe  VericichniB 

Elliott  19,  65.  146,  159. 

der  TabeUeo. 

Enoke  88,  245.  275.  3^3- 

BeweBÜchVeit  der  Rekrutengröße  391- 

Bcweping     der     Rekrutengröße     381; 

.19.                                                                "  1 

BftchsiBcher  Hekniteii  387,  390.  398; 

EULEE   138.                                                                          1 

Extreme  zi,  93t  3*'  flgd,;  der Rekniten- 

maße  35,  36;  abnorme  E.  ja3;  Mittel- 

BoDio 65. 

werte  der  E.  3*5 ;  vergl.  d.  Vcneieh- 

BoYii  j8,  201. 

niB  d.  Tabellen. 

Bhavais  44;. 

EitremgeseUe  74,  33°  Agd. 

Breuohei.  435. 

Beill  435- 

Fehler,  mittlerer  t.  mittl,  Abweichung. 

CharakteriBtik     der    K.-G.    durch    deu 

der    imgleichförmigen    8ch5t««ng 

Mittelwert   87,    89,    90;    durch    den 

53.  108. 

Zentralwert  S7;  durch  den  dichtesten 

,  wahrscheinlicher  vou  (,  7,  w  275,    , 

Werl  87,  88,  90,  9' ;   durch   Schwan- 

von  A  278;  des  Abhfingigkeitsinaße« 

367. 

93;  durch  Asramclric werte  97- 

Fehlergeseti  s.  GAUss'Bchea  GescK. 

Dichtester  Wert  12,  17;  EigenBchaften 

Asymmetrie  ders,  462,  466. 

deas.   .71; 

Fehlertheorie  5,   15,  55,  88. 

1 

Fiinktionsbeieichniing  22. 

mung  dcBS.   184,  185; 

.  theoretisch  wahrscheinlichster  iBi. 

! 

HiiBteiii    dess.     188,     Eigenschaften 

49,  4'Sflgd,;  liiidcrklasBen  419;  Ver- 

i 

dess.  1S9,  BcaCinuniing  dcas.  iQoflgd.: 

hältnis    der    Dimensionen    43a   flgd.; 

,  ZuBamraeuhaug  mit  dem  iwciseiti- 

Flfichenrau^    434;    vergL    du    Vcr- 

1 

gen  G.  0.  91.  307  flgd. ; 

leiclmia  der  Tabellen. 

|i 

,  logarithmisch    dichtester    80,  340, 

Oaitsb  10,  55,  64,  a7S. 

GAtBs'Bches   Gcaeti,    einfaches   SS  Bgd., 

(lichteBtcn  Würlc  349. 

371  flgd.,  beschiäukte  OOltigkeit  deu. 

V  ^^ 

^^ 

64flgd.,  Oaltigkeit  in  der  Fehlertheoric 
465;  Tabelle  d.  G.  G.  s.  VerieiehniH 
d.  Tabellen. 

,  iweüdtige*  69,    471;    Ventleioh 

deai.  mit  dem  einfachen  G.  G.  279; 
ein  empiriacher  Voreug;  deae.  19S: 
theoretisrhc  Begründung  deas.  306  flgd, , 
BeträhniDg  desB.  »icbc  Vencichnie  der 
Tabellen, ;   Motivierung  dess,  65  flgd. 

GAüsa'scheH  Gesetz,  logarithmiache  Ver- 
allgemeinerung, Molivierung  ders.  77; 
Vergleich  mit  dem  arithm,  GcHetne 
341  flgd. ;  BewSliruug  siehe  Verzeiohnis 
der  Tabellen, 

Genrebüdcr,  DimcnüoncnderB.341 — 344, 
423  flgd. 

GeuunUabl  17. 

Gewicht  der  Organe  dea  menachlichen 
Körpers  28;  AByaimetrie  201. 

Gliederung  dea  Boggeug  40S — 410, 

GoCJ.D  65. 

Goldener  Schnitt  41,  409. 

Hauhek  117, 

HauptabtcUutigcn  loS, 

HauptabneichungsBumme   B.  Abwei- 
cht! nga  summe. 

UauptabweichuDgezahl  b.  Abwciohungs- 
«ahl. 

Hauptbestand  106. 

Hauptwerte  S,  17;  Eigenachaften  ders. 
160  flgd. 
— ,  logaritlimiache  80,  340. 

Hypothesen  »ur  Ableitung  des  asymm. 
Verteilungageaeties  307,  313;  dosloga- 
rilhmiachen  Gcsetses  351. 

Integralausdnick  d.  G.  G.  172. 

Interpolation  zur  Berechnung  des  dich- 
testen'Wertes  183—186,  der  Eingriffs- 
aumme  149—151,  der  Eingriffszahl 
151,  151,  des  Zeutralwertes  169. 

Intervall  10;   priniäiCB  109;   reduziertes 

lnt«rralltafe]  113. 

Jahresabweichungen  und  Jahres  werte, 
meteorologiache  4z. 


ter.  479 

Kämpfe  64,  467. 

Kataloge  der  Galleriebildcr  42t. 

Kern  der  Verteiluugslafel  122- 

KoBüLD  4S7,  461. 

KollektivabweichuDgen  S. 

Kollektivgegenstands,  3«;  disiHiraterjs; 
einheitlicher  33:  einstimmiger  33;  ein- 
wurfsfreier 51;  fehlerloser  oder  nor- 
maler 31;  remer,  ungemischter  32; 
verstOnunelter  32;  vollzähliger  31 ; 
zwiespältiger  33;  Umfang  des  K.-G.  3; 
Weite  IrSumlicbe,  zeitliche;'  des  K.-G. 
3S ;  Merkmal  des  cinlicitlicheu  und 
zwiespältigen  K..-G.  39,  40. 

Kollektiv  gegenstände,  Arteudcra.  28,29; 
artistische  40,  meteorologische  43 — 48; 
Verteil  ungalaf ein  und  Elemente  der 
K.-G.  B.  das  Verzeichnis  der  Tabellen, 

Kollektivmaßlehre  6 ,  Verschiedenheit 
ders.  von  der  Fehlcrthcorie  15,  16. 

Karrekdon  wegen  des  endlichen  »1  20, 
95.  96. 

Kkamp  64. 

Kreismittelfehler  376. 

Lagengcsetz  74,  194,  aoo,  Ableitung 
dcHB,  306;  der  Verhältui  sab  weichungen 
348- 

Landjchaftsbilder,  Dimensionen  der«. 
423  flgd. 

I.E  SUEUE  420. 

Lottcrielisten  (Ziehungslisten  sächsischer 
Lotterien)  verwendet  »ir  Bestimmung 
der  SucceBsionaabhängigkeit  45 :  als 
Ersatz  der  Wobracheinlichkeitsume 
139;  zur  Bestimmung  der  Asymmetrie- 
werte 230,  251,  266  flgd. 

Haßlehre,  astronoTniechc  und  physika- 
lische, siehe  Fehlertheorie. 

Meridiankreis  457. 

Meyer  63,  217,  240,  467. 

Mittel,  arithmeüschea  17,  86 — 92,  Be- 
stimmung dcsB.  146 .  Eigenschaften 
desB,  läi;  arithmetisches,  von  Verhält- 
nissen 353. 

.  falsches  207,  237. 

.  geometrisches  81,  Zuaammenhaug 


480 


Register. 


dess.  mit  dem  arithm.  349;  geom.  M. 
von  VerhfiltDissen  354,  357  flgd. 
— ,  hannonisches  y.Verhftltnissen  355. 
— ,  logarithmisches  80,  340. 
— ,  prozentisches  y.  Verbfiltnissen  353. 
— ,  singul&res  164. 
-,  summarisches  164,    von  Verbfilt- 


nissen 353,  357  flgd. 
-,  wahres  207,  237. 


Mittelfehler  459, 465,  s.  mittl.  Abweichung. 
Mittelwert  siebe  Mittel. 
Monatsabweichungen  und  Monatswerte, 

thermische  29,  42,  46,  368,  371. 
Mythologische  Bilder  419,  426  flgd. 

Nachsumme  24. 
Nachzahl  24. 

Parallelismus     der    Bewegung     zweier 

Größen  382. 
der  Bewegung  s&chsischerltekruten- 

maße  386  flgd. 

der  Bewegung  belgischer  Rekruten- 


maße 394  flgd. 
TT -Gesetze  71,  201 ;  Ableitung  ders.  305; 

der  Verbfiltnisabweichungen  348. 

P-Gleicbimg  275. 

Plantamoüb  436,  437,  440. 

P0188ON  217. 

Prinzip,  symmetrisches  und  asymmetri- 
sches 81,  83. 

Proportionalgesetz  70,  199;  Ableitung 
dess.  297. 

f>-Wert  71,  72,  305. 

QuETELET  28,  44,  48,  50,  65,  66,  196, 
292,  444,  452,  454,  455- 

Reduktion  d.  Verteilungstafeln  1 1 1  flgd. 

der  Endabteilungen  ders.  118. 

des  Hauptbestandes  ders.  iii. 

mit  geteilten  s  115. 

Rcduktionslage  132;   Einfluss  ders.  auf 

die  Werte  der  Elemente  135?  137, 138; 
Wahl  ders.  139. 
Reduktionsstufe  123;  Einfluss  ders.  auf 
die  Werte  der  Elemente  127,  130, 132; 
Vorteile  und  Nachteile  der  Größe 
ders.  124. 


Regenhöhen,  t&gliche  fOr  Genf  39,  48, 

49,  344—347,  3^9,  43^  figd.. 
Regenmesser  437. 
Rekrutenmaße  28,  381,  382,  a&chsJBche 

34—37,  293,  325,  369,  386  flgd-;  lt>cl- 
gische  394  flgd.,  franzöflische  292,  397; 
vergL  das  Verzeichnis  der  TabeUen. 

Religiöse  Bilder,  Dimensionen  der8.^4i9, 
426  flgd. 

Requisiten  der  K.-G.  31 — 52;  der  Unter- 
suchung 52—54. 

Roggenfihren  s.  Roggenhalme. 

Roggenhalme  28,  403  flgd. ;  Qliedening 
ders.  408 — ^410. 

Roggenglieder  404,  Verh&ltnisse  dert. 
416,  417;  vergl.  das  Verzeichnis  der 
Tabellen. 

Schädel,  Breitenindex  dess.  375. 
Schädelmaße  28,  loi,  362,  373;  ygl.  d. 

Verzeichnis  der  Tabellen. 
Schädelmodulus,  WsLCKER^scher  373. 
Schätzimg,  ungleichförmige  53,  108. 
Scheibner  349,  356,  361. 
Scheidewert  160,  Bestimmung  dess.  173, 

174. 

SCHMID  323. 

Schwankung  19,  20;  starke  76. 
Schwankungsweite  92,  93. 
Schwankungswert,  mittlerer,  s.  Abwei- 
chung, mittlere. 
Schwerster  Wert  160;  Bestimmung  dess. 

175. 
Spezialgesetze  wesentlich  asymmetrischer 

Verteilung    69 — 74;    Ableitung  der«. 

295—306. 
Stadtmaße,  Leipziger  28. 
Stilllebenbilder  419,  424  flgd. 
Studentenrekruten  28. 
Successionsabhängigkeit  45 ;  Bestimmung 

ders.  366—372. 
Summenformel   von  Euler   oder  Mac 

Laurin  227,  238. 
Summengesetz  283,  284;  Ableitung  dess. 

286,    287;    vergl.    d.  Verzeichnis    der 

Tabellen. 
Supplementar\'erfahren  289 — 293. 
Ä- Verfahren  144—146. 
Ä-Wert  142. 


Tafel  a.  Veneiluugstafcl. 
Ta^esabweichuD^eD     iiad     Tages  werte, 

meleorolog^nhe  29,  41,  36S,  369,  436, 

444,  448,  4SI. 
Tageanüttel.  allgemeineB  thermisvheB  43. 
Tli cnnometerab weich II ngeu  36S,  44S  flgd. 
f- Tabelle,  Einriehtuug  dera,  467. 


Umkehr    der    Asjinmetrie.   bei    thermi- 
BcLen   Mouatsabweiehuugen   20a,   bei 
BarometerabweichungCD    447 ,     bei 
Thermometerab weich imgen  451. 

bei  deu  Roggen  gliedern   aoi,  411, 

UmkehrgescU  74;  Ableitung  desg.  306; 

der  extremen  Abweichimgen  336,  337. 
Umkreiainlervall  109. 
L'uteracliied  der  AbweichungBuJileu  23, 

97 ;   der   extremen  Abweichungen  97. 
Untersuch  Tingsmaterial  17 — 30. 
Urliste  7.  iix}. 


Variationeu  der  Rekrutengrüße  379  flgd.; 
räumlicher  Zusammenhang  derselben 
386  flgd.;  zeitlicher  Zusammenhaug 
dera.  39S  flgd.;  Bäehsischer  Rekruten 
387,  390 ;  belgischer  Rekruten  396, 
397,  400. 

,  tfigliehe  der  Temperatur   29,  50, 

4J1  flgd.,  Asymmetrie  dera.  454.  455. 

Vergleich  itabelle,  Eiuriclitung  dera.  279, 

VerhältniaabweichuDgen  77,  339. 

Vcrh&ltuisBC,  kuUcktive  Behandlung  dera. 
36«  M-: 

■ ,  mittlere  353  flgd.;  siehe  Mittel  von 

Verbültniaaen. 

Verhältiiiswert,  dichtester  81,340;  Eigen- 
schaften deSB.  34S. 

VerhältnisMÜilen  58,  59,  173. 

Vekonesb  434. 

Verteilung  4;  geometrische  Darstellung 
iio;  aa)Tnmetriache  V.  14,  311,  313; 
symmetrische  V.  9,  311,  313. 

Verteilungageactz  4,  jj,  Anwendung  dcas. 
57,  aaymraetrischcB  795,  317;  lugarith- 
mieehes  81,347;  ■.  GAi'Sfl'acheBOesetx. 

Verteilung«  geaetie,  aaymmetriBche  liehe 
Speanlgesetie. 


ter.  48  t 

Verteiluugstafel  7,  ideale  8, 10,  empirische 
9, 10.  primäre  it,  100,  Beispiele  :o2flgd,, 
reduiierte  11,  iil,   Beispiele  lai  flgd. 

Vertikalfadeu   dee   Meridiankreises   457, 

Viaitenkarten  19,  4',  354- 

Voraumme  34. 

Vorwahl  24. 

Wahrscheinlichkeit,  asymmetrische  14, 
66  flgd.,  ai4,  313, 

,  symmetriache  10,  14,  60  flgd.;  319. 

WahracheinliehkeitsbestimmungcQ  fSr 
imwcseutliche  Aajmmetrie  loS,  bez.  d. 
wahren  Mittels  ai7.  218,  217,  bei.  <1. 
falachen  Mittels  250,  258  flgd.;  för 
wesentl.  Aayrametrie  213;  für  Kol- 
lo ktivabweiehungCB  171.  296,  297:  für 
extreme  Ahwdchungen  332;  für  loga- 
rithm.  Abweichungen  347 ;  für  Suc- 
cessionaabhängigkeit  366 .  371;  fQr 
Abhängigkeit  iwischeu  Dimens.  372; 
Anwendung  derselben  in  der  Statistik 
232  flgd. 

Wahrscheinlichkeitageaetre  siehe  M'alir- 
Bc  heiuli  c  hkeitsbestinuDun  gen . 

Wagaerhüheo  ■.  Regen  höhen. 

Welcker  28,   101,  362,  373,  374. 

Wert,  dichtester  a.  dichtester  Wert 

— —  extremer  s.  Extrem, 

Wertmitte  a.  Zentral  wert. 

Zeihing  409. 

Zenilhdistanz  457. 

Zentralwert    13,    17,    165; 

dcBB.   1^7.  169;  logarithmisoher  80. 

Zufall,  negativ  bestimmt  6. 

Zufallageaetzc  5,  31;  Störung  derselben 
durch  Nebeniweckc  41,  durch  Periodi- 
jitiX  44,  durch  Succeasionsabhäng^;- 
keit  45 ;  vergL  Wahrseheinlichkeits- 
beatimmungen . 

ZiiEammcnfallcn  der  Hauptwerte  14.  61, 

Zusammenhang  der  Variationen  der  Re- 
krutengröße, rflumUcher  3S6flgd.,  zeit- 
licher 398  flgd. 

Zusammenhang  der  lugarithmiaclien  und 
arithmetischen  Hauptwerte  349. 

z-Wert  8,  100;  reduziertea  z  tio. 


Verzeichnis  der  Tabellen. 


a)  Yerteilnngstafeln  und  Tabellen  der  Elemente  für  K.-G. 

Primäre  Verteilungstafeln: 

Rekrutenmaße  der  Studenten  104. 

Roggenhalme,  oberstes  Glied  105. 

Schädelmaße,  Vertikalumfang  102,  Horizontalumfang  103. 

Probe  für  die  Fadendistanzen  (Klemme  Ost,  Nachtbeobachtungen)   459. 

Probe  far  die  Galleriegemälde  (Genre)  423. 

Probe  für  die  Regenhöhen  Januar)  437. 

Arithmetisch  reduzierte  Verteilungstafeln: 
Barometerabweichungen  446. 
Fehlerreihen,  astronomische  463,  464. 
Galleriegemälde  342,  424. 
Regenhöhen,  tägliche  345,  442. 

Rekrutenmaße  der  Studenten  129,  136,  extreme  Abweichungen  329. 
Roggenhalme,  oberstes  Glied  131,  138,  sechsgliedrige  Halme  413. 
Schädelmaße,  Vertikaliunfang  121,  123,  124,  134,  Ab weichungs werte  179, 
Abweichungssummen  289. 

,  Horizontalumfang  121,  123. 

Thermometerabweichungen  450. 
Variationen,  tägliche,  der  Temperatur  453. 
Willkürlich  aufgestellte  Verteilungstafel  141. 

Logarithmisch  reduzierte  Verteilungstafeln: 
Gfalleriegemälde  343,  430. 
Regenhöhen  346,  443. 
Verhältnisse  der  Roggenglieder  417. 
Verhältnisse  der  Schädeldimensionen  363. 

Tabellen  der  Elemente: 

Barometerabweichungen  447,  448. 

Fadendistanzen  460,  461. 

Fehlerreihen  464. 

Galleriegemälde  342,  343,  426,  428,  431,  432,  433,  434. 

Regenhöhen  345,  346,  438,  444. 


Verzeichnis  der  Tabellen.  483 

Rekrutenmaße  der  Studenten  130,  137,  Mittelwerte  der  Extreme  326, 
Mittelwerte  der  extremen  Abweichimgen  330,  Mittelwerte  sächsischer 
Rekruten  387,  388 ,  Größenbewegung  ders.  390,  Bewegungssumme 
ders.  393,  Größenbewegung  belgischer  Rekruten  396,  397,  Zentral- 
werte ders.  400. 

^ggenglieder  132,  138,  406,  407,  412,  414,  Verhältnisse  417. 

Schädelmaße  127,  135,  roh  und  scharf  bestimmte  Werte  von  /i  und 
SJ  157,  159,  Verhältnisse  der  Dimensionen  363. 

Thermometerabweichungen  449,  451. 

Variationen,  tägliche,  der  Temperatur  453. 


b)  Tabellen  des  Ganss'schen  Gesetzes  and  der  Bewährungen  desselben. 

Tabelle  der  Abweichungszahlen  bezogen  auf  s,  e- Tabelle,  58,  59. 
bezogen  auf  eV^r,  ^-Tabelle  I  und  II,  468—476. 

bezogen  auf  w  235. 

Umsetzung  der  < -Tabelle  fCLr  Lotterieversuche  269. 
Tabelle  der  Abweichungssummen  285,  286,  291. 
Bewährung  des  einfachen  G.  G.  280,  281,  463,  464,  465. 

des  zweiseitigen  G.  G.  280,  281,  342,  345,  413,  446,  450,  453,  463,  464. 

des  logarithmischen  Gesetzes  343,  346,  363,  417,  430,  443. 

des  Summengesetzes  289. 

der  Extremgesetze  335. 


c)  Tabellen  der  Asymmetriewerte  u  und  v . 

Vergleich  zwischen  genauen  und  angenäherten  Mittelwerten  von  u  224. 

angenähert  berechneten  wahrscheinlichen  Werten  von  u  226,  228. 

theoretischen  und  empirischen  u  230,  231. 

theoretischen  und  empirischen  mittleren  und  wahrscheinlichen  u  232. 

Empirisch  bestimmte  Anzahlen  der  v  und  u  252,  253,  254. 
Vergleich  zwischen  theoretischen  und  empirischen  v  258. 

theoretischen  und  empirischen  mittleren  und  wahrscheinlichen  v  255. 

empirischen  Mittelwerten  von  u  und  »256. 


Druck  Ton  Breitkupf  A-  Ilirtel  in  I^eipiig.